Parallellt (geometri) - Parallel (geometry)

Linjekonstritning av parallella linjer och kurvor.

I geometri är parallella linjer linjer i en punkt som inte möts; det vill säga två raka linjer i ett plan som inte skär varandra vid någon punkt sägs vara parallella. I vardagliga ord sägs kurvor som inte vidrör varandra eller skär varandra och håller ett fast minsta avstånd vara parallella. En linje och ett plan, eller två plan, i tredimensionellt euklidiskt utrymme som inte delar en punkt sägs också vara parallellt. Två linjer i tredimensionellt utrymme som inte möts måste dock vara i ett gemensamt plan för att betraktas som parallella; annars kallas de skeva linjer . Parallella plan är plan i samma tredimensionella utrymme som aldrig möts.

Parallella linjer är föremål för Euklides s parallellaxiomet . Parallelism är främst en egenskap hos affinska geometrier och euklidisk geometri är en speciell instans av denna typ av geometri. I vissa andra geometrier, såsom hyperbolisk geometri , kan linjer ha analoga egenskaper som kallas parallellism.

Symbol

Parallelsymbolen är . Till exempel, indikerar att linjen AB är parallell till linje CD . ${\ displaystyle \ parallel}$ ${\ displaystyle AB \ parallel CD}$

I Unicode -teckenuppsättningen har "parallella" och "inte parallella" tecken kodpunkter U+2225 (∥) respektive U+2226 (∦). Dessutom representerar U+22D5 (⋕) relationen "lika och parallell med".

Samma symbol används för en binär funktion inom elektroteknik ( parallelloperatören ). Det skiljer sig från de dubbla vertikala linjerna som anger en norm , liksom från den logiska eller operatören ( ||) på flera programmeringsspråk.

Euklidisk parallellism

Två linjer i ett plan

Förutsättningar för parallellitet

Som markeras med fästingarna är linjerna a och b parallella. Detta kan bevisas eftersom transversalen t producerar kongruenta motsvarande vinklar , som visas här till höger om transversalen, en ovanför och intill linje a och den andra ovanför och intill linje b .

{\ displaystyle \ theta}

Med tanke på parallella raka linjer l och m i det euklidiska utrymmet är följande egenskaper ekvivalenta:

Varje punkt på linje m är placerad på exakt samma (minsta) avstånd från linje l ( lika långa linjer ).
Linje m är i samma plan som linje l men skär inte l (kom ihåg att linjer sträcker sig till oändlighet i båda riktningarna).
När linjerna m och l båda skärs av en tredje rak linje (en transversal ) i samma plan, är motsvarande skärningsvinklar med transversalen kongruenta .

Eftersom dessa är likvärdiga egenskaper kan vilken som helst av dem tas som definitionen av parallella linjer i det euklidiska utrymmet, men de första och tredje egenskaperna innefattar mätning, och är därför "mer komplicerade" än den andra. Således är den andra egenskapen den som vanligtvis väljs som den definierande egenskapen för parallella linjer i euklidisk geometri. De andra egenskaperna är sedan konsekvenser av Euklids parallella postulat . En annan egenskap som också innefattar mätning är att linjer parallellt med varandra har samma gradient (lutning).

Historia

Definitionen av parallella linjer som ett par raka linjer i ett plan som inte möts visas som definition 23 i bok I av Euklids element . Alternativa definitioner diskuterades av andra greker, ofta som en del av ett försök att bevisa det parallella postulatet . Proclus tillskriver Posidonius en definition av parallella linjer som avstånd på lika avstånd och citerar Geminus på liknande sätt. Simplicius nämner också Posidonius definition såväl som dess modifiering av filosofen Aganis.

I slutet av artonhundratalet, i England, var Euclid's Elements fortfarande standardboken i gymnasieskolor. Den traditionella behandlingen av geometri pressades att förändras genom den nya utvecklingen inom projektiv geometri och icke-euklidisk geometri , så flera nya läroböcker för undervisning i geometri skrevs vid denna tidpunkt. En stor skillnad mellan dessa reformtexter, både mellan dem själva och mellan dem och Euklid, är behandlingen av parallella linjer. Dessa reformtexter var inte utan deras kritiker och en av dem, Charles Dodgson (aka Lewis Carroll ), skrev en pjäs, Euklid och hans moderna rivaler , där dessa texter lamslås.

En av de tidiga reformböckerna var James Maurice Wilsons elementära geometri 1868. Wilson grundade sin definition av parallella linjer på den primitiva uppfattningen om riktning . Enligt Wilhelm Killing kan idén spåras tillbaka till Leibniz . Wilson, utan att definiera riktning eftersom det är en primitiv, använder termen i andra definitioner som sin sjätte definition, "Två raka linjer som möter varandra har olika riktningar, och skillnaden i deras riktningar är vinkeln mellan dem." Wilson (1868 , s. 2) I definition 15 introducerar han parallella linjer på detta sätt; "Raka linjer som har samma riktning , men som inte är delar av samma raka linje, kallas parallella linjer ." Wilson (1868 , s. 12) Augustus De Morgan granskade denna text och förklarade att den misslyckades, främst på grundval av denna definition och hur Wilson använde den för att bevisa saker om parallella linjer. Dodgson ägnar också en stor del av sin pjäs (akt II, scen VI § 1) åt att fördöma Wilsons behandling av paralleller. Wilson redigerade detta koncept ur den tredje och högre upplagan av hans text.

Andra fastigheter, föreslagna av andra reformatorer, som används som ersättare för definitionen av parallella linjer, gick inte mycket bättre. Den största svårigheten, som påpekades av Dodgson, var att för att använda dem på detta sätt krävs ytterligare axiom för att läggas till systemet. Den likvidistiska linjedefinitionen av Posidonius, som Francis Cuthbertson redogjorde för i sin text från 1874 Euklidisk geometri lider av problemet att de punkter som finns på ett bestämt givet avstånd på ena sidan av en rak linje måste visas för att bilda en rak linje. Detta kan inte bevisas och måste antas vara sant. Motsvarande vinklar som bildas av en transversal egenskap, som används av WD Cooley i hans text från 1860, The Elements of Geometry, förenklade och förklarade kräver ett bevis på det faktum att om en transversal möter ett par linjer i kongruenta motsvarande vinklar måste alla transversaler göra så. Återigen behövs ett nytt axiom för att motivera detta uttalande.

Konstruktion

De tre egenskaperna ovan leder till tre olika konstruktionsmetoder för parallella linjer.

Problemet: Rita en linje genom en parallell till l .

Fastighet 1: Linje m har överallt samma avstånd till linje l .
Egenskap 2: Ta en slumpmässig linje genom a som skär l i x . Flytta punkt x till oändligheten.
Egenskap 3: Både l och m delar en tvärgående linje genom en som skär dem i 90 °.

Avstånd mellan två parallella linjer

Eftersom parallella linjer i ett euklidiskt plan är lika långt borta finns det ett unikt avstånd mellan de två parallella linjerna. Med tanke på ekvationerna för två icke-vertikala, icke-horisontella parallella linjer,

{\ displaystyle y = mx+b_ {1} \,}

{\ displaystyle y = mx+b_ {2} \ ,,}

avståndet mellan de två linjerna kan hittas genom att lokalisera två punkter (en på varje linje) som ligger på en gemensam vinkelrätt mot de parallella linjerna och beräkna avståndet mellan dem. Eftersom linjerna har lutning m , skulle en gemensam vinkelrätt ha lutning −1 / m och vi kan ta linjen med ekvation y = - x / m som en gemensam vinkelrät. Lös de linjära systemen

{\ displaystyle {\ begin {cases} y = mx+b_ {1} \\ y = -x/m \ end {cases}}}

och

{\ displaystyle {\ begin {cases} y = mx+b_ {2} \\ y = -x/m \ end {cases}}}

för att få koordinaterna för punkterna. Lösningarna på de linjära systemen är poängen

{\ displaystyle \ left (x_ {1}, y_ {1} \ right) \ = \ left ({\ frac {-b_ {1} m} {m^{2} +1}}, {\ frac {b_ {1}} {m^{2} +1}} \ höger) \,}

och

{\ displaystyle \ left (x_ {2}, y_ {2} \ right) \ = \ left ({\ frac {-b_ {2} m} {m^{2} +1}}, {\ frac {b_ {2}} {m^{2} +1}} \ höger).}

Dessa formler ger fortfarande de korrekta punktkoordinaterna även om de parallella linjerna är horisontella (dvs m = 0). Avståndet mellan punkterna är

{\ displaystyle d = {\ sqrt {\ left (x_ {2} -x_ {1} \ right)^{2}+\ left (y_ {2} -y_ {1} \ right)^{2}}} = {\ sqrt {\ vänster ({\ frac {b_ {1} m-b_ {2} m} {m^{2} +1}} \ höger)^{2}+\ vänster ({\ frac {b_ {2} -b_ {1}} {m^{2} +1}} \ höger)^{2}}} \ ,,}

vilket minskar till

{\ displaystyle d = {\ frac {| b_ {2} -b_ {1} |} {\ sqrt {m^{2} +1}}} \ ,.}

När linjerna ges av den allmänna formen av ekvationen för en linje (horisontella och vertikala linjer ingår):

{\ displaystyle ax+by+c_ {1} = 0 \,}

{\ displaystyle ax+by+c_ {2} = 0, \,}

deras avstånd kan uttryckas som

{\ displaystyle d = {\ frac {| c_ {2} -c_ {1} |} {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}

Två linjer i tredimensionellt utrymme

Två linjer i samma tredimensionella utrymme som inte skär varandra behöver inte vara parallella. Endast om de är i ett gemensamt plan kallas de parallella; annars kallas de skeva linjer .

Två distinkta linjer l och m i tredimensionellt utrymme är parallella om och bara om avståndet från en punkt P på linje m till närmaste punkt på linje l är oberoende av placeringen av P på linje m . Detta gäller aldrig för snedställda linjer.

En linje och ett plan

En linje m och ett plan q i tredimensionellt utrymme, linjen som inte ligger i det planet, är parallella om och bara om de inte skär varandra.

På motsvarande sätt är de parallella om och bara om avståndet från en punkt P på linje m till närmaste punkt i planet q är oberoende av placeringen av P på linje m .

Två plan

På samma sätt som parallella linjer måste placeras i samma plan, måste parallella plan vara placerade i samma tredimensionella utrymme och inte innehålla någon gemensam punkt.

Två distinkta plan q och r är parallella om och endast om avståndet från en punkt P i planet q till den närmaste punkten i plan r är oberoende av placeringen av P i planet q . Detta kommer aldrig att hålla om de två planen inte är i samma tredimensionella utrymme.

Tillägg till icke-euklidisk geometri

I icke-euklidisk geometri är det vanligare att prata om geodesik än (raka) linjer. En geodesik är den kortaste vägen mellan två punkter i en given geometri. Inom fysiken kan detta tolkas som den väg som en partikel följer om ingen kraft appliceras på den. I icke-euklidisk geometri ( elliptisk eller hyperbolisk geometri ) är de tre euklidiska egenskaperna som nämns ovan inte likvärdiga och endast den andra, (linje m är i samma plan som linje l men skär inte l) eftersom det inte innebär några mätningar är användbart i icke-euklidiska geometrier. I allmän geometri ger de tre egenskaperna ovan tre olika typer av kurvor, ekvidistanta kurvor , parallell geodesik och geodesik som delar en gemensam vinkelrät , respektive.

Hyperbolisk geometri

Korsande , parallella och ultraparallella linjer genom a med avseende på l i det hyperboliska planet. De parallella linjerna verkar skär varandra l precis utanför bilden. Detta är bara en artefakt av visualiseringen. På ett riktigt hyperboliskt plan kommer linjerna närmare varandra och "möts" i det oändliga.

Medan i euklidisk geometri kan två geodesiker antingen korsa eller vara parallella, men i hyperbolisk geometri finns det tre möjligheter. Två geodesika som tillhör samma plan kan antingen vara:

korsar varandra , om de skär varandra i en gemensam punkt i planet,
parallella , om de inte skär varandra i planet, men konvergerar till en gemensam gränspunkt vid oändlighet ( idealpunkt ), eller
ultraparallell , om de inte har en gemensam gränspunkt vid oändligheten.

I litteraturen kallas ultraparallell geodesik ofta icke-skärande . Geodesik som skär i oändlighet kallas för begränsande parallell .

Som i illustrationen genom en punkt a som inte är på linje l finns det två begränsande parallella linjer, en för varje riktning idealisk punkt på linje l. De skiljer linjerna som skär linjen l och de som är extremt parallella med linjen l .

Ultra parallella linjer har en gemensam vinkelrät ( ultraparallell sats ) och skiljer sig åt på båda sidor av denna gemensamma vinkelräta.

Sfärisk eller elliptisk geometri

På sfären finns det inget som heter en parallell linje. Linje a är en stor cirkel , motsvarande en rak linje i sfärisk geometri. Linje c är lika långt från linje a men är inte en stor cirkel. Det är en latitudparallell. Linje b är en annan geodesik som skär a på två antipodala punkter. De delar två vanliga vinkelrätter (en visas i blått).

I sfärisk geometri är all geodesik stora cirklar . Stora cirklar delar sfären i två lika halvklot och alla stora cirklar skär varandra. Således finns det ingen parallell geodesik till en given geodesik, eftersom all geodesik skär varandra. Likvida kurvor på sfären kallas latitudparalleller analoga med latitudlinjerna på en jordklot. Breddgrader kan genereras genom skärning av sfären med ett plan parallellt med ett plan genom sfärens mitt.

Reflexiv variant

Om l, m, n är tre olika linjer, då ${\ displaystyle l \ parallell m \ \ land \ m \ parallell n \ \ innebär \ l \ parallell n.}$

I detta fall är parallellism en transitiv relation . Men i fallet l = n anses de överlagrade linjerna inte vara parallella i euklidisk geometri. Det binära förhållandet mellan parallella linjer är uppenbarligen en symmetrisk relation . Enligt Euclids principer är parallellism inte en reflexiv relation och misslyckas därmed med att vara en ekvivalensrelation . I affingeometri tas dock en penna med parallella linjer som en ekvivalensklass i uppsättningen linjer där parallellism är ett ekvivalensförhållande.

För detta ändamål antog Emil Artin (1957) en definition av parallellism där två linjer är parallella om de har alla eller ingen av sina punkter gemensamt. Sedan en linje är parallellt med sig själv, så att de reflexiva och transitiva egenskaper hör till denna typ av parallellitet, vilket skapar en ekvivalensrelation på uppsättningen linjer. I studien av förekomstgeometri används denna variant av parallellism i affinplanet .

Se även

Anteckningar

Referenser

Heath, Thomas L. (1956), The Thirteen Books of Euclid's Elements (2: a uppl. [Fax. Originalpublikation: Cambridge University Press, 1925] red.), New York: Dover Publications

(3 vol.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3). Heaths auktoritativa översättning plus omfattande historisk forskning och detaljerad kommentar i hela texten.

Richards, Joan L. (1988), Mathematical Visions: The Pursuit of Geometry in Victorian England , Boston: Academic Press, ISBN 0-12-587445-6
Wilson, James Maurice (1868), Elementary Geometry (1st ed.), London: Macmillan och Co.
Wylie Jr., CR (1964), Foundations of Geometry , McGraw – Hill

Vidare läsning

Papadopoulos, Athanase; Théret, Guillaume (2014), La théorie des parallèles av Johann Heinrich Lambert: Présentation, traduction et commentaires , Paris: Collection Sciences dans l'histoire, Librairie Albert Blanchard, ISBN 978-2-85367-266-5

externa länkar

Konstruera en parallell linje genom en given punkt med kompass och räta

Languages

In other projects