Nomogram - Nomogram

Ett typiskt parallellskala nomogram. Detta exempel beräknar värdet av T när S = 7,30 och R = 1,17 är substituerade i ekvationen. Isopleten passerar skalan för T på knappt 4,65.

Ett nomogram (från grekiska nomos νόμος , "lag" och grammē γραμμή , "rad"), även kallat en nomograf , justeringsdiagram eller abaque , är en grafisk beräkningsenhet, ett tvådimensionellt diagram utformat för att möjliggöra ungefärlig grafisk beräkning av en matematisk funktion . Nomografiområdet uppfanns 1884 av den franske ingenjören Philbert Maurice d'Ocagne (1862–1938) och användes flitigt i många år för att ge ingenjörer snabba grafiska beräkningar av komplicerade formler till en praktisk precision. Nomogram använder ett parallellt koordinatsystem som uppfunnits av d'Ocagne snarare än vanliga kartesiska koordinater .

Ett nomogram består av en uppsättning n -skalor, en för varje variabel i en ekvation. Genom att känna till värdena för n-1-variabler kan värdet för den okända variabeln hittas, eller genom att fastställa värdena för vissa variabler kan man studera förhållandet mellan de ofixade variablerna. Resultatet uppnås genom att lägga en räta över de kända värdena på vågen och läsa det okända värdet varifrån den korsar skalan för den variabeln. Den virtuella eller dras linje som skapats av linjal kallas indexlinjen eller isopleth .

Nomogram blomstrade i många olika sammanhang i ungefär 75 år eftersom de tillät snabba och exakta beräkningar före fickräknarens ålder. Resultat från ett nomogram erhålls mycket snabbt och tillförlitligt genom att helt enkelt rita en eller flera linjer. Användaren behöver inte veta hur man löser algebraiska ekvationer, letar upp data i tabeller, använder en bildregel eller ersätter siffror i ekvationer för att få resultat. Användaren behöver inte ens känna till den underliggande ekvationen som nomogrammet representerar. Dessutom införlivar nomogram naturligtvis implicit eller explicit domänkunskap i sin design. Till exempel, för att skapa större nomogram för större noggrannhet innehåller nomografen vanligtvis endast skalavstånd som är rimliga och av intresse för problemet. Många nomogram innehåller andra användbara markeringar som referensetiketter och färgade områden. Alla dessa ger användbara vägledande inlägg till användaren.

Ett Smith -diagram för att beräkna elektrisk impedans utan några plottade värden; även om det inte är ett nomogram, är det baserat på liknande principer

Liksom en bildregel är ett nomogram en grafisk analog beräkningsenhet. Precis som en bildregel begränsas dess noggrannhet av precisionen med vilken fysiska markeringar kan ritas, reproduceras, ses och justeras. Till skillnad från bildregeln, som är en beräkningsenhet för allmänna ändamål, är ett nomogram utformat för att utföra en specifik beräkning med värdetabeller inbyggda i enhetens skalor . Nomogram används vanligtvis i applikationer för vilka noggrannheten de ger är tillräcklig och användbar. Alternativt kan ett nomogram användas för att kontrollera ett svar som erhållits genom en mer exakt men felbenägen beräkning.

Andra typer av grafiska räknare - till exempel avlyssningsscheman , trekantiga diagram och sexkantiga diagram - kallas ibland nomogram. Dessa enheter uppfyller inte definitionen av ett nomogram som en grafisk räknare vars lösning hittas genom användning av en eller flera linjära isopleter.

Beskrivning

Komponenter i ett parallellskala nomogram

Ett nomogram för en tre-variabel ekvation har vanligtvis tre skalor, även om det finns nomogram där två eller till och med alla tre skalorna är vanliga. Här representerar två skalor kända värden och den tredje är skalan där resultatet avläses. Den enklaste ekvationen är u ₁ + u ₂ + u ₃ = 0 för de tre variablerna u ₁ , u ₂ och u ₃ . Ett exempel på denna typ av nomogram visas till höger, kommenterat med termer som används för att beskriva delar av ett nomogram.

Mer komplicerade ekvationer kan ibland uttryckas som summan av funktioner för de tre variablerna. Till exempel kan nomogrammet högst upp i denna artikel konstrueras som ett nomogram i parallell skala eftersom det kan uttryckas som en sådan summa efter att ha tagit logaritmer på båda sidor av ekvationen.

Skalan för den okända variabeln kan ligga mellan de andra två skalorna eller utanför dem. Beräkningens kända värden markeras på skalorna för dessa variabler, och en linje dras mellan dessa märken. Resultatet avläses av den okända skalan vid den punkt där linjen skär den skalan. Vågen inkluderar "bockmärken" för att indikera exakta nummerplatser, och de kan också innehålla märkta referensvärden. Dessa skalor kan vara linjära , logaritmiska eller ha ett mer komplext förhållande.

Provet isopleth som visas i rött på nomogrammet högst upp i denna artikel beräknar värdet av T när S = 7,30 och R = 1,17. Isopleten korsar skalan för T på knappt 4,65; en större siffra tryckt i hög upplösning på papper skulle ge T = 4,64 till tresiffrig precision. Observera att vilken variabel som helst kan beräknas från värden för de andra två, en egenskap hos nomogram som är särskilt användbar för ekvationer där en variabel inte kan algebraiskt isoleras från de andra variablerna.

Raka skalor är användbara för relativt enkla beräkningar, men för mer komplexa beräkningar kan det vara nödvändigt att använda enkla eller genomarbetade krökta skalor. Nomogram för mer än tre variabler kan konstrueras genom att införliva ett rutnät för två av variablerna eller genom att sammanfoga individuella nomogram med färre antal variabler i ett sammansatt nomogram.

Ansökningar

Nomogram har använts i en omfattande uppsättning applikationer. Ett prov inkluderar:

Den ursprungliga ansökan från d'Ocagne, automatisering av komplicerade skär- och fyllningsberäkningar för jordborttagning under konstruktionen av det franska nationella järnvägssystemet. Detta var ett viktigt bevis på konceptet, eftersom beräkningarna är icke-triviala och resultaten översätts till betydande besparingar av tid, ansträngning och pengar.
Utformning av kanaler, rör och ledningar för reglering av vattenflödet.
Lawrence Hendersons arbete , där nomogram användes för att korrelera många olika aspekter av blodfysiologi. Det var den första stora användningen av nomogram i USA och även de första medicinska nomogrammen någonstans. Nomogram används fortfarande i stor utsträckning inom medicinska områden.
Ballistiska beräkningar före brandkontrollsystem, där beräkning av tid var kritisk.
Maskinverkstätsberäkningar, för att konvertera ritmått och utföra beräkningar baserade på materialdimensioner och egenskaper. Dessa nomogram innehöll ofta markeringar för standardmått och för tillgängliga tillverkade delar.
Statistik, för komplicerade beräkningar av fördelningsegenskaper och för driftsforskning inklusive utformning av godkännandeprov för kvalitetskontroll.
Operations Research, för att få resultat i en mängd olika optimeringsproblem.
Kemi och kemiteknik, för att inkapsla både allmänna fysiska samband och empiriska data för specifika föreningar.
Aeronautics, där nomogram användes i decennier i cockpit i flygplan i alla beskrivningar. Som hjälpmedel för navigering och flygkontroll var nomogram snabba, kompakta och lättanvända räknare.
Astronomiska beräkningar, som i orbitalberäkningarna efter lanseringen av Sputnik 1 av PE Elyasberg.
Ingenjörsarbete av alla slag: Elektrisk konstruktion av filter och överföringsledningar, mekaniska beräkningar av spänning och belastning, optiska beräkningar och så vidare.
Militär, där komplexa beräkningar måste göras på fältet snabbt och med tillförlitlighet som inte är beroende av elektriska enheter.
Seismologi , där nomogram har utvecklats för att uppskattning jordbävning magnitud och presentera resultaten av probabilistiska seismiska riskanalyser

Exempel

Parallellresistens/tunnlins

Parallellt elektromotstånd nomogram

Nomogrammet nedan utför beräkningen:

{\ displaystyle {\ frac {1} {1/A+1/B}} = {\ frac {AB} {A+B}}}

Detta nomogram är intressant eftersom det utför en användbar olinjär beräkning med endast raka, lika graderade skalor. Även om den diagonala linjen har en skala större än axskalorna, matchar siffrorna på den exakt nedanför eller till vänster, och därmed kan den enkelt skapas genom att rita en rak linje diagonalt på ett ark grafpapper . ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

A och B matas in på de horisontella och vertikala skalorna, och resultatet avläses från den diagonala skalan. Eftersom den är proportionell mot det harmoniska medelvärdet av A och B , har denna formel flera tillämpningar. Till exempel är det parallellmotståndsformeln inom elektronik och tunnlinsekvationen i optik .

I exemplet visar den röda linjen att parallella motstånd på 56 och 42 ohm har ett kombinerat motstånd på 24 ohm. Det visar också att ett objekt på ett avstånd av 56 cm från ett objektiv vars brännvidd är 24 cm bildar en verklig bild på ett avstånd av 42 cm.

Chi-kvadrat testberäkning

Chi-squared distribution nomogram

Nomogrammet nedan kan användas för att utföra en ungefärlig beräkning av några värden som behövs när man utför ett välkänt statistiskt test, Pearsons chi-squared-test . Detta nomogram visar användningen av böjda vågar med ojämnt fördelade grader.

Det relevanta uttrycket är:

{\ displaystyle {\ frac {(OBS-EXP)^{2}} {EXP}}}

Skalan längs toppen delas mellan fem olika intervall av observerade värden: A, B, C, D och E. Det observerade värdet finns i ett av dessa intervall, och fästet som används på den skalan finns omedelbart ovanför det. Sedan väljs den krökta skalan som används för det förväntade värdet baserat på intervallet. Till exempel skulle ett observerat värde på 9 använda bockmarkeringen ovanför 9 i intervall A, och krökt skala A skulle användas för det förväntade värdet. Ett observerat värde på 81 skulle använda bockmarkeringen över 81 i intervall E, och krökt skala E skulle användas för det förväntade värdet. Detta gör att fem olika nomogram kan integreras i ett enda diagram.

På detta sätt visar den blå linjen beräkningen av:

(9 - 5) ² /5 = 3,2

och den röda linjen visar beräkningen av:

(81 - 70) ² /70 = 1,7

Vid utförandet av testet tillämpas ofta Yates korrigering för kontinuitet och innebär helt enkelt att subtrahera 0,5 från de observerade värdena. Ett nomogram för att utföra testet med Yates korrigering kan konstrueras helt enkelt genom att flytta varje "observerad" skala en halv enhet till vänster, så att graderingen 1,0, 2,0, 3,0, ... placeras där värdena 0,5, 1,5, 2,5 , ... visas på det aktuella diagrammet.

Livsmedelsriskbedömning

Mat riskbedömnings nomogram

Även om nomogram representerar matematiska samband, är inte alla matematiskt härledda. Följande utvecklades grafiskt för att uppnå lämpliga slutresultat som lätt kunde definieras av produkten av deras relationer i subjektiva enheter snarare än numeriskt. Användningen av icke-parallella axlar möjliggjorde att de icke-linjära relationerna införlivades i modellen.

Siffrorna i fyrkantiga rutor anger de axlar som kräver inmatning efter lämplig bedömning.

Paret nomogram högst upp på bilden avgör sannolikheten för förekomst och tillgänglighet, som sedan införlivas i det nedre flerstegs nomogrammet.

Linjerna 8 och 10 är "bindelinjer" eller "svänglinjer" och används för övergången mellan stegen i det sammansatta nomogrammet.

Det sista paret med parallella logaritmiska skalor (12) är inte nomogram som sådana, utan avläsningsvågar för att översätta riskpoängen (11, fjärr till extremt hög) till en samplingsfrekvens för att ta upp säkerhetsaspekter respektive andra 'konsumentskydd'-aspekter . Denna etapp kräver politisk ”buy in” -balanseringskostnad mot risk. Exemplet använder en treårig minsta frekvens för varje, men med den höga riskänden på vågen olika för de två aspekterna, vilket ger olika frekvenser för de två, men båda omfattas av en övergripande minsta provtagning av varje mat för alla aspekter åtminstone en gång vart tredje år.

Detta nomogram för riskbedömning har utvecklats av UK Public Analyst Service med finansiering från UK Food Standards Agency för att användas som ett verktyg för att styra lämplig frekvens av provtagning och analys av livsmedel för officiella livsmedelskontrollsyften, avsedd att användas för att bedöma alla potentiella problem med alla livsmedel, men ännu inte antagits.

Andra snabba nomogram

Nomogram för syndarnas lag

Nomogram för att lösa den kvadratiska x^2+px+q = 0

Nomogram för att lösa kubik x^3+px+q = 0

Med hjälp av en linjal kan man lätt läsa den saknade termen i syndens lag eller rötterna i den kvadratiska och kubiska ekvationen.

Se även

Referenser

Vidare läsning

DP Adams, Nomography: Theory and Application , (Archon Books) 1964.
HJ Allcock, J. Reginald Jones och JGL Michel, The Nomogram. Theory and Practical Construction of Computation Charts , 5: e upplagan, (London: Sir Isaac Pitman & Sons, Ltd.) 1963.
S. Brodestsky, A First Course in Nomography , (London, G. Bell and Sons) 1920.
DS Davis, Empirical Equations and Nomography , (New York: McGraw-Hill Book Co.) 1943.
M. d'Ocagne: Traité de Nomographie , (Gauthier-Villars, Paris) 1899.
M. d'Ocagne: (1900) Sur la résolution nomographique de l'équation du septième degré . Comptes rendus (Paris), 131, 522–524.
RD Douglass och DP Adams, Elements of Nomography , (New York: McGraw-Hill) 1947.
RP Hoelscher, et al., Graphic Aids in Engineering Computation , (New York: McGraw-Hill) 1952.
L. Ivan Epstein, Nomography , (New York: Interscience Publishers) 1958.
LH Johnson, Nomography and Empirical Equations , (New York: John Wiley and Sons) 1952.
M. Kattan och J. Marasco. (2010) Vad är ett riktigt nomogram? , Seminarier i onkologi, 37 (1), 23–26.
AS Levens, Nomography , 2: a uppl., (New York: John Wiley & Sons, Inc.) 1959.
FT Mavis, Konstruktionen av nomografiska diagram , (Scranton, International Textbook) 1939.
E. Otto, Nomography , (New York: The Macmillan Company) 1963.
HA Evesham The History and Development of Nomography , (Boston: Docent Press) 2010. ISBN 9781456479626
TH Gronwall, R. Doerfler, A. Gluchoff och S. Guthery, Calculating Curves: The Mathematics, History, and Esthetic Appeal of TH Gronwall's Nomographic Work , (Boston: Docent Press) 2012. ISBN 9780983700432

externa länkar

Weisstein, Eric W. "Nomogram" . MathWorld .
Art of Nomography beskriver designen av nomogram med hjälp av geometri, determinanter och transformationer.
The Lost Art of Nomography är en matematisk tidskriftsartikel som undersöker området nomografi.
Nomogram för Wargames men också av allmänt intresse.
PyNomo - öppen källkodsprogramvara för konstruktion av nomogram.
Java Applet för att konstruera enkla nomogram.
Nomogram för visualisering av relationer mellan tre variabler - video och bilder av inbjudet samtal av Jonathan Rougier för användningR! 2011.

Languages

In other projects