Klassisk elektromagnetism och särskild relativitet - Classical electromagnetism and special relativity

Artiklar om
Elektromagnetism
Elektricitet Magnetism Historia Läroböcker
Elektrostatik Elektrisk laddning Coulombs lag Dirigent Laddningstäthet Tillstånd Elektrisk dipolmoment Elektriskt fält Elektrisk potential Elektriskt flöde  / potentiell energi Elektrostatisk urladdning Gauss lag Induktion Isolator Polarisationstäthet Statisk elektricitet Triboelektricitet
Magnetostatik Ampères lag Biot – Savart -lagen Gauss lag för magnetism Magnetiskt fält Magnetiskt flöde Magnetiskt dipolmoment Magnetisk permeabilitet Magnetisk skalärpotential Magnetisering Magnetomotiv kraft Magnetisk vektorpotential Högerregel
Elektrodynamik Lorentz tvångslag Elektromagnetisk induktion Faradays lag Lenzs lag Förskjutningsström Maxwells ekvationer Elektromagnetiskt fält Elektromagnetisk puls Elektromagnetisk strålning Maxwell tensor Poynting vektor Liénard – Wiechert potential Jefimenkos ekvationer virvelström London ekvationer Matematiska beskrivningar av det elektromagnetiska fältet
Elnät Växelström Kapacitans Likström Elektrisk ström Elektrolys Strömtäthet Joule uppvärmning Elektromotorisk kraft Impedans Induktans Ohms lag Parallell krets Motstånd Resonanta hålrum Serie krets Spänning Vågledare
Kovariant formulering Elektromagnetisk tensor ( spänning - energi tensor ) Fyrström Elektromagnetisk fyrpotential
Forskare Ampere Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Henry Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Sångare Tesla Volta Weber Poisson
v t e

Den speciella relativitetsteorin spelar en viktig roll i den moderna teorin om klassisk elektromagnetism . Det ger formler för hur elektromagnetiska föremål, i synnerhet de elektriska och magnetiska fälten , förändras under en Lorentz -transformation från en tröghetsram till en annan. Det belyser förhållandet mellan elektricitet och magnetism och visar att referensramen avgör om en observation följer elektrostatiska eller magnetiska lagar. Det motiverar en kompakt och bekväm notering för elektromagnetismens lagar, nämligen den "uppenbart kovarianta" tensorformen.

Maxwells ekvationer, när de först angavs i sin fullständiga form 1865, skulle visa sig vara förenliga med särskild relativitet. Dessutom skulle de uppenbara sammanträffanden där samma effekt observerades på grund av olika fysiska fenomen av två olika observatörer inte vara tillfälliga åtminstone av särskild relativitet. I själva verket förklarar hälften av Einsteins första uppsats 1905 om särskild relativitet, " On the Electrodynamics of Moving Bodies ", hur man förvandlar Maxwells ekvationer.

Transformation av fälten mellan tröghetsramar

E- och B -fälten

Lorentz boost av en elektrisk laddning.

Överst: Laddningen vilar i ram F, så den här observatören ser ett statiskt elektriskt fält. En observatör i en annan ram F ′ rör sig med hastigheten v i förhållande till F, och ser laddningen röra sig med hastigheten - v med ett förändrat elektriskt fält E på grund av längdkontraktion och ett magnetfält B på grund av laddningens rörelse.

Botten: Liknande inställning, med laddningen i vila i ramen F ′.

Denna ekvation, även kallad Joules-Bernoulli-ekvationen , tar hänsyn till två tröghetsramar . Den grundade ramen rör sig i förhållande till den oprimade ramen vid hastighet v . Fält definierade i den primade ramen indikeras med primtal, och fält som definieras i den icke -primade ramen saknar primtal. Fältkomponenterna parallellt med hastigheten v betecknas med och medan fältkomponenterna vinkelrätt mot v betecknas som och . I dessa två ramar som rör sig med relativ hastighet v , är E -fälten och B -fälten relaterade av: ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ parallel}}$${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {\ parallel}}$${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ perp}}$${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {\ perp}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {E _ {\ parallel}} '& = \ mathbf {E _ {\ parallel}} \\\ mathbf {B _ {\ parallel}}' & = \ mathbf {B _ {\ parallell}} \\\ mathbf {E _ {\ bot}} '& = \ gamma \ vänster (\ mathbf {E} _ {\ bot}+\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ höger) \\ \ mathbf {B _ {\ bot}} '& = \ gamma \ left (\ mathbf {B} _ {\ bot}-{\ frac {1} {c^{2}}} \ mathbf {v} \ times \ mathbf {E} \ right) \ end {align}}}$

var

${\ displaystyle \ gamma \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ {\ frac {1} {\ sqrt {1-v^{2}/c^{2} }}}}$

kallas Lorentz -faktorn och c är ljusets hastighet i ledigt utrymme . Ekvationerna ovan är i SI . I CGS kan dessa ekvationer härledas genom att ersätta med och med , utom . Lorentz -faktor ( ) är densamma i båda systemen . De inversa transformationerna är desamma utom v → - v . ${\ displaystyle {\ frac {1} {c^{2}}}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {c}}}$${\ displaystyle v \ gånger B}$${\ displaystyle {\ frac {1} {c}} v \ gånger B}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma}$

Ett motsvarande, alternativt uttryck är:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {E} '& = \ gamma \ left (\ mathbf {E} +\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right)-\ left ({\ gamma -1} \ höger) (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ mathbf {B} '& = \ gamma \ vänster (\ mathbf {B} -{\ frac {\ mathbf {v} \ times \ mathbf {E}} {c^{2}}} \ höger) -\ vänster ({\ gamma -1} \ höger) (\ mathbf {B } \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} \ end {align}}}$

där är hastigheten enhetsvektom . Med tidigare noteringar har man faktiskt och . ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {v}} = {\ frac {\ mathbf {v}} {\ Vert \ mathbf {v} \ Vert}}}$${\ displaystyle (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} = \ mathbf {E} _ {\ parallel}}$${\ displaystyle (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} = \ mathbf {B} _ {\ parallel}}$

Om ett av fälten är noll i en referensram betyder det inte nödvändigtvis att det är noll i alla andra referensramar. Detta kan ses genom att till exempel göra det oprimade elektriska fältet till noll i omvandlingen till det primade elektriska fältet. I detta fall kan det primade systemet, beroende på magnetfältets orientering, se ett elektriskt fält, även om det inte finns något i det orimade systemet.

Detta betyder inte att två helt olika uppsättningar av händelser ses i de två ramarna, utan att samma händelseförlopp beskrivs på två olika sätt (se rörlig magnet och ledarproblem nedan).

Om en laddningspartikel q rör sig med hastigheten u i förhållande till ramen S, är Lorentz -kraften i ramen S:

${\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ mathbf {E} +q \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}}$

I ram S 'är Lorentz -kraften:

${\ displaystyle \ mathbf {F '} = q \ mathbf {E'} +q \ mathbf {u '} \ times \ mathbf {B'}}$

Om S och S har axlar i linje:

${\ displaystyle {\ begin {align} u_ {x} '& = {\ frac {u_ {x}+v} {1+ (v \ u_ {x})/c^{2}}} \\ u_ { y} '& = {\ frac {u_ {y}/\ gamma} {1+ (v \ u_ {x})/c^{2}}} \\ u_ {z}' & = {\ frac {u_ {z}/\ gamma} {1+ (v \ u_ {x})/c^{2}}} \ end {align}}}$

En härledning för transformationen av Lorentz -kraften för det specifika fallet u = 0 ges här. En mer allmän kan ses här.

Komponent för komponent, för relativ rörelse längs x-axeln, blir detta följande:

${\ displaystyle {\ begin {align} E '_ {x} & = E_ {x} & \ qquad B' _ {x} & = B_ {x} \\ E '_ {y} & = \ gamma \ left (E_ {y} -vB_ {z} \ höger) & B '_ {y} & = \ gamma \ vänster (B_ {y}+{\ frac {v} {c^{2}}} E_ {z} \ höger) \\ E '_ {z} & = \ gamma \ vänster (E_ {z}+vB_ {y} \ höger) & B' _ {z} & = \ gamma \ vänster (B_ {z}-{\ frac {v} {c^{2}}} E_ {y} \ right). \\\ end {align}}}$

Transformationerna i denna form kan göras mer kompakta genom att införa den elektromagnetiska tensorn (definierad nedan), som är en kovariant tensor .

Fälten D och H

För elektrisk förskjutning D och magnetisk intensitet H , med hjälp av de konstitutiva relationerna och resultatet för c ² :

${\ displaystyle \ mathbf {D} = \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ ,, \ quad \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {H} \ ,, \ quad c^{ 2} = {\ frac {1} {\ epsilon _ {0} \ mu _ {0}}} \ ,,}$

ger

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {D} '& = \ gamma \ left (\ mathbf {D} +{\ frac {1} {c^{2}}} \ mathbf {v} \ times \ mathbf {H} \ right)+(1- \ gamma) (\ mathbf {D} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ mathbf {H} '& = \ gamma \ vänster (\ mathbf {H} -\ mathbf {v} \ times \ mathbf {D} \ höger)+(1- \ gamma) (\ mathbf {H} \ cdot \ mathbf {\ hat {v} }) \ mathbf {\ hat {v}} \ end {align}}}$

Analogt för E och B , den D och H bilda den elektromagnetiska förskjutnings tensor .

Fälten φ och A

En alternativ enklare transformation av EM -fältet använder de elektromagnetiska potentialerna - den elektriska potentialen φ och magnetpotentialen A :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ varphi '& = \ gamma \ left (\ varphi -vA _ {\ parallel} \ right) \\ A _ {\ parallel}' & = \ gamma \ left (A _ {\ parallel} -{\ frac {v \ varphi} {c^{2}}} \ höger) \\ A _ {\ bot} '& = A _ {\ bot} \ end {align}}}$

var är den parallella komponenten av A till den relativa hastighetsriktningen mellan ramarna v , och är den vinkelräta komponenten. Dessa liknar transparent den karakteristiska formen av andra Lorentz-transformationer (som tidsposition och energimomentum), medan transformationerna av E och B ovan är något mer komplicerade. Komponenterna kan samlas ihop som: ${\ displaystyle \ scriptstyle A _ {\ parallel}}$${\ displaystyle \ scriptstyle A _ {\ bot}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} '& = \ mathbf {A} -{\ frac {\ gamma \ varphi} {c^{2}}} \ mathbf {v} +\ left (\ gamma -1 \ höger) \ vänster (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}} \ höger) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ varphi '& = \ gamma \ vänster (\ varphi -\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ end {align}}}$

Fälten ρ och J

Analogt för laddningstätheten ρ och strömtätheten J ,

${\ displaystyle {\ begin {align} J _ {\ parallel} '& = \ gamma \ left (J _ {\ parallel} -v \ rho \ right) \\\ rho' & = \ gamma \ left (\ rho -{ \ frac {v} {c^{2}}} J _ {\ parallel} \ höger) \\ J _ {\ bot} '& = J _ {\ bot} \ end {align}}}$

Samla komponenter tillsammans:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {J} '& = \ mathbf {J} -\ gamma \ rho \ mathbf {v} +\ left (\ gamma -1 \ right) \ left (\ mathbf {J } \ cdot \ mathbf {\ hat {v}} \ right) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ rho '& = \ gamma \ left (\ rho -{\ frac {\ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {v}} {c^{2}}} \ right) \ end {align}}}$

Icke-relativistiska approximationer

För hastigheterna v ≪ c , den relativistiska faktorn γ ≈ 1, som ger:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {E} '& \ approx \ mathbf {E} +\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \\\ mathbf {B}' & \ approx \ mathbf { B} -{\ frac {1} {c^{2}}} \ mathbf {v} \ times \ mathbf {E} \\\ mathbf {J} '& \ approx \ mathbf {J} -\ rho \ mathbf {v} \\\ rho '& \ approx \ left (\ rho -{\ frac {1} {c^{2}}} \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ end {aligned }}}$

så att det inte finns något behov av att skilja mellan de rumsliga och tidsmässiga koordinaterna i Maxwells ekvationer .

Förhållandet mellan elektricitet och magnetism

En del av kraften mellan rörliga laddningar kallar vi magnetkraften. Det är verkligen en aspekt av en elektrisk effekt.

-  Richard Feynman

Hämtar magnetism från elektrostatik

Den valda referensramen avgör om ett elektromagnetiskt fenomen ses som en effekt av elektrostatik eller magnetism eller en kombination av de två. Författare hämtar vanligtvis magnetism från elektrostatik när man tar hänsyn till särskild relativitet och laddningsvariation . Feynman-föreläsningarna om fysik (vol. 2, kap. 13-6) använder denna metod för att härleda den "magnetiska" kraften på en rörlig laddning bredvid en strömbärande tråd. Se även Haskell och Landau.

Fält blandas i olika ramar

Ovanstående transformationsregler visar att det elektriska fältet i en ram bidrar till magnetfältet i en annan ram, och vice versa. Detta beskrivs ofta genom att säga att det elektriska fältet och magnetfältet är två sammanhängande aspekter av ett enda objekt, kallat det elektromagnetiska fältet . Faktum är att hela det elektromagnetiska fältet kan representeras i en enda rank-2-tensor som kallas den elektromagnetiska tensorn ; se nedan.

Rörlig magnet och ledarproblem

Ett känt exempel på sammanblandning av elektriska och magnetiska fenomen i olika referensramar kallas "rörlig magnet- och ledarproblem", som Einstein citerade i sin artikel 1905 om specialrelativitet.

Om en ledare rör sig med en konstant hastighet genom fältet för en stationär magnet, kommer virvelströmmar att produceras på grund av en magnetisk kraft på elektronerna i ledaren. I ledarens övriga ram kommer å andra sidan magneten att röra sig och ledaren stationär. Klassisk elektromagnetisk teori förutsäger att exakt samma mikroskopiska virvelströmmar kommer att produceras, men de beror på en elektrisk kraft.

Kovariant formulering i vakuum

Lagarna och matematiska föremålen inom klassisk elektromagnetism kan skrivas i en form som är uppenbart kovariant . Här görs detta endast för vakuum (eller för de mikroskopiska Maxwell -ekvationerna, inte med hjälp av makroskopiska beskrivningar av material som elektrisk permittivitet ), och använder SI -enheter .

Det här avsnittet använder Einstein -notation , inklusive Einstein -summeringskonvention . Se även Ricci -kalkylen för en sammanfattning av tensorindexnotationer och höjning och sänkning av index för definition av över- och abonnemangsindex och hur man växlar mellan dem. Den Minkowski metrisk tensor η här har metriska signatur (+ - - -).

Fälttensor och 4-ström

Ovanstående relativistiska transformationer tyder på att de elektriska och magnetiska fälten är kopplade ihop, i ett matematiskt objekt med 6 komponenter: en antisymmetrisk andra rankad tensor eller en bivektor . Detta kallas den elektromagnetiska fältets tensor , vanligtvis skriven som F ^μν . I matrisform:

${\ displaystyle F^{\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 & -E_ {x}/c & -E_ {y}/c & -E_ {z}/c \\ E_ {x}/c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ E_ {y}/c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z}/c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {pmatrix}}}$

där c den ljushastigheten - i naturliga enheter c = 1.

Det finns ett annat sätt att slå samman de elektriska och magnetiska fälten till en antisymmetrisk tensor, genom att ersätta E / c → B och B → - E / c , för att få den dubbla tensorn G ^μν .

${\ displaystyle G^{\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 & -B_ {x} &-B_ {y} &-B_ {z} \\ B_ {x} & 0 & E_ {z}/c & -E_ {y}/c \\ B_ {y} &-E_ {z}/c & 0 & E_ {x}/c \\ B_ {z} & E_ {y}/c & -E_ {x}/c & 0 \ end {pmatrix}}}$

I samband med särskild relativitet omvandlas båda dessa enligt Lorentz -transformationen enligt

${\ displaystyle F '^{\ alpha \ beta} = \ Lambda _ {\ mu}^{\ alpha} \ Lambda _ {\ nu}^{\ beta} F^{\ mu \ nu}}$,

där Λ ^α _ν är Lorentz -transformationstensorn för en ändring från en referensram till en annan. Samma tensor används två gånger i summeringen.

Laddningen och strömtätheten, fälternas källor, kombineras också till fyrvektorn

${\ displaystyle J^{\ alpha} = \ left (c \ rho, J_ {x}, J_ {y}, J_ {z} \ right)}$

kallade fyrströmmen .

Maxwells ekvationer i tensorform

Med hjälp av dessa tensorer reduceras Maxwells ekvationer till:

där delderivaten kan skrivas på olika sätt, se 4-gradient . Den första ekvationen som anges ovan motsvarar både Gauss lag (för β = 0) och Ampère-Maxwell-lagen (för β = 1, 2, 3). Den andra ekvationen motsvarar de två återstående ekvationerna, Gauss lag för magnetism (för β = 0) och Faradays lag (för β = 1, 2, 3).

Dessa tensorekvationer är uppenbart kovarianta , vilket innebär att ekvationerna kan ses vara kovarianta av indexpositionerna. Denna korta form av att skriva Maxwells ekvationer illustrerar en idé som delas av vissa fysiker, nämligen att fysikens lagar får en enklare form när de skrivs med hjälp av tensorer .

Genom att sänka indexen på F ^{αβ för} att erhålla F _αβ (se höjning och sänkning av index ):

${\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} = \ eta _ {\ alpha \ lambda} \ eta _ {\ beta \ mu} F^{\ lambda \ mu}}$

den andra ekvationen kan skrivas i termer av F _αβ som:

${\ displaystyle \ epsilon ^{\ delta \ alpha \ beta \ gamma} {\ dfrac {\ partiell F _ {\ beta \ gamma}} {\ partiell x ^{\ alpha}}} = {\ dfrac {\ partiell F_ { \ alfa \ beta}} {\ partiell x^{\ gamma}}}+{\ dfrac {\ partiell F _ {\ gamma \ alfa}} {\ partiell x^{\ beta}}}+{\ dfrac {\ partiell F _ {\ beta \ gamma}} {\ partiell x^{\ alfa}}} = 0}$

var är den kontravariant Levi-Civita-symbolen . Lägg märke till cykliska permutation av index i denna ekvation: . ${\ displaystyle \ epsilon ^{\ alpha \ beta \ gamma \ delta}}$${\ displaystyle {\ begin {array} {rc} & \ scriptstyle {\ alpha \, \, \ longrightarrow \, \, \ beta} \\ & \ nwarrow _ {\ gamma} \ swarrow \ end {array}}}$

Ett annat kovariant elektromagnetiskt objekt är den elektromagnetiska spänningsenergitensorn , en kovariant rank-2-tensor som inkluderar Poynting-vektorn , Maxwell-spänningstensorn och den elektromagnetiska energitätheten.

4-potential

EM -fältet tensor kan också skrivas

${\ displaystyle F^{\ alpha \ beta} = {\ frac {\ partiell A^{\ beta}} {\ partiell x _ {\ alfa}}}-{\ frac {\ partiell A^{\ alfa}} { \ partiell x _ {\ beta}}} \ ,,}$

var

${\ displaystyle A^{\ alpha} = \ left ({\ frac {\ varphi} {c}}, A_ {x}, A_ {y}, A_ {z} \ right) \ ,,}$

är fyrpotentialen och

${\ displaystyle x _ {\ alpha} = (ct, -x, -y, -z)}$

är fyrpositionen .

Med hjälp av 4-potentialen i Lorenz-mätaren kan en alternativ uppenbart kovariant formulering hittas i en enda ekvation (en generalisering av en ekvation på grund av Bernhard Riemann av Arnold Sommerfeld , känd som Riemann – Sommerfeld-ekvationen, eller den kovarianta formen av Maxwell -ekvationerna):

var är d'Alembertian operatör, eller fyra-laplacian. För en mer omfattande presentation av dessa ämnen, se Covariant formulering av klassisk elektromagnetism . ${\ displaystyle \ Box}$

Se även

• Matematik i EM -fält
• Relativistisk elektromagnetism
• Galileisk icke-invarians av klassisk elektromagnetism

Fotnoter