Metatematik - Metamathematics
Metamatematik är studiet av själva matematiken med hjälp av matematiska metoder. Denna studie producerar metateorier , som är matematiska teorier om andra matematiska teorier. Betoning på metamathematics (och kanske skapandet av termen själv) är skyldig sig David Hilbert : s försök att säkra grunden för matematiken i början av 20-talet. Metamatematik ger "en rigorös matematisk teknik för att undersöka en mängd olika grundproblem för matematik och logik " (Kleene 1952, s. 59). Ett viktigt inslag i metamatematik är dess betoning på att skilja mellan resonemang inifrån ett system och från ett system utanför. En informell illustration av detta är att kategorisera propositionen "2+2 = 4" som tillhörande matematik medan kategorisering av propositionen "2+2 = 4" är giltig "som tillhörande metamatematik.
Historia
Metamatematiska metateorem om själva matematiken differentierades ursprungligen från vanliga matematiska satser på 1800 -talet för att fokusera på det som då kallades matematikens grundkris . Richards paradox (Richard 1905) om vissa "definitioner" av reella tal på engelska är ett exempel på den typ av motsättningar som lätt kan uppstå om man inte kan skilja mellan matematik och metamatematik. Något liknande kan sägas kring den välkända Russells paradox (Innehåller uppsättningen av alla de uppsättningar som inte innehåller sig själva?).
Metamatematik var intimt kopplad till matematisk logik , så att de två fälternas tidiga historier, under slutet av 1800 -talet och början av 1900 -talet, i stort sett överlappar varandra. På senare tid har matematisk logik ofta inkluderat studier av ny ren matematik, såsom uppsättningsteori , kategoriteori , rekursionsteori och ren modellteori , som inte är direkt relaterad till metamatematik.
Allvarlig metamatematisk reflektion började med Gottlob Freges arbete , särskilt hans Begriffsschrift , publicerat 1879.
David Hilbert var den första som åberopade termen "metamatematik" med regelbundenhet (se Hilberts program ), i början av 1900 -talet. I hans händer innebar det något som liknade samtida bevisteori , där finitära metoder används för att studera olika axiomatiserade matematiska satser (Kleene 1952, s. 55).
Andra framstående personer inom området inkluderar Bertrand Russell , Thoralf Skolem , Emil Post , Alonzo Church , Alan Turing , Stephen Kleene , Willard Quine , Paul Benacerraf , Hilary Putnam , Gregory Chaitin , Alfred Tarski och Kurt Gödel .
Idag överlappar metalogik och metamatematik i stort sett, och båda har väsentligt underkastats matematisk logik i akademin.
Milstolpar
Upptäckten av hyperbolisk geometri
Upptäckten av hyperbolisk geometri hade viktiga filosofiska konsekvenser för metamatematik. Innan dess upptäckt fanns det bara en geometri och matematik; tanken på att det fanns en annan geometri ansågs osannolik.
När Gauss upptäckte hyperbolisk geometri, sägs det att han inte publicerade något om det av rädsla för "boeotiernas uppståndelse ", vilket skulle förstöra hans status som princeps mathemataticorum (latin, "matematikerfyrsten"). "Boeotians uppståndelse" kom och gick, och gav en impuls till metamatematik och stora förbättringar i matematisk noggrannhet , analytisk filosofi och logik .
Begriffsschrift
Begriffsschrift (tyska för ungefär "koncept-manus") är en bok om logik av Gottlob Frege , utgiven 1879, och det formella systemet som anges i den boken.
Begriffsschrift översätts vanligtvis som begreppsskrivning eller begreppsnotering ; Den fullständiga titeln på boken identifierar det som "en formel språk , bygger på det av aritmetik , ren tanke ." Frege motivation för att utveckla sin formella inställning till logik liknade Leibniz 's motivation för sin kalkyl ratiocinator (trots att det i hans Förord Frege tydligt förnekar att han nått detta mål, och också att hans främsta mål skulle bygga en ideal språk som Leibniz, vad Frege förklarar sig vara ganska hård och idealistisk, men inte omöjlig uppgift). Frege använde sin logiska kalkyl i sin forskning om matematikens grunder , som utfördes under det kommande kvartsseklet.
Principia Mathematica
Principia Mathematica, eller "PM" som det ofta förkortas, var ett försök att beskriva en uppsättning axiom och slutsatser i symbolisk logik från vilken alla matematiska sanningar i princip kunde bevisas. Som sådant är detta ambitiösa projekt av stor betydelse i matematikens och filosofins historia, eftersom det är en av de främsta produkterna av tron att ett sådant företag kan uppnås. År 1931 bevisade dock Gödels ofullständighetssats definitivt att PM, och i själva verket alla andra försök, aldrig kunde uppnå detta mål; det vill säga för varje uppsättning axiom och slutsatsregler som föreslås för att inkapsla matematik, skulle det faktiskt finnas några matematiska sanningar som inte kunde härledas från dem.
En av de viktigaste inspirationerna och motiveringarna för PM var det tidigare arbetet med Gottlob Frege om logik, som Russell upptäckte tillät konstruktion av paradoxala uppsättningar . PM försökte undvika detta problem genom att utesluta obegränsad skapande av godtyckliga uppsättningar. Detta uppnåddes genom att ersätta föreställningen om en allmän uppsättning med begreppet en hierarki av uppsättningar av olika " typer ", en uppsättning av en viss typ som endast fick innehålla uppsättningar av strikt lägre typer. Samtida matematik undviker dock paradoxer som Russells på mindre otympliga sätt, till exempel systemet med Zermelo - Fraenkels uppsättningsteori .
Gödels ofullständighetsteorem
Gödels ofullständighetssatser är två teorier om matematisk logik som fastställer inneboende begränsningar för alla utom de mest triviala axiomatiska systemen som kan räkna . Satserna, bevisade av Kurt Gödel 1931, är viktiga både i matematisk logik och i matematikfilosofin . De två resultaten tolkas brett, men inte universellt, som visar att Hilberts program för att hitta en fullständig och konsekvent uppsättning axiom för all matematik är omöjlig, vilket ger ett negativt svar på Hilberts andra problem .
Den första ofullständighetssatsen säger att inga konsekventa axiomsystem vars satser kan listas med ett " effektivt förfarande " (t.ex. ett datorprogram, men det kan vara vilken som helst algoritm) som kan bevisa alla sanningar om förhållandena mellan det naturliga siffror ( aritmetik ). För alla sådana system kommer det alltid att finnas uttalanden om de naturliga siffrorna som är sanna, men som inte kan bevisas inom systemet. Den andra ofullständighetssatsen, en förlängning av den första, visar att ett sådant system inte kan visa sin egen konsistens.
Tarskis definition av modellteoretisk tillfredsställelse
T-schema eller sanning schema (ej att förväxla med ' Convention T ') används för att ge en induktiv definition av sanning som ligger i centrum för varje realisering av Alfred Tarski s semantisk teori om sanningen . Vissa författare kallar det "Equivalence Schema", en synonym som introducerades av Michael Dummett .
T-schemat uttrycks ofta i naturligt språk , men det kan formaliseras i många sorterade predikatlogik eller modal logik ; en sådan formalisering kallas en T-teori . T-teorier utgör grunden för mycket grundläggande arbete inom filosofisk logik , där de tillämpas i flera viktiga kontroverser inom analytisk filosofi .
Som uttryckt i semi-naturligt språk (där 'S' är namnet på meningen förkortad till S): 'S' är sant om och endast om S
Exempel: "snö är vit" är sant om och bara om snön är vit.
Det är omöjligt med Entscheidungsproblemet
Den avgörbarhetsproblemet ( tyska för " beslutsproblem ) är en utmaning som David Hilbert 1928. avgörbarhetsproblemet ber om en algoritm som tar som indata en redogörelse för en första ordningens logik (eventuellt med ett begränsat antal axiom bortom de vanliga axiom av första ordningens logik) och svarar "Ja" eller "Nej" beroende på om påståendet är universellt giltigt , dvs giltigt i varje struktur som uppfyller axiomen. Genom fullständighetsteorin i första ordningens logik är ett uttalande universellt giltigt om och bara om det kan härledas från axiomen, så att Entscheidungsproblemet också kan ses som att be om en algoritm för att avgöra om ett givet uttalande kan bevisas från axiomen med hjälp av logikens regler.
År 1936 publicerade Alonzo Church och Alan Turing oberoende artiklar som visar att en allmän lösning på Entscheidungsproblemet är omöjlig, förutsatt att den intuitiva notationen " effektivt beräknbar " fångas av de funktioner som kan beräknas av en Turing -maskin (eller likvärdigt av dem som kan uttryckas i den lambdakalkyl ). Detta antagande är nu känt som Church -Turing -tesen .
Se även
Referenser
Vidare läsning
- WJ Blok och Don Pigozzi, " Alfred Tarski's Work on General Metamathematics ", Journal of Symbolic Logic , v. 53, nr 1 (mars 1988), s. 36–50.
- IJ Bra. "En anteckning om Richards paradox". Mind , New Series, Vol. 75, nr 299 (juli 1966), sid. 431. JStor
- Douglas Hofstadter , 1980. Gödel, Escher, Bach . Vintage böcker. Riktat mot lekmän.
- Stephen Cole Kleene , 1952. Introduktion till metamatematik . Nordholland. Inriktad på matematiker.
- Jules Richard, Les Principes des Mathématiques et le Problème des Ensembles , Revue Générale des Sciences Pures et Appliquées (1905); översatt i Heijenoort J. van (red.), Källbok i matematisk logik 1879-1931 (Cambridge, Massachusetts, 1964).
- Alfred North Whitehead och Bertrand Russell . Principia Mathematica , 3 vols, Cambridge University Press, 1910, 1912 och 1913. Andra upplagan, 1925 (Vol. 1), 1927 (Vol 2, 3). Förkortad som Principia Mathematica till *56 , Cambridge University Press, 1962.