Kraft av två - Power of two

Visualisering av befogenheter för två från 1 till 1024 (2 ⁰ till 2 ¹⁰ )

En effekt på två är ett tal i formen $2 n$ där $n$ är ett heltal , det vill säga resultatet av exponentiering med nummer två som bas och heltal $n$ som exponent .

I ett sammanhang där endast heltal betraktas är $n$ begränsad till icke-negativa värden, så vi har 1, 2 och 2 multiplicerat med sig själv ett visst antal gånger.

Eftersom två är basen för det binära siffrorsystemet , är tvåmakter vanliga inom datavetenskap . Skrivet i binär har en effekt på två alltid formen 100 ... 000 eller 0,00 ... 001, precis som en effekt på 10 i decimalsystemet .

Datavetenskap

Två till makt $n$ , skrivet som $2 n$ , är antalet sätt bitarna i ett binärt ord med längden $n$ kan ordnas. Ett ord, tolkat som ett osignerat heltal , kan representera värden från 0 ( $000 ... 000 2$ ) till $2 n - 1$ ( $111 ... 111 2$ ) inklusive. Motsvarande signerade heltalsvärden kan vara positiva, negativa och noll; se signerade nummerrepresentationer . Hur som helst är en mindre än en effekt på två ofta den övre gränsen för ett heltal i binära datorer. Som en följd av detta visas siffror i detta formulär ofta i datorprogramvara. Som ett exempel kan ett tv-spel som körs på ett 8-bitars system begränsa poängen eller antalet objekt som spelaren kan hålla till 255-resultatet av att använda en byte , som är 8 bitar lång , för att lagra numret, vilket ger en maxvärde $28 - 1 = 255$ . Till exempel, i den ursprungliga Legend of Zelda var huvudpersonen begränsad till att bära 255 rupier (spelets valuta) vid varje given tidpunkt, och tv-spelet Pac-Man har berömt en dödsskärm på nivå 256.

Två befogenheter används ofta för att mäta datorns minne. En byte anses nu vara åtta bitar (en oktett ), vilket resulterar i möjligheten till 256 värden (2 ⁸ ). (Begreppet byte innebar en gång (och i vissa fall betyder det fortfarande) en samling bitar , vanligtvis från 5 till 32 bitar, snarare än bara en 8-bitars enhet.) Prefixet kilo , tillsammans med byte , kan vara och har traditionellt varit, använt, att betyda 1 024 (2 ¹⁰ ). Dock i allmänhet, termen kilo har använts i den internationella enhetssystemet att betyda 1000 (10 ³ ). Binära prefix har standardiserats, till exempel kibi (Ki) som betyder 1 024. Nästan alla processorregister har storlekar på två, 32 eller 64 är mycket vanliga.

Två befogenheter förekommer också på en rad andra platser. För många hårddiskar är minst en av sektorns storlek, antal sektorer per spår och antal spår per yta en effekt på två. Den logiska blockstorleken är nästan alltid en effekt på två.

Siffror som inte är befogenheter för två förekommer i ett antal situationer, till exempel videoupplösningar, men de är ofta summan eller produkten av endast två eller tre befogenheter om två, eller befogenheter på två minus en. Till exempel $640 = 32 \times 20$ och $480 = 32 \times 15$ . Sagt på ett annat sätt, de har ganska vanliga bitmönster.

Mersenne och Fermat primtal

Ett primtal som är en mindre än en kraft på två kallas ett Mersenne -primtal . Till exempel är primtalet 31 en Mersenne -primtal eftersom det är 1 mindre än 32 (2 ⁵ ). På samma sätt kallas ett primtal (som 257 ) som är en mer än en positiv effekt på två, en Fermat -primtal - själva exponenten är en effekt av två. En bråkdel som har en kraft på två som nämnare kallas en dyadisk rationell . De tal som kan representeras som summor av på varandra följande positiva heltal kallas artiga tal ; de är exakt de siffror som inte är tvåmakter.

Euclids element , bok IX

Den geometriska progressionen 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (eller, i det binära numeriska systemet , 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, ...) är viktig i talteorin . Bok IX, proposition 36 av element visar att om summan av de första $n$ -termerna i denna progression är ett primtal (och därmed är en Mersenne -primtal som nämnts ovan), så är denna summa gånger $n:$ e termen ett perfekt tal . Till exempel summan av de första fem termerna i serien 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, vilket är ett primtal. Summan 31 multiplicerad med 16 (den femte termen i serien) är 496, vilket är ett perfekt tal.

Bok IX, proposition 35, visar att i en geometrisk serie om den första termen subtraheras från den andra och sista termen i sekvensen, så är överskottet av den andra till den första - så är överskottet av den sista till alla de före det. (Detta är en omformulering av vår formel för geometriska serier ovanifrån.) Tillämpa detta på den geometriska progressionen 31, 62, 124, 248, 496 (vilket resulterar från 1, 2, 4, 8, 16 genom att multiplicera alla termer med 31) , ser vi att 62 minus 31 är till 31 då 496 minus 31 är summan av 31, 62, 124, 248. Därför summeras siffrorna 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 och 248 till 496 och vidare är detta alla siffror som delar 496. För antar att $p$ delar 496 och det är inte bland dessa nummer. Antag att $p q$ är lika med $16 \times 31$ , eller 31 är till $q$ som $p$ är till 16. Nu kan $p$ inte dela 16 eller så skulle det vara bland siffrorna 1, 2, 4, 8 eller 16. Därför kan 31 inte dela $q$ . Och eftersom 31 inte delar $q$ och $q$ mäter 496, innebär aritmetikens grundläggande sats att $q$ måste dela 16 och vara bland siffrorna 1, 2, 4, 8 eller 16. Låt $q$ vara 4, då måste $p$ vara 124, vilket är omöjligt eftersom $p$ genom hypotes inte finns bland siffrorna 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 eller 248.

Tabell över värden

(sekvens A000079 i OEIS )

2 ⁰	=	1	2 ¹⁶	=	65 536	2 ³²	=	4,294,967,296	2 ⁴⁸	=	281 474 976 710 656	2 ⁶⁴	=	18 446 744 073 709 551 1616	2 ⁸⁰	=	1 208 925 819 614 629 174 706 176
2 ¹	=	2	2 ¹⁷	=	131072	2 ³³	=	8 589 934 592	2 ⁴⁹	=	562 949 953 421 312	2 ⁶⁵	=	36.893.488.147.419.103.232	2 ⁸¹	=	2 417 851 639 229 258 349 412 352
2 ²	=	4	2 ¹⁸	=	262,144	2 ³⁴	=	17 179 869 184	2 ⁵⁰	=	1 125 899 906 842 624	2 ⁶⁶	=	73 786 976 294 838 206 464	2 ⁸²	=	4,835,703,278,458,516,698,824,704
2 ³	=	8	2 ¹⁹	=	524,288	2 ³⁵	=	34 359 738 368	2 ⁵¹	=	2 251 799 813 685 248	2 ⁶⁷	=	147 573 955 589 676 412 928	2 ⁸³	=	9 671 406 556 917 033 397 649 408
2 ⁴	=	16	2 ²⁰	=	1 048 576	2 ³⁶	=	68 719 476 736	2 ⁵²	=	4.503.599.627.370.496	2 ⁶⁸	=	295,147,905,179,352,825,856	2 ⁸⁴	=	19,342,813,113,834,066,795,298,816
2 ⁵	=	32	2 ²¹	=	2 097 152	2 ³⁷	=	137 438 953 472	2 ⁵³	=	9 007 199 254 740 992	2 ⁶⁹	=	590 295 810 358 705 651 712	2 ⁸⁵	=	38.685.626.227.668.133.590.597.632
2 ⁶	=	64	2 ²²	=	4 194 304	2 ³⁸	=	274 877 906 944	2 ⁵⁴	=	18 014 398 509 481 984	2 ⁷⁰	=	1,180,591,620,717,411,303,424	2 ⁸⁶	=	77 371 252 455 336 267 181 195 264
2 ⁷	=	128	2 ²³	=	8 388 608	2 ³⁹	=	549 755 813 888	2 ⁵⁵	=	36 028 797 018 963 968	2 ⁷¹	=	2.361.183.241.434.822.606.848	2 ⁸⁷	=	154,742,504,910,672,534,362,390,528
2 ⁸	=	256	2 ²⁴	=	16 777 216	2 ⁴⁰	=	1 099 511 627 776	2 ⁵⁶	=	72 057 594 037 927 936	2 ⁷²	=	4,722,366,482,869,645,213,696	2 ⁸⁸	=	309.485.009.821.345.068.724.781.056
2 ⁹	=	512	2 ²⁵	=	33 554 432	2 ⁴¹	=	2 199 023 255 552	2 ⁵⁷	=	144,115,188,075,855,872	2 ⁷³	=	9 444 732 965 739 290 427 392	2 ⁸⁹	=	618,970,019,642,690,137,449,562,112
2 ¹⁰	=	1 024	2 ²⁶	=	67,108,864	2 ⁴²	=	4 398 046 511 104	2 ⁵⁸	=	288 230 376 151 711 744	2 ⁷⁴	=	18 889 465 931 478 580 854 784	2 ⁹⁰	=	1.237.940.039.285.380.274.899.124.224
2 ¹¹	=	2048	2 ²⁷	=	134 217 728	2 ⁴³	=	8,796,093,022,208	2 ⁵⁹	=	576.460.752.303.423.488	2 ⁷⁵	=	37 778 931 862 957 161 709 568	2 ⁹¹	=	2,475,880,078,570,760,549,798,248,448
2 ¹²	=	4 096	2 ²⁸	=	268 435 456	2 ⁴⁴	=	17 592 186 044 416	2 ⁶⁰	=	1.152.921.504.606.846.976	2 ⁷⁶	=	75,557,863,725,914,323,419,136	2 ⁹²	=	4,951,760,157,141,521,099,596,496,896
2 ¹³	=	8 192	2 ²⁹	=	536 870 912	2 ⁴⁵	=	35.184.372.088.832	2 ⁶¹	=	2.305.843.009.213.693.952	2 ⁷⁷	=	151 115 727 451 828 646 838 272	2 ⁹³	=	9 903 520 314 283 042 199 199 192 993 792
2 ¹⁴	=	16 384	2 ³⁰	=	1 073 741 824	2 ⁴⁶	=	70 368 744 177 664	2 ⁶²	=	4,611,686,018,427,387,904	2 ⁷⁸	=	302,231,454,903,657,293,676,544	2 ⁹⁴	=	19 807 040 628 566 084 398 385 987 584
2 ¹⁵	=	32 768	2 ³¹	=	2 147 483 648	2 ⁴⁷	=	140 737 488 355 328	2 ⁶³	=	9.223.372.036.854.775.808	2 ⁷⁹	=	604 462 909 807 314 587 353 088	2 ⁹⁵	=	39 614 081 257 132 168 796 771 975 168

Börjar med 2 är den sista siffran periodisk med period 4, med cykeln 2–4–8–6–, och från och med 4 är de två sista siffrorna periodiska med period 20. Dessa mönster gäller i allmänhet för varje effekt m.m. någon bas . Mönstret fortsätter där varje mönster har utgångspunkt $2 k$ , och perioden är multiplikativ ordning för 2 modulo $5 k$ , vilket är $φ (5 k) = 4 \times 5 k -1$ (se Multiplikativ grupp av heltal modulo n ).

Befogenheter från 1024

(sekvens A140300 i OEIS )

De första befogenheter 2 ¹⁰ är något större än dessa samma befogenheter 1000 (10 ³ ):

2 ⁰	=	1	= 1000 ⁰	(0% avvikelse)
2 ¹⁰	=	1024	≈ 1000 ¹	(2,4% avvikelse)
2 ²⁰	=	1048576	≈ 1000 ²	(4,9% avvikelse)
2 ³⁰	=	1 073 741 824	≈ 1000 ³	(7,4% avvikelse)
2 ⁴⁰	=	1099511627776	≈ 1000 ⁴	(10,0% avvikelse)
2 ⁵⁰	=	1 125 899 906842624	≈ 1000 ⁵	(12,6% avvikelse)
2 ⁶⁰	=	1 152 921 504 606 846 976	≈ 1000 ⁶	(15,3% avvikelse)
2 ⁷⁰	=	1180591620717411303424	≈ 1000 ⁷	(18,1% avvikelse)
2 ⁸⁰	=	1 208 925 819 614 629 174 706 176	≈ 1000 ⁸	(20,9% avvikelse)
2 ⁹⁰	=	1 237 940 039 285 380 274 899 124 224	≈ 1000 ⁹	(23,8% avvikelse)
2 ¹⁰⁰	=	1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376	≈ 1000 ¹⁰	(26,8% avvikelse)
2 ¹¹⁰	=	1 290 074 214 633 706 907 132 624 082 305 024	≈ 1000 ¹¹	(29,8% avvikelse)
2 ¹²⁰	=	1 329 227 995 784 915 872 903 807060 280344576	≈ 1000 ¹²	(32,9% avvikelse)
2 ¹³⁰	=	1 361 129 467 683 753 853 853 498 429727 072845824	≈ 1000 ¹³	(36,1% avvikelse)
2 ¹⁴⁰	=	1339796574908163946345982 3920405259412776	≈ 1000 ¹⁴	(39,4% avvikelse)
2 ¹⁵⁰	=	1 427 247 692 705 95988105288596944995136382746624	≈ 1000 ¹⁵	(42,7% avvikelse)

Två befogenheter vars exponenter är befogenheter för två

Eftersom data (specifikt heltal) och adresserna för data lagras med samma hårdvara och data lagras i en eller flera oktetter ( $23$ ), är dubbla exponentialer av två vanliga. Till exempel,

$n$	$2 n$	$2 2 n$ (sekvens A001146 i OEIS )
0	1	2
1	2	4
2	4	16
3	8	256
4	16	65 536
5	32	4,294,967,296
6	64	18, 446, 744, 073, 709, 551, 616 (20 siffror)
7	128	340, 282, 366, 920, 938, 463, 463, 374, 607, 431, 768, 211, 456 (39 siffror)
8	256	115, 792, 089, 237, 316, 195, 423, 570, 985, 008, 687, 907, 853, 269, 984, 665, 640, 564, 039, 457, 584, 007, 913, 129, 639, 936 (78 siffror)
9	512	13, 407, 807, 929, 942, 597, 099, 574, 024, 998, 205, 846, 127, 479, 365, 820, 592, 393, 377, 723, 561, 443, 721, 764, 030, 073, 546, 976, 801, 874, 298, 166, 903, 427 , 690, 031, 858, 186, 486, 050, 853, 753, 882, 811, 946, 569, 946, 433, 649, 006, 084, 096 (155 siffror)
10	1 024	179, 769, 313, 486, 231, 590, 772, 930, ..., 304, 835, 356, 329, 624, 224, 137, 216 (309 siffror)
11	2048	32, 317, 006, 071, 311, 007, 300, 714, 8 ..., 193, 555, 853, 611, 059, 596, 230, 656 (617 siffror)
12	4 096	1, 044, 388, 881, 413, 152, 506, 691, 75 ..., 243, 804, 708, 340, 403, 154, 190, 336 (1 234 siffror)
13	8 192	1, 090, 748, 135, 619, 415, 929, 462, 98 ..., 997, 186, 505, 665, 475, 715, 792, 896 (2 467 siffror)
14	16 384	1, 189, 731, 495, 357, 231, 765, 085, 75 ..., 460, 447, 027, 290, 669, 964, 066, 816 (4 933 siffror)
15	32 768	1, 415, 461, 031, 044, 954, 789, 001, 55 ..., 541, 122, 668, 104, 633, 712, 377, 856 (9 865 siffror)
16	65 536	2, 003, 529, 930, 406, 846, 464, 979, 07 ..., 339, 445, 587, 895, 905, 719, 156, 736 (19 729 siffror)
17	131072	4, 014, 132, 182, 036, 063, 039, 166, 06 ..., 850, 665, 812, 318, 570, 934, 173, 696 (39457 siffror)
18	262,144	16, 113, 257, 174, 857, 604, 736, 195, 7 ..., 753, 862, 605, 349, 934, 298, 300, 416 (78 914 siffror)

Flera av dessa nummer representerar antalet värden som kan representeras med vanliga datatyper . Till exempel, kan ett 32-bitars ord som består av 4 byte representerar $232$ distinkta värden, som antingen kan betraktas som rena bit-mönster, eller är mer allmänt tolkas som de osignerade siffror från 0 till $två 32 - en$ , eller som intervall av signerade nummer mellan $-2 31$ och $231 - 1$ . Se även tetration och lägre hyperoperationer . För mer om att representera signerade nummer se tvås komplement .

I samband med nimbers kallas dessa nummer ofta Fermat 2-powers .

Siffrorna bildar en irrationell sekvens : för varje sekvens av positiva heltal , serien ${\ displaystyle 2^{2^{n}}}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{\ infty} {\ frac {1} {2^{2^{i}} x_ {i}}} = {\ frac {1} {2x_ {0} }}+{\ frac {1} {4x_ {1}}}+{\ frac {1} {16x_ {2}}}+\ cdots}

konvergerar till ett irrationellt tal . Trots den snabba tillväxten av denna sekvens är den den långsammast växande irrationella sekvensen som är känd.

Två valda befogenheter

2 ⁸ = 256: Antalet värden representerade av de 8 bitarna i en byte , mer specifikt benämnd som en oktett . (Begreppet byte definieras ofta som en samling bitar snarare än den strikta definitionen av en 8-bitars mängd, vilket visas av termen kilobyte .)
2 ¹⁰ = 1 024: Den binära approximationen av kilo- , eller 1000 multiplikatorn, vilket orsakar en ändring av prefixet. Till exempel: 1 024 byte = 1 kilobyte (eller kibibyte ).
2 ¹² = 4096: Hårdvaran sidan storleken på en Intel x86 -kompatibel processor.
2 ¹⁵ = 32 768: Antalet icke-negativa värden för ett signerat 16-bitars heltal.
2 ¹⁶ = 65 536: Antalet distinkta värden som kan representeras i ett enda ord på en 16-bitars processor, till exempel de ursprungliga x86- processorerna.; Det maximala intervallet för en kort heltalsvariabel i programmeringsspråken C# och Java . Det maximala intervallet för en Word- eller Smallint -variabel i programmeringsspråket Pascal .; Antalet binära relationer på en uppsättning med 4 element.
2 ²⁰ = 1 048 576: Den binära approximationen av mega- , eller 1 000 000 multiplikatorn, vilket orsakar en ändring av prefixet. Till exempel: 1 048 576 byte = 1 megabyte (eller mebibyte ).
2 ²⁴ = 16 777 216: Antalet unika färger som kan visas i truecolor , som används av vanliga datorskärmar .; Detta nummer är resultatet av att använda tre-kanals RGB- systemet, med 8 bitar för varje kanal, eller 24 bitar totalt.; Storleken på det största osignerade heltalet eller adressen i datorer med 24-bitars register eller databussar.
2 ²⁹ = 536 870 912: Den största kraften av två med tydliga siffror i bas tio.
2 ³⁰ = 1 073 741 824: Den binära approximationen av giga- , eller 1 000 000 000 multiplikatorn, vilket orsakar en ändring av prefixet. Till exempel 1 073 741 824 byte = 1 gigabyte (eller gibibyte ).
2 ³¹ = 2 147 483 648: Antalet icke-negativa värden för ett signerat 32-bitars heltal. Eftersom Unix-tiden mäts i sekunder sedan 1 januari 1970 kommer den att ta slut vid 2 147 483 647 sekunder eller 03:14:07 UTC tisdagen den 19 januari 2038 på 32-bitars datorer som kör Unix, ett problem som kallas år 2038-problemet .
2 ³² = 4 294 967 296: Antalet distinkta värden som kan representeras i ett enda ord på en 32-bitars processor. Eller antalet värden som kan representeras i ett dubbelord på en 16-bitars processor, till exempel de ursprungliga x86- processorerna.; Intervallet för en intvariabel i programmeringsspråken Java och C# .; Området för en Cardinaleller Integervariabel i programmeringsspråket Pascal .; Minsta intervall för en lång heltalsvariabel i programmeringsspråken C och C ++ .; Det totala antalet IP -adresser under IPv4 . Även om detta är ett till synes stort antal, är uttömning av IPv4 -adress överhängande.; Antalet binära operationer med domän lika med alla 4-elementuppsättningar, till exempel GF (4).
2 ⁴⁰ = 1 099 511 627 776: Den binära approximationen av tera- , eller 1 000 000 000 000 multiplikatorn, vilket orsakar en ändring av prefixet. Till exempel 1 099 511 627 776 byte = 1 terabyte (eller tebibyte ).
2 ⁵⁰ = 1 125 899 906 842 624: Den binära approximationen av peta- , eller 1 000 000 000 000 000 multiplikator. 1 125 899 906 842 624 byte = 1 petabyte (eller pebibyte ).
2 ⁵³ = 9,007,199,254,740,992: Antalet till vilket alla heltalsvärden exakt kan representeras i IEEE dubbel precision flytande punktformat . Också den första kraften på 2 som börjar med siffran 9 i decimal.
2 ⁵⁶ = 72 057 594 037 927 936: Antalet olika möjliga nycklar i den föråldrade 56 -bitars DES symmetriska chiffer.
2 ⁶⁰ = 1.152.921.504.606.846.976: Den binära approximationen av exa- eller 1 000 000 000 000 000 000 multiplikator. 1,152,921,504,606,846,976 byte = 1 exabyte (eller exbibyt ).
2 ⁶³ = 9.223.372.036.854.775.808: Antalet icke-negativa värden för ett signerat 64-bitars heltal.
2 ⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 1616: Antalet distinkta värden som kan representeras i ett enda ord på en 64-bitars processor. Eller antalet värden som kan representeras i ett dubbelord på en 32-bitars processor. Eller antalet värden som kan representeras i ett quadword på en 16-bitars processor, till exempel de ursprungliga x86- processorerna.; Räckvidden för en lång variabel i programmeringsspråken Java och C# .; Området för en Int64- eller QWord -variabel i programmeringsspråket Pascal .; Det totala antalet IPv6 -adresser som vanligtvis ges till ett enda LAN eller delnät.; En mer än antalet riskorn på en schackbräda, enligt den gamla historien , där den första rutan innehåller ett riskorn och varje efterföljande kvadrat dubbelt så många som det föregående torget. Av denna anledning är siffran 2 ⁶⁴ - 1 känd som "schacknummer".; 2 ^64-1 är också antalet drag som krävs för att slutföra den legendariska 64-skivversionen av Tower of Hanoi .
2 ⁶⁸ = 295,147,905,179,352,825,856: Den första kraften på 2 som innehåller alla decimaler. (sekvens A137214 i OEIS )
2 ⁷⁰ = 1 180 591 620 717 411 303 424: Den binära approximationen av zetta- eller 1 000 000 000 000 000 000 000 multiplikator. 1,180,591,620,717,411,303,424 byte = 1 zettabyte (eller zebibyte ).
2 ⁸⁰ = 1 208 925 819 614 629 174 706 176: Den binära approximationen av yotta- eller 1 000 000 000 000 000 000 000 000 multiplikator. 1,208,925,819,614,629,174,706,176 byte = 1 yottabyte (eller yobibyte ).
2 ⁸⁶ = 77,371,252,455,336,267,181,195,264: 2 ⁸⁶ antas vara den största makten av två som inte innehåller noll i decimal.
2 ⁹⁶ = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,336: Det totala antalet IPv6 -adresser som vanligtvis ges till ett lokalt internetregister . I CIDR- notering ges ISP: erna a / 32 , vilket innebär att 128-32 = 96 bitar är tillgängliga för adresser (till skillnad från nätverksbeteckning). Således 2 ⁹⁶ adresser.
2 ¹⁰⁸ = 324 518 553 658 426 726 783 156 020 576 256: Den största kända effekten på 2 som inte innehåller 9 i decimal. (sekvens A035064 i OEIS )
2 ¹²⁶ = 85,070,591,730,234,615,865,843,651,857,942,052,864: Den största kända effekten på 2 som inte innehåller ett par på varandra följande lika siffror. (sekvens A050723 i OEIS )
2 ¹²⁸ = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456: Det totala antalet IP -adresser som är tillgängliga under IPv6 . Även antalet distinkta universellt unika identifierare (UUID) .
2 ¹⁶⁸ = 374 144 419 156 711 147 060 143 317 175 368 453 031 918 731 001 856: Den största kända effekten på 2 som inte innehåller alla decimaler (siffran 2 saknas i detta fall). (sekvens A137214 i OEIS )
2 ¹⁹² = 6,277,101,735,386,680,763,835,789,423,207,666,416,102,355,444,464,034,512,896: Det totala antalet olika möjliga nycklar i AES 192-bitars nyckelutrymme (symmetrisk chiffer).
2 ²²⁹ = 862 718 293 348 820 473 429 344 482 784 628 181 556 388 621 521 298 319 395 315 527 974 912: 2 ²²⁹ är den största kända effekten av två som innehåller det minsta antalet nollor i förhållande till dess effekt. Det förmodas av Metin Sariyar att varje siffra 0 till 9 är benägen att visas lika många gånger i decimalutvidgningen av två när effekten ökar. (sekvens A330024 i OEIS )
2 ²⁵⁶ = 115792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936: Det totala antalet olika möjliga nycklar i AES 256-bitars nyckelutrymme (symmetrisk chiffer).
2 ³³³ = 17,498,005,798,264,095,394,980,017,816,940,970,922,825,355,447,145,699,491,406,164,851,279,623,993,595,007,385,788,105,416,184,430,592: Den minsta effekten på 2 större än en googol (10 ¹⁰⁰ ).
2 ¹⁰²⁴ = 179,769,313,486,231,590,772,931, ..., 304,835,356,329,624,224,137,216: Det maximala antalet som får plats i ett IEEE -format med flytande punkter med dubbla precisioner , och därmed det maximala antalet som kan representeras av många program, till exempel Microsoft Excel .
2 ^82,589,933 = 148,894,445,742,041, ..., 210,325,217,902,592: Ett mer än det största kända primtalet i december 2018. Det har mer än 24 miljoner siffror.

Övriga fastigheter

Eftersom varje måttökning ökar antalet former, är summan av koefficienter på varje rad i Pascals triangel en effekt av två

Summan av makter av två från noll till en given effekt, inklusive, är 1 mindre än nästa effekt av två, medan summan av makter av två från minus-oändlighet till en given effekt, inklusive, är lika med nästa effekt av två

Summan av alla $n$ -valda binomialkoefficienter är lika med $2 n$ . Tänk på uppsättningen av alla $n$ -siffriga binära heltal. Dess kardinalitet är $2 n$ . Det är också summan av kardinaliteterna för vissa delmängder: delmängden av heltal utan 1: or (bestående av ett enda tal, skrivet som $n$ 0s), delmängden med en enda 1, delmängden med två 1: or, och så vidare upp till delmängden med $n$ 1s (bestående av talet skrivet som $n$ 1s). Var och en av dessa är i sin tur lika med binomialkoefficienten som indexeras av $n$ och antalet 1s som övervägs (till exempel finns det 10-välj-3 binära tal med tio siffror som innehåller exakt tre 1s).

För närvarande är krafter på två de enda kända nästan perfekta siffrorna .

Antalet hörn för en $n$ -dimensionell hyperkub är $2 n$ . På samma sätt är antalet $(n$ -1 $)$ -ytor för en $n$ -dimensionell tvärpolytop också $2 n$ och formeln för antalet $x$ -ytor som en $n$ -dimensionell tvärpolytop har är ${\ displaystyle 2^{x} {\ tbinom {n} {x}}.}$

Den summan av de reciproka av potenser av två är en . Den summan av reciprocals av de kvadrerade befogenheter två är 1/3.

Den minsta naturliga kraften av två vars decimalrepresentation börjar med 7 är

{\ displaystyle 2^{46} = 70 \ 368 \ 744 \ 177 \ 664.}

Varje effekt på 2 (exklusive 1) kan skrivas som summan av fyra kvadrattal på 24 sätt . 2 -krafterna är de naturliga siffrorna större än 1 som kan skrivas som summan av fyra kvadrattal på de få sätten.

Languages

In other projects