Abstrakt algebra - Abstract algebra
I algebra , som är en bred division av matematik , är abstrakt algebra (ibland kallad modern algebra ) studiet av algebraiska strukturer . Algebraiska strukturer inkluderar grupper , ringar , fält , moduler , vektorutrymmen , gitter och algebror . Begreppet abstrakt algebra myntades i början av 1900 -talet för att skilja detta studieområde från äldre delar av algebra, och mer specifikt från elementär algebra , användningen av variabler för att representera tal i beräkning och resonemang.
Algebraiska strukturer, med tillhörande homomorfismer , bildar matematiska kategorier . Kategoriteori är en formalism som möjliggör ett enhetligt sätt att uttrycka egenskaper och konstruktioner som liknar olika strukturer.
Universell algebra är ett besläktat ämne som studerar typer av algebraiska strukturer som enskilda objekt. Till exempel är gruppernas struktur ett enda objekt i universell algebra, som kallas olika grupper .
Historia
Som i andra delar av matematiken har konkreta problem och exempel spelat viktiga roller i utvecklingen av abstrakt algebra. Under slutet av artonhundratalet var många - kanske de flesta - av dessa problem på något sätt relaterade till teorin om algebraiska ekvationer . Viktiga teman inkluderar:
- Lösning av system för linjära ekvationer , vilket ledde till linjär algebra
- Försök att hitta formler för lösningar av allmänna polynomekvationer av högre grad som resulterade i upptäckt av grupper som abstrakta symmetri manifestationer
- Aritmetiska undersökningar av kvadratiska och högre-graders former och diofantisk ekvation , som direkt producerats begreppen en ring och perfekt .
Många läroböcker i abstrakt algebra börjar med axiomatiska definitioner av olika algebraiska strukturer och fortsätter sedan med att fastställa deras egenskaper. Detta skapar ett falskt intryck av att axiom i algebra hade kommit först och sedan fungerat som en motivation och som grund för vidare studier. Den sanna ordningen för historisk utveckling var nästan exakt motsatsen. Till exempel hade hyperkomplexa siffror från artonhundratalet kinematik och fysiska motivationer men utmanade förståelsen. De flesta teorier som nu erkänns som delar av algebra började som samlingar av olika fakta från olika grenar av matematik, förvärvade ett gemensamt tema som fungerade som en kärna kring vilken olika resultat grupperades och slutligen blev enade på grundval av en gemensam uppsättning begrepp. Ett arketypiskt exempel på denna progressiva syntes kan ses i gruppteorins historia .
Tidig gruppteori
Det fanns flera trådar i den tidiga utvecklingen av gruppteori, i moderna språk som löst motsvarar talteori , ekvationsteori och geometri .
Leonhard Euler ansåg algebraiska operationer på tal modulo ett heltal - modulär aritmetik - i sin generalisering av Fermats lilla sats . Dessa undersökningar togs mycket längre av Carl Friedrich Gauss , som övervägde strukturen för multiplikativa grupper av rester mod n och etablerade många egenskaper hos cykliska och mer allmänna abeliska grupper som uppstår på detta sätt. I sina undersökningar av sammansättningen av binära kvadratiska former angav Gauss uttryckligen associeringslagen för sammansättningen av former, men liksom Euler före honom verkar han ha varit mer intresserad av konkreta resultat än av allmän teori. År 1870 gav Leopold Kronecker en definition av en abelsk grupp inom ramen för idealklassgrupper inom ett talfält, vilket generaliserade Gauss arbete; men det verkar som om han inte kopplade sin definition till tidigare arbete med grupper, särskilt permutationsgrupper. År 1882, med tanke på samma fråga, insåg Heinrich M. Weber sambandet och gav en liknande definition som innebar annulleringsegenskapen men utelämnade förekomsten av det inversa elementet , vilket var tillräckligt i hans sammanhang (ändliga grupper).
Permutationer studerades av Joseph-Louis Lagrange i hans 1770-papper Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Tankar på den algebraiska ekvationslösningen) som ägnades åt lösningar av algebraiska ekvationer, där han introducerade Lagrange-lösningsmedel . Lagranges mål var att förstå varför ekvationer av tredje och fjärde grad tillåter formler för lösningar, och han identifierade som nyckelobjekt permutationer av rötterna. Ett viktigt nytt steg som Lagrange tog i detta dokument var den abstrakta synen på rötterna, dvs som symboler och inte som siffror. Men han övervägde inte sammansättningen av permutationer. Serendipitously, den första upplagan av Edward Waring 's Meditationes Algebraicae ( Meditations på Algebra ) dök upp i samma år, med en utökad version som publicerades i 1782. Waring bevisade fundamentalsats symmetriska polynom , och speciellt anses sambandet mellan rötterna i en kvartsekvation och dess upplösande kubik. Mémoire sur la résolution des équations ( Memoire on the Solving of Equations ) av Alexandre Vandermonde (1771) utvecklade teorin om symmetriska funktioner från en något annan vinkel, men som Lagrange, med målet att förstå algebraiska ekvationer.
Kronecker påstod 1888 att studiet av modern algebra började med detta första papper av Vandermonde. Cauchy konstaterar helt klart att Vandermonde hade prioritet framför Lagrange för denna anmärkningsvärda idé, som så småningom ledde till studiet av gruppteori.
Paolo Ruffini var den första personen som utvecklade teorin om permutationsgrupper , och liksom hans föregångare, också i samband med att lösa algebraiska ekvationer. Hans mål var att fastställa omöjligheten för en algebraisk lösning till en allmän algebraisk ekvation med högre grad än fyra. På vägen mot detta mål introducerade han begreppet ordning för ett element i en grupp, konjugation, cykelnedbrytning av element i permutationsgrupper och föreställningarna om primitiv och imprimitiv och bevisade några viktiga satser som rör dessa begrepp, som t.ex.
om G är en undergrupp av S 5 vars ordning är delbar med 5 innehåller G ett element av ordning 5.
Han klarade sig dock utan att formalisera konceptet med en grupp, eller ens en permutationsgrupp. Nästa steg togs av Évariste Galois 1832, även om hans arbete förblev opublicerat till 1846, då han för första gången övervägde vad som nu kallas stängningsegenskap för en grupp permutationer, som han uttryckte som
om man i en sådan grupp har substitutionerna S och T har man substitutionen ST.
Teorin om permutationsgrupper fick ytterligare långtgående utveckling i händerna på Augustin Cauchy och Camille Jordan , både genom introduktion av nya koncept och i första hand en stor mängd resultat om speciella klasser av permutationsgrupper och till och med några allmänna satser. Bland annat definierade Jordanien en uppfattning om isomorfism , fortfarande i samband med permutationsgrupper och för övrigt var det han som använde termen grupp i stor utsträckning.
Den abstrakta föreställningen om en grupp dök upp för första gången i Arthur Cayleys papper 1854. Cayley insåg att en grupp inte behöver vara en permutationsgrupp (eller till och med begränsad ), och istället kan bestå av matriser , vars algebraiska egenskaper, t.ex. multiplikation och inverser, undersökte han systematiskt under de kommande åren. Långt senare skulle Cayley återkomma till frågan om abstrakta grupper var mer allmänna än permutationsgrupper, och fastslog att i själva verket varje grupp är isomorf för en grupp permutationer.
Modern algebra
I slutet av 1800 -talet och början av 1900 -talet skedde en förändring av matematikens metodik. Abstrakt algebra uppstod runt början av 1900 -talet, under namnet modern algebra . Studien var en del av drivkraften för mer intellektuell stringens i matematik. Ursprungligen antog antagandena inom klassisk algebra , som hela matematiken (och stora delar av naturvetenskapen ) är beroende av, axiomatiska system . Matematikerna var inte längre nöjda med att fastställa egenskaper hos betongobjekt och började rikta sin uppmärksamhet mot allmän teori. Formella definitioner av vissa algebraiska strukturer började dyka upp på 1800 -talet. Till exempel kom resultat om olika grupper av permutationer att ses som exempel på allmänna satser som rör en allmän uppfattning om en abstrakt grupp . Frågor om struktur och klassificering av olika matematiska objekt kom i spetsen.
Dessa processer förekom genom hela matematiken, men blev särskilt uttalade i algebra. Formell definition genom primitiva operationer och axiom föreslogs för många grundläggande algebraiska strukturer, såsom grupper , ringar och fält . Därför tog sådant som gruppteori och ringteori plats i ren matematik . Algebraiska undersökningar av allmänna fält av Ernst Steinitz och av kommutativa och sedan allmänna ringar av David Hilbert , Emil Artin och Emmy Noether , som bygger på arbetet av Ernst Kummer , Leopold Kronecker och Richard Dedekind , som hade övervägt ideal i kommutativa ringar, och av Georg Frobenius och Issai Schur , om representationsteori för grupper, kom att definiera abstrakt algebra. Denna utveckling av den sista fjärdedelen av 19-talet och det första kvartalet 20th century systematiskt exponeras i Bartel van der Waerden 's Moderne Algebra , två volymer monografi publicerades i 1930-1931 som för alltid förändrats till det matematiska världen innebörden av ordet algebra från ekvationsteorin till teorin om algebraiska strukturer .
Grundläggande koncept
Genom att ta bort olika mängder detaljer har matematiker definierat olika algebraiska strukturer som används inom många områden inom matematik. Till exempel, nästan alla system som studerats är uppsättningar , till vilka satser av mängdlära gäller. De uppsättningar som har en viss binär operation definierade på sig bildar magmas , för vilka begreppen om magmer, liksom de som gäller uppsättningar, gäller. Vi kan lägga till ytterligare begränsningar för den algebraiska strukturen, till exempel associativitet (för att bilda semigrupper ); identitet och inverser (för att bilda grupper ); och andra mer komplexa strukturer. Med ytterligare struktur kunde fler satser bevisas, men generaliteten reduceras. "Hierarkin" för algebraiska objekt (i termer av generalitet) skapar en hierarki med motsvarande teorier: till exempel kan teorierna i gruppteori användas när man studerar ringar (algebraiska objekt som har två binära operationer med vissa axiom) sedan en ring är en grupp över en av sina verksamheter. I allmänhet finns det en balans mellan mängden generalitet och teorins rikedom: mer allmänna strukturer har vanligtvis färre icke -privata satser och färre tillämpningar.
Exempel på algebraiska strukturer med en enda binär operation är:
Exempel på flera operationer inkluderar:
Ansökningar
På grund av sin allmänhet används abstrakt algebra inom många områden inom matematik och vetenskap. Till exempel använder algebraisk topologi algebraiska objekt för att studera topologier. Den Poincarés förmodan , visade år 2003, hävdar att grundläggande grupp av ett grenrör, som kodar information om samhörighet, kan användas för att avgöra om ett grenrör är en sfär eller inte. Algebraisk talteori studerar olika nummerringar som generaliserar uppsättningen heltal. Med hjälp av verktyg för algebraisk talteori bevisade Andrew Wiles Fermats sista sats .
Inom fysiken används grupper för att representera symmetrioperationer, och användningen av gruppteori kan förenkla differentialekvationer. I måttteori kan kravet på lokal symmetri användas för att härleda ekvationerna som beskriver ett system. Grupperna som beskriver dessa symmetrier är Lie -grupper , och studien av Lie -grupper och Lie -algebra avslöjar mycket om det fysiska systemet; till exempel är antalet kraftbärare i en teori lika med dimensionen av Lie -algebra, och dessa bosoner interagerar med den kraft de förmedlar om Lie -algebra är nonabelisk.
Se även
Referenser
- ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Alexandre-Théophile Vandermonde" , MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews
- ^ Schumm, Bruce (2004), Deep Down Things , Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-7971-X
Källor
- Allenby, RBJT (1991), Ringar, fält och grupper , Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-340-54440-2
- Artin, Michael (1991), Algebra , Prentice Hall , ISBN 978-0-89871-510-1
- Burris, Stanley N .; Sankappanavar, HP (1999) [1981], A Course in Universal Algebra
- Gilbert, Jimmie; Gilbert, Linda (2005), Elements of Modern Algebra , Thomson Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-40264-8
- Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Reviderad tredje upplagan), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
- Sethuraman, BA (1996), Rings, Fields, Vector Spaces, and Group Theory: An Introduction to Abstract Algebra via Geometric Constructibility , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94848-5
- Whitehead, C. (2002), Guide to Abstract Algebra (2nd ed.), Houndmills: Palgrave, ISBN 978-0-333-79447-0
- W. Keith Nicholson (2012) Introduction to Abstract Algebra , 4: e upplagan, John Wiley & Sons ISBN 978-1-118-13535-8 .
- John R. Durbin (1992) Modern Algebra: en introduktion , John Wiley & Sons
externa länkar
- Charles C. Pinter (1990) [1982] A Book of Abstract Algebra , andra upplagan, från University of Maryland