Sinens lag - Law of sines

${\ displaystyle R = {\ frac {d} {2}}}$

${\ displaystyle {\ gamma}}$

${\ displaystyle {\ delta}}$

${\ displaystyle {\ gamma} = {\ delta}}$

$${\ displaystyle \ sin {\ delta} = \ sin {\ gamma} = {\ frac {c} {2R}}.}$$

Ordna om avkastning

$${\ displaystyle 2R = {\ frac {c} {\ sin {\ gamma}}}.}$$

Att upprepa processen med att skapa med andra punkter ger ${\ displaystyle \ triangel ADB}$

Förhållande till triangelns område

Arean av en triangel ges av , var är vinkeln som omges av sidorna med längderna

${\ textstyle T = {\ frac {1} {2}} ab \ sin \ theta}$

${\ displaystyle \ theta}$

$${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} ab \ cdot {\ frac {c} {2R}}.}$$

Med den kringgående radien, ${\ displaystyle R}$

Det kan också visas att denna jämlikhet innebär

$${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {abc} {2T}} & = {\ frac {abc} {2 {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}}}} \\ [ 6pt] & = {\ frac {2abc} {\ sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2} -2 (a^{4}+b^ {4}+c^{4})}}}, \ end {align}}}$$

${\ textstyle s = {\ frac {a+b+c} {2}}.}$

Den andra jämlikheten ovan förenklar enkelt till Herons formel för området.

Sinusregeln kan också användas för att härleda följande formel för triangelns yta: Betecknar halvsumman av vinklarnas siner som , vi har ${\ textstil S = {\ frac {\ sin A+\ sin B+\ sin C} {2}}}$

där är radien av circumcircle: . ${\ displaystyle R}$${\ textstyle 2R = {\ frac {a} {\ sin A}} = {\ frac {b} {\ sin B}} = {\ frac {c} {\ sin C}}}$

Den sfäriska lagen om syndarna

Den sfäriska sinnelagen behandlar trianglar på en sfär, vars sidor är bågar av stora cirklar .

Antag att sfärens radie är 1. Låt a , b och c vara längden på storbågarna som är triangelns sidor. Eftersom det är en enhetsfär är a , b och c vinklarna i mitten av sfären som böjs av dessa bågar, i radianer. Låt A , B och C vara vinklarna motsatta respektive sida. Dessa är dihedrala vinklar mellan planen i de tre stora cirklarna.

Sedan säger den sfäriska syndelagen:

$${\ displaystyle {\ frac {\ sin A} {\ sin a}} = {\ frac {\ sin B} {\ sin b}} = {\ frac {\ sin C} {\ sin c}}.}$$

Vektor bevis

Betrakta en enhetsfär med tre enhetsvektorer OA , OB och OC som dras från ursprunget till hörnen av triangeln. Sålunda är vinklarna a , p och y vinklarna a , b respektive c . Bågen BC böjer en storleksvinkel a i mitten. Introducera en kartesisk bas med OA längs z -axeln och OB i xz -planet som gör en vinkel c med z -axeln. Vektor OC projekt till ON i xy -planet och vinkeln mellan PÅ och x -axeln är A . Därför har de tre vektorerna komponenter:

$${\ displaystyle \ mathbf {OA} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}, \ quad \ mathbf {OB} = {\ begin {pmatrix} \ sin c \\ 0 \ \\ cos c \ end {pmatrix}}, \ quad \ mathbf {OC} = {\ begin {pmatrix} \ sin b \ cos A \\\ sin b \ sin A \\\ cos b \ end {pmatrix}} .}$$

Den skalära trippelprodukten , OA ⋅ ( OB × OC ) är volymen av parallellepiped som bildas av positionsvektorerna för hörnen i den sfäriska triangeln OA , OB och OC . Denna volym är invariant för det specifika koordinatsystem som används för att representera OA , OB och OC . Värdet på den skalära trippelprodukten OA ⋅ ( OB × OC ) är 3 × 3 -determinanten med OA , OB och OC som rader. Med z -axeln längs OA är kvadraten för denna determinant

$${\ displaystyle {\ begin {align} {\ bigl (} \ mathbf {OA} \ cdot (\ mathbf {OB} \ times \ mathbf {OC}) {\ bigr)}^{2} & = \ left (\ det {\ begin {pmatrix} \ mathbf {OA} & \ mathbf {OB} & \ mathbf {OC} \ end {pmatrix}} \ right)^{2} \\ [4pt] & = {\ begin {vmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ sin c & 0 & \ cos c \\\ sin b \ cos A & \ sin b \ sin A & \ cos b \ end {vmatrix}}^{2} = \ left (\ sin b \ sin c \ sin A \ höger)^{2}. \ end {align}}}$$

$${\ displaystyle {\ frac {\ sin ^{2} A} {\ sin ^{2} a}} = {\ frac {\ sin ^{2} B} {\ sin ^{2} b}} = { \ frac {\ sin ^{2} C} {\ sin ^{2} c}} = {\ frac {V ^{2}} {\ sin ^{2} (a) \ sin ^{2} (b ) \ sin ^{2} (c)}},}$$

Det är lätt att se hur för små sfäriska trianglar, när sfärens radie är mycket större än triangelns sidor, blir denna formel den plana formeln vid gränsen, eftersom

$${\ displaystyle \ lim _ {a \ to 0} {\ frac {\ sin a} {a}} = 1}$$

Geometriska bevis

Tänk på en enhetsfär med:

$${\ displaystyle OA = OB = OC = 1}$$

Konstruera punkt och punkt så att${\ displaystyle D}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ vinkel ADO = \ vinkel AEO = 90^{\ cirk}}$

Konstruera en sådan punkt${\ displaystyle A '}$${\ displaystyle \ vinkel A'DO = \ vinkel A'EO = 90^{\ circ}}$

Det kan därför ses att och${\ displaystyle \ vinkel ADA '= B}$${\ displaystyle \ vinkel AEA '= C}$

Lägg märke till att det är projektionen av på plan . Därför${\ displaystyle A '}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle OBC}$${\ displaystyle \ vinkel AA'D = \ vinkel AA'E = 90^{\ cirk}}$

Genom grundläggande trigonometri har vi:

$${\ displaystyle AD = \ sin c}$$

$${\ displaystyle AE = \ sin b}$$

Men ${\ displaystyle AA '= AD \ sin B = AE \ sin C}$

Genom att kombinera dem har vi:

$${\ displaystyle \ sin c \ sin B = \ sin b \ sin C}$$

$${\ displaystyle {\ frac {\ sin B} {\ sin b}} = {\ frac {\ sin C} {\ sin c}}}$$

Genom att tillämpa liknande resonemang erhåller vi den sfäriska sinuslagen:

$${\ displaystyle {\ frac {\ sin A} {\ sin a}} = {\ frac {\ sin B} {\ sin b}} = {\ frac {\ sin C} {\ sin c}}}$$

Andra bevis

Ett rent algebraiskt bevis kan konstrueras utifrån den sfäriska kosinuslagen . Från identiteten och det uttryckliga uttrycket för från kosinernas sfäriska lag ${\ displaystyle \ sin ^{2} A = 1- \ cos ^{2} A}$${\ displaystyle \ cos A}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin ^{2} \! A & = 1- \ left ({\ frac {\ cos a- \ cos b \, \ cos c} {\ sin b \, \ sin c }} \ höger) ^{2} \\ & = {\ frac {\ vänster (1- \ cos ^{2} \! b \ höger) \ vänster (1- \ cos ^{2} \! c \ höger )-\ vänster (\ cos a- \ cos b \, \ cos c \ höger) ^{2}} {\ sin ^{2} \! b \, \ sin ^{2} \! c}} \\ [8pt] {\ frac {\ sin A} {\ sin a}} & = {\ frac {\ vänster [1- \ cos ^{2} \! A- \ cos ^{2} \! B- \ cos ^{2} \! C+2 \ cos a \ cos b \ cos c \ right]^{1/2}} {\ sin a \ sin b \ sin c}}. \ End {align}}}$$

${\ displaystyle a, \; b, \; c}$

Figuren som används i det geometriska beviset ovan används av och finns också i Banerjee (se figur 3 i detta dokument) för att härleda sinuslagen med hjälp av elementär linjär algebra och projektionsmatriser.

Hyperboliskt fall

I hyperbolisk geometri när krökningen är -1 blir syndens lag

$${\ displaystyle {\ frac {\ sin A} {\ sinh a}} = {\ frac {\ sin B} {\ sinh b}} = {\ frac {\ sin C} {\ sinh c}} \ ,. }$$

I specialfallet när B är en rät vinkel får man

$${\ displaystyle \ sin C = {\ frac {\ sinh c} {\ sinh b}}}$$

som är analog med formeln i euklidisk geometri som uttrycker sinus i en vinkel som motsatt sida dividerat med hypotenusen.

Fallet med ytor med konstant krökning

Definiera en generaliserad sinusfunktion, beroende också på en verklig parameter K :

$${\ displaystyle \ sin _ {K} x = x-{\ frac {Kx^{3}} {3!}}+{\ frac {K^{2} x^{5}} {5!}}- {\ frac {K^{3} x^{7}} {7!}}+\ cdots.}$$

Sinnelagen i konstant krökning K lyder som

$${\ displaystyle {\ frac {\ sin A} {\ sin _ {K} a}} = {\ frac {\ sin B} {\ sin _ {K} b}} = {\ frac {\ sin C} { \ sin _ {K} c}} \ ,.}$$

Genom att ersätta K = 0 , K = 1 och K = −1 erhåller man respektive de euklidiska, sfäriska och hyperboliska fallen av syndelagen som beskrivits ovan.

Låt p _K ( r ) indikerar omkretsen av en cirkel med radien r i ett utrymme av konstant krökning K . Sedan p _K ( r ) = 2 π sin _K r . Därför kan syndelagen också uttryckas som:

$${\ displaystyle {\ frac {\ sin A} {p_ {K} (a)}} = {\ frac {\ sin B} {p_ {K} (b)}} = {\ frac {\ sin C} { p_ {K} (c)}} \ ,.}$$

Denna formulering upptäcktes av János Bolyai .

Högre dimensioner

För en n -dimensionella simplex (dvs triangeln ( n = 2 ), tetraeder ( n = 3 ), pentatope ( n = 4 ), etc.) i n -dimensionella euklidiska rymden , det absoluta värdet av den polära sinus ( PSIN ) av de normala vektorerna för de fasetter som möts vid en toppunkt , dividerat med hyperarea för fasetten mittemot toppunkten är oberoende av valet av vertex. När man skriver V för hypervolymen för n -dimensionell simplex och P för produkten av hyperområdena för dess ( n -1

$${\ displaystyle {\ frac {(nV)^{n-1}} {(n-1)! P}}.}$$

Till exempel har en tetraeder fyra triangulära fasetter. Det absoluta värdet av polarsinus för de normala vektorerna till de tre fasetterna som delar en toppunkt, dividerat med arean på den fjärde fasetten beror inte på valet av toppunkten:

$${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {\ left | \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {3}}, \ mathbf {n_ {4}}) \ höger |} {\ mathrm {Område} _ {1}}} = {\ frac {\ vänster | \ operatornamn {psin} (\ mathbf {n_ {1}}, \ mathbf {n_ {3}}, \ mathbf {n_ {4}}) \ right |} {\ mathrm {Area} _ {2}}} = {\ frac {\ left | \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1}}, \ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {4}}) \ right |} {\ mathrm {Area} _ {3}}} = {\ frac {\ left | \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1 }}, \ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {3}}) \ right |} {\ mathrm {Area} _ {4}}} \\ [4pt] = {} & {\ frac { (3 \ operatorname {Volume} _ {\ mathrm {tetrahedron}})^{2}} {2! ~ \ Mathrm {Area} _ {1} \ mathrm {Area} _ {2} \ mathrm {Area} _ { 3} \ mathrm {Area} _ {4}}} \,. \ End {align}}}$$

Se även

• Gersonides
• Halvsidesformel-  för att lösa sfäriska trianglar
• Cosinus lag
• Tangentlag
• Lag om cotangents
• Mollweides formel  - för att kontrollera lösningar av trianglar
• Lösning av trianglar
• Undersökande

Referenser

externa länkar

• "Sinus sats" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• The Law of Sines at cut-the-knut
• Krökningsgrad
• Hitta sinus på 1 grad
• Generaliserad syndelag till högre dimensioner
• Sines Law - ProofWiki