Maktlag - Power law

Ett exempel på power-law-diagram som visar rankning av popularitet. Till höger är den långa svansen , och till vänster är de få som dominerar (även känd som 80–20 -regeln ).

I statistik är en maktlag ett funktionellt förhållande mellan två kvantiteter, där en relativ förändring i en kvantitet resulterar i en proportionell relativ förändring i den andra kvantiteten, oberoende av den ursprungliga storleken på dessa kvantiteter: en mängd varierar som en kraft av en annan. Till exempel, med tanke på kvadratens yta i termer av längden på dess sida, om längden fördubblas, multipliceras ytan med en faktor fyra.

Empiriska exempel

Fördelningarna av en mängd olika fysiska, biologiska och konstgjorda fenomen följer ungefär en kraftlag över ett brett spektrum av storheter: dessa inkluderar storleken på kratrar på månen och solfacklor , födosökningsmönster för olika arter, storlekar aktivitetsmönster neuronala populationer, frekvensen av ord i de flesta språk, frekvenser av efternamn , de artrikedom i klader av organismer, storleken på strömavbrott , åtal per fånge, vulkanutbrott, mänskliga domar stimulusintensitet och många andra mängder. Få empiriska fördelningar passar en maktlag för alla deras värderingar, utan följer snarare en maktlag i svansen. Akustisk dämpning följer frekvenseffektlagar inom breda frekvensband för många komplexa medier. Allometriska skalningslagar för samband mellan biologiska variabler är bland de mest kända power-law-funktionerna i naturen.

Egenskaper

Skalavvikelse

Ett attribut för maktlagar är deras skalvarians . Med tanke på en relation orsakar skalning av argumentet med en konstant faktor endast en proportionell skalning av själva funktionen. Det är, ${\ displaystyle f (x) = ax^{-k}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle f (cx) = a (cx)^{-k} = c^{-k} f (x) \ propto f (x), \!}$

där betecknar direkt proportionalitet . Det vill säga, skalning med en konstant multiplicerar helt enkelt det ursprungliga makt-lag-förhållandet med konstanten . Således följer att alla maktlagar med en viss skalningsexponent är likvärdiga med konstanta faktorer, eftersom var och en helt enkelt är en skalad version av de andra. Detta beteende är det som producerar det linjära förhållandet när logaritmer tas från både och , och den raka linjen på log-log-plotten kallas ofta signaturen för en kraftlag. Med verkliga data är sådan rakhet en nödvändig, men inte tillräcklig, förutsättning för uppgifterna efter en makt-lagrelation. Faktum är att det finns många sätt att generera ändliga mängder data som efterliknar detta signaturbeteende, men i sin asymptotiska gräns är det inte sanna kraftlagar (t.ex. om genereringsprocessen för vissa data följer en Log-normalfördelning ). Således är korrekt anpassning och validering av power-law- modeller ett aktivt forskningsområde inom statistik; se nedan. ${\ displaystyle \ propto}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c^{-k}}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$

Brist på väldefinierat medelvärde

En power-lag har en väldefinierad medelvärde över endast om , och den har en ändlig varians endast om ; de flesta identifierade maktlagar i naturen har exponenter så att medelvärdet är väldefinierat men variansen inte, vilket innebär att de är kapabla till svart svanbeteende . Detta kan ses i följande tankeexperiment: föreställ dig ett rum med dina vänner och uppskatta den genomsnittliga månadsinkomsten i rummet. Föreställ dig nu världens rikaste person som kommer in i rummet, med en månadsinkomst på cirka 1 miljard US $. Vad händer med den genomsnittliga inkomsten i rummet? Inkomsten fördelas enligt en maktlag som kallas Pareto-fördelningen (till exempel fördelas amerikanernas nettovärde enligt en maktlag med en exponent på 2). ${\ displaystyle x^{-k}}$${\ displaystyle x \ in [1, \ infty)}$${\ displaystyle k> 2}$${\ displaystyle k> 3}$

Å ena sidan gör detta det felaktigt att tillämpa traditionell statistik som är baserad på varians och standardavvikelse (t.ex. regressionsanalys ). Å andra sidan möjliggör detta också kostnadseffektiva insatser. Till exempel, med tanke på att bilavgaserna fördelas enligt en kraftlag bland bilar (väldigt få bilar bidrar till de flesta föroreningar) skulle det vara tillräckligt att eliminera de mycket få bilarna från vägen för att minska det totala avgaserna väsentligt.

Medianen existerar dock: för en kraftlag x ^{- k} , med exponent , tar det värdet 2 ^{1/( k - 1)} x _min , där x _min är det minsta värde som kraftlagen gäller. ${\ displaystyle k> 1}$

Universalitet

Maktlagarnas likvärdighet med en särskild skalningsexponent kan ha ett djupare ursprung i de dynamiska processer som genererar makt-lagrelationen. Inom fysiken är till exempel fasövergångar i termodynamiska system associerade med framväxten av kraftlagsfördelningar av vissa mängder, vars exponenter kallas systemets kritiska exponenter . Olika system med samma kritiska exponenter - det vill säga som visar identiskt skalningsbeteende när de närmar sig kritik - kan via renormaliseringsgruppsteori visa samma grundläggande dynamik. Till exempel faller beteendet för vatten och CO ₂ vid kokpunkterna i samma universalitetsklass eftersom de har identiska kritiska exponenter. Faktum är att nästan alla materiella fasövergångar beskrivs av en liten uppsättning universalitetsklasser. Liknande iakttagelser har gjorts, men inte lika heltäckande, för olika självorganiserade kritiska system, där systemets kritiska punkt är en attraktor . Formellt kallas denna delning av dynamik universalitet , och system med exakt samma kritiska exponenter sägs tillhöra samma universalitetsklass .

Power-law funktioner

Det vetenskapliga intresset för makträttsrelationer härrör delvis från den lätthet som vissa generella mekanismer skapar dem. Demonstrationen av en makt-lagrelation i vissa data kan peka på specifika typer av mekanismer som kan ligga till grund för det aktuella naturfenomenet, och kan indikera en djup koppling till andra, till synes orelaterade system; se även universalitet ovan. Allmänhet i makt-lag-relationer i fysik beror delvis på dimensionella begränsningar , medan i komplexa system anses maktlagar ofta vara signaturer av hierarki eller specifika stokastiska processer . Några anmärkningsvärda exempel på maktlagar är Paretos lag om inkomstfördelning, strukturell självlikhet hos fraktaler och skalningslagar i biologiska system . Forskning om ursprunget till makträttsrelationer och ansträngningar att observera och validera dem i den verkliga världen är ett aktivt forskningsämne inom många vetenskapsområden, inklusive fysik , datavetenskap , lingvistik , geofysik , neurovetenskap , systematik , sociologi , ekonomi med mera.

Mycket av det senaste intresset för maktlagar kommer emellertid från studiet av sannolikhetsfördelningar : Fördelningarna av en mängd olika mängder tycks följa maktlagsformen, åtminstone i deras övre svans (stora händelser). Dessa stora händelsers beteende ansluter dessa mängder till studien av teori om stora avvikelser (även kallad extremvärdet teori ), som tar hänsyn till frekvensen av extremt sällsynta händelser som börskrascher och stora naturkatastrofer . Det är främst i studien av statistiska fördelningar som namnet "maktlag" används.

I empiriska sammanhang innehåller en approximation till en power-law ofta en avvikelse , som kan representera osäkerhet i de observerade värdena (kanske mät- eller provtagningsfel) eller ge ett enkelt sätt för observationer att avvika från power-law-funktionen (kanske för stokastiska skäl): ${\ displaystyle o (x^{k})}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle y = ax^{k}+\ varepsilon. \!}$

Matematiskt kan en strikt maktlag inte vara en sannolikhetsfördelning, men en fördelning som är en stympad maktfunktion är möjlig: för där exponenten (grekisk bokstav alfa , inte förväxlas med skalfaktor som används ovan) är större än 1 (annars är svansen har oändlig yta), minimivärdet behövs annars har fördelningen oändlig yta när x närmar sig 0, och konstanten C är en skalningsfaktor för att säkerställa att den totala ytan är 1, vilket krävs av en sannolikhetsfördelning. Oftare använder man en asymptotisk maktlag - en som bara är sann i gränsen; se maktlags sannolikhetsfördelningar nedan för detaljer. Normalt faller exponenten i intervallet , men inte alltid. ${\ displaystyle p (x) = Cx^{-\ alpha}}$${\ displaystyle x> x _ {\ text {min}}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle x _ {\ text {min}}}$${\ displaystyle 2 <\ alpha <3}$

Exempel

Mer än hundra maktlagsfördelningar har identifierats inom fysik (t.ex. sandhögskred), biologi (t.ex. artutrotning och kroppsmassa) och samhällsvetenskap (t.ex. stadsstorlekar och inkomst). Bland dem finns:

Astronomi

• Keplers tredje lag
• Den initiala mass funktion av stjärnor
• Det differentiella energispektrumet för kosmiska strålkärnor
• Den M-sigma förhållande

Kriminologi

• antal åtal per brottsling

Fysik

• Den Ångström exponenten i aerosolform optik
• Frekvensberoendet för akustisk dämpning i komplexa medier
• Den Stefan-Boltzmanns lag
• Ingångsspänning-ut-ström-kurvorna för fälteffekttransistorer och vakuumrör approximerar ett kvadratisk lagförhållande , en faktor i " rörljud ".
• Kvadratkubisk lag (förhållande yta till volym)
• En 3/2-effekt lag finns i plattans karakteristiska kurvor för trioder .
• De invers-kvadratiska lagarna för Newtonsk gravitation och elektrostatik , vilket framgår av gravitationspotentialen respektive elektrostatisk potential .
• Självorganiserad kritik med en kritisk poäng som lockare
• Modell av van der Waals force
• Kraft och potential i enkel harmonisk rörelse
• Gammakorrigering av ljusintensitet med spänning
• Beteende nära andra ordningens fasövergångar som involverar kritiska exponenter
• Det säkra driftsområdet avseende maximal samtidig ström och spänning i halvledare.
• Superkritiskt tillstånd av materia och superkritiska vätskor , såsom superkritiska exponenter av värmekapacitet och viskositet .
• Den Curie-von Schweidler lag i dielektriska responser till steg DC spänningsingång.
• Dämpningskraften över hastighetsförhållandet i antiseismiska spjällberäkningar
• Vikta lösningsmedelsexponerade ytareor av centrerade aminosyror i proteinstrukturen segment

Psykologi

• Stevens maktlag för psykofysik ( utmanad med demonstrationer om att det kan vara logaritmiskt)
• Maktlagen att glömma

Biologi

• Kleibers lag om djurmetabolism till storlek och allometriska lagar i allmänhet
• Två tredjedelars kraftlag, som rör hastighet till krökning i det mänskliga motorns system .
• Den Taylors lag avseende genomsnittlig populationsstorlek och varians populationer storlekar i ekologi
• Neuronala laviner
• Artrikedomen (antal arter) i grupper av sötvattensfiskar
• Harlow Knapp -effekten, där en delmängd av kinaserna som finns i människokroppen utgör en majoritet av publicerad forskning
• Storleken på skogsfläckar globalt följer en kraftlag

Meteorologi

• Storleken på regnduschceller, energiförlusten i cykloner, och diametrarna hos damm djävlar på jorden och Mars

Allmän vetenskap

• Exponentiell tillväxt och slumpmässig observation (eller dödande)
• Framsteg genom exponentiell tillväxt och exponentiell spridning av innovationer
• Mycket optimerad tolerans
• Föreslagen form av erfarenhetskurveffekter
• Rosa ljud
• Lagen om vattendrag och lagen om strömlängder ( Hortons lagar som beskriver flodsystem)
• Befolkning av städer ( Gibrats lag )
• Bibliogram och ordfrekvenser i en text ( Zipfs lag )
• 90–9–1 princip om wikis (även kallad 1% -regeln )
• Richardsons lag för våldsamma konflikter (krig och terrorism)
• Förhållandet mellan en CPU: s cachestorlek och antalet cachemissar följer kraftlagen för cachemissar .
• Spektraltätheten för viktmatriserna i djupa neurala nätverk

Matematik

• Fraktaler
• Pareto -distribution och Pareto -principen kallas också "80–20 -regeln"
• Zipfs lag i bland annat korpusanalys och befolkningsfördelningar, där frekvensen av ett objekt eller en händelse är omvänt proportionell mot dess frekvensrankning (dvs det näst vanligaste objektet/händelsen inträffar hälften så ofta som det vanligaste objektet, det tredje vanligaste objektet/ händelse inträffar en tredjedel så ofta som det vanligaste objektet och så vidare).
• Zeta distribution (diskret)
• Yule – Simon distribution (diskret)
• Studentens t-distribution (kontinuerlig), varav Cauchy-distributionen är ett specialfall
• Lotkas lag
• Den skalfria nätverksmodell

Ekonomi

• Befolkningsstorlekar i städer i en region eller ett stadsnät, Zipfs lag .

• Fördelning av konstnärer med genomsnittspriset på deras konstverk.

• Fördelning av inkomster i en marknadsekonomi.

• Fördelning av examina i banknätverk.

Finansiera

• Den genomsnittliga absoluta förändringen av de logaritmiska mellanpriserna
• Antalet fästingar räknas över tiden
• Storleken på maximipriset
• Genomsnittlig väntetid för en riktningsändring
• Genomsnittlig väntetid för en överskjutning

Varianter

Bruten maktlag

Vissa modeller av den initiala massfunktionen använder en bruten maktlag; här Kroupa (2001) i rött.

En bruten maktlag är en bitvis funktion , som består av två eller flera maktlagar, kombinerat med en tröskel. Till exempel med två maktlagar:

${\ displaystyle f (x) \ propto x^{\ alpha _ {1}}}$ för ${\ displaystyle x <x _ {\ text {th}},}$

${\ displaystyle f (x) \ propto x _ {\ text {th}}^{\ alpha _ {1}-\ alpha _ {2}} x^{\ alpha _ {2}} {\ text {för}} x> x _ {\ text {th}}}$.

Maktlag med exponentiell avstängning

En maktlag med en exponentiell avstängning är helt enkelt en maktlag multiplicerad med en exponentiell funktion:

${\ displaystyle f (x) \ propto x^{-\ alpha} e^{-\ beta x}.}$

Böjd maktlag

${\ displaystyle f (x) \ propto x^{\ alfa +\ beta x}}$

Power-law sannolikhetsfördelningar

I lösare bemärkelse är en sannolikhetsfördelning i en power-law en fördelning vars densitetsfunktion (eller massfunktion i det diskreta fallet) har formen för stora värden av , ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle P (X> x) \ sim L (x) x^{ -(\ alfa -1)}}$

där , och är en långsamt varierande funktion , vilket är vilken funktion som uppfyller alla positiva faktorer . Denna egenskap av följer direkt av kravet på att vara asymptotiskt skalig invariant; sålunda styr formen av endast formen och ändliga omfattningen av den nedre svansen. Till exempel, om är den konstanta funktionen, då har vi en maktlag som gäller för alla värden på . I många fall är det bekvämt att anta en nedre gräns från vilken lagen håller. Genom att kombinera dessa två fall, och där är en kontinuerlig variabel, har kraftlagen formen av Pareto -distributionen${\ displaystyle \ alpha> 1}$${\ displaystyle L (x)}$${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} L (r \, x)/L (x) = 1}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle L (x)}$${\ displaystyle p (x)}$${\ displaystyle L (x)}$${\ displaystyle L (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x _ {\ mathrm {min}}}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle p (x) = {\ frac {\ alpha -1} {x _ {\ min}}} \ vänster ({\ frac {x} {x _ {\ min}}} \ höger)^{ -\ alpha },}$

där förfaktorn till är normaliseringskonstanten . Vi kan nu överväga flera egenskaper hos denna distribution. Till exempel ges dess stunder av ${\ displaystyle {\ frac {\ alpha -1} {x _ {\ min}}}}$

${\ displaystyle \ langle x^{m} \ rangle = \ int _ {x _ {\ min}}^{\ infty} x^{m} p (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac { \ alfa -1} {\ alfa -1 -m}} x _ {\ min}^{m}}$

som bara är väl definierad för . Det vill säga alla stunder skiljer sig åt: när , genomsnittet och alla högre ordningsstunder är oändliga; när , medelvärdet existerar, men variansen och högre ordningens ögonblick är oändliga, etc. För slutliga storleksprover som tas från en sådan fördelning innebär detta beteende att de centrala momentestimatörerna (som medelvärdet och variansen) för divergerande ögonblick aldrig kommer att konvergera - när mer data ackumuleras fortsätter de att växa. Dessa maktlags sannolikhetsfördelningar kallas också fördelningar av Pareto-typ , fördelningar med Pareto-svansar eller fördelningar med regelbundet varierande svansar. ${\ displaystyle m <\ alfa -1}$${\ displaystyle m \ geq \ alfa -1}$${\ displaystyle \ alpha \ leq 2}$${\ displaystyle 2 <\ alpha <3}$

En modifikation, som inte uppfyller den allmänna formen ovan, med en exponentiell avstängning, är

${\ displaystyle p (x) \ propto L (x) x ^{-\ alpha} \ mathrm {e} ^{-\ lambda x}.}$

I denna fördelning överväldar den exponentiella nedbrytningstiden så småningom maktlagens beteende vid mycket stora värden av . Denna fördelning skala inte och är därför inte asymptotiskt som en maktlag; den går dock ungefär över en begränsad region före avstängningen. Den rena formen ovan är en delmängd av denna familj, med . Denna fördelning är ett vanligt alternativ till den asymptotiska maktlagsfördelningen eftersom den naturligt fångar effekter med begränsad storlek. ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^{-\ lambda x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ lambda = 0}$

De Tweedie distributioner är en familj av statistiska modeller som kännetecknas av tillslutningen enligt additiv och reproduktiv faltning samt under skala transformation. Följaktligen uttrycker dessa modeller alla ett maktlagsförhållande mellan variansen och medelvärdet. Dessa modeller har en grundläggande roll som fokus för matematisk konvergens liknande den roll som normalfördelningen har som fokus i den centrala gränssatsen . Denna konvergenseffekt förklarar varför varians-till-medeleffektlagen manifesteras så brett i naturliga processer, som med Taylors lag inom ekologi och med fluktuationsskalning i fysik. Det kan också visas att denna varians-till-medeleffektlag, när den demonstreras med metoden att expandera fack , innebär förekomst av 1/ f- brus och att 1/ f- brus kan uppstå som en konsekvens av denna Tweedie-konvergenseffekt .

Grafiska metoder för identifiering

Även om mer sofistikerade och robusta metoder har föreslagits, är de mest använda grafiska metoderna för att identifiera effekträttsliga sannolikhetsfördelningar med hjälp av slumpmässiga prover Pareto-kvantil-kvantila tomter (eller Pareto Q-Q-diagram ), medelvärden för rester av livslängd och logg-tomter . En annan, mer robust grafisk metod använder buntar av kvarvarande kvantila funktioner. (Tänk på att maktlagsfördelningar också kallas fördelningar av Pareto-typ.) Det antas här att ett slumpmässigt urval erhålls från en sannolikhetsfördelning och att vi vill veta om svansen på fördelningen följer en kraftlag (med andra ord vill vi veta om distributionen har en "Pareto -svans"). Här kallas slumpmässiga urvalet "data".

Pareto Q-Q-diagram jämför kvantilerna för de log-transformerade data med motsvarande kvantiler för en exponentiell fördelning med medelvärdet 1 (eller med kvantilerna i en standard Pareto-fördelning) genom att plotta det förra kontra det senare. Om den resulterande spridningsplanen antyder att de plottade punkterna "asymptotiskt konvergerar" till en rak linje, bör en makt-lagfördelning misstänkas. En begränsning av Pareto Q -Q -diagram är att de beter sig dåligt när svansindexet (även kallat Pareto -index) är nära 0, eftersom Pareto Q -Q -diagram inte är utformade för att identifiera fördelningar med långsamt varierande svansar. ${\ displaystyle \ alpha}$

Å andra sidan, i sin version för att identifiera power-law sannolikhetsfördelningar, består medelvärdet för återstående livslängd av att först log-transformera data och sedan plotta genomsnittet av de log-transformerade data som är högre än i- ordningen statistik kontra statistiken i i: e ordningen, för i  = 1, ...,  n , där n är storleken på slumpmässigt urval. Om den resulterande spridningsplanen antyder att de plottade punkterna tenderar att "stabilisera" sig kring en horisontell rak linje, bör en makt-lagfördelning misstänkas. Eftersom den genomsnittliga tomten för återstående liv är mycket känslig för outliers (den är inte robust), producerar den vanligtvis tomter som är svåra att tolka; av denna anledning brukar sådana tomter kallas Hill skräck tomter

En rak linje på en log-log-tomt är nödvändig men otillräcklig bevisning för maktlagar, lutningen på den raka linjen motsvarar kraftlagens exponent.

Log -log -diagram är ett alternativt sätt att grafiskt undersöka svansen i en distribution med hjälp av ett slumpmässigt urval. Försiktighet måste emellertid iakttas eftersom en logg-tomt är nödvändig men otillräcklig bevisning för ett maktlagsförhållande, eftersom många icke-maktlagsfördelningar kommer att visas som raka linjer på en logg-tomt. Denna metod består i att plotta logaritmen för en uppskattare av sannolikheten för att ett visst antal av fördelningen inträffar mot logaritmen för det specifika talet. Vanligtvis är denna uppskattning andelen gånger som antalet förekommer i datamängden. Om punkterna i tomten tenderar att "konvergera" till en rak linje för stora tal i x-axeln, drar forskaren slutsatsen att fördelningen har en power-law svans. Exempel på tillämpning av dessa typer av tomter har publicerats. En nackdel med dessa tomter är att de kräver enorma mängder data för att de ska kunna ge tillförlitliga resultat. Dessutom är de endast lämpliga för diskreta (eller grupperade) data.

En annan grafisk metod för identifiering av power-law sannolikhetsfördelningar med hjälp av slumpmässiga prover har föreslagits. Denna metod består av att plotta ett bunt för det log-transformerade provet . Ursprungligen föreslogs som ett verktyg för att utforska förekomsten av ögonblick och momentgenereringsfunktionen med hjälp av slumpmässiga prover, buntmetoden är baserad på kvarvarande kvantila funktioner (RQF), även kallade restprocentilfunktioner, som ger en fullständig karakterisering av svansbeteendet hos många välkända sannolikhetsfördelningar, inklusive kraftlagsfördelningar, fördelningar med andra typer av tunga svansar och till och med icke-tungsvansade fördelningar. Bundeltomter har inte nackdelarna med Pareto Q -Q -tomter, genomsnittliga livslängdsplaner och logg -tomter som nämnts ovan (de är robusta mot överträdare, tillåter visuellt identifierande kraftlagar med små värden på och kräver inte insamling av mycket data). Dessutom kan andra typer av svansbeteende identifieras med hjälp av buntdiagram. ${\ displaystyle \ alpha}$

Planera maktlagsfördelningar

I allmänhet ritas power-law-fördelningar på dubbelt logaritmiska axlar , vilket betonar det övre svansområdet. Det bekvämaste sättet att göra detta är via (kompletterande) kumulativ fördelning (CCDF) dvs överlevnadsfunktion , , ${\ displaystyle P (x) = \ mathrm {Pr} (X> x)}$

${\ displaystyle P (x) = \ Pr (X> x) = C \ int _ {x}^{\ infty} p (X) \, \ mathrm {d} X = {\ frac {\ alpha -1} {x _ {\ min}^{-\ alpha +1}}} \ int _ {x}^{\ infty} X^{-\ alpha} \, \ mathrm {d} X = \ left ({\ frac { x} {x _ {\ min}}} \ höger)^{-\ alfa +1}.}$

Cdf är också en power-law-funktion, men med en mindre skalningsexponent. För data är en ekvivalent form av cdf rankfrekvensmetoden, där vi först sorterar de observerade värdena i stigande ordning och plottar dem mot vektorn . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ left [1, {\ frac {n-1} {n}}, {\ frac {n-2} {n}}, \ dots, {\ frac {1} {n}} \ right] }$

Även om det kan vara bekvämt att logga in data eller på annat sätt jämna ut sannolikhetstätheten (massa) direkt, introducerar dessa metoder en implicit förspänning i representationen av data och bör därför undvikas. Överlevnadsfunktionen är å andra sidan mer robust mot (men inte utan) sådana fördomar i data och bevarar den linjära signaturen på dubbel logaritmiska axlar. Även om en överlevnadsfunktionsrepresentation gynnas framför pdf -filen samtidigt som en kraftlag lagras på data med den linjära minst kvadratiska metoden, saknar den inte matematisk felaktighet. Medan man uppskattar exponenterna för en kraftlagsfördelning, rekommenderas sålunda uppskattning av maximal sannolikhet.

Uppskatta exponenten från empiriska data

Det finns många sätt att uppskatta värdet av skalningsexponenten för en power-law-svans, men inte alla ger objektiva och konsekventa svar . Några av de mest tillförlitliga teknikerna är ofta baserade på metoden för maximal sannolikhet . Alternativa metoder är ofta baserade på att göra en linjär regression antingen på loggloggens sannolikhet, loggloggs kumulativa fördelningsfunktion eller på loggdat data, men dessa tillvägagångssätt bör undvikas eftersom de alla kan leda till mycket partiska uppskattningar av skalningsexponent.

Maximal sannolikhet

För verkligt värderade, oberoende och identiskt distribuerade data passar vi en maktlagsfördelning av formuläret

${\ displaystyle p (x) = {\ frac {\ alpha -1} {x _ {\ min}}} \ vänster ({\ frac {x} {x _ {\ min}}} \ höger)^{ -\ alpha }}$

till data , där koefficienten ingår för att säkerställa att fördelningen normaliseras . Med tanke på ett val för blir log sannolikhetsfunktionen: ${\ displaystyle x \ geq x _ {\ min}}$${\ displaystyle {\ frac {\ alpha -1} {x _ {\ min}}}}$${\ displaystyle x _ {\ min}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ alpha) = \ log \ prod _ {i = 1}^{n} {\ frac {\ alpha -1} {x _ {\ min}}} \ left ({ \ frac {x_ {i}} {x _ {\ min}}} \ höger)^{-\ alpha}}$

Maximum för denna sannolikhet hittas genom att differentiera med avseende på parameter , sätta resultatet lika med noll. Vid omarrangemang ger detta estimatorekvationen: ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle {\ hat {\ alpha}} = 1+n \ vänster [\ sum _ {i = 1}^{n} \ ln {\ frac {x_ {i}} {x _ {\ min}}}} \ höger]^{-1}}$

var är datapunkterna . Denna uppskattare uppvisar en liten ändlig provstorleksförskjutning , som är liten när n  > 100. Vidare är uppskattningens standardfel . Denna uppskattare motsvarar den populära Hill -skattaren från kvantitativ finansiering och teori om extremt värde . ${\ displaystyle \ {x_ {i} \}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x_ {i} \ geq x _ {\ min}}$${\ displaystyle O (n^{-1})}$${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {{\ hat {\ alpha}}-1} {\ sqrt {n}}}+O (n^{-1})}$

För en uppsättning n heltalsvärderade datapunkter , igen där var och en , den maximala sannolikhetsexponenten är lösningen på den transcendentala ekvationen ${\ displaystyle \ {x_ {i} \}}$${\ displaystyle x_ {i} \ geq x _ {\ min}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ zeta '({\ hat {\ alpha}}, x _ {\ min})} {\ zeta ({\ hat {\ alpha}}, x _ {\ min})}} =- {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1}^{n} \ ln {\ frac {x_ {i}} {x _ {\ min}}}}}$

var är den ofullständiga zeta -funktionen . Osäkerheten i denna uppskattning följer samma formel som för den kontinuerliga ekvationen. De två ekvationerna för är dock inte likvärdiga, och den kontinuerliga versionen ska inte tillämpas på diskreta data, och inte heller tvärtom. ${\ displaystyle \ zeta (\ alpha, x _ {\ mathrm {min}})}$${\ displaystyle {\ hat {\ alpha}}}$

Båda dessa uppskattare kräver vidare valet av . För funktioner med en icke-trivial funktion ger valet för litet en signifikant snedvridning , medan det väljer för stor ökar osäkerheten i och minskar den statistiska kraften i vår modell. I allmänhet beror det bästa valet starkt på den speciella formen av den nedre svansen, representerad av ovan. ${\ displaystyle x _ {\ min}}$${\ displaystyle L (x)}$${\ displaystyle x _ {\ min}}$${\ displaystyle {\ hat {\ alpha}}}$${\ displaystyle {\ hat {\ alpha}}}$${\ displaystyle x _ {\ min}}$${\ displaystyle L (x)}$

Mer om dessa metoder och villkoren för vilka de kan användas finns i. Denna omfattande granskningsartikel ger vidare användbar kod (Matlab, Python, R och C ++) för uppskattning och testrutiner för power-law-distributioner.

Kolmogorov – Smirnov uppskattning

En annan metod för uppskattning av effekt-law exponent, som inte förutsätter oberoende och identiskt distribuerade data (IID), använder minimeringen av Kolmogorov-Smirnov statistik , , mellan de kumulativa fördelningsfunktionerna för de data och effekt lag: ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle {\ hat {\ alpha}} = {\ underset {\ alpha} {\ operatorname {arg \, min}}} \, D _ {\ alpha}}$

med

${\ displaystyle D _ {\ alpha} = \ max _ {x} | P _ {\ mathrm {emp}} (x) -P _ {\ alpha} (x) |}$

där och beteckna cdfs för data respektive kraftlag med exponent . Eftersom denna metod inte förutsätter iid data, ger den ett alternativt sätt att bestämma power-law-exponenten för datamängder där den tidsmässiga korrelationen inte kan ignoreras. ${\ displaystyle P _ {\ mathrm {emp}} (x)}$${\ displaystyle P _ {\ alpha} (x)}$${\ displaystyle \ alpha}$

Tvåpunktsmonteringsmetod

Detta kriterium kan tillämpas för uppskattning av kraftlagsexponenten vid skalfria fördelningar och ger en mer konvergent uppskattning än metoden för maximal sannolikhet. Det har tillämpats för att studera sannolikhetsfördelningar av frakturöppningar. I vissa sammanhang beskrivs sannolikhetsfördelningen, inte av den kumulativa fördelningsfunktionen , av den kumulativa frekvensen för en egenskap X , definierad som antalet element per meter (eller ytenhet, sekund etc.) för vilken X  >  x gäller, där x är ett variabelt reellt tal. Som ett exempel definieras den kumulativa fördelningen av frakturöppningen, X , för ett prov av N -element som 'antalet frakturer per meter med bländare större än x . Användning av kumulativ frekvens har vissa fördelar, t.ex. gör det möjligt för en att sätta på samma diagramdata som samlats in från samplingslinjer med olika längder i olika skalor (t.ex. från utslag och från mikroskop).

Validera maktlagar

Även om makt-lag-relationer är attraktiva av många teoretiska skäl, kräver det att visa att data verkligen följer ett makt-lag-förhållande mer än att bara anpassa en viss modell till data. Detta är viktigt för att förstå mekanismen som ger upphov till fördelningen: ytligt liknande fördelningar kan uppstå av väsentligt olika skäl, och olika modeller ger olika förutsägelser, till exempel extrapolering.

Till exempel misstas log-normalfördelningar ofta som kraftlagsfördelningar: en datamängd som tas från en lognormal fördelning kommer att vara ungefär linjär för stora värden (motsvarande att den övre svansen på lognormalen är nära en kraftlag), men för små värden kommer det lognormala att sjunka avsevärt (böjer sig ner), vilket motsvarar att lognormalens nedre svans är liten (det finns väldigt få små värden, snarare än många små värden i en kraftlag).

Till exempel producerar Gibrats lag om proportionella tillväxtprocesser distributioner som är lognormala, även om deras log -log -diagram ser linjära ut inom ett begränsat intervall. En förklaring till detta är att även om logaritmen för lognormal densitetsfunktion är kvadratisk i log ( x ) , vilket ger en "böjd" form i en log -log -plot, om den kvadratiska termen är liten i förhållande till den linjära termen kan resultatet bli verkar nästan linjärt och det lognormala beteendet är bara synligt när den kvadratiska termen dominerar, vilket kan kräva betydligt mer data. Därför kan en log-log-plot som är något "böjd" nedåt spegla en log-normalfördelning-inte en kraftlag.

I allmänhet kan många alternativa funktionsformer se ut att följa en maktlagsform till viss del. Stumpf & Porter (2012) föreslog att planera den empiriska kumulativa fördelningsfunktionen i logg-log-domänen och hävdade att en kandidatmaktlag skulle täcka minst två storleksordningar. Dessutom måste forskare vanligtvis möta problemet att avgöra om en sannolikhetsfördelning i verklig värld följer en maktlag eller inte. Som en lösning på detta problem föreslog Diaz en grafisk metod baserad på slumpmässiga prover som tillåter visuellt urskiljning mellan olika typer av svansbeteende. Denna metod använder buntar av kvarvarande kvantila funktioner, även kallade percentilfunktioner för återstående liv, som kännetecknar många olika typer av distributionssvansar, inklusive både tunga och icke-tunga svansar. Men Stumpf & Porter (2012) hävdade att det behövs både en statistisk och en teoretisk bakgrund för att stödja en power-lag i den underliggande mekanismen som driver datagenereringsprocessen.

En metod för att validera en makt-lag-relation testar många ortogonala förutsägelser om en viss generativ mekanism mot data. Att helt enkelt anpassa en maktlagsrelation till en viss typ av data anses inte vara en rationell metod. Som sådan förblir valideringen av makträttsliga påståenden ett mycket aktivt forskningsfält inom många områden av modern vetenskap.

Se även

Referenser

Anteckningar

Bibliografi

• Albert, JS; Reis, RE, red. (2011). Historisk biogeografi av neotropiska sötvattenfiskar . Berkeley: University of California Press.
• Bak, Per (1997). Hur naturen fungerar . Oxford University Press. ISBN 0-19-850164-1.
• Buchanan, Mark (2000). Allmänhet . Weidenfeld & Nicolson. ISBN 0-297-64376-2.
• Clauset, A .; Shalizi, CR; Newman, MEJ (2009). "Power-Law Distributions in Empirical Data". SIAM Review . 51 (4): 661–703. arXiv : 0706.1062 . Bibcode : 2009SIAMR..51..661C . doi : 10.1137/070710111 . S2CID  9155618 .
• Laherrère, J .; Sornette, D. (1998). "Sträckta exponentiella fördelningar i natur och ekonomi:" feta svansar "med karakteristiska skalor". European Journal B Physical . 2 (4): 525–539. arXiv : kond-matta/9801293 . Bibcode : 1998EPJB .... 2..525L . doi : 10.1007/s100510050276 . S2CID  119467988 .
• Mitzenmacher, M. (2004). "En kort historia av generativa modeller för kraftlag och lognormala fördelningar" (PDF) . Internetmatematik . 1 (2): 226–251. doi : 10.1080/15427951.2004.10129088 . S2CID  1671059 .
• Saichev, Alexander; Malevergne, Yannick; Sornette, Didier (2009). Teori om Zipfs lag och vidare . Föreläsningsanteckningar i ekonomi och matematiska system. 632 . Springer. ISBN 978-3-642-02945-5.
• Simon, HA (1955). "På en klass av skeva fördelningsfunktioner". Biometrika . 42 (3/4): 425–440. doi : 10.2307/2333389 . JSTOR  2333389 .
• Sornette, Didier (2006). Kritiska fenomen inom naturvetenskap: kaos, fraktaler, självorganisation och störning: begrepp och verktyg . Springer -serien i synergetik (2: a upplagan). Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-30882-9.
• Stumpf, MPH; Porter, MA (2012). "Kritiska sanningar om maktlagar". Vetenskap . 335 (6069): 665–666. Bibcode : 2012Sci ... 335..665S . doi : 10.1126/science.1216142 . PMID  22323807 . S2CID  206538568 .

externa länkar

• Zipf, Power-laws och Pareto-en rankningshandledning
• Ström morfometri och Hortons lagar
• "How the Finance Gurus Get Risk All Wrong" av Benoit Mandelbrot & Nassim Nicholas Taleb. Fortune , 11 juli 2005.
• "Murray-miljon dollar" : maktlagsfördelningar inom hemlöshet och andra sociala problem; av Malcolm Gladwell . New Yorker , 13 februari 2006.
• Benoit Mandelbrot & Richard Hudson: The Misbehavior of Markets (2004)
• Philip Ball: Critical Mass: How one thing leads to another (2005)
• Maktens tyranni från The Econophysics Blog
• Så du tror att du har en maktlag - är det inte speciellt? från Three-Toed Sloth , bloggen för Cosma Shalizi , professor i statistik vid Carnegie-Mellon University.
• Enkelt MATLAB-skript som lagrar data för att illustrera maktlagsfördelningar (om sådana finns) i data.
• Erds Webgraph -server visualiserar fördelningen av webbgrafens grader på nedladdningssidan .