Bulkmodul - Bulk modulus

Illustration av enhetlig komprimering

Det bulkmodulen ( eller ) av en substans är ett mått på hur motståndskraftig mot komprimering som substansen är. Det definieras som förhållandet mellan den oändliga tryckökningen och den resulterande relativa minskningen av volymen . Andra moduler beskriver materialets svar ( töjning ) på andra typer av spänning : skjuvmodulen beskriver svaret på skjuvspänning och Youngs modul beskriver svaret på normal spänning. För en vätska är endast bulkmodulen meningsfull. För ett komplext anisotropiskt fast ämne som trä eller${\ displaystyle K}$${\ displaystyle B}$ papper innehåller dessa tre moduler inte tillräckligt med information för att beskriva dess beteende, och man måste använda den fullständiga generaliserade Hookes lag . Bulkmodulens ömsesidiga vid fast temperatur kallas isotermisk kompressibilitet .

Definition

Bulkmodulen (som vanligtvis är ) kan formellt definieras av ekvationen ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle> 0}$

${\ displaystyle K = -V {\ frac {dP} {dV}}}$

där är tryck, är ämnets initialvolym och betecknar derivatet av tryck med avseende på volym. Eftersom volymen är omvänt proportionell mot densiteten följer det ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle dP/dV}$

${\ displaystyle K = \ rho {\ frac {dP} {d \ rho}}}$

var är den initiala densiteten och betecknar derivatet av tryck med avseende på densitet (dvs. tryckhastigheten för förändring med volym). Den inversa av bulkmodulen ger ett ämnes kompressibilitet . I allmänhet definieras bulkmodulen vid konstant temperatur som den isotermiska bulkmodulen, men kan också definieras vid konstant entropi som den adiabatiska bulkmodulen. ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle dP / d \ rho}$

Termodynamisk relation

Strikt sett är bulkmodulen en termodynamisk kvantitet, och för att specificera en bulkmodul är det nödvändigt att ange hur trycket varierar under komprimering: konstant temperatur (isotermisk ), konstant entropi ( isentropisk ) och andra variationer är möjliga . Sådana skillnader är särskilt relevanta för gaser . ${\ displaystyle K_ {T}}$ ${\ displaystyle K_ {S}}$

För en idealisk gas har en isentropisk process:

${\ displaystyle PV^{\ gamma} = const. \, \ Rightarrow P \ propto \ left ({\ frac {1} {V}} \ right)^{\ gamma} \ propto \ rho^{\ gamma}, }$

var är värmekapacitetsförhållandet . Därför ges den isentropiska bulkmodulen av ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle K_ {S}}$

${\ displaystyle K_ {S} = \ gamma P.}$

På samma sätt har en isotermisk process av en idealgas:

${\ displaystyle PV = const. \, \ Rightarrow P \ propto {\ frac {1} {V}} \ propto \ rho,}$

Därför ges den isotermiska bulkmodulen av ${\ displaystyle K_ {T}}$

${\ displaystyle K_ {T} = P}$ .

När gasen inte är idealisk ger dessa ekvationer endast en approximation av bulkmodulen. I en vätska bestämmer bulkmodulen och densiteten ljudets hastighet ( tryckvågor ), enligt Newton-Laplace-formeln ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle c = {\ sqrt {\ frac {K} {\ rho}}}.}$

I fasta ämnen, och har mycket liknande värden. Fasta ämnen kan också upprätthålla tvärgående vågor : för dessa material behövs ytterligare en elastisk modul , till exempel skjuvningsmodulen, för att bestämma våghastigheter. ${\ displaystyle K_ {S}}$${\ displaystyle K_ {T}}$

Mått

Det är möjligt att mäta bulkmodulen med pulverdiffraktion under applicerat tryck. Det är en egenskap hos en vätska som visar dess förmåga att ändra sin volym under sitt tryck.

Valda värden

Påverkan av utvalda glaskomponenttillägg på bulkmodulen för ett specifikt basglas.

Ett material med en bulkmodul på 35 GPa förlorar en procent av sin volym när det utsätts för ett yttre tryck på 0,35 GPa (~3500 bar ).

Mikroskopiskt ursprung

Interatomär potential och linjär elasticitet

Interatomisk potential och kraft

Eftersom linjär elasticitet är ett direkt resultat av interatomisk interaktion, är det relaterat till förlängning/komprimering av bindningar. Det kan sedan härledas från den interatomiska potentialen för kristallina material. Låt oss först undersöka den potentiella energin för två samverkande atomer. Från mycket långa punkter kommer de att känna en attraktion mot varandra. När de närmar sig varandra kommer deras potentiella energi att minska. Å andra sidan, när två atomer är mycket nära varandra, kommer deras totala energi att vara mycket hög på grund av frånstötande interaktion. Tillsammans garanterar dessa potentialer ett interatomiskt avstånd som uppnår ett minimalt energitillstånd. Detta inträffar på ett avstånd a ₀ , där den totala kraften är noll:

${\ displaystyle F =-{\ partiell U \ över \ partiell r} = 0}$

Där U är interatomisk potential och r är det interatomiska avståndet. Det betyder att atomerna är i jämvikt.

För att förlänga de två atomerna till solid, överväg en enkel modell, säg, en 1-D-uppsättning av ett element med interatomiskt avstånd av a, och jämviktsavståndet är ett ₀ . Dess potentiella energi-interatomiska avståndsförhållande har liknande form som de två atomerfallet, som når minimal vid en ₀ , Taylor-expansionen för detta är:

${\ displaystyle u (a) = u (a_ {0})+\ vänster ({\ partiell u \ över \ partiell r} \ höger) _ {r = a_ {0}} (a-a_ {0})+ {1 \ över 2} \ vänster ({\ partiell^{2} \ över \ partiell r^{2}} u \ höger) _ {r = a_ {0}} (a-a_ {0})^{2 }+O \ vänster ((a-a_ {0})^{3} \ höger)}$

Vid jämvikt är det första derivatet 0, så den dominerande termen är den kvadratiska. När förskjutningen är liten bör de högre ordningsvillkoren utelämnas. Uttrycket blir:

${\ displaystyle u (a) = u (a_ {0})+{1 \ över 2} \ vänster ({\ partiell ^{2} \ över \ partiell r ^{2}} u \ höger) _ {r = a_ {0}} (a-a_ {0})^{2}}$

${\ displaystyle F (a) =-{\ partiell u \ över \ partiell r} = \ vänster ({\ partiell ^{2} \ över \ partiell r ^{2}} u \ höger) _ {r = a_ { 0}} (a-a_ {0})}$

Vilket är klart linjär elasticitet.

Observera att härledningen görs med tanke på två närliggande atomer, så krokens koefficient är:

${\ displaystyle K = a_ {0}*{dF \ över dr} = a_ {0} \ vänster ({\ partiell ^{2} \ över \ partiell r ^{2}} u \ höger) _ {r = a_ {0}}}$

Denna form kan enkelt utökas till 3D-fall, med volym per atom (Ω) i stället för interatomiskt avstånd.

${\ displaystyle K = \ Omega _ {0} \ vänster ({\ partiell ^{2} \ över \ partiell \ Omega ^{2}} u \ höger) _ {\ Omega = \ Omega _ {0}}}$

Förhållande med atomradie

Som härledts ovan är bulkmodulen direkt relaterad till den interatomiska potentialen och volymen per atomer. Vi kan vidare utvärdera den interatomiska potentialen för att koppla K till andra egenskaper. Vanligtvis kan den interatomiska potentialen uttryckas som en funktion av avstånd som har två termer, en term för attraktion och en annan term för avstötning.

${\ displaystyle u = -Ar^{-n}+Br^{-m}}$

Där A > 0 representerar attraktionsbegreppet och B > 0 representerar avstötning. n och m är vanligtvis integrerade, och m är vanligtvis större än n , vilket representerar avstötnings natur med kort räckvidd. Vid jämviktsposition är u som minimum, så första ordningens derivat är 0.

${\ displaystyle \ left ({\ partiell u \ över \ partiell r} \ höger) _ {r_ {0}} = Anr^{-n-1}+-Bmr^{-m-1} = 0}$

${\ displaystyle {B \ över A} = {n \ över m} r_ {0}^{mn}}$

${\ displaystyle u = -Ar^{-n} \ vänster (1- {B \ över A} r^{nm} \ höger) =-Ar^{-n} \ vänster (1- {n \ över m} r_ {0} ^ {mn} r ^ {nm} \ höger)}$

när r är nära, kom ihåg att n (vanligtvis 1 till 6) är mindre än m (vanligtvis 9 till 12), ignorera den andra termen, utvärdera den andra derivatan

${\ displaystyle \ left ({\ partiell^{2} \ över \ partiell r^{2}} u \ höger) _ {r = a_ {0}} =-An (n+1) r_ {0}^{ -n-2}}$

Minns sambandet mellan r och Ω

${\ displaystyle \ Omega = {4 \ pi \ över 3} r^{3}}$

${\ displaystyle \ left ({\ partiell ^{2} \ över \ partiell \ Omega ^{2}} u \ höger) = \ vänster ({\ partiell ^{2} \ över \ partiell r ^{2}} u \ höger) \ vänster ({\ partiell r \ över \ partiell \ Omega} \ höger)^{2} = \ vänster ({\ partiell^{2} \ över \ partiell r^{2}} u \ höger) \ Omega ^{-{\ frac {4} {3}}}}$

${\ displaystyle K = \ Omega _ {0} \ vänster ({\ partiell ^{2} u \ över \ partiell r ^{2}} \ höger) _ {\ Omega = \ Omega _ {0}} \ propto r_ {0}^{-n-3}}$

I många fall, till exempel i metall eller joniskt material, är dragkraften elektrostatisk, så n = 1 har vi

${\ displaystyle K \ propto r_ {0}^{-4}}$

Detta gäller atomer med liknande bindningskaraktär. Detta förhållande verifieras inom alkalimetaller och många joniska föreningar.

Referenser

Vidare läsning

• De Jong, Maarten; Chen, Wei (2015). "Kartlägga de fullständiga elastiska egenskaperna hos oorganiska kristallina föreningar" . Vetenskapliga data . 2 : 150009. Bibcode : 2013NatSD ... 2E0009D . doi : 10.1038/sdata.2015.9 . PMC  4432655 . PMID  25984348 .

Konverteringsformler
Homogena isotropa linjära elastiska material har sina elastiska egenskaper unikt bestämda av två moduler bland dessa; med tanke på två kan således alla andra av de elastiska modulerna beräknas enligt dessa formler.
	${\ displaystyle K = \,}$	${\ displaystyle E = \,}$	${\ displaystyle \ lambda = \,}$	${\ displaystyle G = \,}$	${\ displaystyle \ nu = \,}$	${\ displaystyle M = \,}$	Anteckningar
${\ displaystyle (K, \, E)}$			${\ displaystyle {\ tfrac {3K (3K-E)} {9K-E}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3KE} {9K-E}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K-E} {6K}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K (3K+E)} {9K-E}}}$
${\ displaystyle (K, \, \ lambda)}$		${\ displaystyle {\ tfrac {9K (K- \ lambda)} {3K- \ lambda}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {3 (K- \ lambda)} {2}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {3K- \ lambda}}}$	${\ displaystyle 3K-2 \ lambda \,}$
${\ displaystyle (K, \, G)}$		${\ displaystyle {\ tfrac {9KG} {3K+G}}}$	${\ displaystyle K-{\ tfrac {2G} {3}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {3K-2G} {2 (3K+G)}}}$	${\ displaystyle K+{\ tfrac {4G} {3}}}$
${\ displaystyle (K, \, \ nu)}$		${\ displaystyle 3K (1-2 \ nu) \,}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K \ nu} {1+ \ nu}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K (1-2 \ nu)} {2 (1+ \ nu)}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {3K (1- \ nu)} {1+ \ nu}}}$
${\ displaystyle (K, \, M)}$		${\ displaystyle {\ tfrac {9K (MK)} {3K+M}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K-M} {2}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3 (MK)} {4}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K-M} {3K+M}}}$
${\ displaystyle (E, \, \ lambda)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {E + 3 \ lambda + R} {6}}}$			${\ displaystyle {\ tfrac {E-3 \ lambda + R} {4}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {2 \ lambda} {E +\ lambda +R}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {E- \ lambda +R} {2}}}$	${\ displaystyle R = {\ sqrt {E ^{2} +9 \ lambda ^{2}+2E \ lambda}}}$
${\ displaystyle (E, \, G)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {EG} {3 (3G-E)}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {G (E-2G)} {3G-E}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {E} {2G}}-1}$	${\ displaystyle {\ tfrac {G (4G-E)} {3G-E}}}$
${\ displaystyle (E, \, \ nu)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {E} {3 (1-2 \ nu)}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {E \ nu} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu)}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {E} {2 (1+ \ nu)}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {E (1- \ nu)} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu)}}$
${\ displaystyle (E, \, M)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3M-E+S} {6}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {M-E+S} {4}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3M+ES} {8}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {E-M + S} {4M}}}$		${\ displaystyle S = \ pm {\ sqrt {E^{2}+9M^{2} -10EM}}}$ Det finns två giltiga lösningar. Plustecknet leder till .${\ displaystyle \ nu \ geq 0}$ Minustecknet leder till .${\ displaystyle \ nu \ leq 0}$
${\ displaystyle (\ lambda, \, G)}$	${\ displaystyle \ lambda +{\ tfrac {2G} {3}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {G (3 \ lambda +2G)} {\ lambda +G}}}$			${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {2 (\ lambda +G)}}}$	${\ displaystyle \ lambda +2G \,}$
${\ displaystyle (\ lambda, \, \ nu)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1+ \ nu)} {3 \ nu}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1+ \ nu) (1-2 \ nu)} {\ nu}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1-2 \ nu)} {2 \ nu}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1- \ nu)} {\ nu}}}$	Kan inte användas när ${\ displaystyle \ nu = 0 \ Vänsterhögerpil \ lambda = 0}$
${\ displaystyle (\ lambda, \, M)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {M + 2 \ lambda} {3}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {(M- \ lambda) (M+2 \ lambda)} {M+\ lambda}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {M- \ lambda} {2}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {M+\ lambda}}}$
${\ displaystyle (G, \, \ nu)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {2G (1+ \ nu)} {3 (1-2 \ nu)}}}$	${\ displaystyle 2G (1+ \ nu) \,}$	${\ displaystyle {\ tfrac {2G \ nu} {1-2 \ nu}}}$			${\ displaystyle {\ tfrac {2G (1- \ nu)} {1-2 \ nu}}}$
${\ displaystyle (G, \, M)}$	${\ displaystyle M-{\ tfrac {4G} {3}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {G (3M-4G)} {MG}}}$	${\ displaystyle M-2G \,}$		${\ displaystyle {\ tfrac {M-2G} {2M-2G}}}$
${\ displaystyle (\ nu, \, M)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {M (1+ \ nu)} {3 (1- \ nu)}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {M (1+ \ nu) (1-2 \ nu)} {1- \ nu}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {M \ nu} {1- \ nu}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {M (1-2 \ nu)} {2 (1- \ nu)}}}$