Hydrostatisk jämvikt - Hydrostatic equilibrium

Inom vätskemekanik är hydrostatisk jämvikt ( hydrostatisk balans , hydrostasy ) tillståndet för en flytande eller plastisk fast substans i vila, vilket uppstår när yttre krafter, såsom gravitation , balanseras av en tryckgradientkraft . I jordens planetariska fysik hindrar tryckgradientkraften gravitationen från att kollapsa planetatmosfären till ett tunt, tätt skal, medan gravitationen hindrar tryckgradientkraften från att sprida atmosfären ut i rymden .

Hydrostatisk jämvikt är det särskiljande kriteriet mellan dvärgplaneter och små solsystemkroppar och egenskaper inom astrofysik och planetgeologi . Nämnda kvalifikation av jämvikt indikerar att formen på föremålet är symmetriskt ellipsoid , där alla oregelbundna ytegenskaper är en följd av en relativt tunn fast skorpa . Förutom solen finns det ett dussintal jämviktsobjekt som bekräftats existera i solsystemet .

Matematisk övervägande

Om den markerade vätskevolymen inte accelererar, måste krafterna på den uppåt vara lika med krafterna nedåt.

För en hydrostatisk vätska på jorden:

${\displaystyle dP=-\rho (P)\cdot g(h)\cdot dh}$

Härledning från kraftsummering

Newtons rörelselagar säger att en volym av en vätska som inte är i rörelse eller som är i ett tillstånd av konstant hastighet måste ha noll nettokraft på sig. Detta innebär att summan av krafterna i en given riktning måste motverkas av en lika stor summa av krafterna i motsatt riktning. Denna kraftbalans kallas hydrostatisk jämvikt.

Vätskan kan delas upp i ett stort antal kubiska volymelement; genom att betrakta ett enda element kan vätskans verkan härledas.

Det finns 3 krafter: kraften nedåt på toppen av kuben från trycket, P, av vätskan ovanför den är, från definitionen av tryck ,

${\displaystyle F_{top}=-P_{top}\cdot A}$

På liknande sätt är kraften på volymelementet från trycket från vätskan under trycket uppåt

${\displaystyle F_{bottom}=P_{bottom}\cdot A}$

Slutligen orsakar vikten av volymelementet en kraft nedåt. Om densiteten är ρ, är volymen V och g standardgravitationen , då:

${\displaystyle F_{weight}=-\rho \cdot g\cdot V}$

Volymen av denna kuboid är lika med arean av toppen eller botten, gånger höjden - formeln för att hitta volymen av en kub.

${\displaystyle F_{vikt}=-\rho \cdot g\cdot A\cdot h}$

Genom att balansera dessa krafter blir den totala kraften på vätskan

${\displaystyle \sum F=F_{bottom}+F_{top}+F_{weight}=P_{bottom}\cdot A-P_{top}\cdot A-\rho \cdot g\cdot A\cdot h}$

Denna summa är lika med noll om vätskans hastighet är konstant. Dela med A,

${\displaystyle 0=P_{bottom}-P_{top}-\rho \cdot g\cdot h}$

Eller,

${\displaystyle P_{top}-P_{bottom}=-\rho \cdot g\cdot h}$

P _topp − P _botten är en förändring i trycket och h är höjden på volymelementet - en förändring av avståndet över marken. Genom att säga att dessa förändringar är oändligt små kan ekvationen skrivas i differentialform .

${\displaystyle dP=-\rho \cdot g\cdot dh}$

Densiteten ändras med tryck och gravitationen ändras med höjden, så ekvationen skulle vara:

${\displaystyle dP=-\rho (P)\cdot g(h)\cdot dh}$

Härledning från Navier–Stokes ekvationer

Notera slutligen att denna sista ekvation kan härledas genom att lösa de tredimensionella Navier–Stokes-ekvationerna för jämviktssituationen där

${\displaystyle u=v={\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial p}{\partial y}}=0}$

Då är den enda icke-triviala ekvationen -ekvationen, som nu lyder ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}+\rho g=0}$

Således kan hydrostatisk balans betraktas som en särskilt enkel jämviktslösning av Navier–Stokes ekvationer.

Härledning från allmän relativitetsteori

Genom att koppla in energimomentumtensorn för en perfekt vätska

${\displaystyle T^{\mu \nu }=(\rho c^{-2}+P)u^{\mu }u^{\nu}+Pg^{\mu \nu }}$

in i Einsteins fältekvationer

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}(T_{\mu \nu}-{\frac {1}{2}}g_{\ mu \nu }T)}$

och använda bevarandevillkoret

${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$

man kan härleda Tolman–Oppenheimer–Volkoff-ekvationen för strukturen av en statisk, sfäriskt symmetrisk relativistisk stjärna i isotropa koordinater:

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}\left(1+{\frac {P(r) }{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}} }\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}}$

I praktiken är Ρ och ρ relaterade till en tillståndsekvation av formen f ( Ρ , ρ )=0, med f specifik för stjärnans sammansättning. M ( r ) är en foliation av sfärer viktad av massdensiteten ρ ( r ), där den största sfären har radien r :

${\displaystyle M(r)=4\pi \int _{0}^{r}dr'r'^{2}\rho (r').}$

Per standardförfarande för att ta den icke-relativistiska gränsen låter vi c →∞, så att faktorn

${\displaystyle \left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3} P(r)}{M(r)c^{2}}}\höger)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\höger)^{-1} \rightarrow 1}$

Därför, i den icke-relativistiska gränsen, reduceras Tolman–Oppenheimer–Volkoff-ekvationen till Newtons hydrostatiska jämvikt:

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}=-g(r)\,\rho (r) \longrightarrow dP=-\rho (h)\,g(h)\,dh}$

(vi har ändrat den triviala notationen h = r och har använt f ( Ρ , ρ )=0 för att uttrycka ρ i termer av P ). En liknande ekvation kan beräknas för roterande, axiellt symmetriska stjärnor, som i sin mätoberoende form lyder:

${\displaystyle {\frac {\partial _{i}P}{P+\rho }}-\partial _{i}\ln u^{t}+u_{t}u^{\phi }\partial _{ i}{\frac {u_{\phi }}{u_{t}}}=0}$

Till skillnad från TOV-jämviktsekvationen är dessa två ekvationer (till exempel, om man som vanligt vid behandling av stjärnor väljer sfäriska koordinater som baskoordinater , indexet i körs för koordinaterna r och ). ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$${\displaystyle \theta }$

Ansökningar

Vätskor

Den hydrostatiska jämvikten hänför sig till hydrostatiken och principerna för vätskors jämvikt . En hydrostatisk våg är en speciell våg för att väga ämnen i vatten. Hydrostatisk balans tillåter upptäckten av deras specifika vikter . Denna jämvikt är strikt tillämplig när en ideal vätska är i ett stadigt horisontellt laminärt flöde och när någon vätska är i vila eller i vertikal rörelse med konstant hastighet. Det kan också vara en tillfredsställande approximation när flödeshastigheterna är tillräckligt låga för att accelerationen är försumbar.

Astrofysik

I vilket som helst givet lager av en stjärna finns det en hydrostatisk jämvikt mellan det yttre termiska trycket underifrån och vikten av materialet ovanför som pressar inåt. Det isotropa gravitationsfältet komprimerar stjärnan till en så kompakt form som möjligt. En roterande stjärna i hydrostatisk jämvikt är en oblate sfäroid upp till en viss (kritisk) vinkelhastighet. Ett extremt exempel på detta fenomen är stjärnan Vega , som har en rotationsperiod på 12,5 timmar. Följaktligen är Vega cirka 20 % större vid ekvatorn än vid polerna. En stjärna med en vinkelhastighet över den kritiska vinkelhastigheten blir en Jacobi (scalene) ellipsoid , och vid ännu snabbare rotation är den inte längre ellipsoid utan piriform eller oviform , med ännu andra former utöver det, även om former bortom scalene inte är stabila.

Om stjärnan har ett massivt närliggande följeslagsobjekt kommer tidvattenkrafter också in i bilden, vilket förvränger stjärnan till en skalenlig form när endast rotation skulle göra den till en sfäroid. Ett exempel på detta är Beta Lyrae .

Hydrostatisk jämvikt är också viktig för intraklustermediet , där det begränsar mängden vätska som kan finnas i kärnan av en galaxhop .

Vi kan också använda principen om hydrostatisk jämvikt för att uppskatta hastighetsspridningen av mörk materia i galaxhopar. Endast baryonisk materia (eller snarare kollisioner därav) avger röntgenstrålning . Den absoluta röntgen luminositet per volymenhet har formen där och är temperaturen och densiteten hos den baryonisk materia, och är någon funktion av temperaturen och grundläggande konstanter. Den baryoniska densiteten uppfyller ovanstående ekvation : ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=\Lambda (T_{B})\rho _{B}^{2}}$${\displaystyle T_{B}}$${\displaystyle \rho _{B}}$${\displaystyle \Lambda (T)}$${\displaystyle dP=-\rho gdr}$

${\displaystyle p_{B}(r+dr)-p_{B}(r)=-dr{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{ 0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$

Integralen är ett mått på den totala massan av klustret, med det korrekta avståndet till mitten av klustret. Med hjälp av den ideala gaslagen ( är Boltzmanns konstant och är en karakteristisk massa av de baryoniska gaspartiklarna) och omarrangering kommer vi fram till ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p_{B}=kT_{B}\rho _{B}/m_{B}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m_{B}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)=-{ \frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r )\,dr.}$

Multiplicera med och differentiera med avseende på avkastning ${\displaystyle r^{2}/\rho _{B}(r)}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{B}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left ({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M }(r).}$

Om vi ​​gör antagandet att partiklar av kall mörk materia har en isotrop hastighetsfördelning, så gäller samma härledning för dessa partiklar, och deras densitet uppfyller den icke-linjära differentialekvationen ${\displaystyle \rho _{D}=\rho _{M}-\rho _{B}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{D}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left ({\frac {kT_{D}(r)\rho _{D}(r)}{m_{D}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M }(r).}$

Med perfekt röntgen- och avståndsdata kunde vi beräkna baryontensiteten vid varje punkt i klustret och därmed densiteten för mörk materia. Vi skulle då kunna beräkna hastighetsspridningen av den mörka materian, som ges av ${\displaystyle \sigma _{D}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{D}^{2}={\frac {kT_{D}}{m_{D}}}.}$

Det centrala densitetsförhållandet är beroende av rödförskjutningen av klustret och ges av ${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)\propto (1+z)^{2}\left({\frac {\theta }{s}}\right) ^{3/2}}$

var är klustrets vinkelbredd och rätt avstånd till klustret. Värden för förhållandet varierar från 0,11 till 0,14 för olika undersökningar. ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle s}$

Planetarisk geologi

Begreppet hydrostatisk jämvikt har också blivit viktigt för att avgöra om ett astronomiskt objekt är en planet , en dvärgplanet eller en liten solsystemkropp . Enligt definitionen av planet som antogs av International Astronomical Union 2006, är en definierande egenskap hos planeter och dvärgplaneter att de är föremål som har tillräcklig gravitation för att övervinna sin egen stelhet och anta hydrostatisk jämvikt. En sådan kropp kommer ofta att ha en världs differentierade inre och geologi (en planemo ), även om nästan hydrostatiska eller tidigare hydrostatiska kroppar som protoplaneten 4 Vesta också kan vara differentierade och vissa hydrostatiska kroppar (särskilt Callisto ) har inte ordentligt differentierade sedan de bildades. Ofta är jämviktsformen en oblate sfäroid , som är fallet med jord. Men i fall av månar i synkron omloppsbana skapar nästan enkelriktade tidvattenkrafter en skalenlig ellipsoid . Dessutom är den påstådda dvärgplaneten Haumea skalenlig på grund av sin snabba rotation, även om den för närvarande inte är i jämvikt.

Isiga föremål ansågs tidigare behöva mindre massa för att uppnå hydrostatisk jämvikt än steniga föremål. Det minsta föremålet som verkar ha en jämviktsform är den iskalla månen Mimas på 396 km, medan det största föremålet som är känt för att ha en uppenbart icke-jämviktsform är den isiga månen Proteus på 420 km. Men Mimas är faktiskt inte i hydrostatisk jämvikt för sin nuvarande rotation. Den minsta kroppen som bekräftats vara i hydrostatisk jämvikt är dvärgplaneten Ceres , som är isig, på 945 km, medan den största kända kroppen som har en märkbar avvikelse från hydrostatisk jämvikt är Iapetus som består av mestadels genomsläpplig is och nästan ingen sten. Vid 1 469 km är denna måne varken sfärisk eller ellipsoid. Istället är den snarare i en märklig valnötsliknande form på grund av sin unika ekvatorialrygg. Vissa isiga kroppar kan vara i jämvikt åtminstone delvis på grund av ett hav under ytan, vilket inte är definitionen av jämvikt som används av IAU (tyngdkraften övervinner inre krafter i stela kroppar). Även större kroppar visar märkbara avvikelser från hydrostatisk jämvikt, även om de är ellipsoida: exempel är jordens måne på 3 474 km (mest sten) och planeten Merkurius på 4 880 km (mest metall).

Fasta kroppar har oregelbundna ytor, men lokala oregelbundenheter kan vara förenliga med global jämvikt. Till exempel har den massiva basen av det högsta berget på jorden, Mauna Kea , deformerat och sänkt nivån på den omgivande skorpan, så att den totala fördelningen av massa närmar sig jämvikt.

Atmosfärisk modellering

I atmosfären minskar lufttrycket med ökande höjd. Denna tryckskillnad orsakar en uppåtgående kraft som kallas tryckgradientkraften . Tyngdkraften balanserar detta, håller atmosfären bunden till jorden och upprätthåller tryckskillnader med höjden.

Se även

• Lista över solsystemobjekt i hydrostatisk jämvikt
• Statik
• Experiment med två ballonger

Anteckningar

Referenser

• White, Frank M. (2008). "Tryckfördelning i en vätska". Vätskemekanik . New York: McGraw-Hill. s. 63–107. ISBN 978-0-07-128645-9.

externa länkar

• Strobel, Nick. (maj 2001). Nick Strobels astronomianteckningar.
• Demonstration på YouTube av prof. Richard Pogge, Ohio State University, Institutionen för astronomi