Presession - Precession

Precession av ett gyroskop

Precession är en förändring i orienteringen av rotationsaxeln för en roterande kropp. I en lämplig referensram kan den definieras som en förändring av den första Euler -vinkeln , medan den tredje Euler -vinkeln definierar själva rotationen . Med andra ord, om rotationsaxeln för en kropp i sig själv roterar kring en andra axel, sägs att den kroppen föregår kring den andra axeln. En rörelse där den andra Euler -vinkeln ändras kallas nutation . Inom fysiken finns det två typer av precession: vridmomentfritt och vridmomentinducerat.

I astronomi hänvisar precession till någon av flera långsamma förändringar i en astronomisk kropps rotations- eller orbitalparametrar. Ett viktigt exempel är den ständiga förändringen i orienteringen av jordens rotationsaxel , känd som jämviktens precession .

Momentfritt

Momentfri precession innebär att inget yttre moment (vridmoment) appliceras på kroppen. Vid vridmomentfri recession är vinkelmomentet en konstant, men vinkelhastighetsvektorn ändrar orientering med tiden. Det som gör detta möjligt är ett tidsvarierande tröghetsmoment , eller mer exakt, en tidsvarierande tröghetsmatris . Tröghetsmatrisen består av tröghetsmomenten för en kropp beräknad med avseende på separata koordinataxlar (t.ex. x , y , z ). Om ett objekt är asymmetriskt kring sin huvudsakliga rotationsaxel kommer tröghetsmomentet för varje koordinatriktning att förändras med tiden, samtidigt som vinkelmomentet bibehålls. Resultatet är att komponenten i kroppens vinkelhastigheter kring varje axel kommer att variera omvänt med varje axels tröghetsmoment.

Den vridmomentfria precessionstakten för ett objekt med en symmetriaxel, till exempel en skiva, som snurrar kring en axel som inte är i linje med den symmetriaxeln kan beräknas enligt följande:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {{\ boldsymbol {I}} _ {\ mathrm {s}} {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathrm {s}}} {{\ boldsymbol {I}} _ {\ mathrm {p}} \ cos ({\ boldsymbol {\ alpha}})}}}}$

där ω _p är precessionshastigheten, ω _s är centrifugeringshastigheten kring symmetriaxeln, I _s är tröghetsmomentet kring symmetriaxeln, I _p är tröghetsmoment om någon av de andra två lika vinkelräta huvudaxlarna, och α är vinkeln mellan tröghetsmomentet och symmetriaxeln.

När ett föremål inte är helt fast , tenderar inre virvlar att dämpa vridmomentfri precession, och rotationsaxeln kommer att anpassa sig till en av kroppens tröghetsaxlar.

För ett generiskt fast objekt utan någon symmetriaxel kan utvecklingen av objektets orientering, representerad (till exempel) av en rotationsmatris R som omvandlar interna till externa koordinater, numeriskt simuleras. Med tanke på objektets fasta interna tröghetsmoment tensor I ₀ och fast yttre vinkelmoment L är den momentana vinkelhastigheten

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ left ({\ boldsymbol {R}} \ right) = {\ boldsymbol {R}} {\ boldsymbol {I}} _ {0}^{-1} {\ fet symbol {R}}^{T} {\ boldsymbol {L}}}$

Presession uppstår genom att upprepade gånger beräkna ω och applicera en liten rotationsvektor ω dt under den korta tiden dt ; t.ex:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}} _ {\ text {new}} = \ exp \ left (\ left [{\ boldsymbol {\ omega}} \ left ({\ boldsymbol {R}} _ {\ text { gammal}} \ höger) \ höger] _ {\ gånger} dt \ höger) {\ fet symbol {R}} _ {\ text {gammal}}}$

för den skev-symmetriska matrisen [ ω ] _× . De fel som orsakas av ändliga tidssteg tenderar att öka den roterande kinetiska energin:

${\ displaystyle E \ left ({\ boldsymbol {R}} \ right) = {\ boldsymbol {\ omega}} \ left ({\ boldsymbol {R}} \ right) \ cdot {\ frac {\ boldsymbol {L} } {2}}}$

denna ofysiska tendens kan motverkas genom att upprepade gånger applicera en liten rotationsvektor v vinkelrätt mot både ω och L , och notera att

${\ displaystyle E \ left (\ exp \ left (\ left [{\ boldsymbol {v}} \ right] _ {\ times} \ right) {\ boldsymbol {R}} \ right) \ approx E \ left ({ \ boldsymbol {R}} \ right)+\ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ left ({\ boldsymbol {R}} \ right) \ times {\ boldsymbol {L}} \ right) \ cdot {\ fetstil {v}}}$

Momentinducerad

Vridmomentinducerad precession ( gyroskopisk precession ) är fenomenet där axeln hos ett snurrande objekt (t.ex. ett gyroskop ) beskriver en kon i rymden när ett externt vridmoment appliceras på det. Fenomenet ses vanligen i en snurrande leksakstopp , men alla roterande föremål kan genomgå precession. Om hastigheten av rotationen och storleken på den externa vridmoment är konstanta, kommer spin-axeln rör sig rät vinkel mot riktningen som intuitivt skulle resultera från den externa vridmoment. När det gäller en leksakstopp verkar dess vikt nedåt från dess masscentrum och markens normalkraft (reaktion) trycker upp den vid kontaktpunkten med stödet. Dessa två motsatta krafter ger ett vridmoment som får toppen att föregå.

Svaret från ett roterande system på ett applicerat vridmoment. När enheten snurrar och lite rulle läggs till tenderar hjulet att kasta.

Enheten som visas till höger (eller ovan på mobila enheter) är monterad på gimbal . Från insidan till utsidan finns det tre rotationsaxlar: hjulets nav, axelaxeln och den vertikala svängningen.

För att skilja mellan de två horisontella axlarna kallas rotation runt hjulnavet spinning , och rotation runt kardanaxeln kallas pitching . Rotation runt den vertikala svängaxeln kallas rotation .

Föreställ dig först att hela enheten roterar runt (vertikal) svängaxel. Sedan läggs hjulet till (runt hjulhylsan). Tänk dig att gimbalaxeln ska låsas, så att hjulet inte kan kasta. Gimbalaxeln har sensorer som mäter om det finns ett vridmoment runt gimbalaxeln.

På bilden har en del av hjulet fått namnet dm ₁ . Vid den visade tidpunkten är sektionen dm ₁ vid omkretsen av den roterande rörelsen runt den (vertikala) svängaxeln. Avsnitt dm ₁ , därför, har en hel del vinkel roterande hastighet med avseende på rotation runt svängaxeln, och såsom dm ₁ tvingas närmare svängningsaxeln för rotationen (av hjulet snurrar vidare), på grund av Coriolis-effekten , med avseende på den vertikala svängaxeln, tenderar dm ₁ att röra sig i pilens övre vänstra pil i diagrammet (visat vid 45 °) i rotationsriktningen runt svängaxeln. Sektion dm ₂ på hjulet rör sig bort från svängaxeln, och därför verkar en kraft (igen, en Corioliskraft) i samma riktning som i fallet med dm ₁ . Observera att båda pilarna pekar i samma riktning.

Samma resonemang gäller för den nedre halvan av hjulet, men där pekar pilarna i motsatt riktning mot de övre pilarna. Kombinerat över hela hjulet finns det ett vridmoment runt gimbalaxeln när viss snurrning läggs till rotation runt en vertikal axel.

Det är viktigt att notera att vridmomentet runt axelaxeln uppstår utan dröjsmål; svaret är omedelbart.

I diskussionen ovan hölls installationen oförändrad genom att förhindra pitching runt gimbalaxeln. När det gäller en snurrande leksakstopp, när spinntoppen börjar luta, utövar tyngdkraften ett vridmoment. Men istället för att rulla över, snurrar toppen bara lite. Denna kaströrelse omorienterar snurret med avseende på vridmomentet som utövas. Resultatet är att vridmomentet som utövas av gravitationen - via stigningsrörelsen - framkallar gyroskopisk precession (vilket i sin tur ger ett motmoment mot gravitationens vridmoment) snarare än att få snurran att falla åt sidan.

Precession eller gyroskopiska överväganden påverkar cykelns prestanda vid hög hastighet. Precession är också mekanismen bakom gyrokompass .

Klassisk (Newtonian)

Det vridmoment som orsakas av normalkraften - F _g och vikten på toppen orsakar en förändring i den rörelsemängdsmomentet L i riktning mot det vridmoment. Detta får toppen att föregå.

Precession är förändringen av vinkelhastighet och vinkelmoment som produceras av ett vridmoment. Den allmänna ekvationen som relaterar vridmomentet till ändringshastigheten för vinkelmoment är:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}}}$

var och är vridmoment- och vinkelmomentvektorerna respektive. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

På grund av hur vridmomentsvektorerna definieras är det en vektor som är vinkelrät mot planet för de krafter som skapar den. Således kan det ses att vinkelmomentvektorn kommer att förändras vinkelrätt mot dessa krafter. Beroende på hur krafterna skapas kommer de ofta att rotera med vinkelmomentvektorn och sedan skapas cirkulär precession.

Under dessa omständigheter ges vinkelhastigheten för recession av:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {\ mgr} {I _ {\ mathrm {s}} {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathrm {s }}}} = {\ frac {\ tau} {I _ {\ mathrm {s}} {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathrm {s}} \ sin (\ theta)}}}}$

där I _s är tröghetsmomentet , ω _s är spinnets vinkelhastighet kring spinnaxeln, m är massan, g är accelerationen på grund av gravitationen, θ är vinkeln mellan spinnaxeln och precessionsaxeln och r är avståndet mellan massans centrum och pivot. Vridmomentvektorn har sitt ursprung i massans centrum. Använda ω = 2π/T, Finner vi att tiden för precession ges av:

${\ displaystyle T _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {4 \ pi ^{2} I _ {\ mathrm {s}}} {\ mgrT _ {\ mathrm {s}}}} = {\ frac {4 \ pi ^{2} I _ {\ mathrm {s}} \ sin (\ theta)} {\ \ tau T _ {\ mathrm {s}}}}}$

Där I _s är tröghetsmomentet är T _s spinperioden kring spinnaxeln och τ är vridmomentet . I allmänhet är problemet dock mer komplicerat än så.

Diskussion

Det finns ett enkelt sätt att förstå varför gyroskopisk precession uppstår utan att använda någon matematik. Beteendet hos ett snurrande objekt lyder helt enkelt tröghetslagar genom att motstå varje riktningsändring. Ett snurrande föremål har en egenskap som kallas stelhet i rymden, vilket betyder att spinnaxeln motstår alla förändringar i orienteringen. Det är materiens tröghet som består av objektet eftersom det motstår alla ändringar i riktning som tillhandahåller denna egenskap. Naturligtvis ändras den riktning som denna fråga färdas ständigt när objektet snurrar, men varje ytterligare riktningsändring motstås. Om en kraft appliceras på ytan på en snurrande skiva, till exempel, upplever materia ingen riktningsändring på den plats där kraften applicerades (eller 180 grader från den platsen). Men 90 grader före och 90 grader efter den platsen tvingas materia att ändra riktning. Detta får föremålet att bete sig som om kraften applicerades på dessa platser istället. När en kraft appliceras på någonting, utövar objektet en lika kraft tillbaka men i motsatt riktning. Eftersom ingen verklig kraft applicerades 90 grader före eller efter, hindrar ingenting att reaktionen äger rum och objektet får sig själv att röra sig som svar. Ett bra sätt att visualisera varför detta händer är att föreställa sig att det snurrande föremålet är en stor ihålig munk fylld med vatten, som beskrivs i boken Thinking Physics av Lewis Epstein. Munken hålls still medan vatten cirkulerar inuti den. När kraften appliceras får vattnet inuti att ändra riktning 90 grader före och efter den punkten. Vattnet utövar sedan sin egen kraft mot munkens inre vägg och får munken att rotera som om kraften applicerades 90 grader framåt i rotationsriktningen. Epstein överdriver vattnets vertikala och horisontella rörelse genom att ändra formen på munken från rund till fyrkantig med rundade hörn.

Föreställ dig nu att föremålet är ett snurrande cykelhjul, som hålls i båda ändar av axeln i händerna på ett motiv. Hjulet snurrar medurs sett från en betraktare till motivet till höger. Klockpositioner på hjulet ges i förhållande till den här tittaren. När hjulet snurrar färdas molekylerna som består av det exakt horisontellt och till höger i det ögonblick de passerar klockan 12. De reser sedan vertikalt nedåt i samma ögonblick som de passerar klockan 3, horisontellt till vänster vid 6 -tiden, vertikalt uppåt vid 9 -tiden och horisontellt till höger igen vid 12 -tiden. Mellan dessa positioner färdas varje molekyl komponenter i dessa riktningar. Föreställ dig nu att betraktaren applicerar en kraft på hjulkanten vid 12 -tiden. För detta exempel, tänk dig att hjulet lutar över när denna kraft appliceras; den lutar åt vänster sett från motivet som håller den vid sin axel. När hjulet lutar till sin nya position, reser molekylerna vid 12 -tiden (där kraften applicerades) liksom de vid 6 -tiden fortfarande horisontellt; deras riktning ändrades inte när hjulet lutade. Inte heller är deras riktning annorlunda efter att hjulet sätter sig i sitt nya läge; de rör sig fortfarande horisontellt så fort de passerar klockan 12 och 6. MEN molekyler som passerade klockan 3 och 9 tvingades ändra riktning. De vid 3 -tiden tvingades byta från att röra sig rakt nedåt, till nedåt och till höger sett från motivet som höll ratten. Molekyler som passerade 9 -tiden tvingades byta från att röra sig rakt uppåt, uppåt och till vänster. Denna riktningsförändring motstår av dessa molekylers tröghet. Och när de upplever denna riktningsförändring, utövar de en lika och motsatt kraft som svar på dessa platser-3 och 9-tiden. Klockan 3, där de tvingades byta från att röra sig rakt ner till nedåt och till höger, utövar de sin egen lika och motsatta reaktionskraft till vänster. Vid 9 -tiden utövar de sin egen reaktiva kraft till höger, sett från motivet som håller i ratten. Detta får hjulet som helhet att reagera genom att tillfälligt rotera moturs sett direkt ovanifrån. Alltså, när kraften applicerades vid 12 -tiden, betedde sig hjulet som om den kraften applicerades vid 3 -tiden, vilket är 90 grader framåt i rotationsriktningen. Eller så kan du säga att det betedde sig som om en kraft från motsatt riktning applicerades vid 9 -tiden, 90 grader före rotationsriktningen.

Sammanfattningsvis, när du applicerar en kraft på ett snurrande föremål för att ändra dess rotationsaxels riktning, ändrar du inte riktningen för ämnet som består av objektet på den plats där du applicerade kraften (inte heller 180 grader från det); materia upplever ingen riktningsändring på dessa platser. Matter upplever den maximala riktningsförändringen 90 grader före och 90 grader bortom den platsen, och mindre belopp närmare den. Den lika och motsatta reaktionen som inträffar 90 grader före och efter gör att objektet beter sig som det gör. Effekten märks dramatiskt på motorcyklar. En motorcykel kommer plötsligt att luta sig och svänga i motsatt riktning.

Gyroprecession orsakar ett annat fenomen för att snurra föremål som cykelhjulet i detta scenario. Om motivet som håller i hjulet tar bort en hand från ena änden av axeln, kommer inte hjulet att välta utan kommer att förbli upprätt, stöds i den andra änden. Det kommer emellertid omedelbart att anta en ytterligare motion; den kommer att börja rotera runt en vertikal axel, svänga vid stödpunkten när den fortsätter att snurra. Om du tillät hjulet att fortsätta rotera, skulle du behöva vända din kropp i samma riktning som hjulet roterade. Om hjulet inte snurrade skulle det uppenbarligen välta och falla när en hand tas bort. Den första verkan av hjulet som börjar välta motsvarar att man applicerar en kraft på det vid 12 -tiden i riktningen mot den sida som inte stöds (eller en kraft vid 6 -tiden mot den stödda sidan). När hjulet snurrar motsvarar den plötsliga bristen på stöd i ena änden av axeln samma kraft. Så, istället för att välta, uppträder hjulet som om en kontinuerlig kraft appliceras på det vid 3 eller 9 -tiden, beroende på rotationsriktningen och vilken hand som togs bort. Detta gör att hjulet börjar svänga vid den ena stödda änden av axeln medan det förblir upprätt. Även om det svänger vid den punkten, gör det det bara för att det stöds där; den faktiska rotationsaxeln är placerad vertikalt genom hjulet och passerar genom dess masscentrum. Denna förklaring tar inte heller hänsyn till effekten av variation i hastigheten hos det snurrande föremålet; den illustrerar bara hur snurraxeln beter sig på grund av presession. Mer korrekt uppför sig föremålet enligt balansen mellan alla krafter baserat på storleken på den applicerade kraften, massan och rotationshastigheten för objektet. När det väl har visualiserats varför hjulet förblir upprätt och roterar, kan det lätt ses varför axeln på en snurrande topp sakta roterar medan toppen snurrar som visas i illustrationen på denna sida. En topp fungerar som cykelhjulet på grund av att tyngdkraften drar nedåt. Kontaktpunkten med ytan den snurrar på motsvarar änden av axeln som hjulet stöds på. När toppen snurrar långsammare övervinns den reaktiva kraften som håller den upprätt på grund av tröghet av tyngdkraften. När anledningen till gyroprecessionen har visualiserats börjar de matematiska formlerna att vara meningsfulla.

Relativistisk (Einsteinian)

De speciella och allmänna relativitetsteorierna ger tre typer av korrigeringar till den newtonska precessionen, av ett gyroskop nära en stor massa som jorden, som beskrivs ovan. Dom är:

• Thomas precession , en specialrelativistisk korrigering som redogör för att ett objekt (som ett gyroskop) accelereras längs en krökt bana.
• de Sitter precession , en generalrelativistisk korrigering som redogör för Schwarzschild-mätvärdet för krökt utrymme nära en stor icke-roterande massa.
• Lense-Thirring-precession , en generalrelativistisk korrigering som redogör för ramen som dras av Kerr-mätvärdet för krökt utrymme nära en stor roterande massa.

Astronomi

Inom astronomi hänvisar precession till någon av flera tyngdkraftsinducerade, långsamma och kontinuerliga förändringar i en astronomisk kropps rotationsaxel eller omloppsbana. Jämviktens presession, perihelionsprecession, förändringar i lutningen av jordens axel till dess bana och excentriciteten i dess bana över tiotusentals år är alla viktiga delar av den astronomiska teorin om istiden . (Se Milankovitch -cykler .)

Axiell precession (prexession av equinoxes)

Axiell presession är rörelsen för en astronomisk kropps rotationsaxel, varigenom axeln långsamt spårar ut en kon. I fallet med jorden, är denna typ av precession också känd som prekessionen av equinoxes , lunisolar precession , eller precession av ekvatorn . Jorden går igenom en sådan komplett precessionell cykel under en period av cirka 26 000 år eller 1 ° var 72: e år, under vilket stjärnornas positioner långsamt kommer att förändras i både ekvatorialkoordinater och ekliptisk longitud . Under denna cykel rör sig jordens norra axialpol från var den är nu, inom 1 ° från Polaris , i en cirkel runt ekliptiska polen , med en vinkelradie på cirka 23,5 °.

Den antika grekiska astronomen Hipparchos (c. 190–120 f.Kr.) accepteras allmänt som den tidigast kända astronomen att känna igen och bedöma prekessionen hos equinoxes till cirka 1 ° per sekel (vilket inte är långt från det verkliga värdet för antiken, 1,38 °), även om det finns en mindre tvist om han var det. I forntida Kina gjorde den Jin-dynastiska forskar-tjänstemannen Yu Xi (fl. 307–345 e.Kr.) en liknande upptäckt århundraden senare och noterade att solens position under vintersolståndet hade drivit ungefär en grad under femtio år i förhållande till stjärnornas position. Precessionen av jordens axel förklarades senare av Newtons fysik . Eftersom jorden är en oblat sfäroid , har jorden en icke-sfärisk form, utbuktande utåt vid ekvatorn. Gravitationstidvattenkrafterna i månen och solen gäller vridmoment till ekvatorn, försöker dra ekvatorial bula i plan ekliptikan , utan orsakar att precess. Vridmomentet som utövas av planeterna, särskilt Jupiter , spelar också en roll.

Axelns förflyttning av axeln (vänster), fördröjningen av equinox i förhållande till de avlägsna stjärnorna (mitten) och den norra himmelspolens väg bland stjärnorna på grund av presessionen. Vega är den ljusa stjärnan längst ner (till höger).

Apsidal precession

Apsidal presession - omloppsbanan roterar gradvis över tiden.

De banor av planeter runt solen inte riktigt följer en identisk ellips varje gång, men faktiskt spåra ut en blomma kronblad form eftersom huvudaxeln av varje planets elliptisk bana precesserar också inom sin omlopps plan, delvis till följd av störningar i form av de förändrade gravitationskrafterna som utövas av andra planeter. Detta kallas perihelion -precession eller apsidal precession .

I tilläggsbilden illustreras jordens apsidala precession. När jorden färdas runt solen roterar dess elliptiska bana gradvis över tiden. Excentriciteten i dess ellips och precessionshastigheten för dess bana är överdriven för visualisering. De flesta banor i solsystemet har en mycket mindre excentricitet och precess i mycket långsammare takt, vilket gör dem nästan cirkulära och nästan stationära.

Avvikelser mellan den observerade perihelium precession hastighet av planeten Kvicksilver och att förutsägs av klassisk mekanik var framträdande bland de former av experimentella bevis som leder till acceptans av Einsteins s relativitetsteorin (särskilt hans allmänna relativitetsteori ), som exakt förutsagt avvikelserna. Avviker från Newtons lag, förutsäger Einsteins gravitationsteori en extra term påA/r ⁴, vilket exakt ger den observerade överskottsvarvningen på 43 ″ vart 100: e år.

Gravitationskrafterna som beror på solen och månen inducerar presessionen i den jordbana. Denna presession är den främsta orsaken till att klimatoscillationen på jorden har en period på 19 000 till 23 000 år. Därav följer att förändringarna i jordens omloppsparametrar (t.ex. omloppshöjning, vinkeln mellan jordens rotationsaxel och dess omloppsplan) är viktiga för studier av jordens klimat, i synnerhet för studier av tidigare istiden.

Nodal precession

Uppstigande nod också precess över tiden.

Se även

• Larmor -presession
• Nutation
• Polar rörelse
• Presession (mekanisk)
• Presession som en form av parallelltransport

Referenser

externa länkar

• Media relaterade till Precession på Wikimedia Commons
• Förklaring och härledning av formeln för precession av en topp
• Presession och Milankovich -teorin Från Stargazers till Starships