Kvanttunnel - Quantum tunnelling

Del av en serie artiklar om
Kvantmekanik
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partiell} {\ partiell t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Schrödinger ekvation
Introduktion Ordlista Historia
Bakgrund Klassisk mekanik Gammal kvantteori Bra -ket -notation Hamiltonian Interferens
Grunder Komplementaritet Dekoherens Förveckling Energinivå Mått Icke -lokalitet Kvantnummer stat Superposition Symmetri Tunnel Osäkerhet Wave -funktion  ( kollaps )
Experiment Bells ojämlikhet Davisson – Germer Dubbelslits Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Leggett – Garg ojämlikhet Mach – Zehnder Popper Quantum suddgummi  ( försenat val ) Schrödingers katt Stern – Gerlach Wheelers försenade val
Formuleringar Översikt Heisenberg Samspel Matris Fas-utrymme Schrödinger Sum-over-histories (sökvägsintegral)
Ekvationer Dirac Klein – Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Tolkningar Översikt Bayesian Konsekventa historier köpenhamn de Broglie – Bohm Ensemble Dold-variabel Många världar Objektiv kollaps Kvantlogik Relationellt Transaktionellt
Avancerade ämnen Relativistisk kvantmekanik Kvantfältsteori Kvantinformationsvetenskap Kvantberäkning Kvantkaos Densitetsmatris Spridande teori Kvantstatistisk mekanik Kvantmaskininlärning
Forskare Aharonov klocka Blackett Bloch Bohm Bohr Född Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordanien Kramers Pauli lamm Landå Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

Quantum tunneling or tunneling (US) är det kvantmekaniska fenomenet där en vågfunktion kan sprida sig genom en potentiell barriär .

Överföringen genom barriären kan vara begränsad och beror exponentiellt på barriärhöjden och barriärbredden. Vågfunktionen kan försvinna på ena sidan och återkomma på andra sidan. Vågfunktionen och dess första derivat är kontinuerliga . I steady-state är sannolikhetsflödet i framåtriktningen rumsligt enhetligt. Ingen partikel eller våg går förlorad. Tunnelning sker med barriärer med tjocklek runt 1–3 nm och mindre.

Vissa författare identifierar också att vågfunktionen bara tränger in i barriären, utan överföring på andra sidan som en tunneleffekt. Kvanttunnel förutses inte av lagarna i klassisk mekanik där överstigande av en potentiell barriär kräver potentiell energi.

Kvanttunnel spelar en viktig roll i fysiska fenomen, såsom kärnfusion . Den har applikationer i tunneldioden , kvantberäkning och i skanningstunnelmikroskopet .

Effekten förutspåddes i början av 1900 -talet. Dess acceptans som ett allmänt fysiskt fenomen kom i mitten av århundradet.

Kvanttunnel beräknas skapa fysiska gränser för storleken på transistorerna som används i mikroelektronik , på grund av att elektroner kan tunnelera förbi för små transistorer.

Tunnel kan förklaras utifrån Heisenbergs osäkerhetsprincip genom att ett kvanteobjekt kan kallas en våg eller som en partikel i allmänhet. Med andra ord tillåter osäkerheten i den exakta platsen för ljuspartiklar dessa partiklar att bryta mot reglerna för klassisk mekanik och röra sig i rymden utan att passera den potentiella energibarriären.

Kvanttunnel kan vara en av mekanismerna för protonförfall .

Historia

Kvanttunnel utvecklades från studiet av radioaktivitet, som upptäcktes 1896 av Henri Becquerel . Radioaktivitet undersöktes vidare av Marie Curie och Pierre Curie , för vilka de fick Nobelpriset i fysik 1903. Ernest Rutherford och Egon Schweidler studerade dess natur, som senare verifierades empiriskt av Friedrich Kohlrausch . Idén om halveringstid och möjligheten att förutsäga förfall skapades av deras arbete.

1901 upptäckte Robert Francis Earhart en oväntad ledningsregim medan han undersökte ledningen av gaser mellan elektroder med nära avstånd med hjälp av Michelson -interferometern . JJ Thomson kommenterade att fyndet motiverade ytterligare utredning. 1911 och sedan 1914 mätte dåvarande doktoranden Franz Rother direkt stabila fältemissionsströmmar. Han använde Earharts metod för att kontrollera och mäta elektrodseparationen, men med en känslig plattforms galvanometer . År 1926 mätte Rother fältemissionsströmmarna i ett "hårt" vakuum mellan elektroder med nära avstånd .

Kvanttunnel uppmärksammades första gången 1927 av Friedrich Hund medan han beräknade marktillståndet för dubbelbrunnspotentialen . Leonid Mandelstam och Mikhail Leontovich upptäckte det självständigt samma år. De analyserade konsekvenserna av den då nya Schrödinger -vågekvationen .

Dess första tillämpning var en matematisk förklaring till alfa -förfall , som utvecklades 1928 av George Gamow (som var medveten om Mandelstam och Leontovichs fynd) och oberoende av Ronald Gurney och Edward Condon . De senare forskarna löste samtidigt Schrödinger-ekvationen för en modellkärnkraftspotential och härledde ett samband mellan partikelns halveringstid och utsläppsenergin som berodde direkt på den matematiska sannolikheten för tunnelering.

Efter att ha deltagit i ett Gamow -seminarium insåg Max Born att tunnlarna var allmänna. Han insåg att det inte var begränsat till kärnfysik , utan var ett generellt resultat av kvantmekanik som gällde många olika system. Kort därefter övervägde båda grupperna fallet med partiklar som tunnlar in i kärnan. Studien av halvledare och utvecklingen av transistorer och dioder ledde till godtagandet av elektrontunnel i fasta ämnen 1957. Leo Esaki , Ivar Giaever och Brian Josephson förutspådde tunneln av supraledande Cooper -par , för vilka de fick Nobelpriset i fysik 1973 . 2016 upptäcktes kvanttunneln av vatten .

Introduktion till konceptet

Spela media

Animation som visar tunneleffekten och dess tillämpning på en STM

Kvanttunnelning faller under kvantemekanikens område : studien av vad som händer i kvantskalan . Tunnel kan inte direkt uppfattas. Mycket av dess förståelse formas av den mikroskopiska världen, som klassisk mekanik inte kan förklara. För att förstå fenomenet kan partiklar som försöker resa över en potentiell barriär jämföras med en boll som försöker rulla över en kulle.

Kvantmekanik och klassisk mekanik skiljer sig åt i behandlingen av detta scenario. Klassisk mekanik förutspår att partiklar som inte har tillräckligt med energi för att klassiskt övervinna en barriär inte kan nå andra sidan. Således skulle en boll utan tillräcklig energi för att övervinna backen rulla tillbaka. En boll som saknar energi att tränga in i en vägg studsar tillbaka. Alternativt kan bollen bli en del av väggen (absorption).

Inom kvantmekanik kan dessa partiklar med liten sannolikhet tunnla till andra sidan och därmed korsa barriären. Bollen lånar på sätt och vis energi från sin omgivning för att korsa väggen. Den återbetalar sedan energin genom att göra de reflekterade elektronerna mer energiska än de annars skulle ha varit.

Anledningen till denna skillnad kommer från att behandla materia som att ha egenskaper hos vågor och partiklar . En tolkning av denna dualitet innefattar Heisenbergs osäkerhetsprincip , som definierar en gräns för hur exakt position och momentum för en partikel kan vara kända samtidigt. Detta innebär att inga lösningar har en sannolikhet på exakt noll (eller en), även om det kan närma sig oändligheten. Om till exempel beräkningen för dess position togs som en sannolikhet på 1, måste dess hastighet vara oändligt (en omöjlighet). Därför är sannolikheten för en given partikels existens på motsatta sidan av en mellanliggande barriär icke-noll, och sådana partiklar kommer att dyka upp på "andra" (ett semantiskt svårt ord i detta fall) i proportion till denna sannolikhet.

Tunnelproblemet

En simulering av ett vågpaket som inträffar på en potentiell barriär. I relativa enheter är barriärenergin 20, större än medelvågpaketets energi på 14. En del av vågpaketet passerar genom barriären.

Den vågfunktionen av en partikel sammanfattar allt som kan känt om ett fysiskt system . Därför analyserar problem inom kvantmekanik systemets vågfunktion. Med hjälp av matematiska formuleringar, såsom Schrödinger -ekvationen , kan vågfunktionen härledas. Kvadraten för det absoluta värdet för denna vågfunktion är direkt relaterad till sannolikhetsfördelningen för partikelns position, som beskriver sannolikheten för att partikeln är på en given plats. Ju bredare barriär och ju högre barriärenergi, desto lägre är sannolikheten för tunneling.

En enkel modell av en tunnelspärr, till exempel den rektangulära barriären , kan analyseras och lösas algebraiskt. I kanonisk fältteori beskrivs tunneln av en vågfunktion som har en amplitud som inte är noll inuti tunneln; men strömmen är noll där eftersom den relativa fasen av amplituden för den konjugerade vågfunktionen (tidsderivatet) är ortogonal mot den.

Simuleringen visar ett sådant system.

En elektron vågpaket riktad till en potentialbarriär. Observera den dunkla fläcken till höger som representerar tunnelelektroner.

Den andra illustrationen visar osäkerhetsprincipen vid arbetet. En våg träffar barriären; barriären tvingar den att bli högre och smalare. Vågen blir mycket mer avlokaliserad-den är nu på båda sidor om barriären, den är bredare på varje sida och lägre i maximal amplitud men lika i total amplitud. I båda illustrationerna orsakar lokaliseringen av vågen i rymden lokaliseringen av barriärens verkan i tid och sprider därmed vågens energi/momentum.

Problem i verkliga livet har ofta inte ett, så "semiklassiska" eller "kvasiklassiska" metoder har utvecklats för att erbjuda ungefärliga lösningar, till exempel WKB -approximation . Sannolikheter kan härledas med godtycklig precision, som begränsas av dataresurser, via Feynman : s bana integrerad metod. Sådan precision krävs sällan i ingenjörspraxis.

Dynamisk tunnel

Kvanttunnelsvängningar av sannolikhet i en integrerbar dubbel brunn av potential, sett i fasutrymme.

Begreppet kvanttunnel kan utvidgas till situationer där det finns en kvanttransport mellan regioner som klassiskt inte är anslutna även om det inte finns någon tillhörande potentiell barriär. Detta fenomen är känt som dynamisk tunneling.

Tunnel i fasrum

Begreppet dynamisk tunneling är särskilt lämpligt för att ta itu med problemet med kvanttunnel i höga dimensioner (d> 1). När det gäller ett integrerbart system , där avgränsade klassiska banor är begränsade till tori i fasutrymme , kan tunneling förstås som kvanttransport mellan semi-klassiska tillstånd byggda på två distinkta men symmetriska tori.

Kaosassisterad tunnel

Kaosassisterade tunnelsvängningar mellan två vanliga tori inbäddade i ett kaotiskt hav, sett i fasrum

I verkligheten är de flesta system inte integrerbara och uppvisar olika grader av kaos. Klassisk dynamik sägs sedan blandas och systemfasutrymmet består vanligtvis av öar med regelbundna banor omgivna av ett stort hav av kaotiska banor. Förekomsten av det kaotiska havet, där transport är klassiskt tillåtet, mellan de två symmetriska torierna hjälper sedan kvanttunneln mellan dem. Detta fenomen kallas kaosassisterad tunneling. och kännetecknas av skarpa resonanser av tunnelfrekvensen vid variation av någon systemparameter.

Resonansassisterad tunnel

När den är liten framför storleken på de vanliga öarna spelar den fina strukturen i det klassiska fasrummet en nyckelroll vid tunneldragning. I synnerhet är de två symmetriska torierna kopplade "via en rad klassiskt förbjudna övergångar över olinjära resonanser" som omger de två öarna. ${\ displaystyle \ hbar}$

Relaterade fenomen

Flera fenomen har samma beteende som kvanttunnel och kan beskrivas exakt genom tunnling. Exempel inkluderar tunnelering av en klassisk vågpartikelassociation, evanescent wave coupling (tillämpningen av Maxwells vågekvation till ljus ) och tillämpningen av den icke-dispersiva vågekvationen från akustik applicerad på "vågor på strängar" . Evanescent wave coupling, tills nyligen, kallades bara "tunneling" i kvantmekanik; nu används den i andra sammanhang.

Dessa effekter modelleras på samma sätt som den rektangulära potentialbarriären . I dessa fall, ett överföringsmedium genom vilket vågen fortplantar sig som är samma eller nästan densamma genomgående, och ett andra medium genom vilket vågen färdas annorlunda. Detta kan beskrivas som ett tunt område av medium B mellan två områden av medium A. Analysen av en rektangulär barriär med hjälp av Schrödinger -ekvationen kan anpassas till dessa andra effekter förutsatt att vågekvationen har vandringsvåglösningar i medium A men verkliga exponentiella lösningar i medium B.

Inom optik är medium A ett vakuum medan medium B är glas. Inom akustik kan medium A vara en vätska eller gas och medium B ett fast ämne. I båda fallen är medium A ett område i rymden där partikelns totala energi är större än dess potentiella energi och medium B är den potentiella barriären. Dessa har en inkommande våg och resulterande vågor i båda riktningarna. Det kan finnas fler medier och hinder, och hindren behöver inte vara diskreta. Approximations är användbara i detta fall.

Ansökningar

Tunnel är orsaken till några viktiga makroskopiska fysiska fenomen. Kvanttunnel har viktiga konsekvenser för nanoteknologins funktion .

Elektronik

Tunnel är en källa till strömläckage i mycket storskalig integrationselektronik (VLSI) och resulterar i de betydande kraftavtappnings- och uppvärmningseffekter som plågar sådana enheter. Det anses vara den nedre gränsen för hur mikroelektroniska enheter kan tillverkas. Tunnel är en grundläggande teknik som används för att programmera flashminnets flytande portar .

Kallt utsläpp

Kallemission av elektroner är relevant för halvledare och superledarfysik . Det liknar termjoniskt utsläpp , där elektroner slumpmässigt hoppar från ytan på en metall för att följa en spänningsförspänning eftersom de statistiskt slutar med mer energi än barriären, genom slumpmässiga kollisioner med andra partiklar. När det elektriska fältet är mycket stort blir barriären tillräckligt tunn för att elektroner kan tunnla ut ur atomtillståndet, vilket leder till en ström som varierar ungefär exponentiellt med det elektriska fältet. Dessa material är viktiga för flashminne , vakuumrör, liksom vissa elektronmikroskop.

Tunnelkorsning

En enkel barriär kan skapas genom att separera två ledare med en mycket tunn isolator . Detta är tunnelkorsningar, vars studie kräver förståelse för kvanttunnel. Josephson -korsningar drar nytta av kvanttunnel och superledningen hos vissa halvledare för att skapa Josephson -effekten . Detta har tillämpningar i precisionsmätningar av spänningar och magnetfält , liksom den multifunktionella solcellen .

Quantum-dot cellulär automat

QCA är en molekylär binär logisk syntesteknik som drivs av elektronövertunnelsystemet mellan öarna. Detta är en mycket låg effekt och snabb enhet som kan arbeta med en maximal frekvens på 15 PHz .

Tunneldiod

En arbetsmekanism för en resonant tunneldiodenhet , baserad på fenomenet kvanttunnel genom de potentiella barriärerna.

Dioder är elektriska halvledare som tillåter elektrisk ström att flöda i en riktning mer än den andra. Enheten är beroende av ett utarmningsskikt mellan halvledare av N-typ och P-typ för att tjäna sitt syfte. När dessa är starkt dopade kan utarmningsskiktet vara tillräckligt tunt för tunnling. När en liten förspänning tillämpas är strömmen på grund av tunnelering betydande. Detta har ett maximum vid den punkt där spänningsförspänningen är sådan att energinivån för p- och n -ledningsbanden är desamma. När spänningsförspänningen ökar, är de två ledningsbanden inte längre i linje och dioden verkar typiskt.

Eftersom tunnelströmmen sjunker snabbt kan tunneldioder skapas som har ett spänningsintervall för vilka ström minskar när spänningen ökar. Denna speciella egenskap används i vissa applikationer, till exempel höghastighetsanordningar där den karakteristiska tunnelsannolikheten ändras lika snabbt som förspänningen.

Den resonanta tunneldioden använder kvanttunnel på ett mycket annorlunda sätt för att uppnå ett liknande resultat. Denna diod har en resonansspänning för vilken mycket ström gynnar en viss spänning, uppnådd genom att placera två tunna lager med ett högenergikonduktansband nära varandra. Detta skapar en kvantpotentialbrunn som har en diskret lägsta energinivå . När denna energinivå är högre än elektronernas, inträffar ingen tunneling och dioden är i omvänd förspänning. När de två spänningsenergierna är i linje flyter elektronerna som en öppen tråd. När spänningen ökar ytterligare blir tunneln osannolik och dioden fungerar som en normal diod igen innan en andra energinivå blir märkbar.

Tunnelfält-effekt-transistorer

Ett europeiskt forskningsprojekt visade fälteffekttransistorer där grinden (kanalen) styrs via kvanttunnel snarare än genom termisk injektion, vilket reducerar grindspänningen från ≈1 volt till 0,2 volt och minskar strömförbrukningen med upp till 100 ×. Om dessa transistorer kan skalas upp till VLSI -chips , skulle de förbättra prestanda per effekt av integrerade kretsar .

Kärnfusion

Kvanttunnel är ett viktigt fenomen för kärnfusion. Temperaturen i stjärnornas kärnor är i allmänhet otillräcklig för att atomkärnor ska kunna övervinna Coulomb -barriären och uppnå termonukleär fusion . Kvanttunnel ökar sannolikheten för att tränga in i denna barriär. Även om denna sannolikhet fortfarande är låg är det extremt stora antalet kärnor i kärnan i en stjärna tillräckligt för att upprätthålla en stadig fusionsreaktion.

Radioaktivt avfall

Radioaktivt sönderfall är processen för utsläpp av partiklar och energi från en atoms instabila kärna för att bilda en stabil produkt. Detta görs via tunneln av en partikel ur kärnan (en elektrontunnel in i kärnan är elektroninsamling ). Detta var den första tillämpningen av kvanttunnel. Radioaktivt sönderfall är en relevant fråga för astrobiologi, eftersom denna konsekvens av kvanttunnel skapar en konstant energikälla över ett stort tidsintervall för miljöer utanför den cirkelstellar beboeliga zonen där insolering inte skulle vara möjlig ( underjordiska hav ) eller effektiv.

Astrokemi i interstellära moln

Genom att inkludera kvanttunnel kan de astrokemiska synteserna av olika molekyler i interstellära moln förklaras, såsom syntesen av molekylärt väte , vatten ( is ) och den prebiotiska viktiga formaldehyden .

Kvantbiologi

Kvanttunnel är bland de centrala icke-triviala kvanteffekterna inom kvantbiologi . Här är det viktigt både som elektrontunnel och protontunnel . Elektrontunnel är en nyckelfaktor i många biokemiska redoxreaktioner ( fotosyntes , cellulär andning ) samt enzymatisk katalys. Protontunnel är en nyckelfaktor vid spontan DNA -mutation.

Spontan mutation uppstår när normal DNA -replikation äger rum efter att en särskilt signifikant proton har tunnelerats. En vätebindning förenar DNA -baspar. En dubbel brunnspotential längs en vätebindning separerar en potentiell energibarriär. Man tror att den dubbla brunnspotentialen är asymmetrisk, med en brunn djupare än den andra så att protonen normalt vilar i den djupare brunnen. För att en mutation ska inträffa måste protonen ha tunnlar in i den grundare brunnen. Protonens rörelse från dess normala position kallas en tautomer övergång . Om DNA -replikation sker i detta tillstånd kan basparningsregeln för DNA äventyras och orsaka en mutation. Per-Olov Lowdin var den första som utvecklade denna teori om spontan mutation inom dubbelhelixen . Andra fall av kvanttunnelinducerade mutationer inom biologi tros vara en orsak till åldrande och cancer.

Kvantledningsförmåga

Medan Drude-Lorentz-modellen för elektrisk konduktivitet gör utmärkta förutsägelser om elektronernas ledning i metaller, kan den främjas genom att använda kvanttunnel för att förklara elektronens kollisioner. När ett fritt elektronvågspaket möter en lång uppsättning av jämnt åtskilda barriärer stör den reflekterade delen av vågpaketet enhetligt med det överförda mellan alla barriärer så att 100% överföring blir möjlig. Teorin förutsäger att om positivt laddade kärnor bildar en perfekt rektangulär array, kommer elektroner att tunnla genom metallen som fria elektroner, vilket leder till extremt hög konduktans , och att föroreningar i metallen kommer att störa den avsevärt.

Skanning tunnelmikroskop

Skanningstunnelmikroskopet (STM), som uppfanns av Gerd Binnig och Heinrich Rohrer , kan tillåta avbildning av enskilda atomer på ytan av ett material. Den fungerar genom att dra nytta av förhållandet mellan kvanttunnel och avstånd. När spetsen på STM: s nål bringas nära en ledningsyta som har en spänningsförspänning, mäter strömmen av elektroner som tunnlar mellan nålen och ytan avståndet mellan nålen och ytan. Genom att använda piezoelektriska stavar som ändras i storlek när spänning appliceras, kan spetsens höjd justeras för att hålla tunnelströmmen konstant. De tidsvarierande spänningarna som appliceras på dessa stavar kan registreras och användas för att avbilda ledarens yta. STM: er är exakta till 0,001 nm, eller cirka 1% av atomdiametern.

Kinetisk isotopeffekt

I kemisk kinetik leder substitutionen av en lätt isotop av ett element med ett tyngre typiskt till en långsammare reaktionshastighet. Detta tillskrivs i allmänhet skillnader i nollpunktsvibrationsenergierna för kemiska bindningar som innehåller de lättare och tyngre isotoperna och modelleras generellt med hjälp av övergångstillståndsteori . I vissa fall observeras dock stora isotopeffekter som inte kan redovisas genom en semiklassisk behandling, och kvanttunnel krävs. RP Bell utvecklade en modifierad behandling av Arrhenius kinetik som vanligtvis används för att modellera detta fenomen.

Snabbare än ljuset

Vissa fysiker har hävdat att det är möjligt för spin-zero-partiklar att färdas snabbare än ljusets hastighet vid tunnling. Detta strider tydligen mot kausalitetsprincipen , eftersom det sedan finns en referensram där partikeln kommer innan den har lämnat. År 1998 granskade Francis E. Low kortfattat fenomenet nolltidstunnel. Mer nyligen publicerades experimentella tunneltidsdata för fononer , fotoner och elektroner av Günter Nimtz .

Andra fysiker, som Herbert Winful , bestred dessa påståenden. Winful hävdade att vågpaketet av en tunnlingspartikel förökar sig lokalt, så en partikel kan inte tunnla genom barriären icke-lokalt. Winful hävdade också att de experiment som påstås visa icke-lokal förökning har misstolkats. I synnerhet mäter grupphastigheten för ett vågpaket inte dess hastighet, utan är relaterat till den tid som vågpaketet lagras i barriären. Men problemet kvarstår att vågfunktionen fortfarande stiger inne i barriären vid alla punkter samtidigt. Med andra ord, i varje region som är otillgänglig för mätning är icke-lokal spridning fortfarande matematiskt säker.

Ett experiment som gjordes 2020, övervakat av Aephraim Steinberg, visade att partiklar borde kunna tunnla med skenbara hastigheter snabbare än ljus.

Matematisk diskussion

Kvanttunnel genom en barriär. Energin för den tunnlade partikeln är densamma men sannolikhetsamplituden minskar.

Schrödinger -ekvationen

Den tidsoberoende Schrödinger-ekvationen för en partikel i en dimension kan skrivas som

${\ displaystyle -{\ frac {\ hbar^{2}} {2m}} {\ frac {d^{2}} {dx^{2}}} \ Psi (x)+V (x) \ Psi ( x) = E \ Psi (x)}$

eller

${\ displaystyle {\ frac {d^{2}} {dx^{2}}} \ Psi (x) = {\ frac {2m} {\ hbar^{2}}} \ vänster (V (x)- E \ höger) \ Psi (x) \ equiv {\ frac {2m} {\ hbar ^{2}}} M (x) \ Psi (x),}$

var

• ${\ displaystyle \ hbar}$är den reducerade Plancks konstant ,
• m är partikelmassan,
• x representerar avstånd mätt i partikelns rörelseriktning,
• Ψ är Schrödinger -vågfunktionen,
• V är partikelns potentiella energi (mätt i förhållande till en lämplig referensnivå),
• E är energin för partikeln som är associerad med rörelse i x-axeln (mätt i förhållande till V),
• M (x) är en kvantitet definierad av V (x) - E som inte har något accepterat namn inom fysiken.

Lösningarna i Schrödinger -ekvationen har olika former för olika värden på x, beroende på om M (x) är positivt eller negativt. När M (x) är konstant och negativ kan Schrödinger -ekvationen skrivas i formen

${\ displaystyle {\ frac {d^{2}} {dx^{2}}} \ Psi (x) = {\ frac {2m} {\ hbar^{2}}} M (x) \ Psi (x ) =-k^{2} \ Psi (x), \; \; \; \; \; \; \ mathrm {där} \; \; \; k^{2} =-{\ frac {2m} {\ hbar ^{2}}} M.}$

Lösningarna för denna ekvation representerar resande vågor, med fas -konstant + k eller - k . Alternativt, om M (x) är konstant och positiv, kan Schrödinger -ekvationen skrivas i formen

${\ displaystyle {\ frac {d^{2}} {dx^{2}}} \ Psi (x) = {\ frac {2m} {\ hbar^{2}}} M (x) \ Psi (x ) = {\ kappa}^{2} \ Psi (x), \; \; \; \; \; \; \ mathrm {där} \; \; \; {\ kappa}^{2} = {\ frac {2m} {\ hbar ^{2}}} M.}$

Lösningarna för denna ekvation är stigande och fallande exponentialer i form av svängande vågor . När M (x) varierar med position uppträder samma skillnad i beteende, beroende på om M (x) är negativt eller positivt. Därav följer att tecknet på M (x) bestämmer mediets beskaffenhet, med negativa M (x) som motsvarar medium A och positiva M (x) som motsvarar medium B. Det följer således att evanescent wave coupling kan uppstå om en region av positivt M (x) är inklämt mellan två regioner med negativt M (x), vilket skapar en potentiell barriär.

Matematiken för att hantera situationen där M (x) varierar med x är svår, förutom i speciella fall som vanligtvis inte motsvarar fysisk verklighet. En fullständig matematisk behandling visas i monografin från 1965 av Fröman och Fröman. Deras idéer har inte införlivats i fysikens läroböcker, men deras korrigeringar har liten kvantitativ effekt.

WKB -approximationen

Vågfunktionen uttrycks som exponentiell för en funktion:

${\ displaystyle \ Psi (x) = e^{\ Phi (x)}}$, var ${\ displaystyle \ Phi '' (x)+\ Phi '(x) ^{2} = {\ frac {2m} {\ hbar ^{2}}} \ vänster (V (x) -E \ höger). }$

${\ displaystyle \ Phi '(x)}$ delas sedan upp i verkliga och inbillade delar:

${\ displaystyle \ Phi '(x) = A (x)+iB (x)}$, där A (x) och B (x) är verkligt värderade funktioner.

Att ersätta den andra ekvationen med den första och använda det faktum att den imaginära delen måste vara 0 resulterar i:

${\ displaystyle A '(x)+A (x)^{2} -B (x)^{2} = {\ frac {2m} {\ hbar^{2}}} \ vänster (V (x)- E \ höger)}$.

Spela media

Tunneleffekt i fasrummet formulering av kvantmekaniken. Wigner -funktion för tunnling genom potentialbarriären i atomenheter (au). De heldragna linjerna representerar den inställda nivån av Hamiltonian .${\ displaystyle U (x) = 8e^{-0.25x^{2}}}$ ${\ displaystyle H (x, p) = p^{2}/2+U (x)}$

För att lösa denna ekvation med hjälp av den semiklassiska approximationen måste varje funktion utökas som en effektserie i . Från ekvationerna måste kraftserien börja med åtminstone en ordning för att tillfredsställa den verkliga delen av ekvationen; för en bra klassisk gräns som börjar med den högsta kraften i Plancks konstanta möjliga är att föredra, vilket leder till ${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle \ hbar ^{-1}}$

${\ displaystyle A (x) = {\ frac {1} {\ hbar}} \ sum _ {k = 0} ^{\ infty} \ hbar ^{k} A_ {k} (x)}$

och

${\ displaystyle B (x) = {\ frac {1} {\ hbar}} \ sum _ {k = 0} ^{\ infty} \ hbar ^{k} B_ {k} (x)}$,

med följande begränsningar för de lägsta ordervillkoren,

${\ displaystyle A_ {0} (x)^{2} -B_ {0} (x)^{2} = 2m \ vänster (V (x) -E \ höger)}$

och

${\ displaystyle A_ {0} (x) B_ {0} (x) = 0}$.

Vid denna tidpunkt kan två extrema fall övervägas.

Fall 1 Om amplituden varierar långsamt jämfört med fasen och ${\ displaystyle A_ {0} (x) = 0}$

${\ displaystyle B_ {0} (x) = \ pm {\ sqrt {2m \ left (EV (x) \ right)}}}$

som motsvarar klassisk rörelse. Löser nästa order av expansion ger

${\ displaystyle \ Psi (x) \ approx C {\ frac {e ^{i \ int dx {\ sqrt {{\ frac {2m} {\ hbar ^{2}}} \ vänster (EV (x) \ höger )}}+\ theta}} {\ sqrt [{4}] {{\ frac {2m} {\ hbar ^{2}}} \ vänster (EV (x) \ höger)}}}}}$

Fall 2

Om fasen varierar långsamt jämfört med amplituden, och${\ displaystyle B_ {0} (x) = 0}$

${\ displaystyle A_ {0} (x) = \ pm {\ sqrt {2m \ left (V (x) -E \ right)}}}$

vilket motsvarar tunneldragning. Löser nästa order av expansionen ger

${\ displaystyle \ Psi (x) \ approx {\ frac {C _ {+} e ^{+\ int dx {\ sqrt {{\ frac {2m} {\ hbar ^{2}}} \ vänster (V (x ) -E \ höger)}}}+C _ {-} e ^{-\ int dx {\ sqrt {{\ frac {2m} {\ hbar ^{2}}} \ vänster (V (x) -E \ höger)}}}} {\ sqrt [{4}] {{\ frac {2m} {\ hbar ^{2}}} \ vänster (V (x) -E \ höger)}}}}}$

I båda fallen framgår det av nämnaren att båda dessa ungefärliga lösningar är dåliga nära de klassiska vändpunkterna . Bort från den potentiella kullen verkar partikeln lik en fri och oscillerande våg; under den potentiella kullen genomgår partikeln exponentiella förändringar i amplitud. Genom att beakta beteendet vid dessa gränser och klassiska vändpunkter kan en global lösning göras. ${\ displaystyle E = V (x)}$

För att börja, en klassisk vändpunkt, väljs och utökas i en kraftserie om : ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle {\ frac {2m} {\ hbar ^{2}}} \ vänster (V (x) -E \ höger)}$${\ displaystyle x_ {1}}$

${\ displaystyle {\ frac {2m} {\ hbar ^{2}}} \ vänster (V (x) -E \ höger) = v_ {1} (x-x_ {1})+v_ {2} (x -x_ {1})^{2}+\ cdots}$

Att bara behålla den första orderordet säkerställer linearitet:

${\ displaystyle {\ frac {2m} {\ hbar ^{2}}} \ vänster (V (x) -E \ höger) = v_ {1} (x-x_ {1})}$.

Med denna approximation blir ekvationen nära en differentialekvation : ${\ displaystyle x_ {1}}$

${\ displaystyle {\ frac {d^{2}} {dx^{2}}} \ Psi (x) = v_ {1} (x-x_ {1}) \ Psi (x)}$.

Detta kan lösas med Airy -funktioner som lösningar.

${\ displaystyle \ Psi (x) = C_ {A} Ai \ vänster ({\ sqrt [{3}] {v_ {1}}} (x-x_ {1}) \ höger)+C_ {B} Bi \ vänster ({\ sqrt [{3}] {v_ {1}}} (x-x_ {1}) \ höger)}$

Med dessa lösningar för alla klassiska vändpunkter kan en global lösning bildas som länkar de begränsande lösningarna. Med tanke på de två koefficienterna på ena sidan av en klassisk vändpunkt kan de två koefficienterna på andra sidan av en klassisk vändpunkt bestämmas med hjälp av denna lokala lösning för att ansluta dem.

Därför kommer Airy -funktionslösningarna att asymptotera till sinus-, cosinus- och exponentiella funktioner inom rätt gränser. Förhållandena mellan och är ${\ displaystyle C, \ theta}$${\ displaystyle C _ {+}, C _ {-}}$

${\ displaystyle C _ {+} = {\ frac {1} {2}} C \ cos {\ vänster (\ theta -{\ frac {\ pi} {4}} \ höger)}}$

och

Kvanttunnel genom en barriär. Vid ursprunget (x = 0) finns det en mycket hög, men smal potentialbarriär. En betydande tunneleffekt kan ses.

${\ displaystyle C _ {-} =-C \ sin {\ vänster (\ theta-{\ frac {\ pi} {4}} \ höger)}}$

Med koefficienterna hittade kan den globala lösningen hittas. Därför är överföringskoefficienten för en partikeltunnel genom en enda potentialbarriär

${\ displaystyle T (E) = e^{-2 \ int _ {x_ {1}}^{x_ {2}} \ mathrm {d} x {\ sqrt {{\ frac {2m} {\ hbar^{ 2}}} \ vänster [V (x) -E \ höger]}}}}}$,

var är de två klassiska vändpunkterna för den potentiella barriären. ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$

För en rektangulär barriär förenklar detta uttryck till:

${\ displaystyle T (E) = e ^{-2 {\ sqrt {{\ frac {2m} {\ hbar ^{2}}} (V_ {0} -E)}} (x_ {2} -x_ { 1})} = {\ tilde {V}} _ {0}^{-(x_ {2} -x_ {1})}}}$.

Se även

• Dielektrisk barriärurladdning
• Fältelektronemission
• Holstein – sillmetod
• Protontunnel
• Superledande tunnelkorsning
• Tunneldiod
• Tunnelkorsning
• Kvantkloning
• Vitt hål

Referenser

Vidare läsning

• N. Fröman och P.-O. Fröman (1965). JWKB Approximation: Bidrag till teorin . Amsterdam: Nord-Holland.
• Razavy, Mohsen (2003). Quantum Theory of Tunneling . World Scientific. ISBN 978-981-238-019-7.
• Griffiths, David J. (2004). Introduktion till kvantmekanik (2: a uppl.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.
• James Binney och Skinner, D. (2010). The Physics of Quantum Mechanics: An Introduction (3: e upplagan). Cappella arkiv. ISBN 978-1-902918-51-8.
• Liboff, Richard L. (2002). Inledande kvantmekanik . Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-8714-8.
• Vilenkin, Alexander; Vilenkin, Alexander; Winitzki, Serge (2003). "Partikelskapande i ett tunnlingsuniversum". Physical Review D . 68 (2): 023520. arXiv : gr-qc/0210034 . Bibcode : 2003PhRvD..68b3520H . doi : 10.1103/PhysRevD.68.023520 . S2CID  118969589 .
• HJW Müller-Kirsten (2012). Introduktion till kvantmekanik: Schrödinger ekvation och vägintegral, andra upplagan . Singapore: World Scientific.

externa länkar

• Animation, applikationer och forskning kopplad till tunneleffekt och andra kvantfenomen (Université Paris Sud)
• Animerad illustration av kvanttunnel
• Animerad illustration av kvanttunnel i en RTD -enhet
• Interaktiv lösning av Schrodinger Tunnel Equation