Enkelt anslutet utrymme - Simply connected space

I topologi kallas ett topologiskt utrymme helt enkelt anslutet (eller 1-anslutet eller 1-enkelt anslutet ) om det är väganslutet och varje väg mellan två punkter kan kontinuerligt omvandlas (intuitivt för inbäddade utrymmen, stanna inom utrymmet) till någon annan sådan väg samtidigt som de två slutpunkterna i fråga bevaras. Den grundläggande gruppen i ett topologiskt utrymme är en indikator på misslyckandet för rummet att helt enkelt anslutas: ett väganslutet topologiskt utrymme är helt enkelt anslutet om och bara om dess grundläggande grupp är trivial.

Definition och likvärdiga formuleringar

Denna form representerar en uppsättning som inte bara är ansluten, eftersom varje slinga som omsluter ett eller flera av hålen inte kan dras ihop till en punkt utan att lämna området.

Ett topologiskt utrymme kallas helt enkelt anslutet om det är väganslutet och varje slinga i definierad av kan dras ihop till en punkt: det finns en kontinuerlig karta som är begränsad till S ¹ är här, och betecknar enhetscirkeln och den slutna enhetsskivan i det euklidiska planet . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f: S^{1} \ till X}$${\ displaystyle F: D^{2} \ till X}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle f.}$${\ displaystyle S^{1}}$${\ displaystyle D^{2}}$

En ekvivalent formulering är denna: är helt enkelt ansluten om och bara om den är vägansluten, och när som helst och är två vägar (det vill säga kontinuerliga kartor) med samma start- och slutpunkt ( ), kan deformeras kontinuerligt och samtidigt behålla båda ändpunkter fixerade. Det finns uttryckligen en homotopi så att och${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p: [0,1] \ till X}$${\ displaystyle q: [0,1] \ till X}$${\ displaystyle p (0) = q (0) {\ text {och}} p (1) = q (1)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle F: [0,1] \ gånger [0,1] \ högerpil X}$${\ displaystyle F (x, 0) = p (x)}$${\ displaystyle F (x, 1) = q (x).}$

En topologisk utrymmet ansluts enkelt om och endast om är path-ansluten och den fundamentala gruppen av vid varje punkt är trivialt, består dvs. endast av neutralt element . På samma sätt är helt enkelt kopplas om och endast om alla punkter uppsättningen morfismer i grundläggande groupoid av bara ett element. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x, y \ i X,}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ Pi (X)} (x, y)}$${\ displaystyle X}$

I komplex analys : en öppen delmängd är helt enkelt ansluten om och bara om båda och dess komplement i Riemann -sfären är anslutna. Uppsättningen av komplexa tal med en imaginär del som är strikt större än noll och mindre än en ger ett bra exempel på en obegränsad, ansluten, öppen delmängd av planet vars komplement inte är anslutet. Det är ändå enkelt kopplat. Det kan också vara värt att påpeka att en uppmjukning av kravet som ska anslutas leder till en intressant utforskning av öppna delmängder av planet med anslutet utökat komplement. Till exempel har en (inte nödvändigtvis ansluten) öppen uppsättning anslutit utökat komplement exakt när var och en av dess anslutna komponenter helt enkelt är anslutna. ${\ displaystyle X \ subseteq \ mathbb {C}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Informell diskussion

Informellt sett är ett objekt i vårt utrymme helt enkelt anslutet om det består av en bit och inte har några "hål" som passerar hela vägen genom det. Till exempel är varken en munk eller en kaffekopp (med handtag) helt enkelt ansluten, men en ihålig gummikula är helt enkelt ansluten. I två dimensioner är en cirkel inte bara ansluten, utan en skiva och en linje är. Utrymmen som är anslutna men inte bara anslutna kallas icke-enkelt anslutna eller multiplicerade anslutna .

En sfär är helt enkelt ansluten eftersom varje slinga kan dras ihop (på ytan) till en punkt.

Definitionen utesluter endast hantera formade hål. En sfär (eller, motsvarande, en gummiboll med ett ihåligt centrum) är helt enkelt ansluten, eftersom varje slinga på ytan av en sfär kan dra sig samman till en punkt trots att den har ett "hål" i den ihåliga mitten. Det starkare villkoret, att objektet inte har några hål av någon dimension, kallas kontraktibilitet .

Exempel

En torus är inte en helt enkelt ansluten yta. Ingen av de två färgade öglorna som visas här kan dras ihop till en punkt utan att lämna ytan. En fast torus är inte heller helt enkelt ansluten eftersom den lila slingan inte kan dra ihop sig till en punkt utan att lämna fastämnet.

• Det euklidiska planet är helt enkelt anslutet, men minus är inte ursprunget . Om då både och minus är ursprunget helt enkelt anslutet.${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$${\ displaystyle (0,0)}$${\ displaystyle n> 2,}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$
• Analogt: den n -dimensionella sfären är helt enkelt ansluten om och bara om${\ displaystyle S^{n}}$${\ displaystyle n \ geq 2.}$
• Varje konvex delmängd av är helt enkelt ansluten.${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$
• En torus , (elliptisk) cylindern , Möbius -remsan , det projektiva planet och Klein -flaskan är inte helt enkelt anslutna.
• Varje topologiskt vektorutrymme är helt enkelt anslutet; detta inkluderar Banach -utrymmen och Hilbert -utrymmen .
• För den speciella ortogonala gruppen är inte helt enkelt ansluten och den speciella enhetliga gruppen är helt enkelt ansluten.${\ displaystyle n \ geq 2,}$ ${\ displaystyle \ operatorname {SO} (n, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {SU} (n)}$
• Enpunktskomprimeringen av är inte bara ansluten (även om den helt enkelt är ansluten).${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
• Den långa linjen är helt enkelt ansluten, men dess komprimering, den förlängda långa linjen är inte (eftersom den inte ens är banansluten).${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L^{*}}$

Egenskaper

En yta (tvådimensionell topologisk grenrör ) är helt enkelt ansluten om och bara om den är ansluten och dess släkte (antalet handtag på ytan) är 0.

En universell täckning av valfritt (lämpligt) utrymme är ett enkelt anslutet utrymme som kartlägger till via en täckande karta . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Om och är homotopiekvivalenta och helt enkelt är anslutna, så är det också${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$

Bilden av en enkelt ansluten uppsättning under en kontinuerlig funktion behöver inte helt enkelt anslutas. Ta till exempel det komplexa planet under den exponentiella kartan: bilden är som inte helt enkelt är ansluten. ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \},}$

Begreppet enkel anslutning är viktigt i komplex analys på grund av följande fakta:

• Den Cauchys integralsats säger att om ett enkelt anslutas öppen delmängd av komplexa planet och är en analytisk funktion , sedan har en primitiv på och värdet av varje linjeintegral i med integ beror bara på ändpunkterna och av banan, och kan beräknas som integralen beror alltså inte på den specifika sökvägen som ansluter och${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C},}$${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle U,}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle F (v) -F (u).}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v,}$
• De Riemann mapping theorem påstår att varje icke-tom öppen enkelt anslutas delmängd av (utom för sig själv) är konformt ekvivalent till enhetscirkeln .${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Begreppet enkel anslutning är också en avgörande förutsättning i Poincaré -gissningen .

Se även

• Grundläggande grupp  - Matematisk grupp av homotopiklasser av slingor i ett topologiskt utrymme
• Deformation dras tillbaka
• n-anslutet utrymme
• Banansluten
• Unicoherent utrymme

Referenser

• Spanier, Edwin (december 1994). Algebraisk topologi . Springer. ISBN 0-387-94426-5.
• Conway, John (1986). Funktioner av en komplex variabel I . Springer. ISBN 0-387-90328-3.
• Bourbaki, Nicolas (2005). Lie Groups och Lie Algebras . Springer. ISBN 3-540-43405-4.
• Gamelin, Theodore (januari 2001). Komplex analys . Springer. ISBN 0-387-95069-9.
• Joshi, Kapli (augusti 1983). Introduktion till allmän topologi . New Age Publishers. ISBN 0-85226-444-5.