Släkt (matematik) - Genus (mathematics)

En släkt-2 yta

I matematik har släktet (plural släkten ) några olika men nära besläktade betydelser. Förmodligen är det snabbaste, enklaste och mest intuitiva sättet att introducera släktet att det är antalet "hål" på en yta . Så att en sfär har släkt 0 och en torus har släkt 1.

Topologi

Orienterbara ytor

Kaffekoppen och munken som visas i denna animering har båda ett släkt.

Den släktet av en ansluten , orienterbart yta är ett heltal som representerar det maximala antalet sticklingar längs icke-korsande slutna enkla kurvor utan att göra den resulterande grenröret kopplad. Det är lika med antalet handtag på den. Alternativt kan det definieras i termer av Euler -karaktäristiken χ , via förhållandet χ  = 2 - 2 g för slutna ytor , där g är släktet. För ytor med b rand komponenter, lyder ekvationen χ = 2 - 2 g  -  b . I lekmannas termer är det antalet "hål" som ett objekt har ("hål" tolkade i betydelsen donuthål; en ihålig sfär skulle anses ha nollhål i denna mening). En munk, eller torus, har 1 sådant hål, medan en sfär har 0. Den gröna ytan på bilden ovan har 2 hål av den relevanta sorten.

Till exempel:

• Den sfären S ² och en skiva har båda släktet noll.
• En torus har ett släkt, liksom ytan på en kaffekopp med handtag. Detta är källan till skämtet "topologer är människor som inte kan berätta sin munk från sin kaffemugg."

En tydlig konstruktion av ytor av släktet g ges i artikeln om den grundläggande polygonen .

• Släkte av orienterbara ytor
• 

  släkt 0

• 

  släkt 1

• 

  släkt 2

• 

  släkte 3

I enklare termer är värdet av en orienterbar yts släkt lika med antalet "hål" den har.

Ej orienterbara ytor

Det icke-orienterbara släktet , demigenus eller Euler-släktet hos en ansluten, icke-orienterbar sluten yta är ett positivt heltal som representerar antalet tvärkapslar fästa vid en sfär . Alternativt kan den definieras för en sluten yta i termer av Euler-karaktäristiken χ, via förhållandet χ = ​​2- k , där k är det icke-orienterbara släktet.

Till exempel:

• Ett riktigt projektivt plan har ett icke-orienterbart släktet ett.
• En Klein-flaska har icke-orienterbart släkt två.

Knut

Den släktet av en knut K definieras som de minimala släktet av alla Seifert ytor för K . En Seifert yta på en knut är emellertid en grenrör med gräns , gränsen är knuten, dvs homeomorf till enhetscirkeln. Släktet för en sådan yta definieras som släktet för tvågrenröret, som erhålls genom att limma enhetsskivan längs gränsen.

Handtag

De genus av en 3-dimensionell handlebody är ett heltal som representerar det maximala antalet sticklingar längs inbäddade diskar utan att göra den resulterande fördelaren bortkopplad. Det är lika med antalet handtag på den.

Till exempel:

• En boll har släktet noll.
• En fast torus D ² × S ¹ har ett släkt.

Grafteori

Den släktet av en graf är den minimala heltal n sådan att grafen kan dras utan att korsa sig själv på en sfär med n handtag (dvs. en orienterad yta av släktet n ). Således har ett plant diagram släkt 0, eftersom det kan ritas på en sfär utan självkorsning.

Det icke-orienterbara släktet i en graf är det minimala heltalet n så att grafen kan ritas utan att korsa sig själv på en sfär med n tvärkapslar (dvs en icke-orienterbar yta av (icke-orienterbar) släkt n ). (Detta nummer kallas också demigenus .)

Den Euler släktet är den minimala heltal n sådan att grafen kan dras utan att korsa sig själv på en sfär med n tvär lock eller på en sfär med n / 2 handtag.

I topologisk grafteori finns det flera definitioner av släktet för en grupp . Arthur T. White introducerade följande koncept. Släktet av en grupp G är minimi släktet av en (ansluten, oriktad) Cayley graf för G .

Den grafen släktet problem är NP-komplett .

Algebraisk geometri

Det finns två besläktade definitioner av släktet för varje projektivt algebraiskt schema X : det aritmetiska släktet och det geometriska släktet . När X är en algebraisk kurva med fält av definition de komplexa talen , och om X har inga singulära punkter , då dessa definitioner överens och sammanfaller med den topologiska definition appliceras på Riemann ytan av X (dess grenrör av komplexa punkter). Exempelvis definitionen av elliptisk kurva från algebraisk geometri är ansluten icke-singulär projektiv kurva av släktet 1 med en given rationell punkt på den .

Enligt Riemann – Roch -satsen har en oreducerbar plankurva av grad som ges av försvinnande locus i en sektion ett geometriskt släkte ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle s \ in \ Gamma (\ mathbb {P} ^{2}, {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^{2}} (d))}$

${\ displaystyle g = {\ frac {(d-1) (d-2)} {2}}-s,}$

där s är antalet singulariteter när de räknas korrekt.

Biologi

Släktet kan också beräknas för grafen som spänner över nätet av kemiska interaktioner i nukleinsyror eller proteiner. I synnerhet kan man studera tillväxten av släktet längs kedjan. En sådan funktion (kallad släktspåret) visar den topologiska komplexiteten och domänstrukturen för biomolekyler.

Se även

• Grupp (matematik)
• Aritmetiskt släkte
• Geometriskt släkte
• Släkt med en multiplikativ sekvens
• Släkt av en kvadratisk form
• Spinorsläkt

Citat

Referenser

Index över artiklar associerade med samma namn

Denna artikel innehåller en lista över relaterade objekt som har samma namn (eller liknande namn).
Om en intern länk felaktigt ledde dig hit kan du ändra länken så att den pekar direkt på den avsedda artikeln.