Ljudets hastighet - Speed of sound

En F/A-18 Hornet som visar sällsynt lokal kondens i fuktig luft när du reser nära ljudets hastighet

Ljudets hastighet är den sträcka som färdas per tidsenhet av en ljudvåg när den sprider sig genom ett elastiskt medium. Vid 20 ° C (68 ° F) är ljudets hastighet i luften cirka 343 meter per sekund (1 235 km/h; 1 125 ft/s; 767 mph; 667 kn) eller en kilometer på 2,9 s eller en mil i 4,7 s . Det beror starkt på temperatur såväl som på vilket medium en ljudvåg sprider sig genom. Vid 0 ° C (32 ° F) är ljudets hastighet cirka 331 meter per sekund (1 192 km/h, 741 mph.)

Ljudets hastighet i en idealgas beror endast på dess temperatur och sammansättning. Hastigheten har ett svagt beroende av frekvens och tryck i vanlig luft, vilket avviker något från idealiskt beteende.

I vardagligt tal, ljudhastigheten avser hastigheten på ljudvågor i luft . Ljudets hastighet varierar dock från ämne till ämne: vanligtvis rör sig ljudet långsamt i gaser , snabbare i vätskor och snabbast i fasta ämnen . Till exempel, medan ljudet rör sig med 343 m/s i luft, rör det sig med 1 481 m/s i vatten (nästan 4,3 gånger så snabbt) och med 5 120 m/s i järn (nästan 15 gånger så snabbt). I ett exceptionellt stelt material som diamant, rör sig ljudet med 12 000 meter per sekund (39 000 fot/s), - cirka 35 gånger sin hastighet i luft och ungefär det snabbaste det kan färdas under normala förhållanden.

Ljudvågor i fasta ämnen består av kompressionsvågor (precis som i gaser och vätskor) och en annan typ av ljudvåg som kallas en skjuvvåg , som bara förekommer i fasta ämnen. Skjuvvågor i fasta ämnen färdas vanligtvis med olika hastigheter än kompressionsvågor, vilket visas i seismologi . Kompressionsvågornas hastighet i fasta ämnen bestäms av mediets kompressibilitet , skjuvmodul och densitet. Skjuvvågornas hastighet bestäms endast av det fasta materialets skjuvmodul och densitet.

I vätskedynamik används ljudets hastighet i ett vätskemedium (gas eller vätska) som ett relativt mått för hastigheten hos ett föremål som rör sig genom mediet. Förhållandet mellan ett objekts hastighet och ljudets hastighet (i samma medium) kallas föremålets Mach -nummer . Objekt som rör sig med högre hastigheter än ljudets hastighet ( Mach 1 ) sägs färdas med överljudshastigheter .

Historia

Sir Isaac Newtons 1687 Principia inkluderar en beräkning av ljudets hastighet i luft som 299 m/s. Detta är för lågt med cirka 15%. Skillnaden beror främst på att försumma den (då okända) effekten av snabbt fluktuerande temperatur i en ljudvåg (i moderna termer är ljudvågskomprimering och expansion av luft en adiabatisk process , inte en isotermisk process ). Detta fel rättades senare av Laplace .

Under 1600 -talet gjordes flera försök att mäta ljudets hastighet exakt, inklusive försök av Marin Mersenne 1630 (1 380 parisiska fot per sekund), Pierre Gassendi 1635 (1 473 parisiska fot per sekund) och Robert Boyle (1 125 parisiska fot per sekund) andra). År 1709 publicerade pastor William Derham , rektor i Upminster, ett mer exakt mått på ljudets hastighet, 1 072 parisiska fot per sekund. (Den parisiska foten var 325 mm. Detta är längre än standard "internationell fot" i vanlig användning idag, som 1959 officiellt definierades som 304,8 mm, vilket gör ljudets hastighet vid 20 ° C (68 ° F) 1055 parisiska fötter per sekund).

Derham använde ett teleskop från tornet i kyrkan St Laurence, Upminster för att observera blixt från ett avlägset hagelgevär som avlossades, och mätte sedan tiden tills han hörde skottlossningen med en halv sekunders pendel. Mätningar gjordes av skott från ett antal lokala landmärken, inklusive North Ockendon -kyrkan . Avståndet var känt genom triangulering , och därmed beräknades hastigheten som ljudet hade rest.

Grundläggande koncept

Överföringen av ljud kan illustreras med hjälp av en modell som består av en uppsättning sfäriska föremål som är sammankopplade med fjädrar.

I reella materiella termer representerar sfärerna materialets molekyler och fjädrarna representerar bindningarna mellan dem. Ljud passerar genom systemet genom att komprimera och expandera fjädrarna och överföra den akustiska energin till närliggande sfärer. Detta hjälper till att överföra energin i tur och ordning till den närliggande sfärens fjädrar (bindningar) och så vidare.

Ljudets hastighet genom modellen beror på fjädrarnas styvhet /stelhet och sfärernas massa. Så länge avståndet mellan sfärerna förblir konstant, överför styvare fjädrar/bindningar energi snabbare, medan större sfärer överför energin långsammare.

I en verklig material, är fjädrarnas styvhet känd som " elasticitetsmodul ", och mass motsvarar materialets densitet . Med tanke på att allt annat är lika ( ceteris paribus ) kommer ljudet att gå långsammare i svampiga material och snabbare i styvare. Effekter som dispersion och reflektion kan också förstås med denna modell.

Till exempel kommer ljudet att färdas 1,59 gånger snabbare i nickel än i brons, på grund av den större styvheten hos nickel vid ungefär samma densitet. På samma sätt färdas ljudet cirka 1,41 gånger snabbare i lätt vätgas ( protium ) än i tungt väte ( deuterium ) gas, eftersom deuterium har liknande egenskaper men dubbelt så mycket densitet. Samtidigt kommer ljudet av "kompressionstyp" att färdas snabbare i fasta ämnen än i vätskor, och snabbare i vätskor än i gaser, eftersom de fasta ämnena är svårare att komprimera än vätskor, medan vätskor i sin tur är svårare att komprimera än gaser.

Vissa läroböcker säger felaktigt att ljudets hastighet ökar med densiteten. Denna uppfattning illustreras genom att presentera data för tre material, såsom luft, vatten och stål; de har var och en mycket olika komprimerbarhet, vilket mer än kompenserar för densitetsskillnaderna. Ett illustrativt exempel på de två effekterna är att ljudet bara rör sig 4,3 gånger snabbare i vatten än luft, trots enorma skillnader i komprimerbarhet för de två medierna. Anledningen är att den större densiteten av vatten, som arbetar för att bromsa ljud i vatten i förhållande till luft, nästan kompenserar för komprimerbarhetsskillnaderna i de två medierna.

Ett praktiskt exempel kan observeras i Edinburgh när "One o'Clock Gun" avfyras i den östra änden av Edinburgh Castle. Stående vid basen av den västra änden av Castle Rock kan ljudet av pistolen höras genom berget, något innan det anländer genom flygvägen, delvis försenat av den något längre rutten. Det är särskilt effektivt om en salut med flera vapen som till exempel "Drottningens födelsedag" avfyras.

Kompression och skjuvvågor

Tryckpuls eller våg av kompressionstyp ( längsgående våg ) begränsad till ett plan. Detta är den enda typen av ljudvåg som rör sig i vätskor (gaser och vätskor). En tryckvåg kan också färdas i fasta ämnen, tillsammans med andra typer av vågor ( tvärgående vågor , se nedan)

Tvärgående våg som påverkar atomer begränsades initialt till ett plan. Denna ytterligare typ av ljudvåg (ytterligare typ av elastisk våg) färdas endast i fasta ämnen, eftersom den kräver en skjuvningsrörelse i sidled som stöds av närvaron av elasticitet i det fasta ämnet. Skärrörelsen i sidled kan ske i vilken riktning som helst som är i rät vinkel mot vågens färdriktning (endast en skjuvriktning visas här, i rät vinkel mot planet). Vidare kan den rätvinkliga skjuvriktningen förändras över tid och avstånd, vilket resulterar i olika typer av polarisering av skjuvvågor

I en gas eller vätska består ljud av kompressionsvågor. I fasta ämnen förökar sig vågor som två olika typer. En längsgående våg är associerad med kompression och dekompression i färdriktningen, och är samma process i gaser och vätskor, med en analog kompressionstypsvåg i fasta ämnen. Endast kompressionsvågor stöds i gaser och vätskor. En ytterligare typ av våg, den tvärgående vågen , även kallad en skjuvvåg , förekommer endast i fasta ämnen eftersom endast fasta ämnen stöder elastiska deformationer. Det beror på elastisk deformation av mediet vinkelrätt mot vågens riktning; skjuvdeformationsriktningen kallas " polarisering " av denna typ av våg. I allmänhet förekommer tvärgående vågor som ett par ortogonala polarisationer.

Dessa olika vågor (kompressionsvågor och de olika polariseringarna av skjuvvågor) kan ha olika hastigheter vid samma frekvens. Därför kommer de till en observatör vid olika tidpunkter, ett extremt exempel är en jordbävning , där skarpa kompressionsvågor anländer först och gungande tvärgående vågor sekunder senare.

Hastigheten för en kompressionsvåg i en vätska bestäms av mediets kompressibilitet och densitet . I fasta ämnen är kompressionsvågorna analoga med de i vätskor, beroende på kompressibilitet och densitet, men med den ytterligare faktorn för skjuvmodul som påverkar kompressionsvågor på grund av elastiska energier utanför axeln som kan påverka effektiv spänning och avslappning i en kompression . Skjuvvågornas hastighet, som endast kan förekomma i fasta ämnen, bestäms helt enkelt av det fasta materialets skjuvmodul och densitet.

Ekvationer

Ljudets hastighet i matematisk notation representeras konventionellt av c , från latinska celeritas som betyder "hastighet".

För vätskor i allmänhet ges ljudets hastighet c av Newton – Laplace -ekvationen:

${\ displaystyle c = {\ sqrt {\ frac {K_ {s}} {\ rho}}},}$

var

• K _s är en styvhetskoefficient, den isentropiska bulkmodulen (eller modulen för bulkelasticitet för gaser);
• ${\ displaystyle \ rho}$är densiteten .

Således ökar ljudets hastighet med styvheten (motståndet hos en elastisk kropp mot deformation av en applicerad kraft) av materialet och minskar med en ökning av densiteten. För ideala gaser är bulkmodulen K helt enkelt gastrycket multiplicerat med det dimensionslösa adiabatiska indexet , vilket är cirka 1,4 för luft under normala tryck- och temperaturförhållanden.

För allmänna statliga ekvationer , om klassisk mekanik används, kan ljudets hastighet c härledas enligt följande:

Tänk på ljudvågen som sprider sig med hastighet genom ett rör i linje med axeln och med en tvärsnittsarea på . I tidsintervallet rör det sig längd . I stationärt tillstånd , den massflödeshastigheten måste vara samma vid de två ändarna av röret, därmed massflödet . Per Newtons andra lag , den tryck lutning kraften ger acceleration: ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle dt}$${\ displaystyle dx = vdt}$ ${\ displaystyle {\ dot {m}} = \ rho vA}$ ${\ displaystyle j = \ rho v = const. \, \ rightarrow vd \ rho =-\ rho dv}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dv} {dt}} & =-{\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {dP} {dx}} \\\ högerpil dP & = ( -\ rho dv) {\ frac {dx} {dt}} = (vd \ rho) v \\\ högerpil v^{2} & \ equiv c^{2} = {\ frac {dP} {d \ rho }} \ end {align}}}$

Och därför:

${\ displaystyle c = {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ partiell P} {\ partiell \ rho}} \ höger) _ {s}}},}$

var

• P är trycket;
• ${\ displaystyle \ rho}$är densiteten och derivatet tas isentropiskt, det vill säga vid konstant entropi s . Detta beror på att en ljudvåg färdas så snabbt att dess förökning kan approximeras som en adiabatisk process .

Om relativistiska effekter är viktiga beräknas ljudets hastighet utifrån de relativistiska Euler -ekvationerna .

I ett icke-spridande medium är ljudets hastighet oberoende av ljudfrekvensen , så energitransportens hastigheter och ljudutbredning är desamma för alla frekvenser. Luft, en blandning av syre och kväve, utgör ett icke-dispergerande medium. Luft innehåller emellertid en liten mängd CO _2, som är ett dispergerande medium, och orsakar spridning till luft vid ultraljudsfrekvenser ( > 28 kHz ).

I ett dispersivt medium är ljudets hastighet en funktion av ljudfrekvensen, genom dispersionsrelationen . Varje frekvenskomponent förökar sig med sin egen hastighet, kallad fashastighet , medan störningens energi förökar sig med grupphastigheten . Samma fenomen inträffar med ljusvågor; se optisk dispersion för en beskrivning.

Beroende på mediets egenskaper

Ljudets hastighet är variabel och beror på egenskaperna hos ämnet genom vilket vågen färdas. I fasta ämnen beror hastigheten på tvärgående (eller skjuvnings) vågor på skjuvdeformationen under skjuvspänning (kallad skjuvmodul ) och mediets densitet. Längsgående (eller kompression) vågor i fasta ämnen beror på samma två faktorer med tillägg av ett beroende av komprimerbarhet .

I vätskor är endast mediumets kompressibilitet och densitet de viktiga faktorerna, eftersom vätskor inte överför skjuvspänningar. I heterogena vätskor, såsom en vätska fylld med gasbubblor, påverkar vätskans densitet och gasens kompressibilitet ljudets hastighet på ett additivt sätt, vilket visas i varm chokladeffekten .

I gaser är adiabatisk kompressibilitet direkt relaterat till tryck genom värmekapacitetsförhållandet (adiabatiskt index), medan tryck och densitet är omvänt relaterade till temperaturen och molekylvikten, vilket gör att endast de helt oberoende egenskaperna hos temperatur och molekylstruktur är viktiga (värmekapacitet förhållandet kan bestämmas av temperatur och molekylstruktur, men enkel molekylvikt är inte tillräcklig för att bestämma det).

Ljud sprider sig snabbare i lågmolekylära gaser som helium än i tyngre gaser som xenon . För monatomiska gaser är ljudets hastighet cirka 75% av medelhastigheten som atomerna rör sig i den gasen.

För en given idealgas är molekylkompositionen fixerad, och därför beror ljudets hastighet endast på dess temperatur . Vid en konstant temperatur, gasttrycket har ingen effekt på ljudhastigheten, eftersom densiteten kommer att öka, och eftersom tryck och densitet (även proportionell mot tryck) har lika men motsatta effekter på ljudhastigheten, och de två bidragen avbryta ut exakt. På ett liknande sätt beror kompressionsvågor i fasta ämnen både på komprimerbarhet och densitet - precis som i vätskor - men i gaser bidrar densiteten till kompressibiliteten på ett sådant sätt att en del av varje attribut påverkar faktorer och lämnar bara ett beroende av temperaturen, molekylvikt och värmekapacitetsförhållande som oberoende kan härledas från temperatur och molekylär sammansättning (se härledningar nedan). Således, för en enda given gas (förutsatt att molekylvikten inte ändras) och över ett litet temperaturintervall (för vilket värmekapaciteten är relativt konstant) blir ljudets hastighet beroende av endast gasens temperatur.

I en icke-ideal gasbeteende, för vilken Van der Waals gasekvation skulle användas, är proportionaliteten inte exakt och det finns ett litet beroende av ljudhastighet på gastrycket.

Fuktighet har en liten men mätbar effekt på ljudhastigheten (vilket får den att öka med cirka 0,1% -0,6%), eftersom syre- och kvävemolekyler i luften ersätts med lättare molekyler av vatten . Detta är en enkel blandningseffekt.

Höjdvariationer och konsekvenser för atmosfärisk akustik

Densitet och tryck minskar smidigt med höjd, men temperaturen (röd) gör det inte. Ljudets hastighet (blå) beror endast på den komplicerade temperaturvariationen på höjd och kan beräknas utifrån det eftersom isolerad densitet och tryckeffekter på ljudets hastighet avbryter varandra. Ljudets hastighet ökar med höjden i två områden i stratosfären och termosfären på grund av värmeeffekter i dessa regioner.

I jordens atmosfär är temperaturen den viktigaste faktorn som påverkar ljudets hastighet . För en given idealgas med konstant värmekapacitet och sammansättning är ljudhastigheten enbart beroende av temperaturen; se detaljer nedan. I ett så idealiskt fall avbryter effekterna av minskad densitet och minskat höjdtryck varandra, med undantag för temperatureffekten.

Eftersom temperaturen (och därmed ljudets hastighet) minskar med ökande höjd upp till 11 km , bryts ljudet uppåt, bort från lyssnare på marken, vilket skapar en akustisk skugga på ett avstånd från källan. Minskningen av ljudets hastighet med höjd kallas en negativ ljudhastighetsgradient .

Det finns dock variationer i denna trend över 11 km . I synnerhet i stratosfären över cirka 20 km ökar ljudets hastighet med höjden på grund av en temperaturökning från uppvärmning i ozonskiktet . Detta ger en positiv ljudhastighet i denna region. Ännu en region med positiv gradient förekommer på mycket höga höjder, i den lämpligt namngivna termosfären över 90 km .

Praktisk formel för torr luft

Approximation av ljudets hastighet i torr luft baserat på värmekapacitetsförhållandet (i grönt) mot den stympade Taylor -expansionen (i rött).

Den ungefärliga ljudhastigheten i torr (0% luftfuktighet) luft, i meter per sekund, vid temperaturer nära 0 ° C , kan beräknas från

${\ displaystyle c _ {\ mathrm {air}} = (331,3+0,606 \ cdot \ vartheta) ~~~ \ mathrm {m/s},}$

var är temperaturen i grader Celsius (° C). ${\ displaystyle \ vartheta}$

Denna ekvation härleds från de två första termerna i Taylor -expansionen av följande mer exakta ekvation:

${\ displaystyle c _ {\ mathrm {air}} = 331,3 ~ {\ sqrt {1+{\ frac {\ vartheta} {273.15}}}} ~~~~ \ mathrm {m/s}.}$

Att dividera den första delen och multiplicera den andra delen på höger sida med √ 273,15 ger exakt likvärdig form

${\ displaystyle c _ {\ mathrm {air}} = 20.05 ~ {\ sqrt {\ vartheta +273.15}} ~~~~ \ mathrm {m/s}.}$

som också kan skrivas som

${\ displaystyle c _ {\ mathrm {air}} = 20.05 ~ {\ sqrt {T}} ~~~~ \ mathrm {m/s}}$

där T betecknar den termodynamiska temperaturen .

Värdet på 331,3 m/s , som representerar hastigheten vid 0 ° C (eller 273,15 K ), är baserat på teoretiska (och några uppmätta) värden för värmekapacitetsförhållandet , γ , samt på att vid 1 atm verklig luft beskrivs mycket väl av den idealiska gasnäringen. Vanligt förekommande värden för ljudets hastighet vid 0 ° C kan variera från 331,2 till 331,6 på grund av de antaganden som görs när det beräknas. Om idealgas γ antas vara 7/5 = 1,4 exakt beräknas 0 ° C -hastigheten (se avsnitt nedan) till 331,3 m/s , koefficienten som används ovan.

Denna ekvation är korrekt för ett mycket bredare temperaturintervall, men beror fortfarande på att approximationen av värmekapacitetsförhållandet är oberoende av temperaturen och kommer därför att misslyckas, särskilt vid högre temperaturer. Det ger goda förutsägelser vid relativt torra, kalla, lågtrycksförhållanden, till exempel jordens stratosfär . Ekvationen misslyckas vid extremt låga tryck och korta våglängder, på grund av beroende av antagandet att ljudets våglängd i gasen är mycket längre än den genomsnittliga genomsnittliga fria vägen mellan gasmolekylkollisioner. En härledning av dessa ekvationer kommer att ges i följande avsnitt.

Ett diagram som jämför resultaten från de två ekvationerna är till höger, med hjälp av något annorlunda värde på 331,5 m / s för ljudets hastighet vid 0 ° C .

Detaljer

Ljudets hastighet i ideala gaser och luft

För en idealgas ges K ( bulkmodulen i ekvationer ovan, ekvivalent med C, styvhetskoefficienten i fasta ämnen) med

${\ displaystyle K = \ gamma \ cdot p,}$

Således, från Newton – Laplace -ekvationen ovan, ges ljudets hastighet i en idealgas av

${\ displaystyle c = {\ sqrt {\ gamma \ cdot {p \ over \ rho}}},}$

var

• γ är det adiabatiska indexet, även känt som den isentropiska expansionsfaktorn . Det är förhållandet mellan den specifika värmen för en gas vid konstant tryck till den för en gas vid konstant volym ( ) och uppstår eftersom en klassisk ljudvåg inducerar en adiabatisk kompression, där värmen i kompressionen inte har tillräckligt med tid att fly tryckpulsen, och bidrar därmed till det tryck som induceras av kompressionen;${\ displaystyle C_ {p}/C_ {v}}$
• p är trycket ;
• ρ är densiteten .

Genom att använda den ideala gaslagen för att ersätta p med nRT / V och ersätta ρ med nM / V blir ekvationen för en idealgas

${\ displaystyle c _ {\ mathrm {ideal}} = {\ sqrt {\ gamma \ cdot {p \ over \ rho}}} = {\ sqrt {\ gamma \ cdot R \ cdot T \ över M}} = {\ sqrt {\ gamma \ cdot k \ cdot T \ över m}},}$

var

• c _ideal är ljudets hastighet i en ideal gas ;
• R (ungefär8.314 463 J · K ⁻¹ · mol ⁻¹ ) är molgaskonstanten (universell gaskonstant);
• k är Boltzmann -konstanten ;
• γ (gamma) är det adiabatiska indexet . Vid rumstemperatur, där termisk energi är helt uppdelad i rotation (rotationer är helt upphetsade) men kvanteffekter förhindrar excitation av vibrationslägen, är värdet 7/5 = 1.400 för diatomiska molekyler, enligt kinetisk teori. Gamma mäts faktiskt experimentellt över ett intervall från 1.3991 till 1.403 vid 0 ° C , för luft. Gamma är exakt 5/3 = 1,6667 för monatomiska gaser som ädelgaser och det är 8/6 = 1,3333 för triatomiska molekylgaser som, liksom H2O, inte är ko-linjära (en ko-linjär triatomisk gas som CO2 motsvarar en kiselgas för våra ändamål här);
• T är den absoluta temperaturen;
• M är gasens molmassa. Den genomsnittliga molmassan för torr luft är cirka 0,028,964,5 kg/mol ;
• n är antalet mol;
• m är massan av en enda molekyl.

Denna ekvation gäller endast när ljudvågen är en liten störning på omgivningsförhållandet och vissa andra noterade villkor är uppfyllda, enligt nedan. Beräknade värden för c _luft har visat sig variera något från experimentellt bestämda värden.

Newton ansåg berömt ljudets hastighet före det mesta av utvecklingen av termodynamik och använde så felaktigt isotermiska beräkningar istället för adiabatiska . Hans resultat saknade faktorn γ men var annars korrekt.

Numerisk substitution av ovanstående värden ger den ideala gasnärmningen av ljudhastigheten för gaser, vilket är exakt vid relativt låga gastryck och -densiteter (för luft inkluderar detta standard jordens havsnivåförhållanden). För diatomiska gaser kräver användningen av γ = 1,4000 också att gasen existerar i ett temperaturintervall som är tillräckligt högt för att rotationsvärmekapaciteten är fullständigt exciterad (dvs. molekylär rotation används fullt ut som en värmeenergi "partition" eller reservoar); men samtidigt måste temperaturen vara tillräckligt låg för att molekylära vibrationslägen inte ska bidra med någon värmekapacitet (dvs obetydlig värme går in i vibrationer, eftersom alla vibrationskvantlägen över minimienergiläget har energier för höga för att fyllas av en betydande antal molekyler vid denna temperatur). För luft uppfylls dessa villkor vid rumstemperatur, och även temperaturer avsevärt under rumstemperatur (se tabeller nedan). Se avsnittet om gaser i specifik värmekapacitet för en mer fullständig diskussion om detta fenomen.

För luft introducerar vi stenografin

${\ displaystyle R _ {*} = R/M _ {\ mathrm {air}}.}$

Dessutom växlar vi till Celsius -temperaturen = T - 273,15 , vilket är användbart för att beräkna lufthastigheten i området nära 0 ° C (cirka 273 kelvin). För torr luft, ${\ displaystyle \ vartheta}$

${\ displaystyle c _ {\ mathrm {air}} = {\ sqrt {\ gamma \ cdot R _ {*} \ cdot T}} = {\ sqrt {\ gamma \ cdot R _ {*} \ cdot (\ vartheta +273,15) }},}$

${\ displaystyle c _ {\ mathrm {air}} = {\ sqrt {\ gamma \ cdot R _ {*} \ cdot 273.15}} \ cdot {\ sqrt {1+{\ frac {\ vartheta} {273.15}}}}} ,}$

där (theta) är temperaturen i grader Celsius (° C). ${\ displaystyle \ vartheta}$

Ersätter numeriska värden

${\ displaystyle R = 8.314 \, 463 ~ \ mathrm {J/(mol \ cdot K)}}$

för det molära gaskonstanten i J / mol / Kelvin, och

${\ displaystyle M _ {\ mathrm {air}} = 0,028 \, 964 \, 5 ~ \ mathrm {kg/mol}}$

för den genomsnittliga molmassan av luft, i kg; och med hjälp av det ideala diatomiska gasvärdet γ = 1.4000 har vi

${\ displaystyle c _ {\ mathrm {air}} = 331,3 ~~ {\ sqrt {1+{\ frac {\ vartheta} {273.15}}}} ~~~ \ mathrm {m/s}.}$

Slutligen utvidgar Taylor den återstående kvadratroten i avkastningen ${\ displaystyle \ vartheta}$

${\ displaystyle c _ {\ mathrm {air}} = 331,3 ~ (1+{\ frac {\ vartheta} {2 \ cdot 273.15}}) ~~~ \ mathrm {m/s},}$

${\ displaystyle c _ {\ mathrm {air}} = (331,3+0,606 \ cdot \ vartheta) ~~~ \ mathrm {m/s}.}$

Ovanstående avledning inkluderar de två första ekvationerna i avsnittet "Praktisk formel för torr luft" ovan.

Effekter på grund av vindskjuvning

Ljudets hastighet varierar med temperaturen. Eftersom temperatur och ljudhastighet normalt minskar med ökande höjd, bryts ljudet uppåt, bort från lyssnare på marken, vilket skapar en akustisk skugga på ett avstånd från källan. Vindskjuvning av 4 m / (s-km) kan producera refraktion lika med en typisk temperatur annullationsantagandet av 7,5 ° C / km . Högre värden för vindgradient kommer att bryta ljudet nedåt mot ytan i riktningen mot vinden, vilket eliminerar den akustiska skuggan på medvinden. Detta kommer att öka hörbarheten för ljud i vinden. Denna motvindsbrytningseffekt uppstår eftersom det finns en vindgradient; ljudet bärs inte av vinden.

För ljudutbredning kan den exponentiella variationen av vindhastighet med höjd definieras enligt följande:

${\ displaystyle U (h) = U (0) h^{\ zeta},}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} H}} (h) = \ zeta {\ frac {U (h)} {h}},}$

var

• U ( h ) är vindens hastighet på höjd h ;
• ζ är den exponentiella koefficienten baserad på markytornas grovhet, typiskt mellan 0,08 och 0,52;
• d U /d H ( h ) är den förväntade vindgradienten på höjd h .

I det amerikanska inbördeskrigets slag 1862 vid Iuka , en akustisk skugga, som antas ha förstärkts av en nordostlig vind, höll två divisioner av fackliga soldater utanför striden, eftersom de inte kunde höra stridens ljud bara 10 km (sex miles) ) motvind.

Tabeller

I standardatmosfären :

• T ₀ är 273,15 K (= 0 ° C = 32 ° F ), vilket ger ett teoretiskt värde på 331,3 m/s (= 1086,9 ft/s = 1193 km/h = 741,1 mph = 644,0 kn ). Värden från 331,3 till 331,6 m/s kan dock hittas i referenslitteratur;
• T ₂₀ är 293,15 K (= 20 ° C = 68 ° F ), vilket ger ett värde på 343,2 m/s (= 1126,0 ft/s = 1236 km/h = 767,8 mph = 667,2 kn );
• T ₂₅ är 298,15 K (= 25 ° C = 77 ° F ), vilket ger ett värde på 346,1 m/s (= 1135,6 ft/s = 1246 km/h = 774,3 mph = 672,8 kn ).

I själva verket, förutsatt en idealisk gas , beror ljudets hastighet c endast på temperaturen, inte på trycket eller densiteten (eftersom dessa ändras i låssteg för en given temperatur och avbryts). Luft är nästan en idealisk gas. Luftens temperatur varierar med höjden, vilket ger följande variationer i ljudets hastighet med standardatmosfären - de faktiska förhållandena kan variera .

Med tanke på normala atmosfäriska förhållanden varierar temperaturen och därmed ljudets hastighet med höjden:

Effekt av frekvens och gassammansättning

Allmänna fysiska överväganden

Mediet i vilket en ljudvåg färdas svarar inte alltid adiabatiskt, och som ett resultat kan ljudets hastighet variera med frekvens.

Begränsningarna av begreppet ljudhastighet på grund av extrem dämpning är också oroande. Den dämpning som finns vid havsnivå för höga frekvenser gäller successivt lägre frekvenser när atmosfärstrycket minskar eller när den genomsnittliga fria vägen ökar. Av denna anledning förlorar begreppet ljudhastighet (förutom frekvenser som närmar sig noll) gradvis sitt tillämpningsområde på stora höjder. Standardekvationerna för ljudets hastighet gäller med rimlig noggrannhet endast i situationer där ljudvågans våglängd är betydligt längre än den genomsnittliga fria vägen för molekyler i en gas.

Gasens molekylära sammansättning bidrar både som molekylernas massa (M) och deras värmekapacitet, och så påverkar båda ljudets hastighet. I allmänhet har monatomiska gaser vid samma molekylmassa något högre ljudhastighet (över 9% högre) eftersom de har en högre y ( 5/3 = 1,66 ...) än diatomik gör ( 7/5 = 1,4 ). Således, vid samma molekylmassa, ökar ljudhastigheten för en monatomisk gas med en faktor av

${\ displaystyle {c _ {\ mathrm {gas, monatomic}} \ over c _ {\ mathrm {gas, diatomic}}} = {\ sqrt {{5/3} \ over {7/5}}} = {\ sqrt {25 \ över 21}} = 1.091 \ ldots}$

Detta ger 9% -skillnaden och skulle vara ett typiskt förhållande för ljudhastigheter vid rumstemperatur i helium kontra deuterium , var och en med en molekylvikt på 4. Ljud färdas snabbare i helium än deuterium eftersom adiabatisk kompression värmer helium mer sedan helium molekyler kan lagra värmeenergi från kompression endast i translation, men inte rotation. Således reser heliummolekyler (monatomiska molekyler) snabbare i en ljudvåg och överför ljud snabbare. (Ljud färdas med cirka 70% av den genomsnittliga molekylhastigheten i gaser; siffran är 75% i monatomiska gaser och 68% i diatomiska gaser).

Observera att vi i detta exempel har antagit att temperaturen är tillräckligt låg för att värmekapaciteten inte ska påverkas av molekylvibrationer (se värmekapacitet ). Emellertid orsakar vibrationslägen helt enkelt gammor som minskar mot 1, eftersom vibrationslägen i en polyatomisk gas ger gasen ytterligare sätt att lagra värme som inte påverkar temperaturen och därmed inte påverkar molekylhastighet och ljudhastighet. Således verkar effekten av högre temperaturer och vibrationsvärmekapacitet för att öka skillnaden mellan ljudets hastighet i monatomiska vs polyatomiska molekyler, med hastigheten kvar i monatomik.

Praktisk applicering på luft

Den absolut viktigaste faktorn som påverkar ljudets hastighet i luft är temperaturen. Hastigheten är proportionell mot kvadratroten av den absoluta temperaturen, vilket ger en ökning med cirka 0,6 m/s per grad Celsius. Av denna anledning ökar tonhöjden för ett musikaliskt blåsinstrument när temperaturen ökar.

Ljudets hastighet höjs av luftfuktigheten. Skillnaden mellan 0% och 100% luftfuktighet är cirka 1,5 m/s vid standardtryck och temperatur, men storleken på fuktighetseffekten ökar dramatiskt med temperaturen.

Beroendet av frekvens och tryck är normalt obetydligt i praktiska tillämpningar. I torr luft ökar ljudets hastighet med cirka 0,1 m/s när frekvensen stiger från 10 Hz till 100 Hz . För hörbara frekvenser över 100 Hz är den relativt konstant. Standardvärden för ljudets hastighet anges i gränsen för låga frekvenser, där våglängden är stor jämfört med den genomsnittliga fria vägen.

Som visas ovan är det ungefärliga värdet 1000/3 = 333,33 ... m/s exakt lite under 5 ° C och är en bra approximation för alla "vanliga" utomhustemperaturer (åtminstone i tempererade klimat), därav det vanliga tumregel för att avgöra hur långt blixtnedslag har slagit: räkna sekunderna från blixtens början till början av motsvarande åskvals och dela med 3: resultatet är avståndet i kilometer till närmaste punkt av blixtnedslaget .

Mach nummer

Mach -nummer, en användbar mängd inom aerodynamik, är förhållandet mellan lufthastighet och den lokala ljudhastigheten. På höjd, av förklarade skäl, är Mach -nummer en funktion av temperaturen.

Flygplanets flyginstrument fungerar dock med hjälp av tryckskillnad för att beräkna Mach -nummer, inte temperatur. Antagandet är att ett visst tryck representerar en viss höjd och därför en standardtemperatur. Flygplanets flyginstrument måste fungera på detta sätt eftersom stagnationstrycket som känns av ett Pitot -rör är beroende av höjd och hastighet.

Experimentella metoder

Det finns en rad olika metoder för mätning av ljud i luft.

Den tidigaste rimligt exakta uppskattningen av ljudets hastighet i luften gjordes av William Derham och erkändes av Isaac Newton . Derham hade ett teleskop högst upp på tornet i Church of St Laurence i Upminster , England. På en lugn dag skulle en synkroniserad fickur ges till en assistent som skulle skjuta ett hagelgevär vid en förutbestämd tid från en iögonfallande punkt några mil bort, tvärs över landsbygden. Detta kan bekräftas med teleskop. Han mätte sedan intervallet mellan att se vapenrök och ljudets ankomst med en halv sekunders pendel. Avståndet från var pistolen avlossades hittades genom triangulering, och enkel uppdelning (distans/tid) gav hastighet. Slutligen, genom att göra många observationer, med hjälp av en rad olika avstånd, kan felaktigheten i halvsekundens pendel beräknas i genomsnitt, vilket ger hans slutliga uppskattning av ljudets hastighet. Moderna stoppur gör att den här metoden kan användas idag på så korta avstånd som 200–400 meter och inte behöver något så högt som ett hagelgevär.

Timingmetoder för enkelskott

Det enklaste konceptet är mätningen med två mikrofoner och en snabbinspelningsenhet, till exempel ett digitalt lagringsutrymme. Denna metod använder följande idé.

Om en ljudkälla och två mikrofoner är ordnade i en rak linje, med ljudkällan i ena änden, kan följande mätas:

1. Avståndet mellan mikrofonerna ( x ), kallad mikrofonbas.
2. Ankomsttiden mellan signalerna (fördröjning) som når de olika mikrofonerna ( t ).

Sedan v = x / t .

Andra metoder

I dessa metoder, den tiden har mätningen ersatts av en mätning av inversen av tiden ( frekvens ).

Kundts rör är ett exempel på ett experiment som kan användas för att mäta ljudets hastighet i en liten volym. Den har fördelen av att kunna mäta ljudets hastighet i vilken gas som helst. Denna metod använder ett pulver för att göra noder och antinoder synliga för det mänskliga ögat. Detta är ett exempel på en kompakt experimentell installation.

En stämgaffel kan hållas nära mynningen på ett långt rör som doppar ner i en fat vatten . I detta system är det så att röret kan bringas till resonans om längden på luftpelaren i röret är lika med (1 + 2 n ) λ/4 där n är ett heltal. Eftersom den antinodala punkten för röret vid den öppna änden är något utanför rörets mynning är det bäst att hitta två eller flera resonanspunkter och sedan mäta en halv våglängd mellan dessa.

Här är det så att v = fλ .

Högprecisionsmätningar i luft

Effekten av föroreningar kan vara betydande vid högprecisionsmätningar. Kemiska torkmedel kan användas för att torka luften, men förorenar i sin tur provet. Luften kan torkas kryogeniskt, men detta leder till att koldioxiden tas bort också; därför utförs många högprecisionsmätningar med luft fri från koldioxid snarare än med naturlig luft. En granskning från 2002 visade att en mätning 1963 av Smith och Harlow med hjälp av en cylindrisk resonator gav "det mest troliga värdet av standardhastigheten för ljud hittills." Experimentet gjordes med luft från vilken koldioxiden hade avlägsnats, men resultatet korrigerades sedan för denna effekt så att den var tillämplig på verklig luft. Experimenten utfördes vid 30 ° C men korrigerade för temperatur för att rapportera dem vid 0 ° C . Resultatet blev 331,45 ± 0,01 m/s för torr luft vid STP, för frekvenser från 93 Hz till 1500 Hz .

Icke gasformiga medier

Ljudets hastighet i fasta ämnen

Tredimensionella fasta ämnen

I en fast substans finns det en styvhet som inte är noll både för volymetriska deformationer och skjuvdeformationer. Därför är det möjligt att generera ljudvågor med olika hastigheter beroende på deformationsläget. Ljudvågor som genererar volymetriska deformationer (kompression) och skjuvdeformationer (skjuvning) kallas tryckvågor (längsgående vågor) respektive skjuvvågor (tvärgående vågor). Vid jordbävningar kallas motsvarande seismiska vågor P-vågor (primära vågor) respektive S-vågor (sekundära vågor). Ljudhastigheterna för dessa två typer av vågor som sprider sig i ett homogent tredimensionellt fast ämne ges av

${\ displaystyle c _ {\ mathrm {solid, p}} = {\ sqrt {\ frac {K+{\ frac {4} {3}} G} {\ rho}}} = {\ sqrt {\ frac {E ( 1- \ nu)} {\ rho (1+ \ nu) (1-2 \ nu)}}},}$

${\ displaystyle c _ {\ mathrm {solid, s}} = {\ sqrt {\ frac {G} {\ rho}}},}$

var

• K är massmodulen för de elastiska materialen;
• G är skjuvmodulen för de elastiska materialen;
• E är Youngs modul ;
• ρ är densiteten;
• ν är Poissons förhållande .

Den sista mängden är inte oberoende, eftersom E = 3K (1 - 2ν) . Observera att tryckvågornas hastighet beror både på materialets tryck- och skjuvmotståndsegenskaper, medan skjuvvågornas hastighet endast beror på skjuvegenskaperna.

Typiskt färdas tryckvågor snabbare i material än skjuvvågor, och i jordbävningar är detta anledningen till att en jordbävning ofta börjar före en snabb uppåt-nedåt-chock, innan vågor anländer som ger en rörelse från sida till sida . Till exempel, för en typisk stållegering, K = 170 GPa , G = 80 GPa och ρ = 7 700 kg/m ³ , vilket ger en kompressionshastighet c _{fast, p} på 6000 m/s . Detta är i rimlig överensstämmelse med c _{fast, p} uppmätt experimentellt vid 5 930 m/s för en (möjligen annan) ståltyp. Skjuvhastigheten c _{fast, s} uppskattas till 3200 m/s med samma siffror.

Endimensionella fasta ämnen

Ljudhastigheten för tryckvågor i styva material som metaller ges ibland för "långa stavar" i det aktuella materialet, där hastigheten är lättare att mäta. I stavar där deras diameter är kortare än en våglängd kan hastigheten för rena tryckvågor förenklas och ges av:

${\ displaystyle c _ {\ mathrm {solid}} = {\ sqrt {\ frac {E} {\ rho}}},}$

där E är Youngs modul . Detta liknar uttrycket för skjuvvågor, förutom att Youngs modul ersätter skjuvmodulen . Denna ljudhastighet för tryckvågor i långa stavar kommer alltid att vara något mindre än samma hastighet i homogena tredimensionella fasta ämnen, och förhållandet mellan hastigheterna i de två olika typerna av objekt beror på Poissons förhållande för materialet.

Ljudets hastighet i vätskor

Ljudets hastighet i vatten kontra temperatur.

I en vätska är den enda styvheten utan noll till volymetrisk deformation (en vätska upprätthåller inte skjuvkrafter).

Därför ges ljudets hastighet i en vätska av

${\ displaystyle c _ {\ mathrm {fluid}} = {\ sqrt {\ frac {K} {\ rho}}},}$

där K är vätskans bulkmodul .

Vatten

I sötvatten färdas ljudet med cirka 1481 m/s vid 20 ° C (se avsnittet Externa länkar nedan för onlinekalkylatorer). Tillämpningar av undervattensljud finns inom ekolod , akustisk kommunikation och akustisk oceanografi .

Havsvatten

Ljudets hastighet som funktion av djupet vid en position norr om Hawaii i Stilla havet som härrör från 2005 World Ocean Atlas . Den SOFAR kanalen spänner över minimum i ljudhastigheten vid ca 750-m djup.

I saltvatten som är fritt från luftbubblor eller suspenderat sediment rör sig ljudet med cirka 1500 m/s ( 1500.235 m/s vid 1000 kilopascal , 10  ° C och 3% salthalt med en metod). Ljudets hastighet i havsvatten beror på tryck (därav djup), temperatur (en förändring på 1 ° C ~ 4 m/s ) och salthalt (en förändring på 1 ‰ ~ 1 m/s ) och empiriska ekvationer har härletts för att exakt beräkna ljudets hastighet från dessa variabler. Andra faktorer som påverkar ljudets hastighet är mindre. Eftersom temperaturen i de flesta havsregioner minskar med djupet, minskar profilen för ljudets hastighet med djup till ett minimum på flera hundra meters djup. Under minimum ökar ljudhastigheten igen, eftersom effekten av ökande tryck övervinner effekten av sjunkande temperatur (höger). För mer information, se Dushaw et al.

En empirisk ekvation för ljudets hastighet i havsvatten tillhandahålls av Mackenzie:

${\ displaystyle c (T, S, z) = a_ {1}+a_ {2} T+a_ {3} T^{2}+a_ {4} T^{3}+a_ {5} (S- 35)+a_ {6} z+a_ {7} z^{2}+a_ {8} T (S-35)+a_ {9} Tz^{3},}$

var

• T är temperaturen i grader Celsius;
• S är salthalten i delar per tusen;
• z är djupet i meter.

Konstanterna a ₁ , a ₂ , ..., a ₉ är

${\ displaystyle {\ begin {align} a_ {1} & = 1,448.96, & a_ {2} & = 4.591, & a_ {3} & =-5.304 \ times 10^{-2}, \\ a_ {4} & = 2.374 \ gånger 10^{-4}, & a_ {5} & = 1.340, & a_ {6} & = 1.630 \ gånger 10^{-2}, \\ a_ {7} & = 1.675 \ gånger 10^{-7 }, & a_ {8} & =-1.025 \ gånger 10^{-2}, & a_ {9} & =-7.139 \ gånger 10^{-13}, \ end {align}}}$

med kontrollvärde 1550,744 m/s för T = 25 ° C , S = 35 delar per tusen , z = 1000 m . Denna ekvation har ett standardfel på 0,070 m/s för salthalt mellan 25 och 40 ppt . Se Tekniska guider. Ljudets hastighet i havsvatten för en online-kalkylator.

(Obs: ljudhastigheten vs Djup graf gör inte korrelerar direkt till MacKenzie formeln Detta beror på det faktum att temperaturen och salthalten varierar på olika djup När.. T och S hålls konstanta, är själva formeln alltid ökar med djup.)

Andra ekvationer för ljudets hastighet i havsvatten är korrekta under ett brett spektrum av förhållanden, men är mycket mer komplicerade, t.ex. av VA Del Grosso och Chen-Millero-Li-ekvationen.

Ljudets hastighet i plasma

Ljudets hastighet i en plasma för det vanliga fallet att elektronerna är varmare än jonerna (men inte för mycket hetare) ges av formeln (se här )

${\ displaystyle c_ {s} = (\ gamma ZkT _ {\ mathrm {e}}/m _ {\ mathrm {i}})^{1/2} = 90,85 (\ gamma ZT_ {e}/\ mu)^{ 1/2} ~ \ mathrm {m/s},}$

var

• m _i är jonmassan ;
• μ är förhållandet jon massa till protonmass μ = m _i / m _p ;
• T _e är elektrontemperaturen ;
• Z är laddningstillståndet;
• k är Boltzmann -konstant ;
• γ är det adiabatiska indexet .

I motsats till en gas tillhandahålls trycket och densiteten av separata arter: trycket från elektronerna och densiteten av jonerna. De två kopplas genom ett fluktuerande elektriskt fält.

Lutningar

När ljudet sprider sig jämnt i alla riktningar i tre dimensioner, sjunker intensiteten i proportion till avståndets inversa kvadrat. Men i havet finns det ett lager som kallas "djup ljudkanal" eller SOFAR kanal som kan begränsa ljudvågor på ett visst djup.

I SOFAR -kanalen är ljudets hastighet lägre än den i lagren ovanför och under. Precis som ljusvågor bryts mot ett område med högre index , bryter ljudvågor mot ett område där deras hastighet reduceras. Resultatet är att ljudet blir begränsat i skiktet, ungefär som ljuset kan begränsas till ett glasskiva eller optisk fiber . Således är ljudet begränsat till i huvudsak två dimensioner. I två dimensioner sjunker intensiteten i proportion till endast det inversa av avståndet. Detta gör att vågor kan resa mycket längre innan de oupptäckt är svaga.

En liknande effekt uppstår i atmosfären. Projekt Mogul använde framgångsrikt denna effekt för att upptäcka en kärnkraftsexplosion på ett betydande avstånd.

Se även

• Akustoelastisk effekt
• Elastisk våg
• Andra ljudet
• Sonisk bom
• Ljudspärr
• Ljudhastigheter av elementen
• Undervattensakustik
• Vibrationer

Referenser

externa länkar

• Ljudhastighets kalkylator
• Beräkning: Ljudets hastighet i luft och temperaturen
• Ljudhastighet: Temperatur spelar ingen roll, inte lufttryck
• Egenskaper för US Standard Atmosphere 1976
• Ljudets hastighet
• Hur man mäter ljudets hastighet i ett laboratorium
• Gick ljudet en gång i lätt hastighet?
• Akustiska egenskaper hos olika material inklusive ljudets hastighet
• Upptäckt av ljud i havet (användning av ljud från människor och andra djur)