Topologi -Topology

Inom matematik handlar topologi (från de grekiska orden τόπος , 'plats, plats' och λόγος , 'studie' ) om egenskaperna hos ett geometriskt objekt som bevaras under kontinuerliga deformationer , såsom sträckning , vridning , skrynkling och böjning ; det vill säga utan att stänga hål, öppna hål, riva, limma eller passera genom sig själv.

Ett topologiskt utrymme är en uppsättning som är utrustad med en struktur, kallad topologi , som tillåter att definiera kontinuerlig deformation av delrum, och, mer allmänt, alla typer av kontinuitet . Euklidiska utrymmen , och, mer allmänt, metriska utrymmen är exempel på ett topologiskt utrymme, eftersom vilket avstånd eller metrik som helst definierar en topologi. De deformationer som beaktas i topologin är homeomorfismer och homotopier . En egenskap som är invariant under sådana deformationer är en topologisk egenskap . Grundläggande exempel på topologiska egenskaper är: dimensionen , som gör det möjligt att skilja mellan en linje och en yta ; kompakthet , vilket gör det möjligt att skilja mellan en linje och en cirkel; samband , vilket gör det möjligt att skilja en cirkel från två icke-korsande cirklar.

De idéer som ligger bakom topologin går tillbaka till Gottfried Leibniz , som på 1600-talet föreställde sig geometria situs och analys situs . Leonhard Eulers problem med sju broar över Königsberg och polyederformeln är utan tvekan fältets första satser. Termen topologi introducerades av Johann Benedict Listing på 1800-talet, även om det var först under de första decennierna av 1900-talet som idén om ett topologiskt rum utvecklades.

Motivering

Den motiverande insikten bakom topologi är att vissa geometriska problem inte beror på den exakta formen på de inblandade föremålen, utan snarare på hur de sätts ihop. Till exempel har kvadraten och cirkeln många gemensamma egenskaper: de är båda endimensionella objekt (ur topologisk synvinkel) och båda separerar planet i två delar, delen inuti och delen utanför.

I en av de första artiklarna inom topologi visade Leonhard Euler att det var omöjligt att hitta en väg genom staden Königsberg (nu Kaliningrad ) som skulle korsa var och en av dess sju broar exakt en gång. Detta resultat berodde inte på längderna på broarna eller på deras avstånd från varandra, utan bara på kopplingsegenskaper: vilka broar som ansluter till vilka öar eller flodstränder. Detta problem med de sju broarna i Königsberg ledde till den gren av matematik som kallas grafteori .

På liknande sätt säger den håriga bollsatsen för algebraisk topologi att "man inte kan kamma håret platt på en hårig boll utan att skapa en cowlick ." Detta faktum är omedelbart övertygande för de flesta människor, även om de kanske inte känner igen det mer formella uttalandet i satsen, att det inte finns något icke-försvinnande kontinuerligt tangentvektorfält på sfären. Som med broarna i Königsberg beror resultatet inte på sfärens form; det gäller alla slags släta klumpar, så länge det inte har några hål.

För att hantera dessa problem som inte förlitar sig på föremålens exakta form, måste man vara tydlig med vilka egenskaper dessa problem förlitar sig på. Ur detta behov uppstår föreställningen om homeomorfism. Omöjligheten att korsa varje bro bara en gång gäller för alla arrangemang av broar som är homeomorfa mot de i Königsberg, och hårbollssatsen gäller för vilket rymd som helst som är homeomorft till en sfär.

Intuitivt är två utrymmen homeomorfa om det ena kan deformeras till det andra utan att skära eller limma. Ett traditionellt skämt är att en topolog inte kan skilja en kaffemugg från en munk, eftersom en tillräckligt böjlig munk skulle kunna omformas till en kaffekopp genom att skapa en fördjupning och gradvis förstora den, samtidigt som hålet krymper till ett handtag.

Homeomorfism kan anses vara den mest grundläggande topologiska ekvivalensen . En annan är homotopi-ekvivalens . Detta är svårare att beskriva utan att bli tekniskt, men den väsentliga uppfattningen är att två objekt är homotopi-ekvivalenta om de båda är resultatet av att "squishing" något större objekt.

Historia

Topologi, som en väldefinierad matematisk disciplin, har sitt ursprung i den tidiga delen av 1900-talet, men vissa isolerade resultat kan spåras tillbaka flera århundraden. Bland dessa finns vissa frågor inom geometri som undersökts av Leonhard Euler . Hans papper från 1736 om Königsbergs sju broar anses vara en av de första praktiska tillämpningarna av topologi. Den 14 november 1750 skrev Euler till en vän att han hade insett vikten av kanterna på en polyeder . Detta ledde till hans polyederformel , V − E + F = 2 (där V , E , respektive F anger antalet hörn, kanter och ytor på polyedern). Vissa auktoriteter betraktar denna analys som den första teoremet, som signalerar topologins födelse.

Ytterligare bidrag gjordes av Augustin-Louis Cauchy , Ludwig Schläfli , Johann Benedict Listing , Bernhard Riemann och Enrico Betti . Listning introducerade termen "Topologie" i Vorstudien zur Topologie , skriven på hans modersmål, tyska, 1847, efter att ha använt ordet i tio år i korrespondens innan det först dök upp i tryck. Den engelska formen "topology" användes 1883 i Listings dödsruna i tidskriften Nature för att skilja "kvalitativ geometri från den vanliga geometrin där kvantitativa relationer främst behandlas".

Deras arbete korrigerades, konsoliderades och utökades kraftigt av Henri Poincaré . År 1895 publicerade han sin banbrytande artikel om Analysis Situs , som introducerade begreppen som nu är kända som homotopi och homologi , som nu anses vara en del av algebraisk topologi .

Topologiska egenskaper hos slutna 2-grenrör

Grenrör	Euler num	Orienterbarhet	Betti siffror			Torsionskoefficient (1-dim)
			b 0	b 1	b 2
Sfär	2	Orienterbar	1	0	1	ingen
Torus	0	Orienterbar	1	2	1	ingen
2-håls torus	−2	Orienterbar	1	4	1	ingen
g -hålad torus ( släkte g )	2-2 g	Orienterbar	1	2 g	1	ingen
Projektivt plan	1	Icke-orienterbar	1	0	0	2
Klein flaska	0	Icke-orienterbar	1	1	0	2
Sfär med c tvärkapslar ( c > 0 )	2 − c	Icke-orienterbar	1	c − 1	0	2
2-grenrör med g hål och c korslock ( c > 0 )	2 - (2 g + c )	Icke-orienterbar	1	(2 g + c ) − 1	0	2

Genom att förena arbetet med funktionsutrymmen av Georg Cantor , Vito Volterra , Cesare Arzelà , Jacques Hadamard , Giulio Ascoli och andra introducerade Maurice Fréchet det metriska rummet 1906. Ett metriskt rum betraktas nu som ett specialfall av ett allmänt topologiskt rum, med ev. givet topologiskt utrymme som potentiellt ger upphov till många distinkta metriska utrymmen. År 1914 myntade Felix Hausdorff termen "topologiskt utrymme" och gav definitionen för vad som nu kallas ett Hausdorff-rum . För närvarande är ett topologiskt utrymme en lätt generalisering av Hausdorff-utrymmen, givet 1922 av Kazimierz Kuratowski .

Modern topologi är starkt beroende av mängdlärans idéer, utvecklade av Georg Cantor under senare delen av 1800-talet. Förutom att fastställa de grundläggande idéerna för mängdteorin, betraktade Cantor punktuppsättningar i det euklidiska rummet som en del av sin studie av Fourier-serier . För vidare utveckling, se punktuppsättningstopologi och algebraisk topologi.

Abelpriset 2022 tilldelades Dennis Sullivan "för hans banbrytande bidrag till topologi i dess vidaste bemärkelse, och i synnerhet dess algebraiska, geometriska och dynamiska aspekter".

Begrepp

Topologier på set

Termen topologi hänvisar också till en specifik matematisk idé som är central för det område av matematik som kallas topologi. Informellt beskriver en topologi hur element i en mängd förhåller sig rumsligt till varandra. Samma uppsättning kan ha olika topologier. Till exempel kan den verkliga linjen , det komplexa planet och Cantor-uppsättningen ses som samma uppsättning med olika topologier.

Formellt, låt X vara en mängd och låt τ vara en familj av delmängder av X . Då kallas τ en topologi på X om:

1. Både den tomma mängden och X är element i τ .
2. Varje förening av element i τ är ett element av τ .
3. Varje skärning av ändligt många element i τ är ett element av τ .

Om τ är en topologi på X , så kallas paret ( X , τ ) ett topologiskt rum. Beteckningen X _τ kan användas för att beteckna en mängd X som är utrustad med den speciella topologin τ . Per definition är varje topologi ett π -system .

Medlemmarna av τ kallas öppna mängder i X . En delmängd av X sägs vara stängd om dess komplement är i τ (det vill säga dess komplement är öppet). En delmängd av X kan vara öppen, stängd, båda (en clopen-mängd ), eller ingetdera. Den tomma uppsättningen och själva X är alltid både stängda och öppna. En öppen delmängd av X som innehåller en punkt x kallas en grannskap av x .

Kontinuerliga funktioner och homeomorfismer

En funktion eller karta från ett topologiskt utrymme till ett annat kallas kontinuerlig om den omvända bilden av en öppen mängd är öppen. Om funktionen mappar de reella talen till de reella talen (båda mellanrummen med standardtopologin), så är denna definition av kontinuerlig likvärdig med definitionen av kontinuerlig i kalkyl . Om en kontinuerlig funktion är en-till-en och på , och om inversen av funktionen också är kontinuerlig, så kallas funktionen en homeomorfism och funktionens domän sägs vara homeomorf till intervallet. Ett annat sätt att säga detta är att funktionen har en naturlig förlängning till topologin. Om två utrymmen är homeomorfa har de identiska topologiska egenskaper och anses topologiskt vara lika. Kuben och sfären är homeomorfa, liksom kaffekoppen och munken. Men sfären är inte homeomorf till munken.

Fördelare

Medan topologiska utrymmen kan vara extremt varierande och exotiska, fokuserar många områden av topologi på den mer välbekanta klassen av utrymmen som kallas grenrör. Ett grenrör är ett topologiskt utrymme som liknar det euklidiska utrymmet nära varje punkt. Närmare bestämt har varje punkt i ett n -dimensionellt grenrör ett område som är homeomorft till det euklidiska rummet med dimension n . Linjer och cirklar , men inte åttor , är endimensionella grenrör. Tvådimensionella grenrör kallas också ytor , även om inte alla ytor är grenrör. Exempel inkluderar planet , sfären och torus, som alla kan realiseras utan självkorsning i tre dimensioner, och Klein-flaskan och det verkliga projektiva planet , som inte kan (det vill säga alla deras realiseringar är ytor som inte är mångfaldiga) .

Ämnen

Allmän topologi

Allmän topologi är den gren av topologi som behandlar de grundläggande mängdteoretiska definitioner och konstruktioner som används inom topologi. Det är grunden för de flesta andra grenar av topologi, inklusive differentialtopologi, geometrisk topologi och algebraisk topologi. Ett annat namn för allmän topologi är punktuppsättningstopologi.

Det grundläggande studieobjektet är topologiska utrymmen , som är mängder utrustade med en topologi , det vill säga en familj av delmängder , kallade öppna mängder , som är stängda under ändliga skärningspunkter och (ändliga eller oändliga) fackföreningar . De grundläggande begreppen topologi, såsom kontinuitet , kompakthet och sammankoppling , kan definieras i termer av öppna uppsättningar. Intuitivt tar kontinuerliga funktioner närliggande punkter till närliggande punkter. Kompakta uppsättningar är de som kan täckas av ändligt många uppsättningar av godtyckligt liten storlek. Anslutna set är set som inte kan delas i två delar som är långt ifrån varandra. Orden i närheten , godtyckligt små och långt ifrån varandra kan alla göras exakta genom att använda öppna uppsättningar. Flera topologier kan definieras på ett givet utrymme. Att ändra en topologi består av att ändra samlingen av öppna uppsättningar. Detta ändrar vilka funktioner som är kontinuerliga och vilka delmängder som är kompakta eller anslutna.

Metriska utrymmen är en viktig klass av topologiska utrymmen där avståndet mellan två punkter definieras av en funktion som kallas metrisk . I ett metriskt utrymme är en öppen mängd en förening av öppna skivor, där en öppen skiva med radien r centrerad vid x är mängden av alla punkter vars avstånd till x är mindre än r . Många gemensamma utrymmen är topologiska utrymmen vars topologi kan definieras av ett mått. Detta är fallet med den reella linjen , det komplexa planet , reella och komplexa vektorrum och euklidiska rum . Att ha ett mått förenklar många bevis.

Algebraisk topologi

Algebraisk topologi är en gren av matematiken som använder verktyg från algebra för att studera topologiska rum. Det grundläggande målet är att hitta algebraiska invarianter som klassificerar topologiska utrymmen upp till homeomorfism, men vanligtvis klassificerar de flesta upp till homotopiekvivalens.

De viktigaste av dessa invarianter är homotopigrupper , homologi och kohomologi .

Även om algebraisk topologi främst använder algebra för att studera topologiska problem, är det ibland också möjligt att använda topologi för att lösa algebraiska problem. Algebraisk topologi, till exempel, tillåter ett bekvämt bevis på att vilken undergrupp som helst av en fri grupp återigen är en fri grupp.

Differentiell topologi

Differentiell topologi är det fält som behandlar differentierbara funktioner på differentierbara grenrör . Det är nära besläktat med differentialgeometri och tillsammans utgör de den geometriska teorin om differentierbara grenrör.

Mer specifikt beaktar differentiell topologi de egenskaper och strukturer som endast kräver en jämn struktur på ett grenrör för att definieras. Släta grenrör är "mjukare" än grenrör med extra geometriska strukturer, vilket kan fungera som hinder för vissa typer av ekvivalenser och deformationer som finns i differentiell topologi. Till exempel är volym och Riemannsk krökning invarianter som kan särskilja olika geometriska strukturer på samma släta grenrör - det vill säga man kan smidigt "platta ut" vissa grenrör, men det kan kräva att utrymmet förvrängs och att krökningen eller volymen påverkas.

Geometrisk topologi

Geometrisk topologi är en gren av topologi som i första hand fokuserar på lågdimensionella grenrör (det vill säga utrymmen med dimensionerna 2, 3 och 4) och deras interaktion med geometri, men den inkluderar också en viss högre dimensionell topologi. Några exempel på ämnen i geometrisk topologi är orienterbarhet , handtagsupplösningar , lokal planhet , skrynklighet och den plana och högre dimensionella Schönflies-satsen .

I högdimensionell topologi är karakteristiska klasser en grundläggande invariant, och kirurgiteori är en nyckelteori.

Lågdimensionell topologi är starkt geometrisk, vilket återspeglas i uniformiseringssatsen i 2 dimensioner – varje yta tillåter en konstant krökningsmetrik; geometriskt sett har den en av 3 möjliga geometrier: positiv krökning /sfärisk, noll krökning/platt och negativ krökning/hyperbolisk – och geometriseringsförmodan (nu sats ) i 3 dimensioner – varje 3-grenrör kan skäras i bitar, var och en av som har en av åtta möjliga geometrier.

2-dimensionell topologi kan studeras som komplex geometri i en variabel ( Riemann- ytor är komplexa kurvor) - genom uniformiseringssatsen är varje konform klass av metriker ekvivalent med en unik komplex, och 4-dimensionell topologi kan studeras från punkten syn på komplex geometri i två variabler (komplexa ytor), men inte varje 4-manifold tillåter en komplex struktur.

Generaliseringar

Ibland behöver man använda topologiverktygen men en "uppsättning punkter" är inte tillgänglig. I meningslös topologi betraktar man istället gittret av öppna mängder som teorins grunduppfattning, medan Grothendieck-topologier är strukturer definierade på godtyckliga kategorier som tillåter definitionen av skivor på dessa kategorier, och därmed definitionen av allmänna kohomologiteorier.

Ansökningar

Biologi

Topologi har använts för att studera olika biologiska system inklusive molekyler och nanostruktur (t.ex. membranföremål). Speciellt har kretstopologi och knutteori använts i stor utsträckning för att klassificera och jämföra topologin för veckade proteiner och nukleinsyror. Kretstopologi klassificerar vikta molekylkedjor baserat på det parvisa arrangemanget av deras intrakedjekontakter och kedjekorsningar. Knutteori , en gren av topologi, används inom biologin för att studera effekterna av vissa enzymer på DNA. Dessa enzymer skär, vrider och återansluter DNA:t, vilket orsakar knutning med observerbara effekter som långsammare elektrofores . Topologi används också inom evolutionär biologi för att representera förhållandet mellan fenotyp och genotyp . Fenotypiska former som verkar ganska olika kan separeras av endast ett fåtal mutationer beroende på hur genetiska förändringar kartläggs till fenotypiska förändringar under utveckling. Inom neurovetenskap har topologiska storheter som Euler-karaktäristiken och Betti-talet använts för att mäta komplexiteten hos aktivitetsmönster i neurala nätverk.

Datavetenskap

Topologisk dataanalys använder tekniker från algebraisk topologi för att bestämma den storskaliga strukturen hos en uppsättning (till exempel bestämma om ett moln av punkter är sfäriskt eller toroidformat ). Den huvudsakliga metoden som används av topologisk dataanalys är att:

1. Ersätt en uppsättning datapunkter med en familj av enkla komplex , indexerade av en närhetsparameter.
2. Analysera dessa topologiska komplex via algebraisk topologi – specifikt via teorin om persistent homologi .
3. Koda den ihållande homologin för en datamängd i form av en parametriserad version av ett Betti-nummer , som kallas en streckkod.

Flera grenar av programmeringsspråkssemantik , såsom domänteori , formaliseras med hjälp av topologi. I detta sammanhang karakteriserar Steve Vickers , som bygger på arbete av Samson Abramsky och Michael B. Smyth , topologiska rum som booleska eller Heyting-algebror över öppna mängder, vilka karakteriseras som halvavgörbara (motsvarande, ändligt observerbara) egenskaper.

Fysik

Topologi är relevant för fysiken inom områden som kondenserad materiens fysik, kvantfältteori och fysikalisk kosmologi .

Det topologiska beroendet av mekaniska egenskaper i fasta ämnen är av intresse inom disciplinerna maskinteknik och materialvetenskap . Elektriska och mekaniska egenskaper beror på arrangemanget och nätverksstrukturerna hos molekyler och elementära enheter i material. Tryckhållfastheten hos skrynkliga topologier studeras i försök att förstå den höga hållfastheten i förhållande till vikten hos sådana strukturer som oftast är tomma utrymmen . Topologi är av ytterligare betydelse inom kontaktmekanik där beroendet av styvhet och friktion på dimensionaliteten hos ytstrukturer är föremål för intresse med tillämpningar inom flerkroppsfysik.

En topologisk kvantfältteori (eller topologisk fältteori eller TQFT) är en kvantfältteori som beräknar topologiska invarianter .

Även om TQFTs uppfanns av fysiker, är de också av matematiskt intresse, eftersom de bland annat är relaterade till knutteori , teorin om fyra grenrör i algebraisk topologi och teorin om modulrum i algebraisk geometri. Donaldson , Jones , Witten och Kontsevich har alla vunnit Fields-medaljer för arbete relaterat till topologisk fältteori.

Den topologiska klassificeringen av Calabi-Yau grenrör har viktiga implikationer i strängteorin , eftersom olika grenrör kan upprätthålla olika typer av strängar.

Inom kosmologi kan topologi användas för att beskriva universums övergripande form . Detta forskningsområde är allmänt känt som rumtidstopologi .

I kondenserad materia kommer en relevant tillämpning på topologisk fysik från möjligheten att erhålla envägsström, vilket är en ström som skyddas från tillbakaspridning. Det upptäcktes först inom elektroniken med den berömda kvanthalleffekten , och generaliserades sedan inom andra fysikområden, till exempel inom fotonik av FDM Haldane .

Robotik

De möjliga positionerna för en robot kan beskrivas med ett grenrör som kallas konfigurationsutrymme . Inom området rörelseplanering hittar man vägar mellan två punkter i konfigurationsutrymmet. Dessa banor representerar en rörelse av robotens leder och andra delar till önskad ställning.

Spel och pussel

Tangleling-pussel är baserade på topologiska aspekter av pusslets former och komponenter.

Fiberkonst

För att skapa en kontinuerlig sammanfogning av bitar i en modulär konstruktion är det nödvändigt att skapa en obruten bana i en ordning som omger varje bit och korsar varje kant endast en gång. Denna process är en tillämpning av den Euleriska vägen .

Se även

Referenser

Citat

Bibliografi

• Aleksandrov, PS (1969) [1956], "Kapitel XVIII Topology", i Aleksandrov, AD; Kolmogorov, AN; Lavrent'ev, MA (red.), Mathematics / Dess Content, Methods and Meaning (2nd ed.), The MIT Press
• Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology , Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029804-2
• Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology , Princeton University Press

Vidare läsning

• Ryszard Engelking , General Topology , Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, december 1989, ISBN  3-88538-006-4 .
• Bourbaki ; Elements of Mathematics: General Topology , Addison–Wesley (1966).
• Breitenberger, E. (2006). "Johann Benedict Listing". I James, IM (red.). Topologins historia . Norra Holland. ISBN 978-0-444-82375-5.
• Kelley, John L. (1975). Allmän topologi . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90125-1.
• Brown, Ronald (2006). Topologi och Groupoider . Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4.(Tillhandahåller en välmotiverad, geometrisk redogörelse för allmän topologi och visar användningen av groupoider för att diskutera van Kampens sats , täcka utrymmen och omloppsutrymmen .)
• Wacław Sierpiński , General Topology , Dover Publications, 2000, ISBN  0-486-41148-6
• Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology . Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-826-1.(Ger en populär introduktion till topologi och geometri)
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2:a upplagan), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1

externa länkar

• "Topologi, allmänt" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Elementär topologi: En första kurs Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
• Topologi på Curlie
• The Topological Zoo på The Geometry Center .
• Topologiatlas
• Topologikurs Föreläsningsanteckningar Aisling McCluskey och Brian McMaster, Topology Atlas.
• Topologiordlista
• Moskva 1935: Topologi på väg mot Amerika , en historisk essä av Hassler Whitney .