Vete och schackbräda problem - Wheat and chessboard problem

När den femte rutan nås på schackbrädet innehåller brädet totalt 31, eller , vetekorn.

{\ textstil 2^{5} -1}

Den riskornen på schackbrädet (ibland uttryckas i termer av ris korn) är ett matematiskt problem som uttrycks i textform som:

Om ett schackbräde skulle ha vete placerat på varje kvadrat så att en korn placerades på den första rutan, två på den andra, fyra på den tredje, och så vidare (fördubbling av antalet korn på varje efterföljande kvadrat), hur många korn av vete skulle finnas på schackbrädet i mål?

Problemet kan lösas med ett enkelt tillägg . Med 64 rutor på en schackbräda, om antalet korn fördubblas på på varandra följande rutor, är summan av korn på alla 64 rutor: 1 + 2 + 4 + 8 + ... och så vidare för de 64 rutorna. Det totala antalet korn kan visas vara 2 ⁶⁴ -1 eller 18 446 744 073 709 551 615 (arton kvintillion , fyra hundra fyrtiosex kvadrillion, sju hundra fyrtiofyra biljoner, sjuttiotre miljarder, sju hundra nio miljoner, fem hundra femtio-en tusen , sexhundra och femton, över 1,4 biljoner ton), vilket är över 2 000 gånger den årliga världsproduktionen av vete, vilket under perioden 2020-21 uppskattningsvis var 772,64 miljoner metriska toner.

Denna övning kan användas för att demonstrera hur snabbt exponentiella sekvenser växer, samt för att introducera exponenter, nolleffekt, kapitalsigma-notation och geometriska serier . Uppdaterad för modern tid med hjälp av slantar och en hypotetisk fråga som "Vill du hellre ha en miljon dollar eller ett öre på dag ett, fördubblas varje dag fram till dag 30?", Har formeln använts för att förklara sammansatt ränta . (Fördubbling skulle ge över tio miljoner dollar: 2 ³⁰ -1 = 1073741823).

Ursprung

Problemet dyker upp i olika berättelser om schackets uppfinning . En av dem inkluderar det geometriska utvecklingsproblemet. Historien är först känd för att ha spelats in 1256 av Ibn Khallikan . En annan version har uppfinnaren av schack (i vissa berättelser ber Sessa , en forntida indisk minister ) att hans härskare ger honom vete enligt vete- och schackbrädproblemet. Linjalen skrattar det som ett magert pris för en lysande uppfinning, bara för att få domstolskassörer att rapportera att det oväntat stora antalet vetekorn skulle överträffa härskarens resurser. Versioner skiljer sig åt om uppfinnaren blir en högt uppsatt rådgivare eller avrättas.

Macdonnell undersöker också den tidigare utvecklingen av temat.

[Enligt al-Masudis tidiga historia i Indien], uppfanns shatranj eller schack under en indisk kung, som uttryckte sin preferens för detta spel framför backgammon . [...] Indianerna, tillägger han, beräknade också en aritmetisk progression med schackbrädans rutor. [...] Indianernas tidiga förkärlek för enorma beräkningar är välkända för studenter i deras matematik och exemplifieras i den stora astronomen Āryabaṭha (född 476 e.Kr.). [...] Ytterligare argument för det indiska ursprunget för denna beräkning tillhandahålls av det arabiska namnet för schackbrädans torg, (بيت, "beit"), "hus". [...] För detta har utan tvekan en historisk koppling till dess indiska beteckning koṣṭhāgāra, "förrådshus", "spannmål" [...].

Lösningar

Summan av makter av två från noll upp till en given positiv heltalskraft är 1 mindre än nästa effekt av två (dvs nästa Mersenne -tal )

Den enkla, brutala kraftlösningen är bara att manuellt fördubbla och lägga till varje steg i serien:

{\ displaystyle T_ {64}}

= 1 + 2 + 4 + ..... + 9.223.372.036.854.775.808 = 18.446.744.073.709.551.615

var är det totala antalet korn.

{\ displaystyle T_ {64}}

Serien kan uttryckas med hjälp av exponenter:

{\ displaystyle T_ {64} = 2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ cdots+2^{63}}

och, representerad med kapital-sigma notation som:

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{63} 2^{i}. \,}

Det kan också lösas mycket lättare med:

{\ displaystyle T_ {64} = 2^{64} -1. \,}

Ett bevis på vilket är:

{\ displaystyle s = 2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ cdots+2^{63}.}

Multiplicera varje sida med 2:

{\ displaystyle 2s = 2^{1}+2^{2}+2^{3}+\ cdots+2^{63}+2^{64}.}

Subtrahera originalserier från varje sida:

{\ displaystyle 2s-s = 2^{64} -2^{0}}

{\ displaystyle \ därför s = 2^{64} -1. \,}

Lösningen ovan är ett särskilt fall av summan av en geometrisk serie, given av

{\ displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\ cdots+ar^{n-1} = \ sum _ {k = 0}^{n-1} ar^{k} = a \, {\ frac {1-r^{n}} {1-r}},}

var är den första termen i serien, är det vanliga förhållandet och är antalet termer. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle n}$

I detta problem , och . ${\ displaystyle a = 1}$ ${\ displaystyle r = 2}$ ${\ displaystyle n = 64}$

Övningen att arbeta igenom detta problem kan användas för att förklara och demonstrera exponenter och den snabba tillväxten av exponentiella och geometriska sekvenser. Det kan också användas för att illustrera sigma -notation . När den uttrycks som exponenter är den geometriska serien : 2 ⁰ + 2 ¹ + 2 ² + 2 ³ + ... och så vidare, upp till 2 ⁶³ . Basen för varje exponentiering, "2", uttrycker fördubblingen vid varje kvadrat, medan exponenterna representerar positionen för varje kvadrat (0 för den första rutan, 1 för den andra, och så vidare.).

Antalet korn är det 64: e Mersenne -numret .

Andra halvan av schackbrädet

En illustration av Ray Kurzweils andra hälft av schackbrädprincipen. Bokstäverna är förkortningar för SI -metriska prefix .

I teknikstrategin är "schackbrädans andra hälft" en fras, som myntats av Ray Kurzweil , med hänvisning till den punkt där en exponentiellt växande faktor börjar få en betydande ekonomisk inverkan på en organisations övergripande affärsstrategi. Medan antalet korn på schackbrädets första hälft är stort, är mängden på den andra halvan avsevärt (2 ³² > 4 miljarder gånger) större.

Antalet korn av vete på schackbrädans första hälft är 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2 147 483 648 , för totalt 4 294 967 295 (2 ³² - 1) korn, eller cirka 279 ton vete (förutsatt 65 mg som massan av ett vetekorn).

Antalet korn av vete på schackbrädans andra hälft är 2 ³² + 2 ³³ + 2 ³⁴ + ... + 2 ⁶³ , totalt 2 ⁶⁴ - 2 ³² korn. Detta är lika med kvadraten för antalet korn på den första halvan av brädet, plus sig själv. Den första kvadraten i den andra halvan ensam innehåller ytterligare ett spannmål än hela första halvan. Bara på schackbrädans 64: e kvadrat skulle det finnas 2 ⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808 korn, mer än två miljarder gånger så många som på schackbrädets första hälft.

På hela schackbrädet skulle det finnas 2 ⁶⁴ - 1 = 18 446 744 073 709 551 615 vetekorn, som väger cirka 1 199 000 000 000 ton . Detta är cirka 1 645 gånger den globala produktionen av vete (729 000 000 ton 2014 och 780,8 miljoner ton 2019).

Använda sig av

Carl Sagan betecknade det andra kapitlet i sin sista bok The Persian Chessboard och skrev att "när man hänvisar till bakterier kan" Exponentials inte fortsätta för alltid, för de kommer att slita upp allt ". På samma sätt använder The Limits to Growth historien för att presentera föreslagna konsekvenser av exponentiell tillväxt : "Exponentiell tillväxt kan aldrig pågå mycket länge i ett ändligt utrymme med begränsade resurser."

Se även

Referenser

externa länkar

Weisstein, Eric W. "Vet- och schackbrädproblem" . MathWorld .
Salt- och schackbrädproblem - En variant på vete- och schackbrädproblemet med mått på varje kvadrat.
Inlärningsmaterial relaterat till Math Adventures/Wheat and the Chessboard på Wikiversity

Languages

In other projects