Gruppteori -Group theory

Algebraisk struktur → Gruppteori Gruppteori
Grundläggande föreställningar Undergrupp Normal undergrupp Kvotientgrupp (halv) direkt produkt Grupphomomorfismer kärna bild direkt summa kransprodukt enkel ändlig oändlig kontinuerlig multiplikativ tillsats cyklisk abelian dihedral nilpotent lösbar handling Ordlista för gruppteori Lista över gruppteoretiska ämnen
Ändliga grupper Klassificering av ändliga enkla grupper cyklisk alternerande Typ lögn sporadisk Cauchys sats Lagranges sats Sylows satser Halls teorem p-grupp Elementär abelisk grupp Frobenius grupp Schur multiplikator Symmetrisk grupp S n Klein fyra-grupp V Dihedral grupp D n Quaternion grupp Q Dicyklisk grupp Dic n
Diskreta grupper Galler Heltal ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Gratis grupp Modulära grupper PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Aritmetisk grupp Gitter Hyperbolisk grupp
Topologiska och Lie grupper Solenoid Cirkel Allmänt linjär GL( n ) Speciell linjär SL( n ) Ortogonal O( n ) Euklidisk E( n ) Speciell ortogonal SO( n ) Unitary U( n ) Särskild enhetlig SU( n ) Symplectic Sp( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konform Diffeomorfism Slinga Oändlig dimensionell Lie-grupp O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraiska grupper Linjär algebraisk grupp Reduktiv grupp Abelsk sort Elliptisk kurva
v t e

I matematik och abstrakt algebra studerar gruppteori de algebraiska strukturerna som kallas grupper . Begreppet en grupp är centralt för abstrakt algebra: andra välkända algebraiska strukturer, såsom ringar , fält och vektorrum , kan alla ses som grupper utrustade med ytterligare operationer och axiom . Grupper återkommer under hela matematiken, och gruppteorins metoder har påverkat många delar av algebra. Linjära algebraiska grupper och Lie-grupper är två grenar av gruppteori som har upplevt framsteg och blivit ämnesområden i sig själva.

Olika fysiska system, såsom kristaller och väteatomen , och tre av de fyra kända fundamentala krafterna i universum, kan modelleras av symmetrigrupper . Sålunda har gruppteori och den närbesläktade representationsteorin många viktiga tillämpningar inom fysik , kemi och materialvetenskap . Gruppteori är också central för kryptografi med publik nyckel .

Gruppteorins tidiga historia härstammar från 1800-talet. En av de viktigaste matematiska framgångarna under 1900-talet var samarbetsarbetet, som tog upp mer än 10 000 tidskriftssidor och mestadels publicerades mellan 1960 och 2004, som kulminerade i en fullständig klassificering av ändliga enkla grupper .

Huvudklasser av grupper

Utbudet av grupper som övervägs har gradvis utökats från finita permutationsgrupper och speciella exempel på matrisgrupper till abstrakta grupper som kan specificeras genom en presentation av generatorer och relationer .

Permutationsgrupper

Den första klassen av grupper som genomgick en systematisk studie var permutationsgrupper . Med tanke på vilken mängd X som helst och en samling G av bijektioner av X i sig själv (känd som permutationer ) som är stängd under sammansättningar och inverser, är G en grupp som verkar på X . Om X består av n element och G består av alla permutationer, är G den symmetriska gruppen S _n ; i allmänhet är varje permutationsgrupp G en undergrupp av den symmetriska gruppen av X. En tidig konstruktion på grund av Cayley visade vilken grupp som helst som en permutationsgrupp, som agerar på sig själv ( X = G ) med hjälp av den vänstra vanliga representationen .

I många fall kan strukturen hos en permutationsgrupp studeras med hjälp av egenskaperna för dess verkan på motsvarande uppsättning. På detta sätt bevisar man till exempel att för n ≥ 5 är den alternerande gruppen A _n enkel , dvs inte tillåter några normala undergrupper . Detta faktum spelar en nyckelroll i omöjligheten att lösa en allmän algebraisk ekvation av grad n ≥ 5 i radikaler .

Matrisgrupper

Nästa viktiga grupp av grupper ges av matrisgrupper eller linjära grupper . Här är G en mängd som består av inverterbara matriser av given ordning n över ett fält K som är stängt under produkterna och inverserar. En sådan grupp verkar på det n -dimensionella vektorrummet K ⁿ genom linjära transformationer . Denna åtgärd gör att matrisgrupper begreppsmässigt liknar permutationsgrupper, och åtgärdens geometri kan med fördel utnyttjas för att fastställa egenskaper hos gruppen G.

Transformationsgrupper

Permutationsgrupper och matrisgrupper är specialfall av transformationsgrupper : grupper som verkar på ett visst utrymme X och bevarar dess inneboende struktur. I fallet med permutationsgrupper är X en mängd; för matrisgrupper är X ett vektorrum . Begreppet en transformationsgrupp är nära besläktat med begreppet en symmetrigrupp : transformationsgrupper består ofta av alla transformationer som bevarar en viss struktur.

Teorin om transformationsgrupper bildar en bro som förbinder gruppteori med differentialgeometri . En lång rad forskning, som har sitt ursprung i Lie och Klein , överväger grupphandlingar på mångfald av homeomorphisms eller diffeomorphisms . Grupperna själva kan vara diskreta eller kontinuerliga .

Abstrakta grupper

De flesta grupper som betraktades i det första skedet av utvecklingen av gruppteorin var "konkreta", efter att ha realiserats genom siffror, permutationer eller matriser. Det var inte förrän i slutet av artonhundratalet som idén om en abstrakt grupp som en uppsättning med operationer som tillfredsställer ett visst system av axiom började få fäste. Ett typiskt sätt att specificera en abstrakt grupp är genom en presentation av generatorer och relationer ,

${\displaystyle G=\langle S|R\rangle .}$

En signifikant källa till abstrakta grupper ges genom konstruktionen av en faktorgrupp , eller kvotgrupp , G / H , av en grupp G av en normal undergrupp H. Klassgrupper av algebraiska talfält var bland de tidigaste exemplen på faktorgrupper, av stort intresse för talteori . Om en grupp G är en permutationsgrupp på en mängd X , verkar faktorgruppen G / H inte längre på X ; men idén om en abstrakt grupp tillåter en att inte oroa sig för denna diskrepans.

Perspektivbytet från konkreta till abstrakta grupper gör det naturligt att överväga egenskaper hos grupper som är oberoende av en viss realisering, eller i modernt språk, invarianta under isomorfism , såväl som grupperna av grupper med en given sådan egenskap: ändliga grupper , periodiska grupper , enkla grupper , lösbara grupper och så vidare. Istället för att utforska egenskaperna hos en enskild grupp, försöker man fastställa resultat som gäller en hel klass av grupper. Det nya paradigmet var av största vikt för utvecklingen av matematik: det förebådade skapandet av abstrakt algebra i verk av Hilbert , Emil Artin , Emmy Noether och matematiker från deras skola.

Grupper med ytterligare struktur

En viktig utarbetning av begreppet en grupp inträffar om G är utrustad med ytterligare struktur, särskilt av ett topologiskt utrymme , differentierbar mångfald eller algebraisk variation . Om gruppoperationerna m (multiplikation) och i (inversion),

${\displaystyle m:G\times G\to G,(g,h)\mapsto gh,\quad i:G\to G,g\mapsto g^{-1},}$

är kompatibla med denna struktur, det vill säga de är kontinuerliga , jämna eller regelbundna (i betydelsen algebraisk geometri) kartor, då är G en topologisk grupp , en Lie-grupp eller en algebraisk grupp .

Förekomsten av extra struktur relaterar dessa typer av grupper till andra matematiska discipliner och gör att fler verktyg finns tillgängliga i deras studie. Topologiska grupper bildar ett naturligt område för abstrakt harmonisk analys , medan Lie-grupper (ofta realiserade som transformationsgrupper) är stöttepelarna i differentialgeometri och enhetlig representationsteori . Vissa klassificeringsfrågor som inte kan lösas generellt kan närma sig och lösas för speciella underklasser av grupper. Således har kompakta anslutna Lie-grupper blivit helt klassificerade. Det finns ett fruktbart samband mellan oändliga abstrakta grupper och topologiska grupper: närhelst en grupp Γ kan realiseras som ett gitter i en topologisk grupp G , ger geometrin och analysen som hör till G viktiga resultat om Γ . En relativt ny trend inom teorin om ändliga grupper utnyttjar deras kopplingar till kompakta topologiska grupper ( profinita grupper ): till exempel har en enda p -adisk analytisk grupp G en familj av kvotienter som är ändliga p -grupper av olika ordningsföljder och egenskaper . av G översätts till egenskaperna hos dess ändliga kvoter.

Grenar av gruppteori

Finita gruppteori

Under det tjugonde århundradet undersökte matematiker några aspekter av teorin om ändliga grupper på stort djup, särskilt den lokala teorin om ändliga grupper och teorin om lösbara och nilpotenta grupper . Som en konsekvens uppnåddes den fullständiga klassificeringen av ändliga enkla grupper , vilket betyder att alla de enkla grupperna från vilka alla ändliga grupper kan byggas nu är kända.

Under andra hälften av 1900-talet ökade matematiker som Chevalley och Steinberg också vår förståelse för finita analoger av klassiska grupper och andra relaterade grupper. En sådan familj av grupper är familjen av allmänna linjära grupper över ändliga fält . Finita grupper uppstår ofta när man överväger symmetri av matematiska eller fysiska objekt, när dessa objekt bara tillåter ett ändligt antal strukturbevarande transformationer. Teorin om Lie-grupper , som kan ses som handlar om " kontinuerlig symmetri ", är starkt påverkad av de associerade Weyl-grupperna . Dessa är ändliga grupper som genereras av reflektioner som verkar på ett ändligt dimensionellt euklidiskt utrymme . Egenskaperna hos ändliga grupper kan alltså spela roll i ämnen som teoretisk fysik och kemi .

Representation av grupper

Att säga att en grupp G verkar på en mängd X betyder att varje element i G definierar en bijektiv karta på mängden X på ett sätt som är kompatibelt med gruppstrukturen. När X har mer struktur är det användbart att begränsa denna uppfattning ytterligare: en representation av G på ett vektorrum V är en grupphomomorfism :

${\displaystyle \rho :G\to \operatörsnamn {GL} (V),}$

där GL ( V ) består av de inverterbara linjära transformationerna av V. Med andra ord, till varje grupp tilldelas element g en automorfism ρ ( g ) så att ρ ( g ) ∘ ρ ( h ) = ρ ( gh ) för varje h i G .

Denna definition kan förstås i två riktningar, som båda ger upphov till helt nya områden inom matematiken. Å ena sidan kan det ge ny information om gruppen G : ofta är gruppoperationen i G abstrakt given, men via ρ motsvarar den multiplikationen av matriser , vilket är mycket explicit. Å andra sidan, givet en välförstådd grupp som agerar på ett komplicerat föremål, förenklar detta studiet av föremålet i fråga. Till exempel, om G är ändlig, är det känt att V ovan sönderdelas till irreducerbara delar (se Maschkes sats ). Dessa delar är i sin tur mycket lättare att hantera än hela V :et (via Schurs lemma ).

Givet en grupp G frågar representationsteorin sedan vilka representationer av G som finns. Det finns flera inställningar, och de använda metoderna och de erhållna resultaten är ganska olika i alla fall: representationsteori för ändliga grupper och representationer av Lie-grupper är två huvudsakliga underdomäner av teorin. Helheten av representationer styrs av gruppens karaktärer . Fourierpolynom kan t.ex. tolkas som tecknen i U(1) , gruppen av komplexa tal med absolut värde 1 , som verkar på L ² -rymden av periodiska funktioner.

Lögnteori

En Lie-grupp är en grupp som också är en differentierbar mångfald , med egenskapen att koncernverksamheten är förenlig med den smidiga strukturen . Lögngrupper är uppkallade efter Sophus Lie , som lade grunden till teorin om kontinuerliga transformationsgrupper . Termen groupes de Lie förekom första gången på franska 1893 i Lies student Arthur Tresses avhandling , sida 3.

Lie-grupper representerar den bäst utvecklade teorin om kontinuerlig symmetri av matematiska objekt och strukturer , vilket gör dem till oumbärliga verktyg för många delar av samtida matematik, såväl som för modern teoretisk fysik . De ger ett naturligt ramverk för att analysera de kontinuerliga symmetrierna av differentialekvationer ( differentialgaloisteori ), på ungefär samma sätt som permutationsgrupper används i Galois teori för att analysera de diskreta symmetrierna i algebraiska ekvationer . En utvidgning av Galois teori till fallet med kontinuerliga symmetrigrupper var en av Lies främsta motiv.

Kombinatorisk och geometrisk gruppteori

Grupper kan beskrivas på olika sätt. Finita grupper kan beskrivas genom att skriva ner grupptabellen som består av alla möjliga multiplikationer g • h . Ett mer kompakt sätt att definiera en grupp är genom generatorer och relationer , även kallat presentation av en grupp. Med tanke på vilken uppsättning F av generatorer som helst , övergår den fria gruppen som genereras av F till gruppen G. Kärnan i denna karta kallas undergruppen av relationer, genererad av någon delmängd D . Presentationen betecknas vanligtvis med Till exempel beskriver grupppresentationen en grupp som är isomorf till En sträng som består av generatorsymboler och deras inverser kallas ett ord . ${\displaystyle \{g_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle \langle F\mid D\rangle .}$${\displaystyle \langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle }$${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$

Kombinatorisk gruppteori studerar grupper utifrån generatorer och relationer. Det är särskilt användbart när ändlighetsantaganden är uppfyllda, till exempel ändligt genererade grupper, eller ändligt presenterade grupper (dvs. dessutom är relationerna ändliga). Området använder sig av kopplingen av grafer via deras grundgrupper . Till exempel kan man visa att varje undergrupp i en fri grupp är gratis.

Det finns flera naturliga frågor som uppstår när man ger en grupp genom sin presentation. Ordproblemet frågar om två ord faktiskt är samma gruppelement. Genom att relatera problemet till Turing-maskiner kan man visa att det i allmänhet inte finns någon algoritm som löser denna uppgift. Ett annat, generellt svårare, algoritmiskt olösligt problem är gruppisomorfismproblemet , som frågar om två grupper som ges av olika presentationer faktiskt är isomorfa. Till exempel är gruppen med presentation isomorf till den additiva gruppen Z av heltal, även om detta kanske inte är direkt uppenbart. ${\displaystyle \langle x,y\mid xyxyx=e\rangle ,}$

Geometrisk gruppteori angriper dessa problem ur en geometrisk synvinkel, antingen genom att se grupper som geometriska objekt, eller genom att hitta lämpliga geometriska objekt som en grupp agerar på. Den första idén görs exakt med hjälp av Cayley-grafen , vars hörn motsvarar gruppelement och kanter motsvarar höger multiplikation i gruppen. Givet två element, konstruerar den ena ordet metrisk som ges av längden på den minimala vägen mellan elementen. En sats av Milnor och Svarc säger då att givet en grupp G som verkar på ett rimligt sätt på ett metriskt utrymme X , till exempel ett kompakt grenrör , så är G kvasi-isometrisk (dvs. ser lik på avstånd) till utrymmet X .

Sammankoppling av grupper och symmetri

Givet ett strukturerat objekt X av något slag, är en symmetri en kartläggning av objektet på sig själv som bevarar strukturen. Detta förekommer i många fall till exempel

1. Om X är en mängd utan ytterligare struktur, är en symmetri en bijektiv karta från mängden till sig själv, vilket ger upphov till permutationsgrupper.
2. Om objektet X är en uppsättning punkter i planet med dess metriska struktur eller något annat metriskt utrymme , är en symmetri en bijektion av uppsättningen till sig själv som bevarar avståndet mellan varje par av punkter (en isometri ). Motsvarande grupp kallas isometrigruppen av X .
3. Om istället vinklar bevaras talar man om konforma kartor . Konforma kartor ger upphov till till exempel Kleinian-grupper .
4. Symmetrier är inte begränsade till geometriska objekt, utan inkluderar även algebraiska objekt. Till exempel har ekvationen de två lösningarna och . I det här fallet är gruppen som byter ut de två rötterna Galois-gruppen som tillhör ekvationen. Varje polynomekvation i en variabel har en Galois-grupp, det vill säga en viss permutationsgrupp på sina rötter.${\displaystyle x^{2}-3=0}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$

En grupps axiom formaliserar de väsentliga aspekterna av symmetri . Symmetrier bildar en grupp: de är stängda eftersom om du tar en symmetri av ett objekt och sedan tillämpar en annan symmetri, blir resultatet fortfarande en symmetri. Identiteten som håller objektet fixerat är alltid en symmetri av ett objekt. Existensen av inverser garanteras genom att upphäva symmetrin och associativiteten kommer från det faktum att symmetrier är funktioner på ett rum, och sammansättning av funktioner är associativ.

Fruchts teorem säger att varje grupp är symmetrigruppen i någon graf . Så varje abstrakt grupp är faktiskt symmetrierna av något explicit objekt.

Ordspråket "bevara strukturen" av ett objekt kan göras exakt genom att arbeta i en kategori . Kartor som bevarar strukturen är då morfismerna och symmetrigruppen är automorfismgruppen för objektet i fråga.

Tillämpningar av gruppteori

Tillämpningar av gruppteori finns i överflöd. Nästan alla strukturer i abstrakt algebra är specialfall av grupper. Ringar , till exempel, kan ses som abelska grupper (motsvarande addition) tillsammans med en andra operation (motsvarande multiplikation). Därför ligger gruppteoretiska argument till grund för stora delar av teorin om dessa entiteter.

Galois teori

Galois teori använder grupper för att beskriva symmetrierna för rötterna till ett polynom (eller mer exakt automorfismerna hos algebran som genereras av dessa rötter). Grundsatsen i Galois teori ger en koppling mellan algebraiska fältförlängningar och gruppteori. Det ger ett effektivt kriterium för lösbarheten av polynomekvationer i termer av lösbarheten för motsvarande Galois - grupp . Till exempel är S ₅ , den symmetriska gruppen i 5 element, inte lösbar vilket innebär att den allmänna kvintiska ekvationen inte kan lösas av radikaler på det sätt som ekvationer av lägre grad kan. Teorin, som är en av gruppteorins historiska rötter, tillämpas fortfarande fruktbart för att ge nya resultat inom områden som klassfältteori .

Algebraisk topologi

Algebraisk topologi är en annan domän som på ett framträdande sätt associerar grupper till de objekt som teorin är intresserad av. Där används grupper för att beskriva vissa invarianter av topologiska utrymmen . De kallas "invarianter" eftersom de är definierade på ett sådant sätt att de inte förändras om utrymmet utsätts för någon deformation . Till exempel "räknas" den fundamentala gruppen hur många vägar i utrymmet som är väsentligt olika. Poincaré -förmodan , bevisad 2002/2003 av Grigori Perelman , är en framträdande tillämpning av denna idé. Påverkan är dock inte enkelriktad. Till exempel använder algebraisk topologi Eilenberg–MacLane-utrymmen som är utrymmen med föreskrivna homotopigrupper . På liknande sätt bygger algebraisk K-teori på ett sätt på att klassificera gruppers utrymmen. Slutligen, namnet på torsionsundergruppen i en oändlig grupp visar arvet efter topologi i gruppteorin.

Algebraisk geometri

Algebraisk geometri använder också gruppteori på många sätt. Abeliska sorter har introducerats ovan. Närvaron av gruppverksamheten ger ytterligare information som gör dessa sorter särskilt tillgängliga. De fungerar också ofta som ett test för nya gissningar. Det endimensionella fallet, nämligen elliptiska kurvor , studeras särskilt i detalj. De är både teoretiskt och praktiskt spännande. I en annan riktning är toriska varianter algebraiska varianter som påverkas av en torus . Toroidformade inbäddningar har nyligen lett till framsteg inom algebraisk geometri , särskilt upplösning av singulariteter .

Algebraisk talteori

Algebraisk talteori använder grupper för några viktiga tillämpningar. Till exempel Eulers produktformel ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}&=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},\\\end{aligned}}\!}$

fångar det faktum att vilket heltal som helst bryts ner på ett unikt sätt till primtal . Misslyckandet med detta uttalande för mer allmänna ringar ger upphov till klassgrupper och regelbundna primtal , som ingår i Kummers behandling av Fermats sista teorem .

Harmonisk analys

Analys av Lie-grupper och vissa andra grupper kallas harmonisk analys . Haar-mått , det vill säga integraler som är invarianta under översättningen i en Lie-grupp, används för mönsterigenkänning och andra bildbehandlingstekniker .

Kombinatorik

Inom kombinatorik används ofta begreppet permutationsgrupp och begreppet grupphandling för att förenkla räkningen av en uppsättning objekt; se särskilt Burnsides lemma .

musik

Närvaron av 12- periodiciteten i femtedelscirkeln ger tillämpningar av elementär gruppteori i musikalisk mängdlära . Transformationsteori modellerar musikaliska transformationer som element i en matematisk grupp.

Fysik

Inom fysiken är grupper viktiga eftersom de beskriver de symmetrier som fysikens lagar verkar lyda. Enligt Noethers teorem motsvarar varje kontinuerlig symmetri i ett fysiskt system en bevarandelag för systemet. Fysiker är mycket intresserade av grupprepresentationer, särskilt av Lie-grupper, eftersom dessa representationer ofta visar vägen till de "möjliga" fysikaliska teorierna. Exempel på användningen av grupper i fysik inkluderar standardmodellen , mätteori , Lorentz-gruppen och Poincaré-gruppen .

Gruppteori kan användas för att lösa ofullständigheten i de statistiska tolkningar av mekanik som utvecklats av Willard Gibbs , som relaterar till summeringen av ett oändligt antal sannolikheter för att ge en meningsfull lösning.

Kemi och materialvetenskap

Inom kemi och materialvetenskap används punktgrupper för att klassificera vanliga polyedrar, och symmetrierna av molekyler och rymdgrupper för att klassificera kristallstrukturer . De tilldelade grupperna kan sedan användas för att bestämma fysikaliska egenskaper (såsom kemisk polaritet och kiralitet ), spektroskopiska egenskaper (särskilt användbara för Raman-spektroskopi , infraröd spektroskopi , cirkulär dikroismspektroskopi, magnetisk cirkulär dikroismspektroskopi, UV/Vis-spektroskopi och fluorescens) och att konstruera molekylära orbitaler .

Molekylär symmetri är ansvarig för många fysikaliska och spektroskopiska egenskaper hos föreningar och ger relevant information om hur kemiska reaktioner uppstår. För att tilldela en punktgrupp för en given molekyl är det nödvändigt att hitta uppsättningen av symmetrioperationer som finns på den. Symmetrioperationen är en handling, såsom en rotation runt en axel eller en reflektion genom ett spegelplan. Med andra ord är det en operation som flyttar molekylen så att den inte går att skilja från den ursprungliga konfigurationen. I gruppteorin kallas rotationsaxlarna och spegelplanen för "symmetrielement". Dessa element kan vara en punkt, linje eller plan med avseende på vilken symmetrioperationen utförs. Symmetrioperationerna för en molekyl bestämmer den specifika punktgruppen för denna molekyl.

Inom kemi finns det fem viktiga symmetrioperationer. De är identitetsoperation ( E) , rotationsoperation eller korrekt rotation ( Cn ), reflektionsoperation ( σ ), inversion ( i ) och rotationsreflektionsoperation eller felaktig rotation ( _{Sn )} . Identitetsoperationen ( E ) består i att lämna molekylen som den är. Detta motsvarar valfritt antal hela rotationer runt vilken axel som helst. Detta är en symmetri av alla molekyler, medan symmetrigruppen för en kiral molekyl endast består av identitetsoperationen. En identitetsoperation är en egenskap hos varje molekyl även om den inte har någon symmetri. Rotation runt en axel ( C _n ) består av att rotera molekylen runt en specifik axel med en specifik vinkel. Det är rotation genom vinkeln 360°/ n , där n är ett heltal, runt en rotationsaxel. Till exempel, om en vattenmolekyl roterar 180° runt axeln som passerar genom syreatomen och mellan väteatomerna , är den i samma konfiguration som den startade. I det här fallet är n = 2 , eftersom applicering av det två gånger producerar identitetsoperationen. I molekyler med mer än en rotationsaxel är Cn _- axeln med det största värdet på n den högsta ordningens rotationsaxel eller huvudaxel. Till exempel i bortrifluorid (BF ₃ ) är den högsta rotationsaxeln C ₃ , så den huvudsakliga rotationsaxeln är C ₃ .

I reflektionsoperationen ( σ ) har många molekyler spegelplan, även om de kanske inte är uppenbara. Reflexionsoperationen växlar åt vänster och höger, som om varje punkt hade rört sig vinkelrätt genom planet till en position exakt lika långt från planet som när den startade. När planet är vinkelrätt mot den huvudsakliga rotationsaxeln kallas det σ _h (horisontell). Andra plan, som innehåller den huvudsakliga rotationsaxeln, är märkta vertikala ( σ _v ) eller dihedriska ( σ _d ).

Inversion (i ) är en mer komplex operation. Varje punkt rör sig genom mitten av molekylen till en position mitt emot den ursprungliga positionen och så långt från den centrala punkten som där den började. Många molekyler som vid första anblicken verkar ha ett inversionscentrum har inte det; till exempel saknar metan och andra tetraedriska molekyler inversionssymmetri. För att se detta, håll en metanmodell med två väteatomer i vertikalplanet till höger och två väteatomer i horisontalplanet till vänster. Inversion resulterar i två väteatomer i horisontalplanet till höger och två väteatomer i vertikalplanet till vänster. Inversion är därför inte en symmetrioperation av metan, eftersom orienteringen av molekylen efter inversionsoperationen skiljer sig från den ursprungliga orienteringen. Och den sista operationen är felaktig rotation eller rotationsreflektionsoperation ( Sn ) kräver rotation av 360°/ _n , följt av reflektion genom ett plan vinkelrätt mot rotationsaxeln.

Kryptografi

Mycket stora grupper av prime order konstruerade i elliptisk kurvkryptografi tjänar till kryptografi med publik nyckel . Kryptografiska metoder av detta slag drar nytta av flexibiliteten hos de geometriska objekten, därav deras gruppstrukturer, tillsammans med den komplicerade strukturen hos dessa grupper, vilket gör den diskreta logaritmen mycket svår att beräkna. Ett av de tidigaste krypteringsprotokollen, Caesars chiffer , kan också tolkas som en (mycket enkel) gruppoperation. De flesta kryptografiska system använder grupper på något sätt. I synnerhet Diffie–Hellman nyckelutbyte använder ändliga cykliska grupper. Så termen gruppbaserad kryptografi syftar mest på kryptografiska protokoll som använder oändliga icke-abelska grupper som en flätgrupp.

Historia

Gruppteori har tre huvudsakliga historiska källor: talteori , teorin om algebraiska ekvationer och geometri . Den talteoretiska strängen påbörjades av Leonhard Euler och utvecklades av Gauss arbete på modulära aritmetiska och additiva och multiplikativa grupper relaterade till kvadratiska fält . Tidiga resultat om permutationsgrupper erhölls av Lagrange , Ruffini och Abel i deras strävan efter allmänna lösningar av polynomekvationer av hög grad. Évariste Galois myntade termen "grupp" och etablerade en koppling, nu känd som Galois teori , mellan den begynnande teorin om grupper och fältteori . Inom geometrin blev grupper först viktiga i projektiv geometri och, senare, icke-euklidisk geometri . Felix Kleins Erlangen- program utropade gruppteori till geometrins organiserande princip.

Galois , på 1830-talet, var den första som använde grupper för att bestämma lösbarheten av polynomekvationer . Arthur Cayley och Augustin Louis Cauchy drev dessa undersökningar vidare genom att skapa teorin om permutationsgrupper. Den andra historiska källan för grupper härrör från geometriska situationer. I ett försök att komma till rätta med möjliga geometrier (som euklidisk , hyperbolisk eller projektiv geometri ) med hjälp av gruppteori, initierade Felix Klein Erlangen-programmet . Sophus Lie började 1884 använda grupper (nu kallade Lie-grupper ) kopplade till analytiska problem. För det tredje användes grupper, först implicit och senare explicit, i algebraisk talteori .

Den olika omfattningen av dessa tidiga källor resulterade i olika uppfattningar om grupper. Teorin om grupper förenades med början omkring 1880. Sedan dess har inverkan av gruppteorin ständigt ökat, vilket gav upphov till födelsen av abstrakt algebra i början av 1900-talet, representationsteorin och många fler inflytelserika spin-off-domäner. Klassificeringen av ändliga enkla grupper är en stor mängd arbete från mitten av 1900-talet, som klassificerar alla ändliga enkla grupper .

Se även

• Lista över gruppteoretiska ämnen
• Exempel på grupper

Anteckningar

Referenser

• Borel, Armand (1991), Linjära algebraiska grupper , Graduate Texts in Mathematics, vol. 126 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0941-6 , ISBN 978-0-387-97370-8MR  1102012 _
• Carter, Nathan C. (2009), Visual group theory , Classroom Resource Materials Series, Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-757-1MR  2504193 _
• Cannon, John J. (1969), "Computers in group theory: A survey", Communications of the ACM , 12 : 3–12, doi : 10.1145/362835.362837 , MR  0290613 , S2CID  18226463
• Frucht, R. (1939), "Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe" , Compositio Mathematica , 6 : 239–50, ISSN  0010-437X , arkiverad från originalet 2008-12-01
• Golubitsky, Martin ; Stewart, Ian (2006), "Nätverkens icke-linjära dynamik: gruppoidformalismen", Bull. Amer. Matematik. Soc. (NS) , 43 (3): 305–364, doi : 10.1090/S0273-0979-06-01108-6 , MR  2223010Visar fördelen med att generalisera från grupp till gruppoid .
• Judson, Thomas W. (1997), Abstrakt algebra: teori och tillämpningar En inledande grundutbildningstext i andan av texter av Gallian eller Herstein, som täcker grupper, ringar, integrerade domäner, fält och Galois teori. Gratis nedladdningsbar PDF med öppen källkod GFDL - licens.
• Kleiner, Israel (1986), "The evolution of group theory: a brief survey", Mathematics Magazine , 59 (4): 195–215, doi : 10.2307/ 2690312 , ISSN  0025-570X , JSTOR  2690308 , 6309008 
• La Harpe, Pierre de (2000), Ämnen i geometrisk gruppteori , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-31721-2
• Livio, M. (2005), Ekvationen som inte kunde lösas: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry , Simon & Schuster, ISBN 0-7432-5820-7Förmedlar det praktiska värdet av gruppteori genom att förklara hur den pekar på symmetrier i fysik och andra vetenskaper.
• Mumford, David (1970), Abelian varianter , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0OCLC  138290 _
• Ronan M. , 2006. Symmetry and the Monster . Oxford University Press. ISBN  0-19-280722-6 . För lekmannaläsare. Beskriver strävan att hitta de grundläggande byggstenarna för ändliga grupper.
• Rotman, Joseph (1994), En introduktion till teorin om grupper , New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94285-8 En standard samtida referens.
• Schupp, Paul E .; Lyndon, Roger C. (2001), Combinatorial group theory , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41158-1
• Scott, WR (1987) [1964], Group Theory , New York: Dover, ISBN 0-486-65377-3Billig och ganska läsbar, men något daterad i betoning, stil och notation.
• Shatz, Stephen S. (1972), Profinita grupper, aritmetik och geometri , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08017-8MR  0347778 _
• Weibel, Charles A. (1994), An introduction to homological algebra , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4MR  1269324 , OCLC  36131259 _

externa länkar

• Historien om det abstrakta gruppbegreppet
• Högdimensionell gruppteori Detta presenterar en syn på gruppteori som nivå ett i en teori som sträcker sig i alla dimensioner och har tillämpningar inom homotopiteorin och på högre dimensionella icke-abelska metoder för lokala-till-globala problem.
• Plus-lärar- och studentpaket: Gruppteori Detta paket samlar alla artiklar om gruppteori från Plus , onlinematematiktidningen producerad av Millennium Mathematics Project vid University of Cambridge, som utforskar tillämpningar och senaste genombrott, och ger tydliga definitioner och exempel på grupper.
• Burnside, William (1911), "Groups, Theory of"  , i Chisholm, Hugh (red.), Encyclopædia Britannica , vol. 12 (11:e upplagan), Cambridge University Press, s. 626–636Detta är en detaljerad beskrivning av samtida förståelse av gruppteori av en tidig forskare inom området.