Schläfli symbol - Schläfli symbol

I geometri är Schläfli -symbolen en notering av formen som definierar regelbundna polytoper och tessellationer . ${\ displaystyle \ {p, q, r, ... \}}$

Schläflisymbolen är uppkallad efter den schweiziska matematikern Ludwig Schläfli från 1800-talet , som generaliserade euklidisk geometri till mer än tre dimensioner och upptäckte alla deras konvexa regelbundna polytoper, inklusive de sex som förekommer i fyra dimensioner.

Definition

Schläflisymbolen är en rekursiv beskrivning som börjar med { p } för en p -sidig vanlig polygon som är konvex . Till exempel är {3} en liksidig triangel , {4} är ​​en kvadrat , {5} en konvex regelbunden femkant och så vidare.

Vanliga stjärnpolygoner är inte konvexa, och deras Schläfli -symboler { ^p / _q } innehåller oreducerbara fraktioner ^p / _q , där p är antalet hörn, och q är deras vridnummer . På motsvarande sätt skapas { ^p / _q } från hörnen för { p }, anslutna varje q . Till exempel är { 5 ⁄ 2 } ett pentagram ; { 5 ⁄ 1 } är en femkant .

En vanlig polyhedron som har q regelbundna p -sidiga polygonytor runt varje hörn representeras av { p , q }. Till exempel, den kuben har 3 torg runt varje vertex och representeras av {4,3}.

En vanlig 4-dimensionell polytop , med r { p , q } regelbundna polyhedrala celler runt varje kant representeras av { p , q , r }. Till exempel har en tesseract , {4,3,3}, 3 kuber , {4,3}, runt en kant.

I allmänhet har en vanlig polytop { p , q , r , ..., y , z } z { p , q , r , ..., y } fasetter runt varje topp , där en topp är en toppunkt i en polyhedron , en kant i en 4-polytop, en yta i en 5-polytop, en cell i en 6-polytop och en ( n -3) -yta i en n- polytop.

Egenskaper

En vanlig polytop har en regelbunden toppunkt . Spetsen för en vanlig polytop { p , q , r , ..., y , z } är { q , r , ..., y , z }.

Regelbundna polytoper kan ha stjärnpolygonelement , som pentagrammet , med symbolen { 5 ⁄ 2 }, representerade av hörnen i en femkant men anslutna omväxlande.

Schläflisymbolen kan representera en ändlig konvex polyhedron , en oändlig tessellation av euklidiskt utrymme eller en oändlig tessellation av hyperboliskt utrymme , beroende på konstruktionens vinkeldefekt . En positiv vinkeldefekt gör att vertexfiguren kan vikas till en högre dimension och slingrar tillbaka i sig själv som en polytop. En nollvinkeldefekt förklarar utrymme med samma dimension som fasetterna. En negativ vinkeldefekt kan inte existera i vanligt utrymme, men kan konstrueras i hyperboliskt utrymme.

Vanligtvis antas en fasett eller en toppunktsfigur vara en ändlig polytop, men kan ibland betraktas som en tessellation.

En vanlig polytop har också en dubbel polytop , representerad av Schläflis symbolelement i omvänd ordning. En självdubbelt vanlig polytop kommer att ha en symmetrisk Schläfli-symbol.

Förutom att beskriva euklidiska polytoper kan Schläfli -symboler användas för att beskriva sfäriska polytoper eller sfäriska honungskakor.

Historia och variationer

Schläflis arbete var nästan okänt under hans livstid, och hans notering för att beskriva polytoper återupptäcktes oberoende av flera andra. I synnerhet återupptäckte Thorold Gosset Schläfli -symbolen som han skrev som | p | q | r | ... | z | snarare än med parenteser och kommatecken som Schläfli gjorde.

Gossets form har större symmetri, så antalet dimensioner är antalet vertikala staplar, och symbolen innehåller exakt delsymboler för fasett och toppunkt. Gosset ansedd | p som operatör, som kan tillämpas på | q | ... | z | att producera en polytop med p -gonal ansikten vars toppunkt är | q | ... | z |.

Fall

Symmetri grupper

Schläfli symboler är nära besläktade med (finite) reflektion symmetrigrupper , vilka exakt motsvarar ändliga Coxeter grupper och anges med samma index, men hakparenteser istället [ p , q , r , ...]. Sådana grupper namnges ofta av de vanliga polytoper de genererar. Till exempel [3,3] är Coxeter -gruppen för reflekterande tetraedrisk symmetri , [3,4] är reflekterande oktaedrisk symmetri och [3,5] är reflekterande ikosahedrisk symmetri .

Vanliga polygoner (plan)

Schläfli -symbolen för en (konvex) vanlig polygon med p -kanter är { p }. Till exempel representeras en vanlig femkant av {5}.

För (icke -konvexa) stjärnpolygoner används den konstruktiva notationen { p / q }, där p är antalet hörn och q −1 är antalet hörn som hoppas över när varje kant av stjärnan ritas. Till exempel representerar { 5 ⁄ 2 } pentagrammet .

Vanliga polyeder (3 dimensioner)

Schläfli -symbolen för en vanlig polyhedron är { p , q } om dess ytor är p -goner och varje hörn är omgiven av q -ytor ( toppunkten är en q -gon).

Till exempel är {5,3} den vanliga dodekaedronen . Den har femkantiga (5 kanter) ytor och 3 femkanter runt varje hörn.

Se de 5 konvexa platoniska fastämnena , de 4 icke - konvexa Kepler-Poinsot-polyedrarna .

Topologiskt kan en vanlig tvådimensionell tessellation anses likna en (3-dimensionell) polyeder, men sådan att vinkeldefekten är noll. Således kan Schläfli -symboler också definieras för regelbundna tesselleringar av euklidiskt eller hyperboliskt utrymme på liknande sätt som för polyeder. Analogin gäller högre dimensioner.

Till exempel representeras det sexkantiga kaklet med {6,3}.

Vanliga 4-polytoper (4 dimensioner)

Schläflisymbolen för en vanlig 4-polytop har formen { p , q , r }. Dess (tvådimensionella) ytor är vanliga p -goner ({ p }), cellerna är vanliga polyeder av typen { p , q }, toppunktsfigurerna är vanliga polyeder av typen { q , r } och kantfigurerna är vanliga r -goner (typ { r }).

Se de sex konvexa regelbundna och 10 vanliga 4-polytoperna .

Till exempel representeras 120-cellen av {5,3,3}. Den är gjord av dodekaederceller {5,3} och har 3 celler runt varje kant.

Det finns en vanlig tessellering av euklidiskt 3-rymd: den kubiska honungskakan , med en Schläfli-symbol på {4,3,4}, gjord av kubiska celler och 4 kuber runt varje kant.

Det finns också 4 vanliga kompakta hyperboliska tessellationer, inklusive {5,3,4}, den hyperboliska lilla dodekaedriska honungskakan , som fyller utrymmet med dodekaedronceller .

Vanliga n -polytoper (högre dimensioner)

För högre dimensionella regelbundna polytopes är Schläfli symbolen definieras rekursivt som { p ₁ , p ₂ , ..., p _{n  - 1} } om facetterna har Schläfli symbol { p ₁ , p ₂ , ..., p _{n  - 2} } och toppunktsfigurerna har Schläfli -symbolen { p ₂ , p ₃ , ..., p _{n  - 1} }.

En hörnfigur av en fasett av en polytop och en fasett av en hörnfigur av samma polytop är desamma: { p ₂ , p ₃ , ..., p _{n  - 2} }.

Det finns bara tre vanliga polytoper i 5 dimensioner och högre: simplexen , {3,3,3, ..., 3}; den tvär polytope , {3,3, ..., 3,4}; och hyperkuben , {4,3,3, ..., 3}. Det finns inga icke-konvexa reguljära polytoper över 4 dimensioner.

Dubbla polytoper

Om en polytop med dimension n ≥ 2 har Schläfli -symbolen { p ₁ , p ₂ , ..., p _{n  - 1} } har dess dual Schläfli -symbol { p _{n  - 1} , ..., p ₂ , p ₁ }.

Om sekvensen är palindromisk , dvs samma framåt och bakåt, är polytopen självdubbelt . Varje vanlig polytop i 2 dimensioner (polygon) är självdubbel.

Prismatiska polytoper

Uniforma prismatiska polytoper kan definieras och benämnas som en kartesisk produkt (med operatör "×") av lägre dimensionella reguljära polytoper.

• I 0D representeras en punkt av (). Dess Coxeter -diagram är tomt. Dess Coxeter -notationssymmetri är] [.
• I 1D representeras ett linjesegment av {}. Dess Coxeter -diagram är. Dess symmetri är [].
• I 2D representeras en rektangel som {} × {}. Dess Coxeter -diagram är. Dess symmetri är [2].
• I 3D representeras ett p -gonalt prisma som {} × { p }. Dess Coxeter -diagram är. Dess symmetri är [2, p ].
• I 4D representeras ett enhetligt { p , q } -hedralt prisma som {} × { p , q }. Dess Coxeter -diagram är. Dess symmetri är [2, p , q ].
• I 4D representeras en enhetlig p - q duopris som { p } × { q }. Dess Coxeter -diagram är. Dess symmetri är [ p , 2, q ].

De prismatiska dualerna eller bipyramiderna kan representeras som sammansatta symboler, men med additionsoperatorn "+".

• I 2D representeras en romb som {} + {}. Dess Coxeter -diagram är. Dess symmetri är [2].
• I 3D representeras en p -gonal bipyramid som {} + { p }. Dess Coxeter -diagram är. Dess symmetri är [2, p ].
• I 4D representeras en { p , q } -hedral bipyramid som {} + { p , q }. Dess Coxeter -diagram är. Dess symmetri är [ p , q ].
• I 4D representeras en p - q duopyramid som { p } + { q }. Dess Coxeter -diagram är. Dess symmetri är [ p , 2, q ].

Pyramidala polytoper som innehåller hörn ortogonalt förskjutna kan representeras med hjälp av en kopplingsoperator, "∨". Varje par hörn mellan sammanfogade figurer är förbundna med kanter.

I 2D kan en likbent triangel representeras som () ∨ {} = () ∨ [() ∨ ()].

I 3D:

• En digonal disphenoid kan representeras som {} ∨ {} = [() ∨ ()] ∨ [() ∨ ()].
• En p-gonal pyramid representeras som () ∨ { p }.

I 4D:

• En pq-hedral pyramid representeras som () ∨ { p , q }.
• En 5-cell representeras som () ∨ [() ∨ {3}] eller [() ∨ ()] ∨ {3} = {} ∨ {3}.
• En fyrkantig pyramidpyramid representeras som () ∨ [() ∨ {4}] eller [() ∨ ()] ∨ {4} = {} ∨ {4}.

Vid blandning av operatorer är ordningsföljden från högsta till lägsta ×, +, ∨.

Axialpolytoper som innehåller hörn på parallella förskjutna hyperplan kan representeras av || operatör. Ett enhetligt prisma är { n } || { n } och antiprisma { n } || r { n }.

Förlängning av Schläfli -symboler

Polygoner och cirkelplattor

En stympad vanlig polygon fördubblas i sidorna. En vanlig polygon med jämna sidor kan halveras. En förändrad jämsidig vanlig 2n-gon genererar en stjärntalsförening , 2 {n}.

Form	Schläfli -symbol	Symmetri	Coxeter diagram		Exempel, {6}
Regelbunden	{p}	[p]				Sexhörning
Avkortat	t {p} = {2p}	[[p]] = [2p]	=			Avkortad sexkant (Dodecagon)	=
Förändrad och Holosnubbed	a {2p} = β {p}	[2p]	=			Förändrad sexkant (hexagram)	=
Halva och snubbed	h {2p} = s {p} = {p}	[1 + , 2p] = [p]	= =			Halv sexkant (triangel)	= =

Polyhedra och kakel

Coxeter utökade sin användning av Schläfli -symbolen till quasiregular polyhedra genom att lägga till en vertikal dimension till symbolen. Det var en utgångspunkt mot det mer allmänna Coxeter -diagrammet . Norman Johnson förenklade notationen för vertikala symboler med ett r -prefix. T-notationen är den mest allmänna och motsvarar direkt ringarna i Coxeter-diagrammet. Symboler har en motsvarande växling , ersätter ringar med hål i ett Coxeter-diagram och h- prefixet står för hälften , konstruktion begränsad av kravet på att granngrenar måste vara jämna och skär symmetriordningen i hälften. En besläktad operatör, a för ändrad , visas med två kapslade hål, representerar en sammansatt polyhedra med båda alternerade halvorna och behåller den ursprungliga fulla symmetrin. En snub är en halv form av en trunkering, och en holosnub är båda halvorna av en alternerad trunkering.

Form	Schläfli -symboler			Symmetri	Coxeter diagram		Exempel, {4,3}
Regelbunden	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}$	{p, q}	t 0 {p, q}	[p, q] eller [(p, q, 2)]				Kub
Avkortat	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}$	t {p, q}	t 0,1 {p, q}					Avkortad kub
Bitrunkation (trunkerad dubbel)	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}}}$	2t {p, q}	t 1,2 {p, q}					Avkortad oktaeder
Rättat ( kvasiregulärt )	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	r {p, q}	t 1 {p, q}					Cuboctahedron
Birektifiering (vanlig dubbel)	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}}}$	2r {p, q}	t 2 {p, q}					Oktaeder
Cantellated ( Rectified rectified )	${\ displaystyle r {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	rr {p, q}	t 0,2 {p, q}					Rhombicuboctahedron
Cantitruncated ( Trunkerad rättad )	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	tr {p, q}	t 0,1,2 {p, q}					Avkortad kuboctahedron

Alternativ, kvarter och snubs

Alternativ har halva symmetrin hos Coxeter -grupperna och representeras av ofyllda ringar. Det finns två möjliga val på vilka hälften av hörnen tas, men symbolen betyder inte vilket. Kvartalformer visas här med a + inuti en ihålig ring för att antyda att de är två oberoende alternationer.

Alternativ

Form	Schläfli -symboler			Symmetri	Coxeter diagram		Exempel, {4,3}
Alternerad (halv) vanlig	${\ displaystyle h {\ begin {Bmatrix} 2p, q \ end {Bmatrix}}}$	h {2p, q}	ht 0 {2p, q}	[1 + , 2p, q]	=			Demicube ( Tetrahedron )
Snub regelbundet	${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} p, 2q \ end {Bmatrix}}}$	s {p, 2q}	ht 0,1 {p, 2q}	[p + , 2q]
Snub dual regular	${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} q, 2p \ end {Bmatrix}}}$	s {q, 2p}	ht 1,2 {2p, q}	[2p, q + ]				Snub octahedron ( Icosahedron )
Alternativt rättat (p och q är jämna)	${\ displaystyle h {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	tim {p, q}	ht 1 {p, q}	[p, 1 + , q]
Alternativt rättat rättat (p och q är jämna)	${\ displaystyle hr {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	hrr {p, q}	ht 0,2 {p, q}	[(p, q, 2 + )]
Kvartaler (p och q är jämna)	${\ displaystyle q {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	q {p, q}	ht 0 ht 2 {p, q}	[1 + , p, q, 1 + ]
Snub rättad Snub quasiregular	${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	sr {p, q}	ht 0,1,2 {p, q}	[p, q] +				Snub cuboctahedron (Snub kub)

Förändrad och holosnubbed

Ändrade och holosnubbade former har Coxeter -gruppens fulla symmetri och representeras av dubbla ofyllda ringar, men kan representeras som föreningar.

Förändrad och holosnubbed

Form	Schläfli -symboler			Symmetri	Coxeter diagram		Exempel, {4,3}
Ändrad regelbundet	${\ displaystyle a {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}$	a {p, q}	vid 0 {p, q}	[p, q]	= ∪			Stellerad oktaeder
Holosnub dual regular	ß { q , p }	ß {q, p}	vid 0,1 {q, p}	[p, q]				Förening av två icosahedra

ß , som liknar den grekiska bokstaven beta (β), är den tyska alfabetet bokstaven eszett .

Polychora och honungskakor

Linjära familjer

Form	Schläfli -symbol			Coxeter diagram		Exempel, {4,3,3}
Regelbunden	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p, q, r \ end {Bmatrix}}}$	{p, q, r}	t 0 {p, q, r}				Tesseract
Avkortat	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} p, q, r \ end {Bmatrix}}}$	t {p, q, r}	t 0,1 {p, q, r}				Avkortad tesseract
Rättat	${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q, r \ end {array}} \ right \}}$	r {p, q, r}	t 1 {p, q, r}				Rättat tesseract	=
Bitrunkad		2t {p, q, r}	t 1,2 {p, q, r}				Bitrunkad tesseract
Birectified (Rectified dual)	${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} q, p \\ r \ end {array}} \ right \}}$	2r {p, q, r} = r {r, q, p}	t 2 {p, q, r}				Rektifierad 16-cell	=
Tritruncated ( Trunkerad dubbel)	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} r, q, p \ end {Bmatrix}}}$	3t {p, q, r} = t {r, q, p}	t 2,3 {p, q, r}				Bitrunkad tesseract
Omdirigerad (dubbel)	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} r, q, p \ end {Bmatrix}}}$	3r {p, q, r} = {r, q, p}	t 3 {p, q, r} = {r, q, p}				16-cell
Cantellated	${\ displaystyle r \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q, r \ end {array}} \ right \}}$	rr {p, q, r}	t 0,2 {p, q, r}				Cantellated tesseract	=
Cantitruncated	${\ displaystyle t \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q, r \ end {array}} \ right \}}$	tr {p, q, r}	t 0,1,2 {p, q, r}				Kantrerad tesseract	=
Runcinated ( Expanded )	${\ displaystyle e_ {3} {\ begin {Bmatrix} p, q, r \ end {Bmatrix}}}$	e 3 {p, q, r}	t 0,3 {p, q, r}				Runkad tesseract
Runcitruncated			t 0,1,3 {p, q, r}				Runcitruncated tesseract
Omnitrunkad			t 0,1,2,3 {p, q, r}				Omnitrunkad tesseract

Alternativ, kvarter och snubs

Alternativ

Form	Schläfli -symbol			Coxeter diagram		Exempel, {4,3,3}
Alternativ
Halv p jämnt	${\ displaystyle h {\ begin {Bmatrix} p, q, r \ end {Bmatrix}}}$	h {p, q, r}	ht 0 {p, q, r}				16-cell
Kvartal p och r jämnt	${\ displaystyle q {\ begin {Bmatrix} p, q, r \ end {Bmatrix}}}$	q {p, q, r}	ht 0 ht 3 {p, q, r}
Snub q till och med	${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} p, q, r \ end {Bmatrix}}}$	s {p, q, r}	ht 0,1 {p, q, r}				Snub 24-cell
Snub rättad r jämn	${\ displaystyle s \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q, r \ end {array}} \ right \}}$	sr {p, q, r}	ht 0,1,2 {p, q, r}				Snub 24-cell	=
Alternerad duopris		s {p} s {q}	ht 0,1,2,3 {p, 2, q}				Stor duoantiprism

Bifurcating familjer

Bifurcating familjer

Form	Utökad Schläfli -symbol			Coxeter diagram		Exempel
Kvasiregulärt	${\ displaystyle \ left \ {p, {q \ atop q} \ right \}}$	{p, q 1,1 }	t 0 {p, q 1,1 }				16-cell
Avkortat	${\ displaystyle t \ left \ {p, {q \ atop q} \ right \}}$	t {p, q 1,1 }	t 0,1 {p, q 1,1 }				Avkortad 16-cell
Rättat	${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q \\ q \ end {array}} \ right \}}$	r {p, q 1,1 }	t 1 {p, q 1,1 }				24-cell
Cantellated	${\ displaystyle r \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q \\ q \ end {array}} \ right \}}$	rr {p, q 1,1 }	t 0,2,3 {p, q 1,1 }				Cantellated 16-cell
Cantitruncated	${\ displaystyle t \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q \\ q \ end {array}} \ right \}}$	tr {p, q 1,1 }	t 0,1,2,3 {p, q 1,1 }				Kantrerad 16-cell
Snub rättad	${\ displaystyle s \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q \\ q \ end {array}} \ right \}}$	sr {p, q 1,1 }	ht 0,1,2,3 {p, q 1,1 }				Snub 24-cell
Kvasiregulärt	${\ displaystyle \ left \ {r, {p \ atop q} \ right \}}$	{r,/q \, p}	t 0 {r,/q \, p}
Avkortat	${\ displaystyle t \ left \ {r, {p \ atop q} \ right \}}$	t {r,/q \, p}	t 0,1 {r,/q \, p}
Rättat	${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} r \\ p \\ q \ end {array}} \ right \}}$	r {r,/q \, p}	t 1 {r,/q \, p}
Cantellated	${\ displaystyle r \ left \ {{\ begin {array} {l} r \\ p \\ q \ end {array}} \ right \}}$	rr {r,/q \, p}	t 0,2,3 {r,/q \, p}
Cantitruncated	${\ displaystyle t \ left \ {{\ begin {array} {l} r \\ p \\ q \ end {array}} \ right \}}$	tr {r,/q \, p}	t 0,1,2,3 {r,/q \, p}
Snub rättad	${\ displaystyle s \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q \\ r \ end {array}} \ right \}}$	sr {p,/q, \ r}	ht 0,1,2,3 {p,/q \, r}

Tessellationer

Sfärisk

Regelbunden

Halvregelbunden

Hyperbolisk

Referenser

Källor

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973) [1948]. Regular Polytopes (3: e upplagan). Dover Publications. s.  14 , 69, 149. ISBN 0-486-61480-8. OCLC  798003 . Vanliga polytoper.
• Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C .; Weiss, Asia Ivic, red. (1995). Kalejdoskop: utvalda skrifter av HSM Coxeter . Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6.
  • (Papper 22) s. 251–278 Coxeter, HSM (1940). "Regular and Semi Regular Polytopes I". Matematik. Zeit . 46 : 380–407. doi : 10.1007/BF01181449 . Zbl  0022.38305 . MR 2,10
  • (Papper 23) s. 279–312 - (1985). "Regular and Semi-Regular Polytopes II". Matematik. Zeit . 188 (4): 559–591. doi : 10.1007/BF01161657 . Zbl  0547.52005 .
  • (Papper 24) s. 313–358 - (1988). "Regular and Semi-Regular Polytopes III". Matematik. Zeit . 200 (1): 3–45. doi : 10.1007/BF01161745 . Zbl  0633.52006 .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Schläfli Symbol" . MathWorld . Hämtad 28 december 2019 .
• Starck, Maurice (13 april 2012). "Polyhedrala namn och notationer" . En resa genom polyhedravärlden . Hämtad 28 december 2019 .