Euklids element -Euclid's Elements

Element
Titelsida för Sir Henry Billingsleys första engelska version av Euclid's Elements, 1570 (560x900) .jpg
Den fronte Sir Henry Billingsley första engelska versionen av Euklides Elements , 1570
Författare Euklid
Språk Forntida grekiska
Ämne Euklidisk geometri , elementär talteori , ojämförliga linjer
Genre Matematik
Publiceringsdatum
c. 300 f.Kr.
Sidor 13 böcker

Den Elements ( Ancient Greek : Στοιχεῖον Stoikheîon ) är en matematisk avhandling består av 13 böcker som tillskrivs den antika grekiska matematikern Euklides i Alexandria , Ptolemaic Egypten c. 300 f.Kr. Det är en samling definitioner, postulat , propositioner ( satser och konstruktioner ) och matematiska bevis på propositionerna. Böckerna täcker plan och solid euklidisk geometri , elementär talteori och ovärderliga linjer. Elements är den äldsta nuvarande storskaliga deduktiva behandlingen av matematik . Det har visat sig vara avgörande för utvecklingen av logik och modern vetenskap , och dess logiska strikthet överträffades inte förrän på 1800 -talet.

Euclids element har kallats den mest framgångsrika och inflytelserika läroboken som någonsin skrivits. Det var ett av de tidigaste matematiska verken som trycktes efter tryckpressens uppfinning och har beräknats vara näst efter Bibeln i antalet utgåvor som publicerades sedan den första tryckningen 1482, och antalet nått långt över tusen . I århundraden, när quadrivium ingick i läroplanen för alla universitetsstudenter, krävdes kunskap om åtminstone en del av Euklids element av alla studenter. Först på 1900 -talet, då dess innehåll universellt undervisades genom andra skolböcker, upphörde det att betraktas som något alla utbildade människor hade läst.

Geometri framstod som en oumbärlig del av den engelska herrens standardutbildning på artonhundratalet; vid den viktorianska perioden blev det också en viktig del av utbildningen av hantverkare, barn på styrelseskolor, koloniala ämnen och, i mindre grad, kvinnor. Standardboken för detta ändamål var ingen mindre än Euclids The Elements .

Historia

Ett fragment av Euklides element på en del av Oxyrhynchus papyri

Grund i tidigare arbete

En belysning från ett manuskript baserat på Adelard of Baths översättning av elementen , c. 1309–1316; Adelards är den äldsta överlevande översättningen av elementen till latin, gjord i 1100-talets arbete och översatt från arabiska.

Forskare tror att elementen till stor del är en sammanställning av propositioner baserade på böcker av tidigare grekiska matematiker.

Proclus (412–485 e.Kr.), en grekisk matematiker som levde omkring sju århundraden efter Euklid, skrev i sin kommentar till elementen : "Euklid, som sammanställde elementen , samlade många av Eudoxus 'satser och fulländade många av Theaetetos , och också att föra fram till irrebragabel demonstration de saker som bara något löst bevisades av hans föregångare ".

Pythagoras (ca 570–495 f.Kr.) var förmodligen källan till de flesta böckerna I och II, Hippokrates of Chios (c. 470–410 BC, inte den mer kända Hippocrates of Kos ) för bok III och Eudoxus av Cnidus (c. 408–355 f.Kr.) för bok V, medan böckerna IV, VI, XI och XII förmodligen kom från andra pythagoreanska eller atenska matematiker. Den Elements kan ha baserats på tidigare lärobok av Hippokrates av Chios, som också kan ha sitt ursprung användning av bokstäver för att hänvisa till figurer.

Överföring av texten

Under det fjärde århundradet e.Kr. producerade Theon of Alexandria en upplaga av Euklid som användes så mycket att den blev den enda källan som överlevde tills François Peyrards upptäckt 1808 i Vatikanen av ett manuskript som inte härstammar från Theons. Detta manuskript, Heiberg -manuskriptet, är från en bysantinsk verkstad runt 900 och ligger till grund för moderna utgåvor. Papyrus Oxyrhynchus 29 är ett litet fragment av ett ännu äldre manuskript, men innehåller bara uttalandet av ett förslag.

Även om det är känt för Cicero , existerar det till exempel inte att texten har översatts till latin före Boethius under femte eller sjätte århundradet. Araberna tog emot elementen från bysantinerna runt 760; denna version översattes till arabiska under Harun al Rashid c. 800. Den bysantinske forskaren Arethas beställde kopieringen av ett av de nuvarande grekiska manuskripten av Euklides i slutet av 800 -talet. Även om de var kända i Bysantium förlorades elementen för Västeuropa fram till omkring 1120, då den engelska munken Adelard av Bath översatte det till latin från en arabisk översättning.

Euclidis - Elementorum libri XV Paris, Hieronymum de Marnef & Guillaume Cavelat, 1573 (andra upplagan efter 1557 utg.); i 8: 350, (2) s. THOMAS – STANFORD, tidiga utgåvor av Euklids element , nr 32. Nämns i TL Heaths översättning. Privat samling Hector Zenil.

Den första tryckta upplagan visades 1482 (baserat på Campanus of Novaras upplaga 1260), och sedan dess har den översatts till många språk och publicerats i cirka tusen olika upplagor. Theons grekiska utgåva återfanns 1533. År 1570 gav John Dee ett mycket respekterat "matematiskt förord", tillsammans med rikliga anteckningar och kompletterande material, till den första engelska upplagan av Henry Billingsley .

Kopior av den grekiska texten finns fortfarande, varav några finns i Vatikanbiblioteket och Bodleian -biblioteket i Oxford. De tillgängliga handskrifterna har varierande kvalitet och är alltid ofullständiga. Genom noggrann analys av översättningarna och originalen har hypoteser gjorts om innehållet i originaltexten (kopior av dessa är inte längre tillgängliga).

Forntida texter som hänvisar till själva elementen och till andra matematiska teorier som var aktuella vid den tidpunkt det skrevs, är också viktiga i denna process. Sådana analyser utförs av JL Heiberg och Sir Thomas Little Heath i deras utgåvor av texten.

Också av betydelse är scholia eller kommentarer till texten. Dessa tillägg, som ofta skilde sig från huvudtexten (beroende på manuskriptet), ackumulerades gradvis över tiden när åsikterna varierade om vad som var värt att förklara eller ytterligare studier.

Inflytande

En sida med marginalia från den första tryckta upplagan av Elements , tryckt av Erhard Ratdolt 1482

Den Elements fortfarande betraktas som ett mästerverk i tillämpningen av logik till matematik . I historiskt sammanhang har det visat sig enormt inflytelserikt inom många vetenskapsområden . Forskarna Nicolaus Copernicus , Johannes Kepler , Galileo Galilei , Albert Einstein och Sir Isaac Newton påverkades alla av elementen och tillämpade sin kunskap om det på sitt arbete. Matematiker och filosofer, som Thomas Hobbes , Baruch Spinoza , Alfred North Whitehead och Bertrand Russell , har försökt skapa sina egna grundläggande "element" för sina respektive discipliner, genom att anta de axiomatiserade deduktiva strukturer som Euclids arbete introducerade.

Den strama skönheten i den euklidiska geometrin har av många i västerländsk kultur setts som en glimt av ett andra världsligt system av perfektion och säkerhet. Abraham Lincoln förvarade en kopia av Euclid i sin sadelväska och studerade den sent på kvällen med lampa; han berättade att han sa till sig själv: "Du kan aldrig göra advokat om du inte förstår vad demonstrera betyder; och jag lämnade min situation i Springfield, gick hem till min fars hus och stannade där tills jag kunde ge något förslag i sex Euklides böcker vid syn ". Edna St. Vincent Millay skrev i sin sonett " Euklid ensam har tittat på Beauty bare ", "O bländande timme, o heliga, fruktansvärda dag, när först skaftet i hans syn lyste av ljus anatomiserat!". Albert Einstein erinrade om en kopia av elementen och en magnetkompass som två gåvor som hade stort inflytande på honom som pojke, med hänvisning till Eukliden som den "heliga lilla geometriboken".

Elementens framgång beror främst på dess logiska presentation av de flesta matematiska kunskaper som finns tillgängliga för Euklid. Mycket av materialet är inte original för honom, även om många av bevisen är hans. Euklids systematiska utveckling av sitt ämne, från en liten uppsättning axiom till djupa resultat, och konsistensen i hans tillvägagångssätt genom elementen , uppmuntrade emellertid dess användning som en lärobok i cirka 2000 år. Den Elements fortfarande påverkar moderna geometri böcker. Dessutom förblir dess logiska, axiomatiska tillvägagångssätt och rigorösa bevis grunden för matematiken.

I modern matematik

En av de mest anmärkningsvärda inflytandena från Euklid på modern matematik är diskussionen om det parallella postulatet . I bok I listar Euklid fem postulat, varav den femte anger

Om ett linjesegment skär två raka linjer som bildar två inre vinklar på samma sida som summerar till mindre än två rätvinklar , möts de två linjerna, om de förlängs på obestämd tid, på den sida på vilken vinklarna summeras till mindre än två rätvinklar.

De olika versionerna av det parallella postulatet resulterar i olika geometrier.

Detta postulat plågade matematiker i århundraden på grund av dess uppenbara komplexitet jämfört med de andra fyra postulaten. Många försök gjordes för att bevisa det femte postulatet baserat på de andra fyra, men de lyckades aldrig. Så småningom 1829 publicerade matematikern Nikolai Lobachevsky en beskrivning av akut geometri (eller hyperbolisk geometri ), en geometri som antog en annan form av parallellpostulatet. Det är faktiskt möjligt att skapa en giltig geometri utan det femte postulatet helt eller med olika versioner av det femte postulatet ( elliptisk geometri ). Om man tar det femte postulatet som givet är resultatet euklidisk geometri .

Innehåll

  • Bok 1 innehåller 5 postulat (inklusive det berömda parallella postulatet ) och 5 vanliga föreställningar, och täcker viktiga ämnen inom plangeometri som Pythagoras sats , jämlikhet av vinklar och områden , parallellitet, summan av vinklarna i en triangel och konstruktionen olika geometriska figurer.
  • Bok 2 innehåller ett antal lemma som rör jämlikhet mellan rektanglar och kvadrater, ibland kallad " geometrisk algebra ", och avslutas med en konstruktion av det gyllene snittet och ett sätt att konstruera en kvadrat som är lika stor som en rektilineal planfigur.
  • Bok 3 behandlar cirklar och deras egenskaper: att hitta centrum, inskrivna vinklar, tangenter , kraften i en punkt, Thales sats .
  • Bok 4 konstruerar cirkelns cirkel och omkrets i en triangel, liksom vanliga polygoner med 4, 5, 6 och 15 sidor.
  • Bok 5, om storleksandelar , ger den mycket sofistikerade proportionsteorin som troligen utvecklats av Eudoxus , och bevisar egenskaper som "alternering" (om a  : b  :: c  : d , då a  : c  :: b  : d ).
  • Bok 6 tillämpar proportioner för plangeometri, särskilt konstruktion och igenkänning av liknande figurer.
  • Bok 7 behandlar elementär talteori: delbarhet , primtal och deras relation till sammansatta tal , Euklides algoritm för att hitta den största gemensamma divisorn , hitta den minst gemensamma multipeln .
  • Bok 8 behandlar konstruktion och existens av geometriska sekvenser av heltal.
  • Bok 9 tillämpar resultaten från de föregående två böckerna och ger oändligheten av primtal och konstruktionen av alla jämna perfekta tal .
  • Bok 10 bevisar irrationaliteten i kvadratrötterna hos icke-kvadratiska heltal (t.ex. ) och klassificerar kvadratrötterna på ojämförliga linjer i tretton olika kategorier. Euklid introducerar här termen "irrationell", som har en annan betydelse än det moderna begreppet irrationella tal . Han ger också en formel för att producera Pythagoras tripplar .
  • Bok 11 generaliserar resultaten från bok 6 till fasta figurer: vinkelrät, parallellism, volymer och likhet med parallellpipeder .
  • Bok 12 studerar volymerna av kottar , pyramider och cylindrar i detalj med hjälp av utmattningsmetoden , en föregångare till integration , och visar till exempel att volymen på en kon är en tredjedel av volymen på motsvarande cylinder. Den avslutas med att visa att volymen i en sfär är proportionell mot kuben i dess radie (i moderna språk) genom att approximera dess volym genom en förening av många pyramider.
  • Bok 13 konstruerar de fem regelbundna platoniska fasta ämnena inskrivna i en sfär och jämför förhållandena mellan deras kanter och sfärens radie.
Sammanfattning Innehåll i Euklids element
bok I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII Totaler
Definitioner 23 2 11 7 18 4 22 - - 16 28 - - 131
Postulat 5 - - - - - - - - - - - - 5
Vanliga föreställningar 5 - - - - - - - - - - - - 5
Förslag 48 14 37 16 25 33 39 27 36 115 39 18 18 465

Euklids metod och presentationsstil

• "Att rita en rak linje från valfri punkt till valfri punkt."
• "För att beskriva en cirkel med valfritt centrum och avstånd."

Euklid, element , bok I, postulat 1 & 3.

En animation som visar hur Euklid konstruerade en sexkant (bok IV, förslag 15). Varje tvådimensionell figur i elementen kan konstrueras med endast en kompass och räta.
Codex Vaticanus 190

Euklides axiomatiska tillvägagångssätt och konstruktiva metoder var mycket inflytelserika.

Många av Euklides propositioner var konstruktiva och demonstrerade förekomsten av någon figur genom att beskriva stegen som han använde för att konstruera objektet med hjälp av en kompass och räta . Hans konstruktiva tillvägagångssätt förekommer även i hans geometris postulat, eftersom de första och tredje postulaten som anger existensen av en linje och cirkel är konstruktiva. Istället för att säga att linjer och cirklar existerar enligt hans tidigare definitioner, säger han att det är möjligt att 'konstruera' en linje och cirkel. Det verkar också som att för att han ska kunna använda en figur i ett av sina bevis måste han konstruera den i ett tidigare förslag. Till exempel bevisar han Pythagoras sats genom att först skriva in en kvadrat på sidorna av en högra triangel, men först efter att ha konstruerat en kvadrat på en given rad ett förslag tidigare.

Som var vanligt i antika matematiska texter, när ett förslag behövde bevis i flera olika fall, bevisade Euklid ofta bara en av dem (ofta den svåraste) och lämnade de andra till läsaren. Senare redaktörer som Theon interpolerade ofta sina egna bevis på dessa fall.

Förslag ritade med linjer anslutna från Axioms på toppen och andra föregående propositioner, märkta med bok.

Euklides presentation begränsades av de matematiska idéerna och notationerna i gemensam valuta under hans tid, och detta får behandlingen att verka besvärlig för den moderna läsaren på vissa ställen. Till exempel fanns det ingen uppfattning om en vinkel större än två rätvinklar, talet 1 behandlades ibland separat från andra positiva heltal, och eftersom multiplikation behandlades geometriskt använde han inte produkten av mer än 3 olika tal. Den geometriska behandlingen av talteori kan ha berott på att alternativet skulle ha varit det extremt besvärliga alexandriska systemet med siffror .

Presentationen av varje resultat ges i en stiliserad form, som, även om den inte uppfanns av Euklid, erkänns som typiskt klassisk. Den har sex olika delar: Först är 'uppmaningen', som anger resultatet i allmänna termer (det vill säga uttalandet av förslaget). Sedan kommer "inställningen", som ger figuren och betecknar specifika geometriska objekt med bokstäver. Därefter kommer "definitionen" eller "specifikationen", som återger uttalandet i termer av den specifika figuren. Sedan följer "konstruktionen" eller "maskinen". Här utökas den ursprungliga siffran för att vidarebefordra beviset. Sedan följer själva "beviset". Slutligen kopplar "slutsatsen" beviset till uttalandet genom att ange de specifika slutsatser som dras i beviset, i de allmänna termerna i uttalandet.

Ingen indikation ges på den resonemangsmetod som ledde till resultatet, även om data ger instruktioner om hur man ska närma sig de typer av problem som uppstår i de fyra första böckerna i elementen . Vissa forskare har försökt hitta fel i Euklides användning av figurer i sina bevis, anklagat honom för att skriva bevis som berodde på de specifika figurerna som ritades snarare än den allmänna bakomliggande logiken, särskilt angående proposition II i bok I. Men Euklids ursprungliga bevis på detta proposition, är generellt, giltigt och beror inte på figuren som används som exempel för att illustrera en given konfiguration.

Kritik

Euklids lista över axiom i elementen var inte uttömmande, utan representerade de principer som var de viktigaste. Hans bevis påkallar ofta axiomatiska föreställningar som inte ursprungligen presenterades i hans lista över axiom. Senare redaktörer har interpolerat Euklids implicita axiomatiska antaganden i listan över formella axiom.

Till exempel, i den första konstruktionen av bok 1, använde Euklid en premiss som varken postulerades eller bevisades: att två cirklar med centra på avståndet till deras radie kommer att korsas i två punkter. Senare, i den fjärde konstruktionen, använde han superposition (flyttade trianglarna ovanpå varandra) för att bevisa att om två sidor och deras vinklar är lika är de kongruenta ; under dessa överväganden använder han några egenskaper av superposition, men dessa egenskaper beskrivs inte uttryckligen i avhandlingen. Om superposition ska betraktas som en giltig metod för geometrisk bevisning skulle hela geometrin vara full av sådana bevis. Till exempel kan propositioner I.1 - I.3 bevisas trivialt med hjälp av superposition.

Matematiker och historiker WW Rouse Ball satte kritiken i perspektiv och påpekade att "det faktum att under två tusen år [ elementen ] var den vanliga textboken om ämnet väcker en stark antagande att det inte är olämpligt för detta ändamål."

De apokryfiska böckerna

Det var inte ovanligt i forntiden att tillskriva berömda författare verk som inte var skrivna av dem. Det är med dessa medel som de apokryfiska böckerna XIV och XV of the Elements ibland ingick i samlingen. Den falska boken XIV skrevs förmodligen av Hypsicles på grundval av en avhandling av Apollonius . Boken fortsätter Euklides jämförelse av vanliga fasta ämnen inskrivna i sfärer, med det främsta resultatet att förhållandet mellan ytorna i dodekaedronen och ikosahedron inskrivet i samma sfär är samma som förhållandet mellan deras volymer, förhållandet är

Den falska boken XV skrevs förmodligen, åtminstone delvis, av Isidore av Miletos . Denna bok behandlar ämnen som att räkna antalet kanter och fasta vinklar i de vanliga fasta ämnena och hitta måttet på dihedrala vinklar på ansikten som möts vid en kant.

Utgåvor

Den italienska jesuiten Matteo Ricci (vänster) och den kinesiska matematikern Xu Guangqi (till höger) publicerade den kinesiska upplagan av Euclids element (幾何 原本) 1607.
Bevis för Pythagoras sats i Byrne 's The Elements of Euclid och publiceras i färgat version 1847.

Översättningar

  • 1505, Bartolomeo Zamberti  [ de ] (latin)
  • 1543, Niccolò Tartaglia (italienska)
  • 1557, Jean Magnien och Pierre de Montdoré, recenserad av Stephanus Gracilis (grekiska till latin)
  • 1558, Johann Scheubel (tyska)
  • 1562, Jacob Kündig (tyska)
  • 1562, Wilhelm Holtzmann (tyska)
  • 1564–1566, Pierre Forcadel  [ fr ] de Béziers (franska)
  • 1570, Henry Billingsley (engelska)
  • 1572, Commandinus (latin)
  • 1575, Commandinus (italienska)
  • 1576, Rodrigo de Zamorano (spanska)
  • 1594, Typographia Medicea (upplaga av den arabiska översättningen av The Recension of Euclids "Elements"
  • 1604, Jean Errard  [ fr ] de Bar-le-Duc (franska)
  • 1606, Jan Pieterszoon Dou (nederländska)
  • 1607, Matteo Ricci , Xu Guangqi (kinesiska)
  • 1613, Pietro Cataldi (italienska)
  • 1615, Denis Henrion (franska)
  • 1617, Frans van Schooten (nederländska)
  • 1637, L. Carduchi (spanska)
  • 1639, Pierre Hérigone (franska)
  • 1651, Heinrich Hoffmann (tyska)
  • 1651, Thomas Rudd (engelska)
  • 1660, Isaac Barrow (engelska)
  • 1661, John Leeke och Geo. Serle (engelska)
  • 1663, Domenico Magni (italienska från latin)
  • 1672, Claude François Milliet Dechales (franska)
  • 1680, Vitale Giordano (italienska)
  • 1685, William Halifax (engelska)
  • 1689, Jacob Knesa (spanska)
  • 1690, Vincenzo Viviani (italienska)
  • 1694, Ant. Ernst Burkh v. Pirckenstein (tyska)
  • 1695, Claes Jansz Vooght (nederländska)
  • 1697, Samuel Reyher (tyska)
  • 1702, Hendrik Coets (nederländska)
  • 1705, Charles Scarborough (engelska)
  • 1708, John Keill (engelska)
  • 1714, Chr. Schessler (tyska)
  • 1714, W. Whiston (engelska)
  • 1720-talet, Jagannatha Samrat (sanskrit, baserat på den arabiska översättningen av Nasir al-Din al-Tusi)
  • 1731, Guido Grandi (förkortning till italienska)
  • 1738, Ivan Satarov (ryska från franska)
  • 1744, Mårten Strömer (svenska)
  • 1749, Dechales (italienska)
  • 1745, Ernest Gottlieb Ziegenbalg (danska)
  • 1752, Leonardo Ximenes (italienska)
  • 1756, Robert Simson (engelska)
  • 1763, Pibo Steenstra (nederländska)
  • 1768, Angelo Brunelli (portugisiska)
  • 1773, 1781, JF Lorenz (tyska)
  • 1780, Baruch Schick av Shklov (hebreiska)
  • 1781, 1788 James Williamson (engelska)
  • 1781, William Austin (engelska)
  • 1789, Pr. Suvoroff nad Yos. Nikitin (ryska från grekiska)
  • 1795, John Playfair (engelska)
  • 1803, HC Linderup (danska)
  • 1804, François Peyrard (franska). Peyrard upptäckte 1808 Vaticanus Graecus 190 , vilket gör att han kan tillhandahålla en första definitiv version 1814–1818
  • 1807, Józef tjeckiska (polska baserat på grekiska, latinska och engelska upplagor)
  • 1807, JKF Hauff (tyska)
  • 1818, Vincenzo Flauti (italienska)
  • 1820, Benjamin av Lesbos (moderna grekiska)
  • 1826, George Phillips (engelska)
  • 1828, Joh. Josh och Ign. Hoffmann (tyska)
  • 1828, Dionysius Lardner (engelska)
  • 1833, ES Unger (tyska)
  • 1833, Thomas Perronet Thompson (engelska)
  • 1836, H. Falk (svenska)
  • 1844, 1845, 1859, PR Bråkenhjelm (svenska)
  • 1850, FAA Lundgren (svenska)
  • 1850, HA Witt och ME Areskong (svenska)
  • 1862, Isaac Todhunter (engelska)
  • 1865, Sámuel Brassai (ungerska)
  • 1873, Masakuni Yamada (japanska)
  • 1880, Vachtchenko-Zakhartchenko (ryska)
  • 1897, Thyra Eibe (danska)
  • 1901, Max Simon (tyska)
  • 1907, František Servít (tjeckiska)
  • 1908, Thomas Little Heath (engelska)
  • 1939, R. Catesby Taliaferro (engelska)
  • 1999, Maja Hudoletnjak Grgić (bok I-VI) (kroatiska)
  • 2009, Irineu Bicudo ( brasiliansk portugisisk )
  • 2019, Ali Sinan Sertöz (turkiska)

För närvarande i tryck

  • Euclids element-Alla tretton böcker komplett i en volym , Baserat på Heaths översättning, Green Lion Press ISBN  1-888009-18-7 .
  • The Elements: Books I – XIII-Complete and Unabridged, (2006) Översatt av Sir Thomas Heath, Barnes & Noble ISBN  0-7607-6312-7 .
  • The Thirteen Books of Euclids element , översättning och kommentarer av Heath, Thomas L. (1956) i tre volymer. Dover Publications. ISBN  0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN  0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN  0-486-60090-4 (vol. 3)

Gratis versioner

  • Euclids Elements Redux, volym 1 , innehåller böcker I – III, baserat på John Caseys översättning.
  • Euclids Elements Redux, volym 2 , innehåller böcker IV – VIII, baserat på John Caseys översättning.

Referenser

Anteckningar

Citat

Källor

externa länkar