Maxwell stress tensor - Maxwell stress tensor

Artiklar om
Elektromagnetism
Elektricitet Magnetism Historia Läroböcker
Elektrostatik Elektrisk laddning Coulombs lag Dirigent Laddningsdensitet Tillstånd Elektriskt dipolmoment Elektriskt fält Elektrisk potential Elektriskt flöde  / potentiell energi Elektrostatisk urladdning Gauss lag Induktion Isolator Polarisationstäthet Statisk elektricitet Triboelektricitet
Magnetostatik Ampères lag Biot – Savart lag Gauss lag för magnetism Magnetiskt fält Magnetiskt flöde Magnetiskt dipolmoment Magnetisk permeabilitet Magnetisk skalärpotential Magnetisering Magnetkraft Magnetisk vektorpotential Högerhandsregel
Elektrodynamik Lorentz kraftlag Elektromagnetisk induktion Faradays lag Lenzs lag Förskjutningsström Maxwells ekvationer Elektromagnetiskt fält Elektromagnetisk puls Elektromagnetisk strålning Maxwell tensor Poynting vektor Liénard – Wiechert potential Jefimenkos ekvationer virvelström London ekvationer Matematiska beskrivningar av det elektromagnetiska fältet
Elnät Växelström Kapacitans Likström Elektrisk ström Elektrolys Strömtäthet Joule uppvärmning Elektromotorisk kraft Impedans Induktans Ohms lag Parallell krets Motstånd Resonanta håligheter Seriekrets Spänning Vågledare
Kovariant formulering Elektromagnetisk tensor ( stress – energitensor ) Fyrström Elektromagnetisk fyrpotential
Forskare Ampere Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Henry Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Sångare Tesla Volta Weber
v t e

Den Maxwell spänningstensorn (uppkallad efter James Clerk Maxwell ) är en symmetrisk andra ordningens tensor används i klassisk elektromagnetism för att representera interaktion mellan elektromagnetiska krafter och mekanisk dynamik . I enkla situationer, såsom en punktladdning som rör sig fritt i ett homogent magnetfält, är det lätt att beräkna krafterna på laddningen från Lorentz-kraftlagen . När situationen blir mer komplicerad kan detta vanliga förfarande bli opraktiskt svårt, med ekvationer som sträcker sig över flera linjer. Det är därför bekvämt att samla många av dessa termer i Maxwell-spänningstensorn och att använda tensorberäkningen för att hitta svaret på det aktuella problemet.

I den relativistiska formuleringen av elektromagnetism framträder Maxwells tensor som en del av den elektromagnetiska spänningen - energitensorn som är den elektromagnetiska komponenten i den totala spänningen - energitensorn . Den senare beskriver densiteten och flödet av energi och fart i rymdtiden .

Motivering

Lorentz-kraft (per enhet 3-volym) f på en kontinuerlig laddningsfördelning ( laddningstäthet ρ ) i rörelse. 3- strömtätheten J motsvarar rörelsen hos laddningselementet dq i volymelementet dV och varierar genom hela kontinuumet.

Som beskrivs nedan, är den elektromagnetiska kraften skrivas i termer av E och B . Med hjälp av vektorkalkyl och Maxwells ekvationer eftersträvas symmetri i termerna som innehåller E och B , och införandet av Maxwells spänningssensor förenklar resultatet.

Maxwells ekvationer i SI-enheter i vakuum
(för referens)

namn	Differentiell form
Gauss lag (i vakuum)	${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}}$
Gauss lag för magnetism	${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}$
Maxwell – Faraday-ekvation (Faradays induktionslag)	${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}$
Ampères kretslopp (i vakuum) (med Maxwells korrigering)	${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {J} + \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} { \ partiell t}} \}$

i ovanstående relation för bevarande av momentum, är momentum flödestätheten och spelar en roll som liknar i Poyntings sats . ${\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}}}$${\ displaystyle \ mathbf {S}}$

Ovanstående härledning förutsätter fullständig kunskap om både ρ och J (både fria och begränsade laddningar och strömmar). För icke-linjära material (t.ex. magnetiskt järn med en BH-kurva) måste den icke-linjära Maxwell-spänningstensorn användas.

Ekvation

I fysik är Maxwells spänningstensor spänningstensorn för ett elektromagnetiskt fält . Som härleds ovan i SI-enheter ges det av:

${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ epsilon _ {0} E_ {i} E_ {j} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B_ {i} B_ {j} - { \ frac {1} {2}} \ left (\ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B ^ {2} \ höger) \ delta _ {I j}}$,

där ε ₀ är den elektriska konstanten och μ ₀ är den magnetiska konstanten , E är det elektriska fältet , B är det magnetiska fältet och δ _ij är Kroneckers delta . I Gaussisk cgs-enhet ges den av:

${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ vänster (E_ {i} E_ {j} + H_ {i} H_ {j} - {\ frac {1} { 2}} \ vänster (E ^ {2} + H ^ {2} \ höger) \ delta _ {ij} \ höger)}$,

där H är magnetiseringsfältet .

Ett alternativt sätt att uttrycka denna tensor är:

${\ displaystyle {\ overset {\ leftrightarrow} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ vänster [\ mathbf {E} \ otimes \ mathbf {E} + \ mathbf {H} \ otimes \ mathbf {H} - {\ frac {E ^ {2} + H ^ {2}} {2}} \ mathbb {I} \ right]}$

där ⊗ är den dyadiska produkten och den sista tensorn är enhetsdyaden:

${\ displaystyle \ mathbb {I} \ equiv {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} = \ left (\ mathbf {\ hat {x}} \ otimes \ mathbf {\ hat { x}} + \ mathbf {\ hat {y}} \ otimes \ mathbf {\ hat {y}} + \ mathbf {\ hat {z}} \ otimes \ mathbf {\ hat {z}} \ right)}$

Elementet ij i Maxwells spänningstensor har enheter av momentum per ytenhet per tidsenhet och ger flödet av momentum parallellt med i- axeln som korsar en yta som är normal till j- axeln (i negativ riktning) per tidsenhet .

Dessa enheter kan också ses som kraftenheter per ytenhet (negativt tryck), och tensors ij- element kan också tolkas som den kraft som är parallell med den i- axeln som lider av en yta som är normal till j-axeln per enhet av området. Faktum är att de diagonala elementen ger spänningen (dragning) som verkar på ett element med differentiell yta som är normalt mot motsvarande axel. Till skillnad från krafter på grund av trycket från en idealgas känner ett areaelement i det elektromagnetiska fältet också en kraft i en riktning som inte är normal för elementet. Denna skjuvning ges av spänningssensorns icke-diagonala element.

Endast magnetism

Om fältet bara är magnetiskt (vilket till exempel till stor del är sant i motorer), faller några av termerna ut och ekvationen i SI-enheter blir:

${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B_ {i} B_ {j} - {\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} B ^ {2} \ delta _ {ij} \ ,.}$

För cylindriska föremål, såsom motorns rotor, förenklas detta ytterligare för att:

${\ displaystyle \ sigma _ {rt} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B_ {r} B_ {t} - {\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} B ^ {2} \ delta _ {rt} \ ,.}$

där r är skjuvningen i radiell (utåt från cylindern) riktning, och t är skjuvningen i tangentiell (runt cylindern) riktning. Det är den tangentiella kraften som snurrar motorn. B _r är flödestätheten i den radiella riktningen, och B _t är flödestätheten i den tangentiella riktningen.

I elektrostatik

I elektrostatik är effekterna av magnetism inte närvarande. I detta fall försvinner magnetfältet, och vi får den elektrostatiska Maxwell-spänningstensorn . Det ges i komponentform av ${\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {0}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ varepsilon _ {0} E_ {i} E_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ varepsilon _ {0} E ^ {2} \ delta _ { I j}}$

och i symbolisk form av

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} \ otimes \ mathbf {E} - {\ frac {1} {2}} \ varepsilon _ {0} (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {E}) \ mathbf {I}}$

var är lämplig identitetstensor (vanligtvis ). ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$${\ displaystyle 3 \ times 3}$

Eigenvärde

Egenvärdena för Maxwells spänningstensor ges av:

${\ displaystyle \ {\ lambda \} = \ left \ {- \ left ({\ frac {\ epsilon _ {0}} {2}} E ^ {2} + {\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} B ^ {2} \ right), ~ \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ epsilon _ {0}} {2}} E ^ {2} - {\ frac {1 } {2 \ mu _ {0}}} B ^ {2} \ höger) ^ {2} + {\ frac {\ epsilon _ {0}} {\ mu _ {0}}} \ vänster ({\ boldsymbol {E}} \ cdot {\ boldsymbol {B}} \ höger) ^ {2}}} \ höger \}}$

Dessa egenvärden erhålls genom iterativ tillämpning av Matrix Determinant Lemma , i kombination med Sherman – Morrison-formeln .

Notera att den karakteristiska ekvationsmatrisen,, kan skrivas som ${\ displaystyle {\ overleftrightarrow {\ boldsymbol {\ sigma}}} - \ lambda \ mathbf {\ mathbb {I}}}$

${\ displaystyle {\ overleftrightarrow {\ boldsymbol {\ sigma}}} - \ lambda \ mathbf {\ mathbb {I}} = - \ left (\ lambda + V \ right) \ mathbf {\ mathbb {I}} + \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ mathbf {E} ^ {\ textsf {T}} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ mathbf {B} \ mathbf {B} ^ {\ texter {T}}}$

var

${\ displaystyle V = {\ frac {1} {2}} \ left (\ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B ^ {2} \rätt)}$

vi sätter

${\ displaystyle \ mathbf {U} = - \ left (\ lambda + V \ right) \ mathbf {\ mathbb {I}} + \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ mathbf {E} ^ {\ textsf {T}}}$

Tillämpa Matrix Determinant Lemma en gång, detta ger oss

${\ displaystyle \ det {\ left ({\ overleftrightarrow {\ boldsymbol {\ sigma}}} - \ lambda \ mathbf {\ mathbb {I}} \ right)} = \ left (1 + {\ frac {1} { \ mu _ {0}}} \ mathbf {B} ^ {\ textsf {T}} \ mathbf {U} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ höger) \ det {\ left (\ mathbf {U} \rätt)}}$

Att använda den igen ger,

${\ displaystyle \ det {\ left ({\ overleftrightarrow {\ boldsymbol {\ sigma}}} - \ lambda \ mathbf {\ mathbb {I}} \ right)} = \ left (1 + {\ frac {1} { \ mu _ {0}}} \ mathbf {B} ^ {\ textsf {T}} \ mathbf {U} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ höger) \ vänster (1 - {\ frac {\ epsilon _ {0} \ mathbf {E} ^ {\ textsf {T}} \ mathbf {E}} {\ lambda + V}} \ höger) \ vänster (- \ lambda -V \ höger) ^ {3}}$

Från den sista multipeland på RHS ser vi omedelbart att det är en av egenvärdena. ${\ displaystyle \ lambda = -V}$

För att hitta det omvända av använder vi Sherman-Morrison-formeln: ${\ displaystyle \ mathbf {U}}$

${\ displaystyle \ mathbf {U} ^ {- 1} = - \ left (\ lambda + V \ right) ^ {- 1} - {\ frac {\ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ mathbf {E } ^ {\ texter {T}}} {\ vänster (\ lambda + V \ höger) ^ {2} - \ vänster (\ lambda + V \ höger) \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} ^ {\ texter {T}} \ mathbf {E}}}}$

Genom att ta fram en term i determinanten sitter vi kvar med att hitta nollan till den rationella funktionen: ${\ displaystyle \ left (- \ lambda -V \ right)}$

${\ displaystyle \ left (- \ left (\ lambda + V \ right) - {\ frac {\ epsilon _ {0} \ left (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {B} \ right) ^ {2} } {\ mu _ {0} \ left (- \ left (\ lambda + V \ right) + \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} ^ {\ textsf {T}} \ mathbf {E} \ right) }} \ höger) \ vänster (- \ vänster (\ lambda + V \ höger) + \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} ^ {\ texter {T}} \ mathbf {E} \ höger)}$

Således, när vi löser

${\ displaystyle - \ left (\ lambda + V \ right) \ left (- \ left (\ lambda + V \ right) + \ epsilon _ {0} E ^ {2} \ right) - {\ frac {\ epsilon _ {0}} {\ mu _ {0}}} \ left (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {B} \ right) ^ {2} = 0}$

vi får de andra två egenvärdena.

Se även

• Ricci-kalkyl
• Energitäthet för elektriska och magnetiska fält
• Poynting vektor
• Elektromagnetisk stress – energitensor
• Magnetiskt tryck
• Magnetisk spänningskraft

Referenser

• David J. Griffiths , "Introduction to Electrodynamics" s. 351–352, Benjamin Cummings Inc., 2008
• John David Jackson, "Classical Electrodynamics, 3rd Ed.", John Wiley & Sons, Inc., 1999.
• Richard Becker, "Elektromagnetiska fält och interaktioner", Dover Publications Inc., 1964.