Elektromagnetisk tensor - Electromagnetic tensor

Artiklar om
Elektromagnetism
Elektricitet Magnetism Historia Läroböcker
Elektrostatik Elektrisk laddning Coulombs lag Dirigent Laddningsdensitet Tillstånd Elektriskt dipolmoment Elektriskt fält Elektrisk potential Elektriskt flöde  / potentiell energi Elektrostatisk urladdning Gauss lag Induktion Isolator Polarisationstäthet Statisk elektricitet Triboelektricitet
Magnetostatik Ampères lag Biot – Savart lag Gauss lag för magnetism Magnetiskt fält Magnetiskt flöde Magnetiskt dipolmoment Magnetisk permeabilitet Magnetisk skalärpotential Magnetisering Magnetkraft Magnetisk vektorpotential Högerhandsregel
Elektrodynamik Lorentz kraftlag Elektromagnetisk induktion Faradays lag Lenzs lag Förskjutningsström Maxwells ekvationer Elektromagnetiskt fält Elektromagnetisk puls Elektromagnetisk strålning Maxwell tensor Poynting vektor Liénard – Wiechert potential Jefimenkos ekvationer virvelström London ekvationer Matematiska beskrivningar av det elektromagnetiska fältet
Elnät Växelström Kapacitans Likström Elektrisk ström Elektrolys Strömtäthet Joule uppvärmning Elektromotorisk kraft Impedans Induktans Ohms lag Parallell krets Motstånd Resonanta håligheter Seriekrets Spänning Vågledare
Kovariant formulering Elektromagnetisk tensor ( stress – energitensor ) Fyrström Elektromagnetisk fyrpotential
Forskare Ampere Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Henry Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Sångare Tesla Volta Weber
v t e

I elektromagnetism är den elektromagnetiska tensorn eller det elektromagnetiska feltensorn (ibland kallad fältstyrketensor , Faraday-tensor eller Maxwell bivektor ) ett matematiskt objekt som beskriver det elektromagnetiska fältet under rymdtid. Fälttensorn användes först efter att den fyrdimensionella tensorformuleringen av special relativitet introducerades av Hermann Minkowski . Tensorn gör det möjligt att skriva relaterade fysiska lagar mycket kortfattat.

Definition

Den elektromagnetiska tensorn, konventionellt märkt F , definieras som det yttre derivatet av den elektromagnetiska fyrpotentialen , A , en differentiell 1-form:

${\ displaystyle F \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ mathrm {d} A.}$

Därför är F en differentiell 2-form - det vill säga ett antisymmetriskt rank-2 tensorfält - på Minkowski-utrymmet. I komponentform,

${\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu}.}$

var är fyrgradienten och är fyrpotentialen . ${\ displaystyle \ partial}$${\ displaystyle A}$

SI-enheter för Maxwells ekvationer och partikelfysikerns teckenkonvention för signaturen av Minkowski-rymden (+ - - -) , kommer att användas i hela denna artikel.

Förhållande till de klassiska områdena

De elektriska och magnetiska fälten kan erhållas från komponenterna i den elektromagnetiska tensorn. Förhållandet är enklast i kartesiska koordinater :

${\ displaystyle E_ {i} = cF_ {0i},}$

där c är ljusets hastighet och

${\ displaystyle B_ {i} = - {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {ijk} F ^ {jk},}$

var är Levi-Civita tensor . Detta ger fälten i en viss referensram; om referensramen ändras kommer komponenterna i den elektromagnetiska tensorn att transformeras kovariant och fälten i den nya ramen kommer att ges av de nya komponenterna. ${\ displaystyle \ epsilon _ {ijk}}$

I kontravariant matrisform ,

${\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = {\ börjar {bmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {bmatrix}}.}$

Kovariantformen ges genom indexsänkning ,

${\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ alpha \ nu} F ^ {\ beta \ alpha} \ eta _ {\ mu \ beta} = {\ börja {bmatrix} 0 & E_ {x} / c & E_ {y} / c & E_ {z} / c \\ - E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ - E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ - E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {bmatrix}}.}$

Faradays tensors Hodge dual är

${\ displaystyle {G ^ {\ alpha \ beta} = {\ frac {1} {2}} \ epsilon ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} F _ {\ gamma \ delta} = {\ begin {bmatrix} 0 & -B_ {x} & - B_ {y} & - B_ {z} \\ B_ {x} & 0 & E_ {z} / c & -E_ {y} / c \\ B_ {y} & - E_ {z} / c & 0 & E_ {x} / c \\ B_ {z} & E_ {y} / c & -E_ {x} / c & 0 \ end {bmatrix}}}}$

Från och med nu i denna artikel, när de elektriska eller magnetiska fälten nämns, antas ett kartesiskt koordinatsystem och de elektriska och magnetiska fälten är med avseende på koordinatsystemets referensram, som i ekvationerna ovan.

Egenskaper

Fälttensorns matrisform ger följande egenskaper:

1. Antisymmetri :
   $${\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = - F ^ {\ nu \ mu}}$$

   
2. Sex oberoende komponenter: I kartesiska koordinater är dessa helt enkelt de tre rumsliga komponenterna i det elektriska fältet ( E _x , E _y , E _z ) och magnetfältet ( B _x , B _y , B _z ).
3. Inre produkt: Om man bildar en inre produkt av fältstyrkan tensor bildas en Lorentz-invariant
   $${\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} = 2 \ vänster (B ^ {2} - {\ frac {E ^ {2}} {c ^ {2}}} \ höger) }$$

   
   vilket betyder att detta nummer inte ändras från en referensram till en annan.
4. Pseudoskalär invariant: Produkten av tensornmed sin Hodge-dubbla ger en Lorentz-invariant :${\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle G ^ {\ mu \ nu}}$
   $${\ displaystyle G _ {\ gamma \ delta} F ^ {\ gamma \ delta} = {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} F ^ {\ alpha \ beta} F ^ {\ gamma \ delta} = - {\ frac {4} {c}} \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {E} \,}$$

   
   var är rang-4 Levi-Civita-symbolen . Tecknet för ovanstående beror på konventionen som används för Levi-Civita-symbolen. Konventionen som används här är .${\ displaystyle \ epsilon _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta}}$${\ displaystyle \ epsilon _ {0123} = - 1}$
5. Determinant :
   $${\ displaystyle \ det \ left (F \ right) = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ left (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {E} \ right) ^ {2}}$$

   
   som är proportionell mot kvadraten för ovanstående invariant.
6. Spåra :
   $${\ displaystyle F = {{F} ^ {\ mu}} _ {\ mu} = 0}$$

   
   vilket är lika med noll.

Betydelse

Denna tensor förenklar och minskar Maxwells ekvationer som fyra vektorkalkulationsekvationer till två tensorfältekvationer. I elektrostatik och elektrodynamik är Gauss lag respektive Ampères kretslag :

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}, \ quad \ nabla \ times \ mathbf {B} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} = \ mu _ {0} \ mathbf {J}}$

och reducera till den inhomogena Maxwell-ekvationen:

${\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} = \ mu _ {0} J ^ {\ beta}}$, var är fyrströmmen .${\ displaystyle J ^ {\ alpha} = (c \ rho, \ mathbf {J})}$

I magnetostatik och magnetodynamik är Gauss lag för magnetism respektive Maxwell – Faraday-ekvation :

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0, \ quad {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} + \ nabla \ times \ mathbf {E} = 0}$

som minskar till Bianchi-identitet :

${\ displaystyle \ partial _ {\ gamma} F _ {\ alpha \ beta} + \ partial _ {\ alpha} F _ {\ beta \ gamma} + \ partial _ {\ beta} F _ {\ gamma \ alpha} = 0}$

eller använda indexnotationen med hakparenteser för den antisymmetriska delen av tensorn:

${\ displaystyle \ partial _ {[\ alpha} F _ {\ beta \ gamma]} = 0}$

Relativitet

Fälttensorn hämtar sitt namn från det faktum att det elektromagnetiska fältet befinner sig lyda tensortransformationslagen , denna allmänna egenskap hos fysiska lagar erkänns efter tillkomsten av speciell relativitet . Denna teori föreskrev att alla fysiklagar skulle ha samma form i alla koordinatsystem - detta ledde till införandet av tensorer . Tensorformalismen leder också till en matematisk enklare presentation av fysiska lagar.

Den inhomogena Maxwell-ekvationen leder till kontinuitetsekvationen :

${\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} J ^ {\ alpha} = J ^ {\ alpha} {} _ {, \ alpha} = 0}$

antyder bevarande av laddning .

Maxwells lagar ovan kan generaliseras till krökt rumstid genom att helt enkelt ersätta partiella derivat med kovarianta derivat :

${\ displaystyle F _ {[\ alpha \ beta; \ gamma]} = 0}$ och ${\ displaystyle F ^ {\ alpha \ beta} {} _ {; \ alpha} = \ mu _ {0} J ^ {\ beta}}$

där semikolonnotationen representerar ett kovariant derivat, i motsats till ett partiellt derivat. Dessa ekvationer kallas ibland Maxwell-ekvationerna med böjda utrymmen . Återigen innebär den andra ekvationen laddningskonservering (i böjd rymdtid):

${\ displaystyle J ^ {\ alpha} {} _ {; \ alpha} \, = 0}$

Lagrangian formulering av klassisk elektromagnetism

Klassisk elektromagnetism och Maxwells ekvationer kan härledas från åtgärden :

${\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int \ left (- {\ begin {matrix} {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} \ end {matrix}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} -J ^ {\ mu} A _ {\ mu} \ höger) \ mathrm {d} ^ {4} x \,}$

var

${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {4} x \;}$   är över rum och tid.

Detta betyder att den lagrangiska densiteten är

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {L}} & = - {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} -J ^ {\ mu} A _ {\ mu} \\ & = - {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} \ vänster (\ partiell _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ delvis _ {\ nu} A _ {\ mu} \ höger) \ vänster (\ delvis ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partiell ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ höger) -J ^ {\ mu} A _ {\ mu} \\ & = - {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} \ left (\ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} + \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ right) -J ^ {\ mu} A _ {\ mu } \\\ slut {justerad}}}$

De två mellersta termerna inom parenteser är desamma, liksom de två yttre termerna, så den lagrangiska densiteten är

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} \ left (\ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} \ höger) -J ^ {\ mu} A _ {\ mu}.}$

Att ersätta detta med Euler – Lagrange- rörelseekvationen för ett fält:

${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} A _ {\ nu})}} right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial A _ {\ nu}}} = 0}$

Så Euler – Lagrange-ekvationen blir:

${\ displaystyle - \ partial _ {\ mu} {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left (\ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ höger) + J ^ {\ nu} = 0. \,}$

Mängden inom parentes ovan är bara fälttensorn, så detta förenklar äntligen till

${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} F ^ {\ mu \ nu} = \ mu _ {0} J ^ {\ nu}}$

Den ekvationen är ett annat sätt att skriva de två inhomogena Maxwells ekvationerna (nämligen Gauss lag och Ampères kretslag ) med hjälp av substitutionerna:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {c}} E ^ {i} & = - F ^ {0i} \\\ epsilon ^ {ijk} B_ {k} & = - F ^ { ij} \ end {align}}}$

där i, j, k tar värdena 1, 2 och 3.

Hamiltonisk form

Den Hamilton densitet kan erhållas med den vanliga förhållande,

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ phi ^ {i}, \ pi _ {i}) = \ pi _ {i} {\ dot {\ phi}} ^ {i} (\ phi ^ {i }, \ pi _ {i}) - {\ mathcal {L}}}$.

Kvantelektrodynamik och fältteori

Den Lagrangian av kvantelektro sträcker sig bortom den klassiska Lagrangefunktionen etablerad i relativitet att införliva skapandet och förintelse av fotoner (och elektroner):

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} \ vänster (i \ hbar c \, \ gamma ^ {\ alpha} D _ {\ alpha} -mc ^ {2} \ höger) \ psi - {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} F _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta},}$

där den första delen på höger sida, som innehåller Dirac-spinn , representerar Dirac-fältet . I kvantfältsteorin används den som mall för måttfältets styrka tensor. Genom att vara anställd utöver den lokala interaktionen Lagrangian upprepar den sin vanliga roll i QED. ${\ displaystyle \ psi}$

Se även

• Klassificering av elektromagnetiska fält
• Kovariant formulering av klassisk elektromagnetism
• Elektromagnetisk stress – energitensor
• Tensor för limfältstyrka
• Ricci-kalkyl
• Riemann – Silberstein-vektor

Anteckningar

Referenser

• Brau, Charles A. (2004). Moderna problem inom klassisk elektrodynamik . Oxford University Press . ISBN 0-19-514665-4.
• Jackson, John D. (1999). Klassisk elektrodynamik . John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-30932-X.
• Peskin, Michael E .; Schroeder, Daniel V. (1995). En introduktion till kvantfältsteori . Perseus Publishing. ISBN 0-201-50397-2.