Knut (matematik) - Knot (mathematics)
I matematik , en knut är en inbäddning av en topologisk cirkel S 1 i 3-dimensionell Euclidean utrymme , R 3 (även känd som E 3 ), anses upp till kontinuerliga deformationer ( isotopies ).
En avgörande skillnad mellan de matematiska standard- och konventionella föreställningarna om en knut är att matematiska knutar är stängda - det finns inga ändar att knyta eller lossa på en matematisk knut. Fysiska egenskaper som friktion och tjocklek gäller inte heller, även om det finns matematiska definitioner av en knut som tar hänsyn till sådana egenskaper. Termen knut tillämpas också på inbäddningar av S j i S n , särskilt i fallet j = n - 2 . Grenen av matematik som studerar knutar är känd som knopteori och har många enkla relationer till grafteori .
Formell definition
En knut är en inbäddning av cirkeln ( S 1 ) i det tredimensionella euklidiska utrymmet ( R 3 ), eller 3-sfären ( S 3 ), eftersom 3-sfären är kompakt . Två knop definieras som ekvivalenta om det finns en omgivande isotopi mellan dem.
Utsprång
En knut i R 3 (eller alternativt i den 3-sfären , S 3 ), kan projiceras på ett plan R 2 (respektive en sfär S 2 ). Denna projektion är nästan alltid regelbunden , vilket betyder att den är injicerande överallt, förutom vid ett begränsat antal korsningspunkter, som är projektionerna av endast två punkter i knuten, och dessa punkter är inte kollinära . I det här fallet, genom att välja en projektionssida, kan man helt koda isotopiklassen för knuten genom dess vanliga projektion genom att registrera en enkel över/under -information vid dessa korsningar. I grafteoriska termer är en vanlig projicering av en knut eller ett knutdiagram alltså en kvadrivalent plan graf med över/underdekorerade hörn. De lokala modifieringarna av denna graf som gör det möjligt att gå från ett diagram till ett annat diagram över samma knut (upp till omgivande isotopi av planet) kallas Reidemeister -rörelser .
Reidemeister move 1
Reidemeister move 2
Reidemeister move 3
Typer av knutar
Den enklaste knuten, kallad oknut eller trivial knut, är en rund cirkel inbäddad i R 3 . I ordets vanliga mening är knuten inte alls ”knuten”. De enklaste otrivna knutarna är trefoil-knuten ( 3 1 i tabellen), siffran-åtta knop ( 4 1 ) och cinquefoil-knuten ( 5 1 ).
Flera knop, länkade eller trassliga ihop, kallas länkar . Knutar är länkar med en enda komponent.
Tama kontra vilda knutar
En polygonal knut är en knut, vars bild i R 3 är union av en ändlig uppsättning av linjesegment . En tam knut är vilken knut som helst som motsvarar en polygonal knut. Knutar som inte är tama kallas vilda och kan ha patologiskt beteende. I knutteori och 3-mångfaldig teori utelämnas ofta adjektivet "tamt". Smidiga knutar, till exempel, är alltid tama.
Inramad knut
En inramad knut är förlängningen av en tam knut till en inbäddning av den fasta torus D 2 × S 1 i S 3 .
Den inramning på knuten är den bindnings antalet av bilden av bandet jag × S 1 med knuten. En inramad knut kan ses som det inbäddade bandet och inramningen är det (signerade) antalet vändningar. Denna definition generaliserar till en analog för ramade länkar . Inramade länkar sägs vara ekvivalenta om deras tillägg till fast tori är omgivande isotop.
Inramade länkdiagram är länkdiagram med varje komponent markerad, för att indikera inramning, med ett heltal som representerar en lutning i förhållande till meridianen och föredragen longitud. Ett vanligt sätt att se ett länkdiagram utan markeringar som representerar en inramad länk är att använda tavlan . Denna inramning erhålls genom att varje komponent omvandlas till ett band som ligger platt på planet. Ett Reidemeister -drag av typ I ändrar tydligt tavlans inramning (det ändrar antalet vridningar i ett band), men de andra två rörelserna gör det inte. Att ersätta den typ jag flyttar med en modifierad typ som jag flyttar ger ett resultat för länkdiagram med tavlor som liknar Reidemeister -satsen: Länkdiagram, med tavlans inramning, representerar motsvarande inramade länkar om och bara om de är anslutna med en sekvens av (modifierad ) rörelser av typ I, II och III. Med en knut kan man definiera oändligt många ramar på den. Antag att vi får en knut med en fast ram. Man kan få en ny inramning från den befintliga genom att klippa ett band och vrida det en heltalmultipel av 2π runt knuten och sedan limma tillbaka igen på den plats där vi klippte. På så sätt får man en ny inramning från en gammal, upp till ekvivalensrelationen för inramade knutar „som låter knuten vara fast. Inramningen i denna mening är associerad med antalet vridningar som vektorfältet utför runt knuten. Att veta hur många gånger vektorfältet vrids runt knuten gör det möjligt att bestämma vektorfältet upp till diffeomorfism, och ekvivalensklassen för inramningen bestäms helt av detta heltal som kallas ramens heltal.
Knut komplement
Med tanke på en knut i 3-sfären är knutkomplementet alla punkterna i 3-sfären som inte finns i knuten. En stor sats av Gordon och Luecke säger att högst två knop har homeomorfa komplement (den ursprungliga knuten och dess spegelreflektion). Detta förvandlar i själva verket studiet av knutar till studiet av deras komplement, och i sin tur till tre-mångfaldig teori .
JSJ sönderdelning
Den JSJ nedbrytning och Thurston s hyperbolization teorem minskar studiet av knutar i 3-sfären till studiet av olika geometriska grenrör via skarvning eller satellitverksamhet . På bilden visar JSJ-sönderdelningen komplementet i föreningen av tre grenrör: två trefoil-komplement och komplementet till de borromeiska ringarna . Trebladingen komplementet har geometrin för H 2 × R , medan den Borromean ringar komplementet har geometri H 3 .
Harmoniska knutar
Parametriska representationer av knutar kallas harmoniska knutar. Aaron Trautwein sammanställde parametriska representationer för alla knutar upp till och med dem med ett överskridande nummer 8 i sin doktorsavhandling.
Tillämpningar för grafteori
Medial graf
En annan bekväm representation av knutdiagram introducerades av Peter Tait 1877.
Varje knutdiagram definierar ett plant diagram vars hörn är korsningarna och vars kanter är banor mellan på varandra följande korsningar. Exakt en sida av detta plana diagram är obegränsad; var och en av de andra är homeomorf till en tvådimensionell skiva . Färg dessa ansikten svart eller vitt så att det obegränsade ansiktet är svart och två ansikten som delar en kantkant har motsatta färger. Den Jordans Kurvsats innebär att det är precis en sådan färg.
Vi konstruerar en ny plangraf vars hörn är de vita ytorna och vars kanter motsvarar korsningar. Vi kan märka varje kant i denna graf som en vänster eller höger kant, beroende på vilken tråd som verkar gå över den andra när vi ser motsvarande korsning från en av kantens slutpunkter. Vänster och höger kant indikeras vanligtvis genom att märka vänster kant + och höger kant - eller genom att rita vänstra kanter med heldragna linjer och högra kanter med streckade linjer.
Det ursprungliga knutdiagrammet är det mediala diagrammet för detta nya plangraf, med typen av varje korsning bestämd av tecknet på motsvarande kant. Att ändra tecknet på varje kant motsvarar att reflektera knuten i en spegel .
Länklös och knutlös inbäddning
I två dimensioner får endast de plana graferna bäddas in i det euklidiska planet utan korsningar, men i tre dimensioner kan alla oriktade diagram vara inbäddade i rymden utan korsningar. Emellertid tillhandahålls en rumslig analog av de plana graferna av graferna med länklösa inbäddningar och knutfria inbäddningar . En länklös inbäddning är en inbäddning av grafen med egenskapen att två cykler är bortkopplade ; en knutlös inbäddning är en inbäddning av grafen med egenskapen att varje enskild cykel är knuten . Graferna som har länklösa inbäddningar har en förbjuden grafkarakterisering som involverar Petersen -familjen , en uppsättning med sju grafer som är i själva verket länkade: oavsett hur de är inbäddade kommer några två cykler att länkas med varandra. En fullständig karakterisering av graferna med knutlösa inbäddningar är inte känd, men den fullständiga grafen K 7 är en av de minimala förbjudna graferna för knutlös inbäddning: oavsett hur K 7 är inbäddad kommer den att innehålla en cykel som bildar en trefoil knut .
Generalisering
I samtida matematik används termen knut ibland för att beskriva ett mer allmänt fenomen relaterat till inbäddningar. Givet ett grenrör M med en subgrenrör N , en ibland säger N kan knyts i M om det finns en inbäddning av N i M som inte är isotop till N . Traditionella knutar utgör fallet där N = S 1 och M = R 3 eller M = S 3 .
De Schoenflies sats säger att cirkeln inte knut i 2-sfären: varje topologiska cirkel i 2-sfären är isotop till en geometrisk cirkel. Alexanders sats säger att 2-sfären inte knyter smidigt (eller PL eller tämjer topologiskt) i 3-sfären. I den tama topologiska kategorin är det känt att n -sfären inte knyter ihop i n + 1 -sfären för alla n . Detta är en sats av Morton Brown , Barry Mazur och Marston Morse . Den Alexander horned sfären är ett exempel på en knuten 2-sfär i 3-sfären som inte är tam. I den smidiga kategorin är det känt att n -sfären inte knutar i n + 1 -sfären som tillhandahålls n ≠ 3 . Fallet n = 3 är ett långvarigt problem som är nära besläktat med frågan: medger 4-bollen en exotisk slät struktur ?
André Haefliger bevisade att det inte finns några släta j -dimensionella knop i S n förutsatt 2 n -3 j -3> 0 , och gav ytterligare exempel på knutna sfärer för alla n > j ≥ 1 så att 2 n -3 j -3 = 0 . n - j kallas kodimension på knuten. En intressant aspekt av Haefligers arbete är att isotopiklasserna av inbäddningar av S j i S n bildar en grupp, med gruppoperation som ges av kopplingssumman, förutsatt att ko-dimensionen är större än två. Haefliger bygger sitt arbete på Stephen Smale s h -cobordism teorem . En av Smales satser är att när man hanterar knutar i samdimension som är större än två, har även ojämlika knutar diffeomorfa komplement. Detta ger ämnet en annan smak än co-dimension 2 knop teori. Om man tillåter topologiska eller PL-isotopier, bevisade Christopher Zeeman att sfärer inte knyter när ko-dimensionen är större än 2. Se en generalisering till grenrör .
Se även
Anteckningar
Referenser
- Adams, Colin C. (1994). Knutboken: En grundläggande introduktion till den matematiska teorin om knutar . WH Freeman. ISBN 978-0-7167-2393-6.
- Armstrong, MA (1983) [1979]. Grundläggande topologi . Grundtexter i matematik . Springer. ISBN 0-387-90839-0.
- Cromwell, Peter R. (2004). Knutar och länkar . Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511809767 . ISBN 0-521-83947-5. MR 2107964 .
- Bonde, David W .; Stanford, Theodore B. (1995). Knutar och ytor: En guide för att upptäcka matematik . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-7265-9.
- Livingstone, Charles (1993). Knutteori . Mathematical Association of America läroböcker. 24 . The Mathematical Association of America. ISBN 9780883850008.