De Rham kohomologi - De Rham cohomology

Vektorfält motsvarande en differentialform på det punkterade planet som är stängt men inte exakt, vilket visar att de Rham-kohomologin i detta utrymme är icke-trivial.

I matematik är de Rham kohomologi (uppkallad efter Georges de Rham ) ett verktyg som tillhör både algebraisk topologi och differential topologi , som kan uttrycka grundläggande topologisk information om släta grenrör i en form som är särskilt anpassad för beräkning och den konkreta representationen av kohomologiklasser . Det är en kohomologi teori baserad på förekomsten av differentialformer med föreskrivna egenskaper.

Varje exakt form är stängd, men det omvända är inte nödvändigtvis sant. Å andra sidan finns det ett samband mellan misslyckad exakthet och existens av "hål". De Rham kohomologigrupper är en uppsättning invarianter av släta grenrör som gör ovannämnda relation kvantitativ och kommer att diskuteras i denna artikel.

Integrationen på formulärkonceptet är av grundläggande betydelse inom differentiell topologi, geometri och fysik, och ger också ett av de viktigaste exemplen på kohomologi , nämligen de Rham -kohomologi , som (grovt sett) mäter exakt i vilken utsträckning grundsatsen för calculus misslyckas i högre dimensioner och på allmänna grenrör.
-  Terence Tao , differentialformer och integration

Definition

De Rham -komplexet är cochain -komplexet av differentialformer på något slät grenrör M , med det yttre derivatet som differentialen:

${\ displaystyle 0 \ to \ Omega ^{0} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^{1} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^{2} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^{3} (M) \ till \ cdots,}$

där Ω ⁰ ( M ) är utrymmet för mjuka funktioner på M , Ω ¹ ( M ) är utrymmet för 1 -former osv. Former som är bilden av andra former under det yttre derivatet , plus den konstanta 0 -funktionen i Ω ⁰ ( M ) , kallas exakt och former vars yttre derivat är 0 kallas slutna (se Stängda och exakta differentialformer ); förhållandet d ² = 0 säger då att exakta former stängs.

Däremot är slutna former inte nödvändigtvis exakta. Ett illustrativt fall är en cirkel som ett grenrör, och 1 -formen som motsvarar derivatet av vinkel från en referenspunkt i dess centrum, typiskt skriven som dθ (beskrivs i stängda och exakta differentialformer ). Det finns ingen funktion θ definierad på hela cirkeln så att dθ är dess derivat; ökningen av 2 π i att gå en gång runt cirkeln i den positiva riktningen innebär en flervärdesfunktion θ . Att ta bort en punkt i cirkeln undviker detta, samtidigt som man ändrar topologin hos grenröret.

Tanken bakom de Rham kohomologi är att definiera ekvivalensklasser av slutna former på en grenrör. Man klassificerar två slutna former α , β ∈ Ω ^k ( M ) som kohomologa om de skiljer sig med en exakt form, det vill säga om α - β är exakt. Denna klassificering inducerar en ekvivalensrelation på utrymmet för slutna former i Ω ^k ( M ) . Man definierar sedan k -th de Rham kohomologigruppen för att vara uppsättningen ekvivalensklasser, det vill säga uppsättningen slutna former i Ω ^k ( M ) modulo de exakta formerna. ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M)}$

Observera att för varje grenrör M bestående av m frånkopplade komponenter, som var och en är ansluten , har vi det

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^{0} (M) \ cong \ mathbb {R} ^{m}.}$

Detta följer av det faktum att varje smidig funktion på M med noll derivatet överallt är separat konstant på var och en av de anslutna komponenterna av M .

De Rham kohomologi beräknat

Man kan ofta hitta de allmänna de Rham -kohomologierna för ett mångfald med hjälp av ovanstående faktum om nollkohomologin och en Mayer – Vietoris -sekvens . Ett annat användbart faktum är att de Rham -kohomologin är en homotopi -invariant. Även om beräkningen inte ges är följande de beräknade de Rham -kohomologierna för några vanliga topologiska objekt:

Den n -sphere

För n -sfären , och även när den tas tillsammans med en produkt med öppna intervall, har vi följande. Låt n > 0, m ≥ 0 , och jag vara ett öppet verkligt intervall. Sedan ${\ displaystyle S^{n}}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (S^{n} \ gånger I^{m}) \ simeq {\ begin {cases} \ mathbb {R} & k = 0 {\ text {eller }} k = n, \\ 0 & k \ neq 0 {\ text {och}} k \ neq n. \ slut {fall}}}$

Den n -torus

Den -torus är den cartesianska produkt: . På samma sätt, tillåter vi här, får vi ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T^{n} = \ underbrace {S^{1} \ times \ cdots \ times S^{1}} _ {n}}$${\ displaystyle n \ geq 1}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (T^{n}) \ simeq \ mathbb {R}^{n \ välj k}.}$

Vi kan också hitta explicita generatorer för torus de Rham -kohomologi direkt med hjälp av differentialformer. Med tanke på en kvotmanifold och en differentiell form kan vi säga att den är -variabel om den ges någon diffeomorfism som orsakas av , vi har . I synnerhet tillbakadragande av någon form på är -invariant. Tillbakadragandet är också en injektiv morfism. I vårt fall av differentialformerna är -variant sedan . Men notera att för inte är en invariant -form. Detta med injektivitet innebär det ${\ displaystyle \ pi: X \ till X/G}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^{k} (X)}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ cdot g: X \ till X}$${\ displaystyle (\ cdot g)^{*} (\ omega) = \ omega}$${\ displaystyle X/G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}/\ mathbb {Z} ^{n}}$${\ displaystyle dx_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^{n}}$${\ displaystyle d (x_ {i}+k) = dx_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i}+\ alpha}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0}$

${\ displaystyle [dx_ {i}] \ i H_ {dR}^{1} (T^{n})}$

Eftersom kohomologi ringen av en torus genereras av , tar de yttre produkterna av dessa former ger alla de uttryckliga representanter för de Rham kohomologi av en torus. ${\ displaystyle H^{1}}$

Punkterat euklidiskt utrymme

Punkterat euklidiskt utrymme är helt enkelt med ursprunget borttaget. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle H _ {\ text {dR}} ^{k} (\ mathbb {R} ^{n} \ setminus \ {0 \}) \ cong {\ begin {cases} \ mathbb {R} ^{2} & n = 1, k = 0 \\\ mathbb {R} & n> 1, k = 0, n-1 \\ 0 & {\ text {annars}} \ slut {fall}}.}$

Möbiusremsan

Vi kan härleda från det faktum att Möbius -remsan , M , kan deformationen dras tillbaka till 1 -sfären (dvs. den verkliga enhetscirkeln), att:

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M) \ simeq H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (S^{1}).}$

De Rhams sats

Stokes sats är ett uttryck för dualitet mellan de Rham kohomologi och homologin i kedjor . Den säger att parningen av differentiella former och kedjor, via integration, ger en homomorfism från de Rham -kohomologi till enstaka kohomologigrupper De Rham's sats , bevisad av Georges de Rham 1931, säger att för en jämn mångfaldig M är denna karta faktiskt en isomorfism . ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M)}$ ${\ displaystyle H^{k} (M; \ mathbb {R}).}$

Mer exakt, överväga kartan

${\ displaystyle I: H _ {\ mathrm {dR}}^{p} (M) \ till H^{p} (M; \ mathbb {R}),}$

definieras enligt följande: låt I ( ω ) vara elementet i det som fungerar enligt följande: ${\ displaystyle [\ omega] \ i H _ {\ mathrm {dR}}^{p} (M)}$${\ displaystyle {\ text {Hom}} (H_ {p} (M), \ mathbb {R}) \ simeq H^{p} (M; \ mathbb {R})}$

${\ displaystyle H_ {p} (M) \ ni [c] \ longmapsto \ int _ {c} \ omega.}$

Teoremet om de Rham hävdar att detta är en isomorfism mellan de Rham -kohomologi och singulär kohomologi.

Den yttre produkten förser den direkta summan av dessa grupper med en ringstruktur . Ett ytterligare resultat av satsen är att de två kohomologiska ringarna är isomorfa (som graderade ringar ), där den analoga produkten på singulär kohomologi är koppprodukten .

Skivtteoretisk de Rham-isomorfism

De Rham -kohomologin är isomorf för Čech -kohomologin , där är vallen av abeliska grupper som bestäms av för alla anslutna öppna uppsättningar och för öppna uppsättningar så att gruppmorfismen ges av identitetskartan på och var är ett bra öppet omslag av (dvs alla öppna uppsättningar i det öppna locket är sammandragbara till en punkt, och alla ändliga korsningar av uppsättningar i är antingen tomma eller sammandragbara till en punkt). Med andra ord är den konstanta skivan som ges genom skivning av den konstanta förskottstilldelningen . ${\ displaystyle H^{*} ({\ mathcal {U}}, F)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F (U) = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle U \ delmängd M}$${\ displaystyle U, V}$${\ displaystyle U \ delmängd V}$${\ displaystyle {\ text {res}} _ {V, U}: {\ understrykning {\ mathbb {R}}} (V) \ till {\ understrykning {\ mathbb {R}}} (U)}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F (U) = \ mathbb {R}}$

Uttryckt på ett annat sätt, om det är en kompakt C ^{m +1} mångfaldsgren , så finns det en isomorfism för varje${\ displaystyle M}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle k \ leq m}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M) \ cong {\ check {H}}^{k} (M, {\ understrykning {\ mathbb {R}}}))}$

där den vänstra sidan är -th de Rham-kohomologigruppen och den högra sidan är Čech-kohomologin för konstant skiva med fiber${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Bevis

Låt beteckna kärve av bakterier av -formerna på (med bunten funktioner på ). Enligt Poincaré -lemma är följande sekvens av skivor exakt (i kategorin skivor): ${\ displaystyle \ Omega ^{k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ Omega ^{0}}$${\ displaystyle C^{m+1}}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle 0 \ till {\ understrykning {\ mathbb {R}}} \ till \ Omega ^{0} \, \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^{1} \, \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^{2} \, \ xrightarrow {d} \ dots \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^{m} \ to 0.}$

Denna sekvens bryts nu upp i korta exakta sekvenser

${\ displaystyle 0 \ to d \ Omega ^{k-1} \, {\ xrightarrow {\ subset}} \, \ Omega ^{k} \, {\ xrightarrow {d}} \, d \ Omega ^{k } \ till 0.}$

Var och en av dessa inducerar en lång exakt sekvens inom kohomologi. Eftersom bunten funktioner på ett grenrör medger partitioner om enhet , den kärve-Snittkohomologi försvinner för . Så de långa exakta kohomologisekvenserna själva i slutändan separeras i en kedja av isomorfismer. I ena änden av kedjan finns Čech -kohomologin och i den andra ligger de Rham -kohomologin. ${\ displaystyle C^{m+1}}$${\ displaystyle H ^{i} (\ Omega ^{k})}$${\ displaystyle i> 0}$

Relaterade idéer

De Rham -kohomologin har inspirerat många matematiska idéer, inklusive Dolbeault -kohomologi , Hodge -teorin och Atiyah -Singer index -satsen . Men även i mer klassiska sammanhang har satsen inspirerat till en rad utvecklingar. För det första bevisar Hodge -teorin att det finns en isomorfism mellan kohomologin som består av harmoniska former och de Rham -kohomologin som består av slutna former modulo exakta former. Detta bygger på en lämplig definition av harmoniska former och av Hodge -satsen. För mer information, se Hodge -teorin .

Harmoniska former

Om M är ett kompakt Riemannian -grenrör innehåller varje likvärdighetsklass i exakt en harmonisk form . Det vill säga att varje medlem i en given ekvivalensklass av slutna former kan skrivas som ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M)}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ omega = \ alfa +\ gamma}$

där är exakt och är harmonisk: . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ Delta \ gamma = 0}$

Varje harmonisk funktion på ett kompakt anslutet Riemannian -grenrör är konstant. Således kan detta särskilda representativa element förstås som ett extremum (ett minimum) av alla kohomologiskt ekvivalenta former på fördelaren. Till exempel, på en 2 - torus , kan man föreställa sig en konstant 1 -form som en där alla "hair" kammas prydligt i samma riktning (och alla av "hår" som har samma längd). I det här fallet finns det två kohomologiskt distinkta kammningar; alla andra är linjära kombinationer. I synnerhet innebär detta att det första Betti -numret på en 2 -torus är två. Mer allmänt, på en -dimensionell torus , kan man överväga de olika kammningarna av -former på torus. Det finns välj sådana kamningar som kan användas för att bilda grundvektorerna för ; det th Betti nummer för de rhamkohomologi grupp för -torus alltså välja . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T^{n}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle H _ {\ text {dR}}^{k} (T^{n})}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$

Mer exakt, för ett differentialgrenrör M , kan man utrusta det med något extra Riemannian -mått . Sedan definieras lapplacian av ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle \ Delta = d \ delta +\ delta d}$

med den yttre derivatet och den codifferential . Laplacian är en homogen (i gradering ) linjär differentialoperator som verkar på den yttre algebra av differentialformer : vi kan titta på dess verkan på varje komponent av grad separat. ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle k}$

Om är kompakt och orienterade , att dimensionen hos kärnan av Laplace verkar på loppet av k -formerna är då lika (av Hodge teori ) med den för Rham Snittkohomologi gruppen i grad de : plockar Laplace ut en unik harmonisk formen i varje kohomologiklass av slutna former . I synnerhet är utrymmet för alla harmoniska -former på isomorft till Dimensionen för varje sådant utrymme är begränsad och ges av -th Betti -talet . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle H^{k} (M; \ mathbb {R}).}$${\ displaystyle k}$

Hodge sönderdelning

Låt vara en kompakt orienterad Riemannian grenrör . De Hodge nedbrytnings anges att någon -formen på ett unikt sätt delar sig i summan av tre L ² komponenter: ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ omega = \ alfa +\ beta +\ gamma,}$

där är exakt, är samexakt och är harmoniskt. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ gamma}$

Man säger att en form är co-stängas om och co-exakt om någon form , och det är harmonisk om Laplace är noll, . Detta följer genom att notera att exakta och samexakta former är ortogonala; det ortogonala komplementet består då av former som är både slutna och samstängda: det vill säga av harmoniska former. Här definieras ortogonalitet med avseende på den inre produkten L ² på : ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ delta \ beta = 0}$${\ displaystyle \ beta = \ delta \ eta}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ Delta \ gamma = 0}$${\ displaystyle \ Omega ^{k} (M)}$

${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) = \ int _ {M} \ alpha \ wedge {\ star \ beta}.}$

Genom att använda Sobolev -mellanslag eller fördelningar kan sönderdelningen till exempel utvidgas till ett komplett (orienterat eller inte) Riemannian -grenrör.

Se även

• Hodge teori
• Integration längs fibrer (för de Rham -kohomologi ges framåt genom integration )

Citat

Referenser

externa länkar

• Idé med De Rham Cohomology in Mathifold Project
• "De Rham cohomology" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]