Kub - Cube

Vanlig hexahedron
(Klicka här för roterande modell)
Typ	Platoniskt fast ämne
kortkod	4 =
Element	F = 6, E = 12 V = 8 (χ = 2)
Ansikten vid sidorna	6 {4}
Conway -notation	C
Schläfli -symboler	{4,3}
	t {2,4} eller {4} × {} tr {2,2} eller {} × {} × {}
Ansikts konfiguration	V3.3.3.3
Wythoff -symbol	3 | 2 4
Coxeter diagram
Symmetri	O h , B 3 , [4,3], (*432)
Rotationsgrupp	O , [4,3] + , (432)
Referenser	U 06 , C 18 , W 3
Egenskaper	vanlig , konvex zonohedron
Dihedral vinkel	90 °
4.4.4 ( Vertex -figur )	Octahedron ( dubbel polyhedron )
Netto

Kubnät

3D -modell av en kub

I geometri är en kub ett tredimensionellt fast föremål som avgränsas av sex kvadratiska ytor, fasetter eller sidor, med tre möten vid varje toppunkt .

Kuben är den enda vanliga hexahedronen och är en av de fem platoniska fasta ämnena . Den har 6 ytor, 12 kanter och 8 hörn.

Kuben är också en kvadratisk parallellpiped , en liksidig kuboid och en höger romboeder . Det är ett vanligt fyrkantigt prisma i tre riktningar och ett trigonalt trapetsohedron i fyra riktningar.

Kuben är dubbel till oktaedern . Den har kubisk eller oktaedrisk symmetri .

Kuben är den enda konvexa polyhedron vars ytor är alla kvadrater .

Ortogonala projektioner

Den Kuben har fyra speciella ortogonala projektioner , centrerad, på ett hörn, kanter, ansikte och vinkelrätt mot dess vertex siffra . Det första och det tredje motsvarar A ₂ och B ₂ Coxeter -planen .

Ortogonala projektioner

Centrerad av	Ansikte	Vertex
Coxeter -plan	B 2	A 2
Projektiv symmetri	[4]	[6]
Lutande vyer

Sfäriska kakel

Kuben kan också representeras som en sfärisk kakel och projiceras på planet via en stereografisk projektion . Denna projektion är konform , bevarar vinklar men inte områden eller längder. Raka linjer på sfären projiceras som cirkelbågar på planet.

Ortografisk projektion	Stereografisk projektion

kartesiska koordinater

För en kub centrerad vid ursprunget, med kanter parallella med axlarna och med en kantlängd på 2, är de kartesiska koordinaterna för hörnen

(± 1, ± 1, ± 1)

medan interiören består av alla punkter ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) med −1 < x _i <1 för alla i .

Ekvation i ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

I analytisk geometri , (en kub yta med centrum x ₀ , y ₀ , z ₀ ) och kantlängden av 2a är lokuset av alla punkter ( x , y , z ) så att

${\ displaystyle \ max \ {| x-x_ {0} |, | y-y_ {0} |, | z-z_ {0} | \} = a.}$

En kub kan också betraktas som det begränsande fallet för en 3D -superellipsoid när alla tre exponenterna närmar sig oändligheten.

Formler

För en kub med kantlängd : ${\ displaystyle a}$

ytarea	${\ displaystyle 6a^{2} \,}$	volym	${\ displaystyle a^{3} \,}$
ansikte diagonalt	${\ displaystyle {\ sqrt {2}} a}$	rymddiagonal	${\ textstil {\ sqrt {3}} a}$
radie av avgränsad sfär	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} a}$	sfärradie som tangerar kanterna	${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sqrt {2}}}}$
radie av inskriven sfär	${\ displaystyle {\ frac {a} {2}}}$	vinklar mellan ansikten (i radianer )	${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$

Som volymen av en kub är den tredje potensen av dess sidor , tredje krafter kallas kuber , i analogi med kvadrater och andra krafter. ${\ displaystyle a \ times a \ times a}$

En kub har den största volymen bland kuboider (rektangulära lådor) med en given ytarea . Dessutom har en kub den största volymen bland kuboider med samma totala linjära storlek (längd+bredd+höjd).

Punkt i rymden

För en kub vars begränsande sfär har radie R , och för en given punkt i sitt tredimensionella utrymme med avstånd d _i från kubens åtta hörn, har vi:

${\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {i = 1}^{8} d_ {i}^{4}} {8}}+{\ frac {16R^{4}} {9}} = \ vänster ({\ frac {\ sum _ {i = 1}^{8} d_ {i}^{2}} {8}}+{\ frac {2R^{2}} {3}} \ höger)^{ 2}.}$

Fördubbla kuben

Att fördubbla kuben , eller Delian -problemet , var det problem som antika grekiska matematiker ställde upp med att bara använda en kompass och räta för att börja med längden på kanten på en given kub och att konstruera längden på kanten av en kub med två gånger volymen på den ursprungliga kuben. De kunde inte lösa detta problem, och 1837 visade sig Pierre Wantzel att det var omöjligt eftersom kubroten 2 inte är ett konstruerbart tal .

Enhetliga färgningar och symmetri

Octahedral symmetri träd

Kuben har tre enhetliga färgningar, namngivna av färgerna på de fyrkantiga ansiktena runt varje hörn: 111, 112, 123.

Kuben har fyra klasser av symmetri, som kan representeras av vertex-transitiv färgning av ansikten. Den högsta oktaedriska symmetrin O _h har alla ansikten samma färg. Den tvåplansvinkel symmetri D _4h kommer från kuben är ett prisma, med alla fyra sidorna är i samma färg. De prismatiska delmängderna D _2d har samma färg som den föregående och D _2h har alternerande färger för sina sidor för totalt tre färger, parade med motsatta sidor. Varje symmetriform har en annan Wythoff -symbol .

namn	Vanlig hexahedron	Fyrkantigt prisma	Rektangulär trapezopris	Rektangulär kuboid	Rombiskt prisma	Trigonal trapezohedron
Coxeter diagram
Schläfli -symbol	{4,3}	{4} × {} rr {4,2}	s 2 {2,4}	{} 3 st {2,2}	{} × 2 {}
Wythoff -symbol	3 | 4 2	4 2 | 2		2 2 2 |
Symmetri	O h [4,3] (*432)	D 4h [4,2] (*422)	D 2d [4,2 + ] (2*2)	D 2h [2,2] (*222)		D 3d [6,2 + ] (2*3)
symmetri ordning	24	16	8	8		12
Bild (enhetlig färgning)	(111)	(112)	(112)	(123)	(112)	(111), (112)

Geometriska relationer

Kubens 11 nät.

Dessa kända sexsidiga tärningar är kubformade.

En kub har elva nät (ett visat ovan): det vill säga det finns elva sätt att platta ut en ihålig kub genom att skära sju kanter. För att färga kuben så att inga två angränsande ytor har samma färg, skulle en behöva minst tre färger.

Kuben är cellen i den enda vanliga kaklingen av tredimensionellt euklidiskt utrymme . Det är också unikt bland de platoniska fastämnena att ha ansikten med ett jämnt antal sidor och följaktligen är det den enda medlemmen i den gruppen som är en zonohedron (varje ansikte har punktsymmetri).

Kuben kan skäras i sex identiska fyrkantiga pyramider . Om dessa fyrkantiga pyramider sedan fästs till ytorna på en andra kub, erhålls en rombisk dodekaeder (med par koplanära trianglar kombinerade till rombytor).

Andra dimensioner

Analogen av en kub i fyrdimensionellt euklidiskt utrymme har ett speciellt namn-en tesseract eller hyperkub . Mer korrekt är en hyperkub (eller n -dimensionell kub eller helt enkelt n -kub) analogen av kuben i n -dimensionellt euklidiskt utrymme och en tesseract är order -4 -hyperkuben. En hyperkub kallas också en måttpolytop .

Det finns också analoger av kuben i lägre dimensioner: en punkt i dimension 0, ett linjesegment i en dimension och en kvadrat i två dimensioner.

Relaterad polyeder

Det dubbla av en kub är en oktaeder , sett här med hörn i mitten av kubens fyrkantiga ytor.

Den hemicube är den två-till-ett kvoten av kuben.

Kubens kvot vid den antipodala kartan ger ett projektivt polyhedron , hemicube .

Om den ursprungliga kuben har kantlängd 1 har dess dubbla polyhedron (en oktaeder ) kantlängd . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2}}/2}$

Kuben är ett specialfall i olika klasser av allmänna polyeder:

Kubens hörn kan grupperas i två grupper om fyra, var och en som bildar en vanlig tetraeder ; mer allmänt kallas detta en demicube . Dessa två bildar tillsammans en vanlig förening , stella octangula . Skärningspunkten mellan de två bildar en vanlig oktaeder. Symmetrierna hos en vanlig tetraeder motsvarar dem hos en kub som kartlägger varje tetraeder till sig själv; kubens andra symmetrier kartlägger de två till varandra.

En sådan vanlig tetraeder har en volym av 1/3av kubens. Det återstående utrymmet består av fyra lika oregelbundna tetraeder med en volym av1/6 av kubens, var och en.

Den rättade kuben är kuboctahedronen . Om mindre hörn skärs av får vi en polyeder med sex åttkantiga ytor och åtta triangulära. I synnerhet kan vi få vanliga åttkantar ( stympad kub ). Den rhombicuboctahedron erhålls genom att skära av båda hörnen och kanterna till det korrekta beloppet.

En kub kan vara inskriven i en dodekaeder så att varje hörn av kuben är en hörn av dodekaedronen och varje kant är en diagonal av en av dodekaederns ansikten; tar alla sådana kuber ger upphov till den vanliga föreningen om fem kuber.

Om två motsatta hörn av en kub avkortas på djupet av de tre hörnen som är direkt anslutna till dem, erhålls en oregelbunden oktaeder. Åtta av dessa oregelbundna oktaeder kan fästas på de trekantiga ytorna på en vanlig oktaeder för att erhålla kuboctahedronen.

Kuben är topologiskt besläktad med en serie sfäriska polyeder och plattor med order-3 toppunktsfigurer .

* n 32 symmetri mutation av vanliga plattor: { n , 3} v t e
Sfärisk				Euklidisk	Kompakt hyperb.		Paraco.	Icke -kompakt hyperbolisk
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}	{12i, 3}	{9i, 3}	{6i, 3}	{3i, 3}

Cuboctahedron är en av en familj av enhetliga polyeder relaterade till kuben och den vanliga oktaedern.

Uniform oktaedrisk polyeder
Symmetri : [4,3], (*432)							[4,3] + (432)	[1 + , 4,3] = [3,3] (*332)		[3 + , 4] (3*2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3 1,1 }	t {3,4} t {3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr {4,3} s 2 {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h 2 {4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3 1,1 }
		=	=	=				= eller	= eller	=
Dubblar till enhetlig polyeder
V4 3	V3.8 2	V (3.4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Kuben är topologiskt relaterad som en del av sekvensen av regelbundna plattor, som sträcker sig in i det hyperboliska planet : {4, p}, p = 3,4,5 ...

* n 42 symmetri mutation av vanliga plattor: {4, n } v t e
Sfärisk	Euklidisk	Kompakt hyperbolisk				Parakompakt
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8} ...	{4, ∞}

Med dihedral symmetri , Dih ₄ , är kuben topologiskt besläktad i en serie enhetliga polyeder och kakel 4.2n.2n, som sträcker sig in i det hyperboliska planet:

* N 42 symmetri mutation av stympade tilings: 4,2 n 0,2 n v t e
Symmetri * n 42 [n, 4]	Sfärisk		Euklidisk	Kompakt hyperbolisk				Paracomp.
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4] ...	*∞42 [∞, 4]
Avkortade figurer
Konfig.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
n-kis- figurer
Konfig.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Alla dessa figurer har oktaedrisk symmetri .

Kuben är en del av en sekvens av rombiska polyeder och plattsättningar med [ n , 3] Coxeter -gruppsymmetri. Kuben kan ses som en rombisk hexahedron där romberna är rutor.

Symmetri mutationer av dubbla kvasiregulära plattor: V (3.n) 2
*n32	Sfärisk			Euklidisk	Hyperbolisk
	*332	*432	*532	*632	*732	*832 ...	*∞32
Kakel
Konf.	V (3.3) 2	V (3.4) 2	V (3.5) 2	V (3.6) 2	V (3.7) 2	V (3.8) 2	V (3.∞) 2

Kuben är ett fyrkantigt prisma :

Familj av enhetliga n -gonala prismor

• v
• t
• e

Prisma namn	Digonal prisma	(Trigonal) Triangulärt prisma	(Tetragonal) Fyrkantigt prisma	Pentagonal prisma	Sexkantigt prisma	Heptagonal prisma	Åttkantigt prisma	Enneagonal prisma	Dekagonalt prisma	Hendecagonal prisma	Dodekagonalt prisma	...	Apeirogonal prisma
Polyhedron bild												...
Sfärisk kakelbild												Plan kakelbild
Vertex -konfiguration.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	∞.4.4
Coxeter diagram												...

Som en trigonal trapezohedron är kuben relaterad till den sexkantiga dihedrala symmetrifamiljen.

Uniform hexagonal dihedral sfärisk polyeder
Symmetri : [6,2] , (*622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2*3)
{6,2}	t {6,2}	r {6,2}	t {2,6}	{2,6}	rr {6,2}	tr {6,2}	sr {6,2}	s {2,6}
Dubblar till uniformer
V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	V2 6	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Regelbundna och enhetliga kuberföreningar

Förening med tre kuber

Förening med fem kuber

I enhetliga bikakor och polychora

Det är ett element av 9 av 28 konvexa enhetliga honungskakor :

Kubisk honungskaka	Avkortad fyrkantig prismatisk honungskaka	Snub fyrkantig prismatisk honungskaka	Avlång triangulär prismatisk honungskaka	Gyroförlängd triangulär prismatisk honungskaka
Cantellated cubic honeycomb	Cantitruncated kubisk honungskaka	Runcitruncated kubisk honungskaka	Runkade alternerad kubisk honungskaka

Det är också ett element i fem fyrdimensionella enhetliga polychora :

Tesseract	Cantellated 16-cell	Runkad tesseract	Kantrerad 16-cell	Runcitruncated 16-cell

Kubisk graf

Kubisk graf
Döpt efter	Q 3
Hörn	8
Kanter	12
Radie	3
Diameter	3
Omkrets	4
Automorfismer	48
Kromatiskt tal	2
Egenskaper	Hamiltonian , regelbunden , symmetrisk , distans-regelbunden , distans-transitiv , 3-vertex-ansluten , bipartit , plan graf
Tabell över grafer och parametrar

Kubens skelett (hörn och kanter) bildar en graf med 8 hörn och 12 kanter. Det är ett specialfall av hyperkubdiagrammet . Det är en av 5 platoniska grafer , var och ett ett skelett av dess platoniska fasta .

En förlängning är den tredimensionella k -ary Hamming -grafen , som för k = 2 är kubdiagrammet. Grafer av detta slag förekommer i teorin om parallellbehandling i datorer.

Se även

• Pyramid
• Tesseract
• Trapezohedron

Referenser

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Cube" . MathWorld .
• Kub: Interaktiv polyhedermodell *
• Kubens volym , med interaktiv animering
• Cube (Robert Webbs webbplats)