Lögnare paradox - Liar paradox

I filosofi och logik är den klassiska lögnare paradoxen eller lögnarens paradox eller lögnens antinomi uttalandet från en lögnare om att de ljuger: till exempel att förklara att "jag ljuger". Om lögnaren verkligen ljuger, då säger lögnaren sanningen, vilket betyder att lögnaren bara ljög. I "den här meningen är en lögn" förstärks paradoxen för att göra den mer mottaglig för mer noggrann logisk analys. Det kallas fortfarande allmänt för "lögnparadoxen" även om abstraktion görs just från lögnaren som gör uttalandet. Försöker tilldela detta uttalande, den förstärkta lögnaren, ett klassiskt binärt sanningvärde leder till en motsättning .

Om "denna mening är falsk" är sann, så är den falsk, men meningen säger att den är falsk, och om den är falsk måste den vara sann osv.

Historia

Den Epimenides paradoxen (circa 600 BC) har föreslagits som ett exempel på den lögnaren, men de är inte logiskt ekvivalent. Den halvmytiska searen Epimenides , en kretensisk , uppgav enligt uppgift att "Alla kretensare är lögnare". Epimenides uttalande om att alla kretensare är lögnare kan dock lösas som falskt, med tanke på att han känner till minst en annan kretensare som inte ljuger.

Paradoxens namn översätts som pseudómenos lógos (ψευδόμενος λόγος) på forngrekiska . En version av lögnparadoxen tillskrivs den grekiske filosofen Eubulides of Miletus , som levde på 400 -talet f.Kr. Eubulides frågade enligt uppgift: "En man säger att han ljuger. Är det han säger sant eller falskt?"

Paradoxen diskuterades en gång av S: t Jerome i en predikan:

” Jag sa i mitt larm: Varje man är en lögnare! ” Talar David sant eller ljuger han? Om det är sant att varje människa är en lögnare och Davids uttalande, "Varje man är en lögnare" är sant, då ljuger också David; han är också en man. Men om han också ljuger är hans uttalande att "Varje människa är en lögnare" följaktligen inte sant. Oavsett hur du vänder förslaget är slutsatsen en motsägelse. Eftersom David själv är en man, följer att han också ljuger; men om han ljuger för att varje man är en lögnare är hans lögn av ett annat slag.

Den indiske grammatikfilosofen Bhartrhari (slutet av 500-talet e.Kr.) var väl medveten om en lögnparadox som han formulerade som "allt jag säger är falskt" (sarvam mithyā bravīmi). Han analyserar detta påstående tillsammans med paradoxen om "osignifierbarhet" och utforskar gränsen mellan uttalanden som är oproblematiska i det dagliga livet och paradoxer.

Det diskuterades lögnparadoxen i den tidiga islamiska traditionen i minst fem århundraden, från slutet av 900 -talet, och tydligen utan att påverkas av någon annan tradition. Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī kunde ha varit den första logikern som identifierade lögnparadoxen som självreferens .

Förklaring och varianter

Problemet med lögnparadoxen är att det verkar visa att vanliga uppfattningar om sanning och falskhet faktiskt leder till en motsättning . Meningar kan konstrueras som inte konsekvent kan tilldelas ett sanningvärde även om de helt överensstämmer med grammatik och semantiska regler.

Den enklaste versionen av paradoxen är meningen:

Om (A) är sant är "Detta påstående falskt" sant. Därför måste (A) vara falsk. Hypotesen att (A) är sann leder till slutsatsen att (A) är falsk, en motsägelse.

Om (A) är falskt är "Detta påstående falskt" falskt. Därför måste (A) vara sant. Hypotesen att (A) är falsk leder till slutsatsen att (A) är sann, en annan motsägelse. Hur som helst är (A) både sant och falskt, vilket är en paradox.

Men att lögnarsatsen kan visa sig vara sann om den är falsk och falsk om den är sann har fått vissa att dra slutsatsen att den är "varken sann eller falsk". Detta svar på paradoxen är i själva verket avvisningen av påståendet att varje påstående måste vara antingen sant eller falskt, även känt som principen om bivalens , ett begrepp relaterat till lagen om den uteslutna mitten .

Förslaget att påståendet varken är sant eller falskt har gett upphov till följande, förstärkta version av paradoxen:

Om (B) varken är sant eller falskt, måste det inte vara sant . Eftersom detta är vad (B) själv säger, betyder det att (B) måste vara sant . Eftersom initialt (B) inte var sant och nu är sant, uppstår en annan paradox.

En annan reaktion på paradoxen (A) är att, som Graham Priest har, konstatera att påståendet är både sant och falskt. Ändå är även Priests analys mottaglig för följande version av lögnaren:

Om (C) är både sant och falskt, är (C) bara falskt. Men då är det inte sant . Eftersom initialt (C) var sant och nu inte är sant , är det en paradox. Det har emellertid hävdats att genom att anta en tvåvärdig relationell semantik (i motsats till funktionell semantik ) kan den dialetiska metoden övervinna denna version av Liar.

Det finns också versioner med flera meningar av lögnparadoxen. Följande är versionen med två meningar:

Antag att (D1) är sant. Då är (D2) sant. Detta skulle innebära att (D1) är falsk. Därför är (D1) både sant och falskt.

Antag (D1) är falskt. Då är (D2) falskt. Detta skulle innebära att (D1) är sant. Således är (D1) både sant och falskt. Hur som helst är (D1) både sant och falskt - samma paradox som (A) ovan.

Multi-meningsversionen av lögnparadoxen generaliserar till varje cirkulär sekvens av sådana påståenden (där det sista påståendet hävdar sanningen/falskheten i det första påståendet), förutsatt att det finns ett udda antal uttalanden som hävdar att deras efterträdare är falsk; följande är en version med tre meningar, där varje påstående bekräftar falskheten hos dess efterträdare:

Antag att (E1) är sant. Då (E2) är falsk, vilket betyder att (E3) är sant, och därför (E1) är falskt, vilket leder till en motsättning.

Antag att (E1) är falskt. Då (E2) är sant, vilket betyder att (E3) är falskt, och därför (E1) är sant. Hur som helst är (E1) både sant och falskt - samma paradox som med (A) och (D1).

Det finns många andra varianter och många komplement. I vanlig meningskonstruktion är den enklaste versionen av komplementet meningen:

Om F antas bära ett sanningvärde, presenterar det problemet med att bestämma objektet för det värdet. Men en enklare version är möjlig genom att anta att det enda ordet "sant" bär ett sanningvärde. Analogen till paradoxen är att anta att det enda ordet "falskt" också har ett sanningvärde, nämligen att det är falskt. Detta avslöjar att paradoxen kan reduceras till den mentala handlingen att anta att själva idén om misstag bär ett sanningvärde, nämligen att själva idén om misstag är falsk: en handling av felaktig framställning. Så den symmetriska versionen av paradoxen skulle vara:

Möjliga upplösningar

Rolig logik

I suddig logik kan sanningens värde i ett uttalande vara vilket reellt tal som helst mellan 0 och 1 både inkluderande, i motsats till boolsk logik , där sanningsvärdena endast kan vara heltalsvärdena 0 eller 1. I detta system är påståendet "Detta påstående är falskt "är inte längre paradoxalt eftersom det kan tilldelas ett sanningvärde på 0,5, vilket gör det exakt till hälften sant och till hälften falskt. En förenklad förklaring visas nedan.

Låt oss beteckna sanningsvärdet för påståendet "Detta påstående är falskt" med x. Uttalandet blir

$${\ displaystyle x = NOT (x)}$$

genom att generalisera NOT -operatören till motsvarande Zadeh -operatör från suddig logik, blir påståendet

$${\ displaystyle x = 1-x}$$

därav följer det

$${\ displaystyle x = 0,5}$$

Alfred Tarski

Alfred Tarski diagnostiserade att paradoxen bara uppstod på språk som är "semantiskt slutna", med vilket han menade ett språk där det är möjligt för en mening att predikera sanning (eller falskhet) i en annan mening på samma språk (eller till och med av sig själv) ). För att undvika självmotsägelse är det nödvändigt när man diskuterar sanningens värderingar att tänka sig språknivåer, som alla kan predikera sanning (eller falskhet) endast för språk på en lägre nivå. Så när en mening hänvisar till en annan sanning-värde är den semantiskt högre. Meningen som det hänvisas till är en del av "objektspråket", medan den hänvisande meningen anses vara en del av ett "metaspråk" med avseende på objektspråket. Det är legitimt att meningar på "språk" högre i den semantiska hierarkin hänvisar till meningar som är lägre i "språk" -hierarkin, men inte tvärtom. Detta förhindrar att ett system blir självreferentiellt.

Detta system är emellertid ofullständigt. Man skulle vilja kunna göra uttalanden som "För varje påstående i nivå α i hierarkin finns det ett påstående på nivå α +1 som hävdar att det första påståendet är falskt." Detta är ett sant, meningsfullt uttalande om den hierarki som Tarski definierar, men det hänvisar till påståenden på alla nivåer i hierarkin, så det måste ligga över varje nivå i hierarkin och är därför inte möjligt inom hierarkin (även om begränsade versioner av meningen är möjlig). Saul Kripke krediteras för att ha identifierat denna ofullständighet i Tarskis hierarki i sitt mycket citerade dokument "Outline of a theory of truth", och det erkänns som ett generellt problem i hierarkiska språk.

Arthur Prior

Arthur Prior hävdar att det inte finns något paradoxalt med lögnparadoxen. Hans påstående (som han tillskriver Charles Sanders Peirce och John Buridan ) är att varje uttalande innehåller ett implicit påstående om sin egen sanning. Således innehåller till exempel påståendet "Det är sant att två plus två är lika med fyra" inte mer information än påståendet "två plus två är fyra", eftersom frasen "det är sant att ..." alltid är implicit där. Och i den självrefererande andan i Liar Paradox är frasen "det är sant att ..." ekvivalent med "hela detta påstående är sant och ...".

Följande två påståenden är alltså likvärdiga:

Det senare är en enkel motsägelse av formen "A och inte A", och är därför falsk. Det finns därför ingen paradox eftersom påståendet att denna två-konjunkt lögnare är falskt inte leder till en motsättning. Eugene Mills presenterar ett liknande svar.

Saul Kripke

Saul Kripke hävdade att huruvida en mening är paradoxal eller inte kan bero på villkorade fakta. Om det enda Smith säger om Jones är

och Jones säger bara dessa tre saker om Smith:

Om Smith verkligen är en stor spenderare men inte är mjuk för kriminalitet, så är både Smiths anmärkning om Jones och Jones sista anmärkning om Smith paradoxala.

Kripke föreslår en lösning på följande sätt. Om ett uttalandes sanningsvärde i slutändan är bunden till något utvärderbart faktum om världen, är det påståendet "grundat". Om inte är det påståendet "ogrundat". Ogrundade uttalanden har inte ett sanningvärde. Lögnare uttalanden och lögnartade uttalanden är ogrundade och har därför inget sanningsvärde.

Jon Barwise och John Etchemendy

Jon Barwise och John Etchemendy föreslår att lögndomen (som de tolkar som synonymt med den förstärkta lögnaren) är tvetydig. De grundar denna slutsats på en åtskillnad de gör mellan en "förnekelse" och en "negation". Om lögnaren menar: "Det är inte så att detta påstående är sant", förnekar det sig själv. Om det betyder "Detta påstående är inte sant", så förnekar det sig själv. De fortsätter att argumentera, baserat på situationens semantik , att "förnekelse lögnaren" kan vara sann utan motsägelse medan "negation lögnaren" kan vara falsk utan motsägelse. Deras bok från 1987 använder sig av icke välgrundad uppsättningsteori .

Dialeteism

Graham Priest och andra logiker, inklusive JC Beall och Bradley Armor-Garb, har föreslagit att lögnardomen ska anses vara både sann och falsk, en synpunkt som kallas dialeteism . Dialeteism är uppfattningen att det finns sanna motsättningar. Dialeteismen väcker sina egna problem. Det främsta bland dessa är att eftersom dialeteismen erkänner lögnparadoxen, en inneboende motsättning, som sann, måste den slänga den sedan länge erkända explosionsprincipen , som hävdar att alla förslag kan härledas från en motsägelse, såvida inte dialeteisten är villig att acceptera trivialism - uppfattningen att alla propositioner är sanna. Eftersom trivialism är en intuitivt falsk uppfattning, förkastar dialeteister nästan alltid explosionsprincipen. Logik som förkastar det kallas parakonsistent .

Icke-kognitivism

Andrew Irvine har argumenterat för en icke-kognitivistisk lösning på paradoxen, vilket tyder på att vissa till synes välformade meningar varken kommer att visa sig vara sanna eller falska och att "formella kriterier enbart oundvikligen kommer att visa sig otillräckliga" för att lösa paradoxen.

Bhartrharis perspektivism

Den indiske grammatikfilosofen Bhartrhari (sent femte århundradet e.Kr.) behandlade paradoxer som lögnaren i en del av ett av kapitlen i hans magnum opus Vākyapadīya. Även om han kronologiskt föregår alla moderna behandlingar av problemet med lögnparadoxen, har det först nyligen blivit möjligt för dem som inte kan läsa de ursprungliga sanskritkällorna att konfrontera sina åsikter och analyser med moderna logiker och filosofer eftersom tillräckligt tillförlitliga utgåvor och översättningar av hans arbete har bara börjat bli tillgängligt sedan andra halvan av 1900 -talet. Bhartrharis lösning passar in i hans allmänna inställning till språk, tanke och verklighet, som av vissa har karaktäriserats som "relativistisk", "icke-bindande" eller "perspektivistisk". När det gäller lögnparadoxen ( sarvam mithyā bravīmi "allt jag säger är falskt") identifierar Bhartrhari en dold parameter som kan förändra oproblematiska situationer i daglig kommunikation till en envis paradox. Bhartrharis lösning kan förstås utifrån den lösning som föreslogs 1992 av Julian Roberts: "Paradoxer förbrukar sig själva. Men vi kan hålla isär motstridiga stridssidor av den enkla ändamålet med tidsmässig kontextualisering: vad som är" sant "med avseende på en tidpunkt behöver inte vara så i en annan ... Den övergripande kraften i det 'austinska' argumentet är inte bara att 'saker förändras', utan att rationalitet är i huvudsak tidsmässigt genom att vi behöver tid för att förena och hantera det som annars skulle vara ömsesidigt destruktiva stater. " Enligt Roberts förslag är det faktorn "tid" som gör att vi kan förena de separerade "delar av världen" som spelar en avgörande roll i lösningen av Barwise och Etchemendy. Tidens förmåga att förhindra en direkt konfrontation av de två "delar av världen" ligger här utanför "lögnaren". Mot bakgrund av Bhartrharis analys är emellertid förlängningen i tid som skiljer två perspektiv på världen eller två "delar av världen" - delen före och delen efter att funktionen fullgör sin uppgift - inneboende i varje "funktion": också funktionen att markera som ligger till grund för varje påstående, inklusive "lögnaren". Den olösliga paradoxen - en situation där vi antingen har motsägelse ( virodha ) eller oändlig regress ( anavasthā ) - uppstår i fallet med lögnaren och andra paradoxer som osynlighetsbarhetsparadoxen ( Bhartrharis paradox ), när abstraktion görs från denna funktion ( vyāpāra ) och dess förlängning i tid, genom att acceptera en samtidig, motsatt funktion ( apara vyāpāra ) som ångrar den föregående.

Logisk struktur

För en bättre förståelse av lögnparadoxen är det användbart att skriva ner det på ett mer formellt sätt. Om "detta påstående är falskt" betecknas med A och dess sanningsvärde eftersträvas, är det nödvändigt att hitta ett villkor som begränsar valet av möjliga sanningsvärden för A. Eftersom A är självreferentiellt är det möjligt att ge villkoret med en ekvation.

Om något påstående, B, antas vara falskt, skriver man, "B = falskt". Påståendet (C) att påståendet B är falskt skulle skrivas som "C = 'B = false ' ". Nu kan lögnparadoxen uttryckas som påståendet A, att A är falskt:

Detta är en ekvation från vilken sanningsvärdet för A = "this statement is false" förhoppningsvis kan erhållas. I den booleska domänen är "A = false" ekvivalent med "inte A" och därför är ekvationen inte lösbar. Detta är motivationen för nytolkning av A. Det enklaste logiska tillvägagångssättet för att göra ekvationen lösligt är det dialeteistiska tillvägagångssättet, i vilket fall lösningen är A är både "sann" och "falsk". Andra upplösningar innehåller mestadels vissa modifieringar av ekvationen; Arthur Prior hävdar att ekvationen ska vara "A = 'A = falsk och A = sann ' " och därför är A falskt. I beräknande verblogik utvidgas lögnparadoxen till uttalanden som "jag hör vad han säger; han säger vad jag inte hör", där verblogik måste användas för att lösa paradoxen.

Ansökningar

Gödels första ofullständighetssats

Gödels ofullständighetssatser är två grundläggande satser för matematisk logik som anger inneboende begränsningar för tillräckligt kraftfulla axiomatiska system för matematik. Satserna bevisades av Kurt Gödel 1931 och är viktiga i matematikfilosofin. Grovt sett, för att bevisa den första ofullständigheten , använde Gödel en modifierad version av lögnparadoxen och ersatte "denna mening är falsk" med "den här meningen är inte bevisbar", kallad "Gödel -meningen G". Hans bevis visade att för varje tillräckligt kraftfull teori T, G är sant, men inte bevisbart i T. Analysen av sanningen och bevisbarheten för G är en formaliserad version av analysen av sanningen i lögndomen.

För att bevisa den första ofullständigheten satsen representerade Gödel påståenden med siffror . Då teorin till hands, som antas bevisa vissa fakta om siffror, bevisar också fakta om sina egna uttalanden. Frågor om bevisbarhet för påståenden representeras som frågor om talens egenskaper, som skulle kunna avgöras av teorin om den var fullständig. I dessa termer säger Gödel -meningen att det inte finns något naturligt tal med en viss, konstig egenskap. Ett nummer med den här egenskapen skulle koda ett bevis på teorins inkonsekvens. Om det fanns ett sådant antal skulle teorin vara inkonsekvent, i motsats till konsekvenshypotesen. Så, under antagandet att teorin är konsekvent, finns det inget sådant antal.

Det är inte möjligt att ersätta "inte bevisbart" med "falskt" i en Gödel -mening eftersom predikatet "Q är Gödel -numret för en falsk formel" inte kan representeras som en formel för aritmetik. Detta resultat, känt som Tarskis odefinierbarhetsteorem , upptäcktes oberoende av Gödel (när han arbetade med beviset på ofullständighetsteoremet) och av Alfred Tarski .

George Boolos har sedan skissat ett alternativt bevis på den första ofullständighetsteoremet som använder Berrys paradox snarare än lögnparadoxen för att konstruera en sann men obevislig formel.

I populärkulturen

Den lögnare paradoxen används ibland i skönlitteratur för att stänga ner artificiella intelligenser, som presenteras som oförmögna att behandla meningen. I Star Trek: The Original Series -avsnittet " I, Mudd " används lögnparadoxen av kapten Kirk och Harry Mudd för att förvirra och i slutändan inaktivera en android som håller dem fångade. I Doctor Who -serien 1973 Den gröna döden stubbar doktorn tillfälligt den vansinniga datorn BOSS genom att fråga den "Om jag skulle berätta att nästa sak jag säger skulle vara sann, men att det sista jag sa var en lögn, skulle du tror mig?" BOSS försöker ta reda på det men kan inte och slutligen avgör frågan är irrelevant och kallar säkerhet.

I videospelet Portal 2 från 2011 försöker artificiell intelligens GLaDOS använda paradoxen "denna mening är falsk" för att döda en annan artificiell intelligens, Wheatley . Men utan intelligens för att inse påståendet är en paradox, svarar han helt enkelt: "Um, sant. Jag går med sant. Det var lätt." och är opåverkad. Humoristiskt så dödas alla andra AI som inte innehåller GLaDOS, som alla är betydligt mindre känsliga och klara än både henne och Wheatley, fortfarande dödas av att höra paradoxen. GLaDOS noterar dock senare att hon nästan dödade sig själv från sitt eget försök att döda Wheatley.

Den Devo sång, nog sagt , innehåller texterna Nästa sak jag säga till dig kommer att vara sant / Det sista jag sa var falskt.

I det sjunde avsnittet av Minecraft: Story Mode med titeln "Access Denied" fångas huvudpersonen Jesse och hans vänner av en superdator som heter PAMA. Efter att PAMA kontrollerar två av Jesses vänner får Jesse veta att PAMA stannar vid bearbetning och använder en paradox för att förvirra honom och fly med sin sista vän. En av paradoxerna som spelaren kan få honom att säga är lögnparadoxen.

I Douglas Adams The Hitchhiker's Guide to the Galaxy , kapitel 21, beskriver han en ensam gubbe som bor i en liten asteroid i de rumsliga koordinaterna där det borde ha varit en hel planet tillägnad Biros livsformer . Den här gubben hävdade upprepade gånger att ingenting var sant, även om han senare upptäcktes att han ljög.

Rollins Bands låt " Liar " från 1994 anspelade på paradoxen när berättaren avslutar låten med att säga "Jag kommer att ljuga om och om igen och jag ska fortsätta ljuga, jag lovar".

Robert Earl Keens låt "The Road Goes On and On" anspelar på paradoxen. Låten antas allmänt vara skriven som en del av Keens fejd med Toby Keith, som förmodligen är "lögnaren" Keen refererar till.

Se även

• Performativ motsättning
• Hilbert – Bernays paradox
• Insolubilia
• Riddare och Knaver
• Självreferens

Anteckningar

Referenser

externa länkar

• Dowden, Bradley. "Lögnparadox" . Internetens encyklopedi för filosofi .
• Beall, JC; Glanzberg, Michael. "Lögnparadox" . I Zalta, Edward N. (red.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .