Algebraisk topologi - Algebraic topology
Algebraisk topologi är en gren av matematik som använder verktyg från abstrakt algebra för att studera topologiska utrymmen . Det grundläggande målet är att hitta algebraiska invarianter som klassificerar topologiska utrymmen upp till homeomorfism , men vanligtvis de flesta klassificerar upp till homotopekvivalens .
Även om algebraisk topologi främst använder algebra för att studera topologiska problem, är det ibland också möjligt att använda topologi för att lösa algebraiska problem. Algebraisk topologi, till exempel, möjliggör ett bekvämt bevis på att varje undergrupp i en ledig grupp igen är en ledig grupp.
Huvudgrenar inom algebraisk topologi
Nedan följer några av de huvudområden som studerats inom algebraisk topologi:
Homotopigrupper
I matematik används homotopigrupper inom algebraisk topologi för att klassificera topologiska utrymmen . Den första och enklaste homotopigruppen är den grundläggande gruppen , som registrerar information om slingor i ett utrymme. Intuitivt registrerar homotopigrupper information om grundformen eller hålen i ett topologiskt utrymme.
Homologi
I algebraisk topologi och abstrakt algebra är homologi (delvis från grekiska ὁμός homos "identisk") ett visst allmänt förfarande för att associera en sekvens av abeliska grupper eller moduler med ett givet matematiskt objekt som ett topologiskt utrymme eller en grupp .
Kohomologi
Inom homologiteori och algebraisk topologi är kohomologi en allmän term för en sekvens av abeliska grupper definierade från ett samkedjekomplex . Det vill säga, kohomologi definieras som den abstrakta studien av cochains , cocycles och coboundaries . Cohomology kan ses som en metod för att tilldela algebraiska invarianter till ett topologiskt utrymme som har en mer förfinad algebraisk struktur än homologi . Cohomology härrör från den algebraiska dualiseringen av konstruktionen av homologi. I ett mindre abstrakt språk bör cochains i grundläggande mening tilldela "mängder" till kedjorna av homologi teori.
Fördelare
Ett grenrör är ett topologiskt utrymme som nära varje punkt liknar det euklidiska utrymmet . Exempel inkluderar planet , sfären och torusen , som alla kan realiseras i tre dimensioner, men också Klein -flaskan och det verkliga projektiva planet som inte kan realiseras i tre dimensioner, men kan realiseras i fyra dimensioner. Normalt fokuserar resultaten i algebraisk topologi på globala, icke-differentierbara aspekter av grenrör; till exempel Poincaré -dualitet .
Knutteori
Knutteori är studiet av matematiska knutar . Medan den är inspirerad av knutar som uppträder i vardagen i skosnören och repen skiljer sig en matematikers knut genom att ändarna är sammanfogade så att det inte kan ångras. I exakt matematisk språk, är en knut en inbäddning av en cirkel i 3-dimensionell euklidiska rymden , . Två matematiska knop är likvärdiga om den ena kan omvandlas till den andra via en deformation av sig själv (känd som en omgivande isotopi ); dessa transformationer motsvarar manipulationer av en knuten sträng som inte innebär att klippa strängen eller passera strängen genom sig själv.
Komplex
Ett förenklat komplex är ett topologiskt utrymme av ett visst slag, konstruerat genom att "limma ihop" punkter , linjesegment , trianglar och deras n -dimensionella motsvarigheter (se illustration). Enkla komplex bör inte förväxlas med den mer abstrakta uppfattningen om en enkel uppsättning som förekommer i modern förenklad homotopiteori. Den rent kombinatoriska motsvarigheten till ett förenklat komplex är ett abstrakt förenklat komplex .
Ett CW -komplex är en typ av topologiskt utrymme som introducerades av JHC Whitehead för att möta behoven inom homotopiteori . Denna klass av utrymmen är bredare och har några bättre kategoriska egenskaper än enkla komplex , men behåller fortfarande en kombinatorisk natur som möjliggör beräkning (ofta med ett mycket mindre komplex).
Metod för algebraiska invarianter
Ett äldre namn för ämnet var kombinatorisk topologi , vilket tyder på att ett utrymme X konstruerades av enklare (det moderna standardverktyget för sådan konstruktion är CW -komplexet ). Under 1920- och 1930 -talen kom det allt större vikt vid att undersöka topologiska utrymmen genom att hitta korrespondenser från dem till algebraiska grupper , vilket ledde till byte av namn till algebraisk topologi. Det kombinatoriska topologinamnet används fortfarande ibland för att betona ett algoritmiskt tillvägagångssätt baserat på sönderdelning av mellanslag.
I det algebraiska tillvägagångssättet hittar man en överensstämmelse mellan utrymmen och grupper som respekterar förhållandet mellan homeomorfism (eller mer allmän homotopi ) av rymden. Detta gör att man kan omformulera uttalanden om topologiska utrymmen till uttalanden om grupper, som har en stor hanterbar struktur, vilket ofta gör det lättare att bevisa detta påstående. Två huvudsakliga sätt på vilka detta kan göras är genom grundläggande grupper , eller mer allmänt homotopiteori , och genom homologi- och kohomologigrupper . De grundläggande grupperna ger oss grundläggande information om strukturen i ett topologiskt utrymme, men de är ofta nonabeliska och kan vara svåra att arbeta med. Den grundläggande gruppen i ett (ändligt) förenklat komplex har en ändlig presentation .
Homologi- och kohomologigrupper är å andra sidan abeliska och i många viktiga fall slutgiltigt genererade. Slutligen genererade abeliska grupper är helt klassificerade och är särskilt lätta att arbeta med.
Inställning i kategoriteori
I allmänhet är alla konstruktioner av algebraisk topologi funktionala ; föreställningarna kategori , funktor och naturlig transformation har sitt ursprung här. Grundläggande grupper och homologi- och kohomologigrupper är inte bara invarianter av det underliggande topologiska rummet, i den meningen att två topologiska utrymmen som är homeomorfa har samma associerade grupper, men deras associerade morfism motsvarar också - en kontinuerlig kartläggning av utrymmen inducerar en grupphomomorfism på de associerade grupperna, och dessa homomorfismer kan användas för att visa icke-existens (eller, mycket djupare, existens) av kartläggningar.
En av de första matematikerna som arbetade med olika typer av kohomologi var Georges de Rham . Man kan använda differentialstrukturen för släta grenrör via de Rham kohomologi , eller Čech eller skivkohomologi för att undersöka lösbarheten hos differentialekvationer som definieras på grenröret i fråga. De Rham visade att alla dessa tillvägagångssätt var sammanlänkade och att för ett slutet, orienterat grenrör var Betti -siffrorna härledda genom enkel homologi samma Betti -nummer som de som härleddes genom de Rham kohomologi. Detta förlängdes på 1950 -talet, då Samuel Eilenberg och Norman Steenrod generaliserade detta tillvägagångssätt. De definierade homologi och kohomologi som funktioner utrustade med naturliga transformationer som är föremål för vissa axiom (t.ex. en svag ekvivalens mellan rymden övergår till en isomorfism av homologigrupper), verifierade att alla befintliga (sam) homologiteorier uppfyllde dessa axiom och bevisade sedan att sådana en axiomatisering unikt präglade teorin.
Tillämpningar av algebraisk topologi
Klassiska tillämpningar av algebraisk topologi inkluderar:
- Den Brouwers Fixpunktssats : varje kontinuerlig karta från enheten n -disk till sig har en fast punkt.
- Den fria rangordningen för den n: e homologigruppen i ett förenklat komplex är det n: e Betti -numret , som gör det möjligt för en att beräkna Euler – Poincaré -karakteristiken .
- Man kan använda differentialstrukturen för släta grenrör via de Rham kohomologi , eller Čech eller skivkohomologi för att undersöka lösbarheten hos differentialekvationer som definieras på grenröret i fråga.
- Ett grenrör är orienterbart när den övre dimensionella integrala homologigruppen är heltalen och är icke-orienterbar när den är 0.
- Den n -sphere medger en ingenstans-försvinnande sammanhängande enhet vektorfältet om och endast om n är udda. (För n = 2 kallas detta ibland för " håriga bollsetningen ".)
- Den Borsuk-Ulam teorem : varje kontinuerlig karta från n -sphere till euklidiska n -space identifierar åtminstone ett par av antipodal punkter.
- Varje undergrupp i en gratis grupp är gratis. Detta resultat är ganska intressant, eftersom påståendet är rent algebraiskt men det enklaste kända beviset är topologiskt. Nämligen någon fri grupp G kan realiseras som den grundläggande enheten i en graf X . Huvudsatsen om att täcka utrymmen berättar för oss att varje undergrupp H i G är den grundläggande gruppen för något täckande utrymme Y för X ; men varje sådant Y är återigen en graf. Därför är dess grundläggande grupp H gratis. Å andra sidan hanteras denna typ av applikationer också enklare genom användning av täckande morfismer för gruppoider , och den tekniken har gett undergruppssatser som ännu inte bevisats med metoder för algebraisk topologi; se Higgins (1971) .
- Topologisk kombinatorik .
Anmärkningsvärda algebraiska topologer
- Frank Adams
- Michael Atiyah
- Enrico Betti
- Armand Borel
- Karol Borsuk
- Luitzen Egbertus Jan Brouwer
- William Browder
- Ronald Brown
- Henri Cartan
- Albrecht Dold
- Charles Ehresmann
- Samuel Eilenberg
- Hans Freudenthal
- Peter Freyd
- Pierre Gabriel
- Alexander Grothendieck
- Allen Hatcher
- Friedrich Hirzebruch
- Heinz Hopf
- Michael J. Hopkins
- Witold Hurewicz
- Egbert van Kampen
- Daniel Kan
- Hermann Künneth
- Ruth Lawrence
- Solomon Lefschetz
- Jean Leray
- Saunders Mac Lane
- Mark Mahowald
- J. Peter May
- Barry Mazur
- John Milnor
- John Coleman Moore
- Jack Morava
- Emmy Noether
- Sergej Novikov
- Grigori Perelman
- Lev Pontryagin
- Nicolae Popescu
- Mikhail Postnikov
- Daniel Quillen
- Jean-Pierre Serre
- Stephen Smale
- Edwin Spanier
- Norman Steenrod
- Dennis Sullivan
- René Thom
- Hiroshi Toda
- Leopold Vietoris
- Hassler Whitney
- JHC Whitehead
- Gordon Thomas Whyburn
Viktiga satser inom algebraisk topologi
- Blakers – Massey sats
- Borsuk – Ulam sats
- Brouwer fixpunktssats
- Cellära approximationssatser
- Dold – Thom sats
- Eilenberg – Ganea sats
- Eilenberg – Zilber sats
- Freudenthal suspensionsteorem
- Hurewicz sats
- Künneth sats
- Lefschetz-satspunktsats
- Leray – Hirsch sats
- Poincaré dualitet sats
- Seifert -van Kampen sats
- Universal koefficient sats
- Whitehead -sats
Se även
Anteckningar
Referenser
- Allegretti, Dylan GL (2008), Simplicial Sets och van Kampens sats (Diskuterar generaliserade versioner av van Kampens teorem som tillämpas på topologiska utrymmen och enkla uppsättningar).
- Bredon, Glen E. (1993), Topology and Geometry , Graduate Texts in Mathematics, 139 , Springer, ISBN 0-387-97926-3.
- Brown, R. (2007), Higher dimensional group theory (Ger en bred bild av högre dimensionella van Kampen-satser som involverar flera gruppoider) .
- Brown, R .; Razak, A. (1984), "A van Kampens teorem för fackföreningar i icke-anslutna utrymmen", Arch. Matematik. , 42 : 85–88, doi : 10.1007/BF01198133. "Ger en allmän sats om den grundläggande gruppoiden med en uppsättning baspunkter i ett utrymme som är föreningen av öppna uppsättningar."
- Brown, R .; Hardie, K .; Kamps, H .; Porter, T. (2002), "The homotopy double groupoid of a Hausdorff space" , Theory Appl. Kategorier , 10 (2): 71–93.
- Brown, R .; Higgins, PJ (1978), "Om sambandet mellan de andra relativa homotopigrupperna i vissa relaterade utrymmen", Proc. London Math. Soc. , S3-36 (2): 193–212, doi : 10.1112/plms/s3-36.2.193. "Den första 2-dimensionella versionen av van Kampens sats."
- Brown, Ronald; Higgins, Philip J .; Sivera, Rafael (2011), Nonabelian Algebraic Topology: Filtered Spaces, Crossed Complexes, Cubical Homotopy Groupoids , European Mathematical Society Tracts in Mathematics, 15 , European Mathematical Society, arXiv : math/0407275 , ISBN 978-3-03719-083-8, arkiverad från originalet 2009-06-04 Detta ger en homotopiteoretisk metod för grundläggande algebraisk topologi, utan att behöva en grund i singular homologi , eller metoden för enkel approximation. Den innehåller mycket material på korsade moduler .
- Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2: a uppl.), Läsning: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
- Greenberg, Marvin J .; Harper, John R. (1981), Algebraic Topology: A First Course, Revised edition , Mathematics Lecture Note Series, Westview/Perseus, ISBN 9780805335576. Ett funktional, algebraiskt tillvägagångssätt ursprungligen av Greenberg med geometrisk smak som har lagts till av Harper.
- Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. En modern, geometriskt smaksatt introduktion till algebraisk topologi.
- Higgins, Philip J. (1971), Anteckningar om kategorier och gruppoider , Van Nostrand Reinhold, ISBN 9780442034061
- Maunder, CRF (1970), Algebraic Topology , London: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-486-69131-4.
- tom Dieck, Tammo (2008), Algebraic Topology , EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society, ISBN 978-3-03719-048-7
- van Kampen, Egbert (1933), "Om sambandet mellan de grundläggande grupperna i vissa relaterade utrymmen", American Journal of Mathematics , 55 (1): 261–7, JSTOR 51000091
Vidare läsning
- Hatcher, Allen (2002). Algebraisk topologi . Cambridge University Press . ISBN 0-521-79160-X.och ISBN 0-521-79540-0 .
- "Algebraisk topologi" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Maj JP (1999). En kortfattad kurs i algebraisk topologi (PDF) . University of Chicago Press . Hämtad 2008-09-27 . Avsnitt 2.7 ger en kategori-teoretisk presentation av satsen som en kolimit i kategorin groupoids.