Pythagoras tuning - Pythagorean tuning

Det syntoniska tuningkontinuumet, som visar Pythagoras tuning på 702 cent.

En serie av femtedelar som genereras kan ge sju toner: en diatonisk stor skala på C i Pythagoras tuning Play ( hjälp · info ) . 

Diatonisk skala på C Spela ( hjälp · info ) 12-tonars lika härdat och Spela ( hjälp · info ) bara intonation.  

Pythagorean (tonic) major ackord på C Play ( hjälp · info ) (jämför Play ( hjälp · info ) lika härdat och Play ( hjälp · info ) bara).   

Jämförelse av jämntempererade (svarta) och pytagoriska (gröna) intervall som visar sambandet mellan frekvensförhållandet och intervallens värden, i cent.

Pythagoras tuning är ett system för musikalisk tuning där frekvensförhållandena för alla intervall är baserade på förhållandet 3: 2 . Detta förhållande, även känt som den " rena " perfekta femman, väljs eftersom det är en av de mest konsonanta och enklaste att ställa in efter örat och på grund av betydelsen som tillskrivs heltalet 3. Som Novalis uttryckte det, "De musikaliska proportionerna verkar mig att vara särskilt korrekta naturliga proportioner. " Alternativt kan det beskrivas som avstämning av det syntoniska temperamentet där generatorn är förhållandet 3: 2 (dvs den otempererade perfekta femman ), som är ≈702 cent bred.

Systemet hade huvudsakligen tillskrivits Pythagoras (600 -talet f.Kr.) av moderna musikteoretiska författare, medan Ptolemaios , och senare Boethius , tillskrev uppdelningen av tetrachord med endast två intervall, kallade "semitonium", "tonus", "tonus" på latin (256: 243 × 9: 8 × 9: 8), till Eratosthenes . Den så kallade "Pythagorean tuning" användes av musiker fram till början av 1500-talet. "Det pythagoreanska systemet tycks vara idealiskt på grund av femtedels renhet, men vissa anser att andra intervall, särskilt den stora tredjedelen, är så illa avstämda att stora ackord [kan betraktas] som en dissonans."

Den Pythagoras skala är någon skala som kan konstrueras från endast rena perfekta femtedelar (3: 2) och oktaver (2: 1). I grekisk musik användes den för att stämma tetrakord , som komponerades till skalor som spänner över en oktav. Man kan skilja mellan utökad pytagoreisk stämning och ett 12-tonigt pytagoreiskt temperament. Utökad Pythagoras tuning motsvarar 1-mot-1 med västerländsk musiknotation och det finns ingen gräns för antalet femtedelar. I 12-ton Pythagoras temperament är man emellertid begränsad av 12-toner per oktav och man kan inte spela mest musik enligt det pythagoreanska systemet som motsvarar den enharmoniska notationen, istället finner man att till exempel den minskade sjätte blir en "vargfemte".

Metod

12-ton Pythagoras temperament är baserat på en stapel intervall som kallas perfekta femtedelar, var och en avstämd i förhållandet 3: 2, nästa enklaste förhållande efter 2: 1. Från till exempel D ( D-baserad tuning) produceras sex andra toner genom att flytta sex gånger ett förhållande 3: 2 uppåt, och de återstående genom att flytta samma förhållande nedåt:

E ♭ –B ♭ –F – C – G– D –A – E – B – F♯ – C♯ – G♯

Denna följd av elva 3: 2 -intervaller sträcker sig över ett brett frekvensområde (på ett pianotangentbord omfattar den 77 tangenter). Eftersom toner som skiljer sig i frekvens med en faktor 2 får samma namn är det vanligt att dela eller multiplicera frekvenserna för några av dessa toner med 2 eller med en effekt på 2. Syftet med denna justering är att flytta de 12 noterna inom ett mindre frekvensområde, nämligen inom intervallet mellan basnoten D och D ovanför den (en ton med dubbelt så hög frekvens). Detta intervall kallas vanligtvis den grundläggande oktaven (på ett pianotangentbord har en oktav endast 12 tangenter).

Exempelvis är A inställd så att dess frekvens är 3/2 gånger frekvensen av D - om D är inställd på en frekvens på 288 Hz , då är A inställd på 432 Hz. På samma sätt är E ovan A inställd så att dess frekvens är 3/2 gånger frekvensen av A, eller 9/4 gånger frekvensen av D - med A vid 432 Hz, sätter detta E vid 648 Hz. Eftersom detta E ligger utanför den ovan nämnda grundläggande oktaven (dvs. dess frekvens är mer än dubbelt så hög som basnoten D) är det vanligt att halvera sin frekvens för att flytta den inom grundoktaven. Därför är E inställd på 324 Hz, en 9/8 (= en epogdoon ) över D. B vid 3/2 ovanför att E är inställd på förhållandet 27:16 och så vidare. Från samma punkt som fungerar åt andra hållet ställs G in som 3/2 under D, vilket betyder att den tilldelas en frekvens som är lika med 2/3 gånger frekvensen av D - med D vid 288 Hz sätter detta G vid 192 Hz. Denna frekvens fördubblas sedan (till 384 Hz) för att föra den in i grundoktaven.

När du utökar denna inställning uppstår dock ett problem: ingen stapel med 3: 2 -intervall (perfekta femtedelar) passar exakt in i någon stapel med 2: 1 -intervall (oktav). Till exempel en stapel som denna, erhållen genom att lägga till ytterligare en lapp till stacken som visas ovan

A ♭ –E ♭ –B ♭ –F – C – G– D –A – E – B – F♯ – C♯ – G♯

kommer att vara liknande men inte identiska i storlek med en bunt med 7 oktaver. Mer exakt, det kommer att vara ungefär en fjärdedel av en halvton större, kallad Pythagoras komma . Således kommer A ♭ och G ♯ , när de förs in i grundoktaven, inte att sammanfalla som förväntat. Tabellen nedan illustrerar detta och visar för varje ton i grundoktaven det konventionella namnet på intervallet från D (basnoten), formeln för att beräkna dess frekvensförhållande, dess storlek i cent och skillnaden i cent (märkt 12- TET-dif i tabellen) mellan dess storlek och storleken på motsvarande i den lika härdade skalan.

Notera	Intervall från D	Formel	=	=	frekvensförhållandet	Storlek (cent)	12-TET-dif (cent)
A ♭	minskade femma	${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {3}} \ right)^{6} \ times 2^{4}}$	${\ displaystyle 3^{-6} \ times 2^{10}}$	${\ displaystyle {\ frac {2^{10}} {3^{6}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1024} {729}}}$	588,27	−11,73
E ♭	mindre sekund	${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {3}} \ right)^{5} \ times 2^{3}}$	${\ displaystyle 3^{-5} \ gånger 2^{8}}$	${\ displaystyle {\ frac {2^{8}} {3^{5}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {256} {243}}}$	90,22	−9,78
B ♭	mindre sjätte	${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {3}} \ right)^{4} \ times 2^{3}}$	${\ displaystyle 3^{-4} \ times 2^{7}}$	${\ displaystyle {\ frac {2^{7}} {3^{4}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {128} {81}}}$	792,18	−7,82
F	mindre trea	${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {3}} \ right)^{3} \ times 2^{2}}$	${\ displaystyle 3^{-3} \ times 2^{5}}$	${\ displaystyle {\ frac {2^{5}} {3^{3}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {32} {27}}}$	294,13	−5,87
C	mindre sjunde	${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {3}} \ right)^{2} \ times 2^{2}}$	${\ displaystyle 3^{-2} \ times 2^{4}}$	${\ displaystyle {\ frac {2^{4}} {3^{2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {16} {9}}}$	996,09	−3,91
G	perfekt fjärde	${\ displaystyle {\ frac {2} {3}} \ gånger 2}$	${\ displaystyle 3^{-1} \ times 2^{2}}$	${\ displaystyle {\ frac {2^{2}} {3^{1}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {4} {3}}}$	498,04	−1,96
D	unison	${\ displaystyle {\ frac {1} {1}}}$	${\ displaystyle 3^{0} \ times 2^{0}}$	${\ displaystyle {\ frac {3^{0}} {2^{0}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {1}}}$	0,00	0,00
A	perfekt femma	${\ displaystyle {\ frac {3} {2}}}$	${\ displaystyle 3^{1} \ times 2^{-1}}$	${\ displaystyle {\ frac {3^{1}} {2^{1}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {3} {2}}}$	701,96	1,96
E	större sekund	${\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {2}} \ right)^{2} \ times {\ frac {1} {2}}}$	${\ displaystyle 3^{2} \ times 2^{-3}}$	${\ displaystyle {\ frac {3^{2}} {2^{3}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {9} {8}}}$	203,91	3,91
B	major sjätte	${\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {2}} \ right)^{3} \ times {\ frac {1} {2}}}$	${\ displaystyle 3^{3} \ times 2^{-4}}$	${\ displaystyle {\ frac {3^{3}} {2^{4}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {27} {16}}}$	905,87	5,87
F ♯	större tredjedel	${\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {2}} \ right)^{4} \ times \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)^{2}}$	${\ displaystyle 3^{4} \ times 2^{-6}}$	${\ displaystyle {\ frac {3^{4}} {2^{6}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {81} {64}}}$	407,82	7,82
C ♯	major sjunde	${\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {2}} \ right)^{5} \ times \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)^{2}}$	${\ displaystyle 3^{5} \ gånger 2^{-7}}$	${\ displaystyle {\ frac {3^{5}} {2^{7}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {243} {128}}}$	1109,78	9,78
G ♯	förstärkt fjärde	${\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {2}} \ right)^{6} \ times \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)^{3}}$	${\ displaystyle 3^{6} \ times 2^{-9}}$	${\ displaystyle {\ frac {3^{6}} {2^{9}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {729} {512}}}$	611,73	11.73

I formlerna representerar förhållandena 3: 2 eller 2: 3 en stigande eller fallande perfekt femma (dvs. en ökning eller minskning av frekvensen med en perfekt femma, medan 2: 1 eller 1: 2 representerar en stigande eller sänkande oktav. Formlerna kan också uttryckas i termer av den tredje och den andra övertonerna .

Den stora skalan baserad på C, erhållen från denna inställning är:

Notera	C		D		E		F		G		A		B		C
Förhållande	1 ⁄ 1		9 ⁄ 8		81 / 64		4 ⁄ 3		3 ⁄ 2		27 ⁄ 16		243 ⁄ 128		2 ⁄ 1
Steg	-	9 ⁄ 8		9 ⁄ 8		256 ⁄ 243		9 ⁄ 8		9 ⁄ 8		9 ⁄ 8		256 ⁄ 243		-

I lika temperament, par av enharmonic anteckningar såsom A ♭ och G ♯ är tänkt som vara exakt samma ton-men liksom tabellen ovan anges, i pythagoreisk stämning de har olika förhållanden med avseende på D, som innebär att de är vid en annan frekvens. Denna avvikelse, cirka 23,46 cent, eller nästan en fjärdedel av en halvton, är känd som ett pythagoraskt komma .

För att komma runt detta problem konstruerar Pythagoras tuning endast tolv noter enligt ovan, med elva femtedelar mellan dem. Till exempel kan man bara använda de 12 noterna från E ♭ till G ♯ . Detta, som visas ovan, innebär att endast elva bara femtedelar används för att bygga hela den kromatiska skalan. Det återstående intervallet (den minskade sjätte delen från G ♯ till E ♭ ) lämnas dåligt stämd, vilket betyder att all musik som kombinerar dessa två toner är ospelbar i denna inställning. Ett mycket out-of-tune-intervall som det här är känt som ett vargintervall . När det gäller Pythagoras tuning är alla femtedelarna 701,96 cent breda, i det exakta förhållandet 3: 2, förutom vargfemte, som bara är 678,49 cent bred, nästan en fjärdedel av en halvton plattare.

Om tonerna G ♯ och E ♭ behöver klingas ihop kan vargfemtans position ändras. Till exempel skulle en C -baserad Pythagoras tuning producera en stapel med femtedelar som löper från D ♭ till F ♯ , vilket gör F ♯ -D ♭ till vargintervallet. Det kommer dock alltid att finnas en vargfemte i Pythagoras tuning, vilket gör det omöjligt att spela i alla nycklar i melodi.

Intervallstorlek

Tabellen ovan visar bara intervaller från D. Intervaller kan dock bildas genom att utgå från var och en av de ovan angivna 12 noterna. Således kan tolv intervall definieras för varje intervalltyp (tolv unisons, tolv halvtoner , tolv intervall bestående av 2 halvtoner, tolv intervaller sammansatta av 3 halvtoner, etc.).

Frekvensförhållande för de 144 intervallen vid D-baserad Pythagorean-tuning. Intervallnamn ges i sin förkortade form. Rena intervall visas med fetstil . Vargintervaller markeras med rött. Siffror större än 999 visas som 2 eller 3.

Ungefärlig storlek i cent av de 144 intervallen i D-baserad Pythagorean-tuning. Intervallnamn ges i sin förkortade form. Rena intervall visas med fetstil . Vargintervaller markeras med rött.

Som förklarats ovan har en av de tolv femtedelarna (vargfemte) en annan storlek med avseende på de andra elva. Av en liknande anledning har var och en av de andra intervalltyperna, förutom unisonerna och oktaverna, två olika storlekar i Pythagoras tuning. Detta är det pris som betalas för att söka just intonation . Tabellerna till höger och nedan visar deras frekvensförhållanden och deras ungefärliga storlekar i cent. Intervallnamn ges i sin standardförkortade form. Till exempel, storleken av intervallet från D till A, som är en ren kvint ( P5 ), kan hittas i den sjunde kolumnen i raden märkt D . Strikt (eller rena) intervall visas med fetstil . Vargintervaller markeras med rött.

Anledningen till att intervallstorleken varierar i hela skalan är att delarna som bildar skalan är ojämnt fördelade. De frekvenser som definieras av konstruktion för de tolv tonerna bestämmer nämligen två olika halvtoner (dvs. intervall mellan angränsande toner):

1. Den mindre sekunden ( m2 ), även kallad diatonisk halvton, med storlek (t.ex. mellan D och E ♭ )
   ${\ displaystyle S_ {1} = {256 \ över 243} \ ca 90.225 \ {\ hbox {cent}}}$
   
2. Den förstärkta unisonen ( A1 ), även kallad kromatisk halvton, med storlek (t.ex. mellan E ♭ och E)
   ${\ displaystyle S_ {2} = {3^{7} \ över 2^{11}} = {2187 \ över 2048} \ ca 113.685 \ {\ hbox {cent}}}$
   

Omvänt, i en lika härdad kromatisk skala, är de tolv ställningarna per definition lika fördelade, alla halvtoner har en storlek på exakt

${\ displaystyle S_ {E} = {\ sqrt [{12}] {2}} = 100.000 \ {\ hbox {cent}}.}$

Som en konsekvens har alla intervall av en given typ samma storlek (t.ex. har alla större tredjedelar samma storlek, alla femtedelar har samma storlek, etc.). Det betalade priset, i det här fallet, är att ingen av dem är rätt inställd och perfekt konsonant, förutom naturligtvis för unison och oktav.

Per definition har Pythagoras tuning 11 perfekta femtedelar ( P5 i tabellen) en storlek på cirka 701,955 cent (700+ε cent, där ε ≈ 1,955 cent). Eftersom den genomsnittliga storleken på de 12 femtedelarna måste motsvara exakt 700 cent (som i lika temperament), måste den andra ha en storlek på 700−11ε cent, vilket är cirka 678.495 cent (vargfemte). Lägg märke till att, som visas i tabellen, det senare intervallet, även om det är harmoniskt ekvivalent med en femtedel, mer korrekt kallas en minskad sjätte ( d6 ). Liknande,

• 9 mindre tredjedelar ( m3 ) är ≈ 294,135 cent (300−3ε), tre förstorade sekunder ( A2 ) är ≈ 317,595 cent (300+9ε), och deras genomsnitt är 300 cent;
• 8 stora tredjedelar ( M3 ) är ≈ 407.820 cent (400+4ε), 4 minskade fjärdedelar ( d4 ) är ≈ 384.360 cent (400−8ε), och deras genomsnitt är 400 cent;
• 7 diatoniska halvtoner ( m2 ) är ≈ 90,225 cent (100−5ε), 5 kromatiska halvtoner ( A1 ) är ≈ 113,685 cent (100+7ε), och deras genomsnitt är 100 cent.

Kort sagt observeras liknande skillnader i bredd för alla intervalltyper, förutom unisoner och oktaver, och de är alla multiplar av ε, skillnaden mellan den pythagoranska femtan och den genomsnittliga femman.

Lägg märke till att varje utökat eller minskat intervall som en uppenbar konsekvens är exakt 12ε (≈ 23.460) cent smalare eller bredare än dess enharmoniska motsvarighet. Till exempel är d6 (eller vargfemte) 12ε cent smalare än varje P5, och varje A2 är 12ε cent bredare än varje m3. Detta intervall med storlek 12ε är känt som ett pythagoraskt komma , exakt lika med motsatsen till en minskad sekund (≈ −23.460 cent). Detta innebär att ε också kan definieras som en tolfte del av ett pythagoraskt komma.

Pytagoreiska intervaller

Fyra av ovannämnda intervall tar ett specifikt namn vid Pythagoras tuning. I följande tabell tillhandahålls dessa specifika namn, tillsammans med alternativa namn som används generiskt för några andra intervall. Lägg märke till att Pythagoras komma inte sammanfaller med den förminskade sekunden, eftersom dess storlek (524288: 531441) är ömsesidig för den Pythagoras minskade andra (531441: 524288). Även diton och halvton är specifika för Pythagoras tuning, medan ton och triton används generiskt för alla stämningssystem. Trots sitt namn kan en halvton (3 halvtoner eller cirka 300 cent) knappast ses som hälften av en diton (4 halvtoner eller cirka 400 cent). Alla intervall med prefix sesqui- är rätt inställda, och deras frekvensförhållande , som visas i tabellen, är ett superpartikulärt tal (eller epimoriskt förhållande). Detsamma gäller oktaven.

Antal halvtoner	Generiska namn				Specifika namn
	Kvalitet och antal		Andra namnkonventioner		Pythagoras tuning (tonhöjdsförhållande namn)	5-gränssinställning	1/4-komma menat
	Full	Kort
0			kommatecken		Pythagoras kommatecken  (524288: 531441)		diesis (128: 125)
0	minskade tvåa	d2			(531441: 524288)
1	mindre sekund	m2	halvton, halvton, halvsteg	diatonisk halvton, mindre halvton	limma (λείμμα) (256: 243)
1	förstärkt unison	A1		kromatisk halvton, stor halvton	apotome (αποτομή) (2187: 2048)
2	större sekund	M2	ton, hel ton, hela steg		epogdoön (επόγδοον), sesquioctavum (9: 8)
3	mindre trea	m3			halvton (32:27)	sesquiquintum (6: 5)
4	större tredjedel	M3			diton (δίτονον) (81:64)	sesquiquartum (5: 4)
5	perfekt fjärde	P4	diatessaron (διατεσσάρων)		epitrit (επίτριτος), sesquitertium (4: 3)
6	minskade femma	d5
6	förstärkt fjärde	A4			triton (τρίτονον) (729: 512)
7	perfekt femma	P5	diapente (διαπέντε)		hemiolion (ημιόλιον), sesquialterum (3: 2)
12	(perfekt) oktav	P8	diapason (διαπασών)		duplex (2: 1)

Historia och användning

På grund av vargintervallet när man använder ett 12-tonigt pytagoranskt temperament, används denna tuning sällan idag, även om det anses ha varit utbrett. I musik som inte ändrar nyckel särskilt ofta eller som inte är särskilt harmoniskt äventyrligt är det osannolikt att vargintervallet blir ett problem, eftersom inte alla möjliga femtedelar kommer att höras i sådana stycken. I utökad Pythagoras tuning finns det inget vargintervall, alla perfekta femtedelar är exakt 3: 2.

Eftersom de flesta femtedelar i 12-ton Pythagoras temperament är i det enkla förhållandet 3: 2, låter de väldigt "släta" och konsonanter. Tredjedelen däremot, varav de flesta är i de relativt komplexa förhållandena 81:64 (för större tredjedelar) och 32:27 (för mindre tredjedelar), låter mindre smidigt beroende på instrumentet.

Från omkring 1510 och framåt, eftersom tredjedelar kom att behandlas som konsonanser, menade ett temperament , och särskilt kvart-komma-mellon , som stämmer tredjedelar till det relativt enkla förhållandet 5: 4 , blev det mest populära systemet för att stämma tangentbord. Samtidigt presenterades syntonisk-diatonisk just intonation först av Ramos och sedan av Zarlino som den normala stämningen för sångare.

Meanone presenterade dock sina egna harmoniska utmaningar. Dess vargintervaller visade sig vara ännu sämre än de för Pythagoras tuning (så mycket att det ofta krävde 19 nycklar till oktaven i motsats till de 12 i Pythagoras tuning). Som en konsekvens var meantone inte lämplig för all musik. Från omkring 1700 -talet, när önskan växte efter att instrument skulle byta nyckel, och därför att undvika ett vargintervall, ledde detta till en utbredd användning av brunnstemperatur och så småningom lika temperament .

Pythagoras temperament kan fortfarande höras i vissa delar av modern klassisk musik från sångare och från instrument utan fast stämning, till exempel fiolfamiljen . När en artist har en ensampassad passage baserad på skalor, tenderar de att använda Pythagoras intonation eftersom det kommer att få skalan att låta bäst i harmoni och sedan återgå till andra temperament för andra passager (bara intonation för ackord- eller arpeggierade figurer och lika temperament när tillsammans med piano eller orkester). Detta kan ses i den första stapeln i Bachs Sonata nr 1 för ackompanjerad fiol, där b-plattan i öppningsackordet spelas naturligt i just intonation och låter plattare än den efterföljande b-flat som visas i en fallande skala och är naturligt pythagoreanska. Sådana förändringar noteras aldrig uttryckligen och är knappt märkbara för publiken, bara låter "i samklang".

Diskografi

• Bragod är en duo som ger historiskt informerade framträdanden av medeltida walisisk musik med hjälp av crwth och sexsträngad lyr med hjälp av pythagoras tuning
• Gothic Voices - Musik för Lion-Hearted kung (Hyperion, CDA66336, 1989), regisserad av Christopher Page (Leech-Wilkinson)
• Lou Harrison framförd av John Schneider och Cal Arts Percussion Ensemble dirigerad av John Bergamo - Guitar & Percussion (Etceter Records, KTC1071, 1990): Suite No. 1 for guitar and percussion and Plaint & Variations on "Song of Palestine"

Se även

• 53 lika temperament , en nära Pythagoras stämning
• Enharmonisk skala
• Lista över mellandelsintervaller
• Lista över musikaliska intervaller
• Lista över pitchintervaller
• Vanligt temperament
• Shí-èr-lǜ
• Musikaliskt temperament
• Timaeus (dialog) , där Platon diskuterar Pythagoras tuning
• Heltonskala

Referenser

Citat

Referenser

• Daniel Leech-Wilkinson (1997), "The good, the bad and the boring", Companion to Medieval & Renaissance Music . Oxford University Press. ISBN  0-19-816540-4 .

externa länkar

• "En pytagoransk stämning av diatonisk skala" , med ljudprover.
• "Pythagoras tuning och medeltida polyfoni" , av Margo Schulter.
• Skapa en Pythagorean Tuning i ett kalkylblad , video med ljudprover.