Höger triangel - Right triangle

En rätvinklig triangel ( amerikansk engelska ) eller rätvinklig triangel ( brittisk ), eller mer formellt en vinkelrät triangel ( Ancient Greek : ὀρθόςγωνία , lit.  'upprätt vinkel), är en triangel där en vinkel är en rät vinkel (det vill säga , 90 graders vinkel). Förhållandet mellan sidorna och andra vinklar i den högra triangeln är grunden för trigonometri .

Den sida som är motsatt till den rätta vinkeln kallas hypotenusen (sida c i figuren). Sidorna intill den rätta vinkeln kallas ben (eller catheti , singular: cathetus ). Side en kan identifieras som den sida som gränsar till vinkeln B och motsatt till (eller tvärtom ) vinkeln A , medan sidan b är den sida som gränsar till vinkeln A och motsatt till vinkeln B .

Om längderna på alla tre sidorna i en höger triangel är heltal, sägs triangeln vara en pythagoreansk triangel och dess sidlängder är tillsammans kända som en pythagoreisk trippel .

Huvudfastigheter

Område

Som med vilken triangel som helst är ytan lika med hälften av basen multiplicerad med motsvarande höjd. I en höger triangel, om det ena benet tas som basen, är det andra höjden, så ytan på en rätt triangel är hälften av produkten från de två benen. Som en formel området T är

${\ displaystyle T = {\ tfrac {1} {2}} ab}$

där a och b är triangelns ben.

Om incircle är tangent till hypotenusan AB vid punkten P, så betecknar den halv omkretsen ( a + b + c ) / 2 som s , vi har PA = s - en och PB = s - b , och området ges förbi

${\ displaystyle T = {\ text {PA}} \ cdot {\ text {PB}} = (sa) (sb).}$

Denna formel gäller endast höger trianglar.

Höjder

Höjden på en höger triangel

Om en höjd dras från hörnet med rätt vinkel mot hypotenusen är triangeln uppdelad i två mindre trianglar som båda liknar originalet och därför liknar varandra. Från detta:

• Höjden till hypotenusen är det geometriska medelvärdet ( medelproportionen ) för hypotenusens två segment.
• Varje ben i triangeln är medelproportionen för hypotenusen och segmentet av hypotenusen som ligger intill benet.

I ekvationer,

${\ displaystyle \ displaystyle f^{2} = de,}$(detta är ibland känt som höger triangel höjd sats )

${\ displaystyle \ displaystyle b^{2} = ce,}$

${\ displaystyle \ displaystyle a^{2} = cd}$

där a , b , c , d , e , f är som visas i diagrammet. Således

${\ displaystyle f = {\ frac {ab} {c}}.}$

Dessutom är höjden till hypotenusen relaterad till benen i den högra triangeln av

${\ displaystyle {\ frac {1} {a^{2}}}+{\ frac {1} {b^{2}}} = {\ frac {1} {f^{2}}}.}$

För lösningar av denna ekvation i heltalsvärden för a, b, f och c , se här .

Höjden från båda benen sammanfaller med det andra benet. Eftersom dessa skär varandra vid högervinklad topp, sammanfaller höger triangelns ortocenter- skärningspunkten mellan dess tre höjder-med högervinklad topp.

Pythagoras sats

De Pythagoras sats anger att:

I vilken rätt triangel som helst är arean på kvadraten vars sida är hypotenusen (sidan motsatt den rätta vinkeln) lika med summan av områdena på rutorna vars sidor är de två benen (de två sidorna som möts i en rätt vinkel ).

Detta kan anges i ekvationsform som

${\ displaystyle \ displaystyle a^{2}+b^{2} = c^{2}}$

där c är hypotenusens längd, och a och b är längden på de återstående två sidorna.

Pythagoras tripplar är heltalsvärden för a, b, c som uppfyller denna ekvation.

Inradius och circumradius

Illustration av Pythagoras sats

Radien av incircle av en rätvinklig triangel med benen a och b och hypotenusan c är

${\ displaystyle r = {\ frac {a+bc} {2}} = {\ frac {ab} {a+b+c}}.}$

Omkretsens radie är halva längden av hypotenusan,

${\ displaystyle R = {\ frac {c} {2}}.}$

Således är summan av omkretsen och inradien halva summan av benen:

${\ displaystyle R+r = {\ frac {a+b} {2}}.}$

Ett av benen kan uttryckas i termer av inradius och det andra benet som

${\ displaystyle \ displaystyle a = {\ frac {2r (br)} {b-2r}}.}$

Karakteriseringar

En triangel ABC med sidor , semipermätare s , område T , höjd h motsatt den längsta sidan, circumradius R , inradius r , exradii r _a , r _b , r _c (tangent till a , b , c respektive) och medianer m _a , m _b , m _c är en rätt triangel om och bara om något av påståendena i följande sex kategorier är sant. Alla är naturligtvis också egenskaper hos en rätt triangel, eftersom karakteriseringar är ekvivalenser. ${\ displaystyle a \ leq b <c}$

Sidor och halvmätare

• ${\ displaystyle \ displaystyle a^{2}+b^{2} = c^{2} \ quad ({\ text {Pythagoras sats}})}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle (sa) (sb) = s (sc)}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle s = 2R+r.}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2} = 8R^{2}.}$

Vinklar

• A och B är komplementära .
• ${\ displaystyle \ displaystyle \ cos {A} \ cos {B} \ cos {C} = 0.}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle \ sin ^{2} {A}+\ sin ^{2} {B}+\ sin ^{2} {C} = 2.}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle \ cos ^{2} {A}+\ cos ^{2} {B}+\ cos ^{2} {C} = 1.}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle \ sin {2A} = \ sin {2B} = 2 \ sin {A} \ sin {B}.}$

Område

• ${\ displaystyle \ displaystyle T = {\ frac {ab} {2}}}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle T = r_ {a} r_ {b} = rr_ {c}}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle T = r (2R+r)}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle T = {\ frac {(2s-c)^{2} -c^{2}} {4}} = s (sc)}$
• ${\ displaystyle T = PA \ cdot PB,}$där P är cirkelns tangenspunkt vid den längsta sidan AB .

Inradius och exradii

• ${\ displaystyle \ displaystyle r = sc = (a+bc)/2}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle r_ {a} = sb = (a-b+c)/2}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle r_ {b} = sa = (-a+b+c)/2}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle r_ {c} = s = (a+b+c)/2}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle r_ {a}+r_ {b}+r_ {c}+r = a+b+c}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle r_ {a}^{2}+r_ {b}^{2}+r_ {c}^{2}+r^{2} = a^{2}+b^{2}+ c^{2}}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle r = {\ frac {r_ {a} r_ {b}} {r_ {c}}}.}$

Höjd och medianer

Höjden på en rätt triangel från dess rätta vinkel till dess hypotenusa är det geometriska medelvärdet av längden på segmenten som hypotenusen delas upp i. Använda Pythagoras sats på de tre trianglarna på sidorna ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) och ( s , h , q  ) ,
${\ displaystyle {\ begin {align} (p+q)^{2} \; \; & = \ quad r^{2} \; \; \,+\ quad s^{2} \\ p^{ 2} \! \!+\! 2pq \!+\! Q^{2} & = \ overbrace {p^{2} \! \!+\! H^{2}}+\ overbrace {h^{ 2} \! \!+\! Q^{2}} \\ 2pq \ quad \; \; \; & = 2h^{2} \; \ därför h \! = \! {\ Sqrt {pq}} \\\ end {align}}}$

• ${\ displaystyle \ displaystyle h = {\ frac {ab} {c}}}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle m_ {a}^{2}+m_ {b}^{2}+m_ {c}^{2} = 6R^{2}.}$
• Längden på en median är lika med omkretsen .
• Den kortaste höjden (den från hörnet med den största vinkeln) är det geometriska medelvärdet för linjesegmenten som den delar motsatt (längsta) sida i. Detta är rätt triangelhöjdssats .

Cirkel och cirkel

• Triangeln kan vara inskriven i en halvcirkel , med ena sidan som sammanfaller med hela diametern ( Thales sats ).
• Den circumcenter är mittpunkten av den längsta sidan.
• Den längsta sidan är en diameter av circumcircle ${\ displaystyle \ displaystyle (c = 2R).}$
• Cirkelcirkeln tangerar cirkeln med nio punkter .
• De orthocenter ligger på circumcircle.
• Avståndet mellan incentern och ortocentret är lika med .${\ displaystyle {\ sqrt {2}} r}$

Trigonometriska förhållanden

De trigonometriska funktionerna för spetsiga vinklar kan definieras som förhållanden mellan sidorna i en höger triangel. För en given vinkel kan en rätt triangel konstrueras med denna vinkel, och sidorna märkta motsatt, intill och hypotenusa med hänvisning till denna vinkel enligt definitionerna ovan. Dessa förhållanden mellan sidorna beror inte på den valda rätta triangeln, utan bara på den givna vinkeln, eftersom alla trianglar som är konstruerade på detta sätt är lika . Om motsatt sida, intilliggande sida och hypotenusa för en given vinkel a är märkta med O , A respektive H , är de trigonometriska funktionerna

${\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {O} {H}}, \, \ cos \ alpha = {\ frac {A} {H}}, \, \ tan \ alpha = {\ frac {O} {A}}, \, \ sec \ alpha = {\ frac {H} {A}}, \, \ cot \ alpha = {\ frac {A} {O}}, \, \ csc \ alpha = {\ frac {H} {O}}.}$

För uttryck för hyperboliska funktioner som förhållandet mellan sidorna i en högra triangel, se den hyperboliska triangeln i en hyperbolisk sektor .

Särskilda rätta trianglar

Värdena för de trigonometriska funktionerna kan utvärderas exakt för vissa vinklar med hjälp av rätt trianglar med speciella vinklar. Dessa inkluderar 30-60-90 triangeln som kan användas för att utvärdera de trigonometriska funktionerna för en multipel av π/6, och 45-45-90 triangeln som kan användas för att utvärdera de trigonometriska funktionerna för en multipel av π/4 .

Kepler triangel

Låt H , G och A vara det harmoniska medelvärdet , det geometriska medelvärdet och det aritmetiska medelvärdet av två positiva tal a och b med a > b . Om en höger triangel har benen H och G och hypotenus A , då

${\ displaystyle {\ frac {A} {H}} = {\ frac {A^{2}} {G^{2}}} = {\ frac {G^{2}} {H^{2}} } = \ phi \,}$

och

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = \ phi ^{3}, \,}$

var är det gyllene snittet Eftersom sidorna i denna högra triangel är i geometrisk progression är detta Kepler -triangeln . ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1+{\ sqrt {5}}} {2}}. \,}$

Thales sats

Median för en rät vinkel i en triangel

Thales sats säger att om A är någon punkt i cirkeln med diameter BC (utom B eller C själva) är ABC en rätt triangel där A är rätt vinkel. Det omvända säger att om en rätt triangel är inskriven i en cirkel så kommer hypotenusan att vara en cirkeldiameter. En följd är att hypotenusens längd är dubbelt så långt som avståndet från högervinkelpunkten till hypotenusens mittpunkt. Också mitten av cirkeln som omger en högra triangel är hypotenusens mittpunkt och dess radie är hälften av hypotenusens längd.

Medianer

Följande formler gäller för medianerna i en höger triangel:

${\ displaystyle m_ {a}^{2}+m_ {b}^{2} = 5m_ {c}^{2} = {\ frac {5} {4}} c^{2}.}$

Medianen på hypotenusan i en höger triangel delar triangeln i två likbent trianglar, eftersom medianen är lika med hälften av hypotenusen.

Medianerna m _a och m _b från benen tillfredsställer

${\ displaystyle 4c^{4}+9a^{2} b^{2} = 16m_ {a}^{2} m_ {b}^{2}.}$

Euler linje

I en höger triangel innehåller Euler-linjen medianen på hypotenusen-det vill säga den går genom både den rätvinklade vertexen och mittpunkten på sidan motsatt den vertexen. Detta beror på att den högra triangelns ortocenter, skärningspunkten mellan dess höjder, faller på den rätvinklade hörnet medan dess omkrets, skärningspunkten mellan dess vinkelräta bisektorer av sidor , faller på hypotenusens mittpunkt.

Ojämlikheter

I vilken rätt triangel som helst är cirkelns diameter mindre än halva hypotenusen, och starkare är den mindre än eller lika med hypotenusetiderna ${\ displaystyle ({\ sqrt {2}}-1).}$

I en högra triangel med ben a , b och hypotenus c ,

${\ displaystyle c \ geq {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} (a+b)}$

med jämlikhet endast i det likbent fallet.

Om höjden från hypotenusen betecknas h _c , då

${\ displaystyle h_ {c} \ leq {\ frac {\ sqrt {2}} {4}} (a+b)}$

med jämlikhet endast i det likbent fallet.

Övriga fastigheter

Om segment av längder p och q som kommer från toppunkt C trisekterar hypotenusen i segment med längd c /3, då

${\ displaystyle p^{2}+q^{2} = 5 \ vänster ({\ frac {c} {3}} \ höger)^{2}.}$

Den högra triangeln är den enda triangeln som har två, snarare än en eller tre, distinkta inskrivna rutor.

Med tanke på h > k . Låt h och k vara sidorna på de två inskrivna rutorna i en högra triangel med hypotenus c . Sedan

${\ displaystyle {\ frac {1} {c^{2}}}+{\ frac {1} {h^{2}}} = {\ frac {1} {k^{2}}}.}$

Dessa sidor och cirkelradien r är relaterade med en liknande formel:

${\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {1} {r}} =-{\ frac {1} {c}}+{\ frac {1} {h}}+{\ frac {1} {k}}. }$

Omkretsen för en högra triangel är lika med summan av radierna i cirkeln och de tre utkretsarna :

${\ displaystyle a+b+c = r+r_ {a}+r_ {b}+r_ {c}.}$

Se även

• Akuta och trubbiga trianglar (sneda trianglar)
• Spiral av Theodorus

Referenser

• Weisstein, Eric W. "Right Triangle" . MathWorld .
• {{cite book | title = A Text-Book of Geometry | first = GA | last = Wentworth | publisher = Ginn & Co. | year = 1895
• {{ höger triangelkalkylator} } Till sminkberäkning enkelt | 2021

| url = https://archive.org/details/atextbookgeomet10wentgoog}}

externa länkar

• Kalkylator för rätt trianglar
• Avancerad höger triangelräknare