K3 yta - K3 surface

En slät kvartsyta i tre utrymmen. Figuren visar en del av de verkliga punkterna (av verklig dimension 2) i en viss komplex K3 -yta (av komplex dimension 2, därav verklig dimension 4).

I matematik är en komplex analytisk K3 -yta en kompakt ansluten komplex grenrör av dimension 2 med trivialt kanoniskt bunt och oregelbundenhet noll. En (algebraisk) K3 -yta över vilket fält som helst betyder en jämn korrekt geometriskt ansluten algebraisk yta som uppfyller samma villkor. I Enriques – Kodaira -klassificeringen av ytor utgör K3 -ytor en av de fyra klasserna av minimala ytor i Kodaira -dimensionen noll. Ett enkelt exempel är kvartsytan Fermat

${\ displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4} = 0}$

i komplex projektiv 3-rymd .

Tillsammans med tvådimensionella kompakta komplexa tori är K3-ytorna Calabi – Yau-grenrören (och även hyperkähler-grenrören ) i dimension två. Som sådana är de i centrum för klassificeringen av algebraiska ytor, mellan de positivt krökta del Pezzo -ytorna (som är lätta att klassificera) och de negativt krökta ytorna av allmän typ (som i huvudsak är oklassificerade). K3 -ytor kan betraktas som de enklaste algebraiska sorterna vars struktur inte reduceras till kurvor eller abeliska sorter , och ändå där en väsentlig förståelse är möjlig. En komplex K3-yta har verklig dimension 4, och den spelar en viktig roll i studiet av släta 4-grenrör . K3 -ytor har applicerats på Kac – Moody -algebra , spegelsymmetri och strängteori .

Det kan vara användbart att tänka på komplexa algebraiska K3 -ytor som en del av den bredare familjen av komplexa analytiska K3 -ytor. Många andra typer av algebraiska sorter har inte sådana icke-algebraiska deformationer.

Definition

Det finns flera likvärdiga sätt att definiera K3 -ytor. De enda kompakta komplexa ytorna med trivialt kanoniskt bunt är K3 -ytor och kompakta komplexa tori, och så kan man lägga till alla villkor som undantar de senare för att definiera K3 -ytor. Till exempel är det likvärdigt att definiera en komplex analytisk K3-yta som en helt enkelt ansluten kompakt komplex grenrör av dimension 2 med en ingenstans försvinnande holomorf 2-form . (Det senare villkoret säger exakt att det kanoniska buntet är trivialt.)

Det finns också några varianter av definitionen. Över de komplexa talen anser vissa författare bara de algebraiska K3 -ytorna. (En algebraisk K3 -yta är automatiskt projektiv .) Eller så kan man tillåta att K3 -ytor har du Val -singulariteter (de kanoniska singulariteterna i dimension 2), snarare än att vara släta.

Beräkning av Betti -siffrorna

De Betti numren av en komplex analytisk K3 ytan beräknas enligt följande. (Ett liknande argument ger samma svar för Betti-numren på en algebraisk K3-yta över alla fält, definierade med hjälp av l-adisk kohomologi .) Per definition är det kanoniska buntet trivialt och oegentligheten q ( X ) (dimensionen av koherent sheaf cohomology group ) är noll. Av Serre dualitet , ${\ displaystyle K_ {X} = \ Omega _ {X}^{2}}$${\ displaystyle h^{1} (X, O_ {X})}$${\ displaystyle H^{1} (X, O_ {X})}$

${\ displaystyle h^{2} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = h^{0} (X, K_ {X}) = 1.}$

Som ett resultat är det aritmetiska släktet (eller holomorfa Euler -egenskapen ) för X :

${\ displaystyle \ chi (X, {\ mathcal {O}} _ {X}): = \ sum _ {i} (-1)^{i} h^{i} (X, {\ mathcal {O} } _ {X}) = 1-0+1 = 2.}$

Å andra sidan säger Riemann – Roch -satsen (Noeters formel):

${\ displaystyle \ chi (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = {\ frac {1} {12}} \ vänster (c_ {1} (X)^{2}+c_ {2} (X) \ höger),}$

där är den i : te chernklass av tangentknippe . Eftersom det är trivialt är dess första Chern -klass noll, och så . ${\ displaystyle c_ {i} (X)}$${\ displaystyle K_ {X}}$${\ displaystyle c_ {1} (K_ {X}) =-c_ {1} (X)}$${\ displaystyle c_ {2} (X) = 24}$

Därefter ger den exponentiella sekvensen en exakt sekvens av kohomologigrupper , och så . Den Betti antalet sålunda är noll, och av Poincaré dualitet , är också noll. Slutligen är lika med den topologiska Euler -egenskapen${\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} _ {X} \ to O_ {X} \ to O_ {X}^{*} \ to 0}$${\ displaystyle 0 \ to H^{1} (X, \ mathbb {Z}) \ to H^{1} (X, O_ {X})}$${\ displaystyle H^{1} (X, \ mathbb {Z}) = 0}$${\ displaystyle b_ {1} (X)}$${\ displaystyle b_ {3} (X)}$${\ displaystyle c_ {2} (X) = 24}$

${\ displaystyle \ chi (X) = \ sum _ {i} (-1)^{i} b_ {i} (X).}$

Sedan och följer det . ${\ displaystyle b_ {0} (X) = b_ {4} (X) = 1}$${\ displaystyle b_ {1} (X) = b_ {3} (X) = 0}$${\ displaystyle b_ {2} (X) = 22}$

Egenskaper

• Alla två komplexa analytiska K3-ytor är diffeomorfa som släta 4-grenar av Kunihiko Kodaira .
• Varje komplex analytisk K3-yta har ett Kähler-mått , av Yum-Tong Siu . (Analogt, men mycket lättare: varje algebraisk K3-yta över ett fält är projektiv.) Genom Shing-Tung Yaus lösning på Calabi-gissningen följer att varje komplex analytisk K3-yta har ett Ricci-platt Kähler-mått.
• De Hodge nummer av något K3 yta listas i Hodge diamant:

  		1
  	0		0
  1		20		1
  	0		0
  		1

  Ett sätt att visa detta är att beräkna det Jacobianska idealet för en specifik K3 -yta och sedan använda en variation av Hodge -strukturen på modulerna för algebraiska K3 -ytor för att visa att alla sådana K3 -ytor har samma Hodge -nummer. En mer lågbrun beräkning kan göras med hjälp av beräkningen av Betti-siffrorna tillsammans med de delar av Hodge-strukturen som beräknats för en godtycklig K3-yta. I detta fall, Hodge symmetri krafter , därför . För K3 -ytor i karakteristiska p > 0 visades detta först av Alexey Rudakov och Igor Shafarevich .${\ displaystyle H^{2} (X; \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle H^{0} (X; \ Omega _ {X}^{2}) \ cong \ mathbb {C}}$${\ displaystyle H ^{1} (X, \ Omega _ {X}) \ cong \ mathbb {C} ^{20}}$

• För en komplex analytisk K3 -yta X är skärningsformen (eller koppprodukten ) på en symmetrisk bilinjär form med värden i heltalen, känd som K3 -gitteret . Detta är isomorft för det jämna unimodulära gallret , eller likvärdigt , där U är det hyperboliska gallret av rang 2 och är E8 -gallret .${\ displaystyle H ^{2} (X, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z} ^{22}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {II} _ {3,19}}$${\ displaystyle E_ {8} (-1)^{\ oplus 2} \ oplus U^{\ oplus 3}}$${\ displaystyle E_ {8}}$
• Yukio Matsumotos 11/8 gissning förutsäger att varje jämnt orienterat 4-grenrörs X med jämn skärningsform har andra Betti-tal minst 11/8 gånger det absoluta värdet för signaturen . Detta skulle vara optimalt om det är sant, eftersom jämlikhet gäller för en komplex K3 -yta, som har signaturen 3−19 = −16. Gissningen skulle innebära att varje enkelt ansluten slät 4-grenrör med jämn skärningsform är homeomorf med en ansluten summa av kopior av K3-ytan och av .${\ displaystyle S^{2} \ gånger S^{2}}$
• Varje komplex yta som är diffeomorf till en K3 -yta är en K3 -yta, av Robert Friedman och John Morgan . Å andra sidan finns det släta komplexa ytor (några av dem projektiva) som är homeomorfa men inte diffeomorfa mot en K3 -yta, av Kodaira och Michael Freedman . Dessa "homotopy K3 -ytor" har alla Kodaira -dimension 1.

Exempel

• Det dubbla locket X på det projektiva planet förgrenat längs en slät sextisk (grad 6) kurva är en K3 -yta av släkt 2 (det vill säga grad 2 g −2 = 2). (Denna terminologi innebär att den inversa bilden i X av ett allmänt hyperplan i är en slät kurva av släkt 2.)${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$
• En slät kvarts (grad 4) yta i är en K3 -yta av släkt 3 (det vill säga grad 4).${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$
• En Kummer-yta är kvoten för en tvådimensionell abelsk sort A genom handlingen . Resulterar detta i 16 singulariteter, vid de punkter av 2-vrid A . Den minimala upplösningen av denna enastående yta kan också kallas en Kummer -yta; att upplösningen är en K3 -yta. När A är Jacobian av en kurva av släkt 2 visade Kummer att kvoten kan bäddas in som en kvartsyta med 16 noder .${\ displaystyle a \ mapsto -a}$${\ displaystyle A/(\ pm 1)}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$
• Mer allmänt: för varje kvartsyta Y med du Val singulariteter är den minimala upplösningen av Y en algebraisk K3 -yta.
• Skärningspunkten mellan en kvadrat och en kubik i är en K3 -yta av släkt 4 (det vill säga grad 6).${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{4}}$
• Skärningspunkten mellan tre kvadrater i är en K3 -yta av släkt 5 (det vill säga grad 8).${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{5}}$
• Det finns flera databaser över K3 -ytor med du Val -singulariteter i viktade projektiva utrymmen .

Picard -gallret

Den Picard gruppen Pic ( X ) av en komplex analytisk K3 yta X betyder den abelsk grupp av komplexa analytiska linjeknippen på X . För en algebraisk K3 yta, Pic ( X ) betyder gruppen av algebraiska linjeknippen på X . De två definitionerna är överens om ett komplex algebraisk K3 yta, genom Jean-Pierre Serre 's GAGA sats.

Picard -gruppen på en K3 -yta X är alltid en slutligen genererad fri abelisk grupp; dess rang kallas Picard -numret . I det komplexa fallet är Pic ( X ) en undergrupp av . Det är en viktig egenskap hos K3 -ytor att många olika Picard -nummer kan förekomma. För X kan en komplex algebraisk K3 -yta vara vilket heltal som helst mellan 1 och 20. I det komplexa analytiska fallet kan det också vara noll. (I så fall innehåller X inga slutna komplexa kurvor alls. Däremot innehåller en algebraisk yta alltid många kontinuerliga familjer av kurvor.) Över ett algebraiskt slutet fält med karakteristiken p > 0 finns det en särskild klass av K3 -ytor, supersingular K3 -ytor , med Picard nummer 22. ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle H ^{2} (X, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z} ^{22}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ rho}$

Den Picard gitter av en K3 ytorgan den abelsk grupp Pic ( X ) tillsammans med dess skärning form, en symmetrisk bilinjär form med värden i heltalen. (Över , skärningsformen betyder begränsningen av skärningsformen på . Över ett allmänt fält kan skärningssättet definieras med hjälp av skärningsteorin för kurvor på en yta, genom att identifiera Picard -gruppen med delaren klassgrupp .) Picard gitter på en K3 -yta är alltid jämnt , vilket innebär att heltalet är jämnt för varje . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle H^{2} (X, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle u^{2}}$${\ displaystyle u \ in \ operatorname {Pic} (X)}$

Den Hodge Index teoremet innebär att Picard gitter av en algebraisk K3 yta har signatur . Många egenskaper hos en K3 -yta bestäms av dess Picard -gitter, som en symmetrisk bilinjär form över heltalet. Detta leder till ett starkt samband mellan teorin om K3 -ytor och aritmetiken för symmetriska bilinjära former. Som ett första exempel på denna anslutning: en komplex analytisk K3 -yta är algebraisk om och bara om det finns ett element med . ${\ displaystyle (1, \ rho -1)}$${\ displaystyle u \ in \ operatorname {Pic} (X)}$${\ displaystyle u^{2}> 0}$

Grovt sett har utrymmet för alla komplexa analytiska K3 -ytor komplex dimension 20, medan utrymmet för K3 -ytor med Picard -nummer har dimension (exklusive det supersingulära fallet). I synnerhet förekommer algebraiska K3-ytor i 19-dimensionella familjer. Mer detaljer om modulutrymmen för K3 -ytor ges nedan. ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle 20- \ rho}$

Den exakta beskrivningen av vilka galler som kan förekomma som Picard -galler på K3 -ytor är komplicerad. Ett tydligt uttalande, på grund av Viacheslav Nikulin och David Morrison , är att varje jämnt gitter av signatur med är Picard -galler på någon komplex projektiv K3 -yta. Utrymmet på sådana ytor har dimension . ${\ displaystyle (1, \ rho -1)}$${\ displaystyle \ rho \ leq 11}$${\ displaystyle 20- \ rho}$

Elliptiska K3 -ytor

En viktig underklass av K3 -ytor, lättare att analysera än det allmänna fallet, består av K3 -ytorna med en elliptisk fibration . "Elliptik" betyder att alla utom mycket många fibrer i denna morfism är släta kurvor av släktet 1. Singelfibrerna är fackföreningar av rationella kurvor , med de möjliga typerna av singelfibrer klassificerade av Kodaira. Det finns alltid enstaka fibrer, eftersom summan av de singulära fibrernas topologiska Euler -egenskaper är . En allmän elliptisk K3 -yta har exakt 24 singulära fibrer, var och en av typen (en nodal kubisk kurva). ${\ displaystyle X \ to \ mathbf {P} ^{1}}$${\ displaystyle \ chi (X) = 24}$${\ displaystyle I_ {1}}$

Huruvida en K3 -yta är elliptisk kan avläsas från dess Picard -galler. Nämligen, i egenskap inte 2 eller 3, en K3 yta X har en elliptisk fibre om och endast om det finns en från noll skild elementet med . (I karaktäristiken 2 eller 3 kan det senare tillståndet också motsvara en kvasi-elliptisk fibration .) Det följer att ha en elliptisk fibrering är ett kodimension-1-tillstånd på en K3-yta. Så det finns 19-dimensionella familjer av komplexa analytiska K3-ytor med en elliptisk fibration och 18-dimensionella moduli-utrymmen för projektiva K3-ytor med en elliptisk fibration. ${\ displaystyle u \ in \ operatorname {Pic} (X)}$${\ displaystyle u^{2} = 0}$

Exempel: Varje jämna fjärdegrads yta X i som innehåller en linje L har en elliptisk fibrer , ges genom att projicera från L . Modulutrymmet för alla släta kvartsytor (upp till isomorfism) har dimension 19, medan delutrymmet för kvartsytor som innehåller en linje har dimension 18. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle X \ to \ mathbf {P} ^{1}}$

Rationella kurvor på K3 -ytor

I motsats till positivt krökta sorter som del Pezzo -ytor är en komplex algebraisk K3 -yta X inte oreglerad ; det vill säga, det omfattas inte av en kontinuerlig familj av rationella kurvor. Å andra sidan, i motsats till negativt krökta sorter som ytor av allmän typ, innehåller X en stor diskret uppsättning rationella kurvor (möjligen singular). I synnerhet Fedor Bogomolov och David Mumford visade att varje kurva på X är linjärt ekvivalent med en positiv linjär kombination av rationella kurvor.

En annan kontrast till negativt böjda sorter är att Kobayashi -mätvärdet på en komplex analytisk K3 -yta X är identiskt noll. Beviset använder att en algebraisk K3 -yta X alltid täcks av en kontinuerlig familj av bilder av elliptiska kurvor. (Dessa kurvor är singular i X , om inte X råkar vara en elliptisk K3 -yta.) En starkare fråga som förblir öppen är om varje komplex K3 -yta tillåter en icke -genererad holomorf karta från (där "icke -genererat" betyder att derivatet av kartan är en isomorfism någon gång). ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{2}}$

Periodekartan

Definiera en markering av en komplex analytisk K3 -yta X för att vara en isomorfism av gitter från till K3 -gallret . Utrymmet N för markerade komplexa K3-ytor är en icke- Hausdorff- komplexgren av dimension 20. Uppsättningen av isomorfismklasser av komplexa analytiska K3-ytor är kvot N för den ortogonala gruppen , men denna kvot är inte ett geometriskt meningsfullt modulrum, eftersom åtgärden av långt ifrån är korrekt diskontinuerlig . (Till exempel är utrymmet för släta kvartsytor oreducerbart av dimension 19, och ändå har varje komplex analytisk K3-yta i den 20-dimensionella familjen N godtyckligt små deformationer som är isomorfa till släta kvartiklar.) Av samma anledning finns det inte ett meningsfullt modulrum med kompakta komplexa tori av dimension minst 2. ${\ displaystyle H^{2} (X, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ Lambda = E_ {8} (-1)^{\ oplus 2} \ oplus U^{\ oplus 3}}$ ${\ displaystyle O (\ Lambda)}$${\ displaystyle O (\ Lambda)}$

Den period kartläggning sänder en K3 yta till dess hodgestruktur . När det anges noggrant håller Torelli -satsen : en K3 -yta bestäms av dess Hodge -struktur. Perioddomänen definieras som det 20-dimensionella komplexa grenröret

${\ displaystyle D = \ {u \ i P (\ Lambda \ otimes \ mathbb {C}): u^{2} = 0, \, u \ cdot {\ overline {u}}> 0 \}.}$

Periodmappningen skickar en markerad K3 -yta X till den komplexa linjen . Detta är surjektivt och en lokal isomorfism, men inte en isomorfism (särskilt för att D är Hausdorff och N inte är det). Den globala Torelli -satsen för K3 -ytor säger dock att kvotkartan för uppsättningar ${\ displaystyle N \ to D}$${\ displaystyle H^{0} (X, \ Omega^{2}) \ delmängd H^{2} (X, \ mathbb {C}) \ cong \ Lambda \ otimes \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle N/O (\ Lambda) \ to D/O (\ Lambda)}$

är bijektiv. Det följer att två komplexa analytiska K3 -ytor X och Y är isomorfa om och bara om det finns en Hodge -isometri från till , det vill säga en isomorfism av abeliska grupper som bevarar skärningsformen och skickar till . ${\ displaystyle H^{2} (X, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle H^{2} (Y, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle H^{0} (X, \ Omega^{2}) \ delmängd H^{2} (X, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle H ^{0} (Y, \ Omega ^{2})}$

Modulrum för projektiva K3 -ytor

En polariserad K3 -yta X av släktet g definieras som en projektiv K3 -yta tillsammans med ett stort linjebunt L så att L är primitivt (det vill säga inte 2 eller fler gånger ett annat radbunt) och . Detta kallas också en polariserad K3 -yta med grad 2 g −2. ${\ displaystyle c_ {1} (L)^{2} = 2g-2}$

Under dessa antaganden L är Basepoint-fri . I karakteristiska noll innebär Bertinis sats att det finns en slät kurva C i det linjära systemet | L |. Alla sådana kurvor har släktet g , vilket förklarar varför ( X , L ) sägs ha släktet g .

Vektorutrymmet för sektioner av L har dimension g + 1, och så ger L en morfism från X till projektivt utrymme . I de flesta fall är denna morfism en inbäddning, så att X är isomorf till en yta av grad 2 g −2 in . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{g}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{g}}$

Det finns ett oreducerbart grovt modulutrymme för polariserade komplexa K3 -ytor av släktet g för varje ; den kan ses som en Zariski öppen delmängd av en Shimura -sort för gruppen SO (2,19) . För varje g , är en kvasi-projektiv komplex variation av dimensionen 19. Shigeru Mukai visade att denna modulvärden utrymmet är unirational om eller . Däremot visade Valery Gritsenko, Klaus Hulek och Gregory Sankaran att det är av allmän typ om eller . En undersökning av detta område gjordes av Voisin (2008) . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ displaystyle g \ geq 2}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ displaystyle g \ leq 13}$${\ displaystyle g = 18,20}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ displaystyle g \ geq 63}$${\ displaystyle g = 47,51,55,58,59,61}$

De olika 19-dimensionella moduli-utrymmena överlappar på ett invecklat sätt. Det finns faktiskt en oändlig uppsättning kodimension-1-subvarianter av varje motsvarande K3-ytor på Picard-nummer åtminstone 2. Dessa K3-ytor har polarisationer i oändligt många olika grader, inte bara 2 g –2. Så man kan säga att oändligt många av de andra modulrumen möts . Detta är oprecist, eftersom det inte finns ett välskött utrymme som innehåller alla moduli-utrymmen . En konkret version av denna idé är dock det faktum att två komplexa algebraiska K3-ytor är deformationsekvivalenta genom algebraiska K3-ytor. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {h}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$

Mer allmänt betyder en kvasi-polariserad K3-yta av släktet g en projektiv K3-yta med en primitiv nef och stor linjebunt L så att . Ett sådant radpaket ger fortfarande en morfism till , men nu kan det dra ihop sig många (−2) kurvor, så att bilden Y av X är singular. (A (−2) -kurva på en yta betyder en kurva isomorf till med självkorsning −2.) Modulutrymmet för kvasipolariserade K3-ytor av släktet g är fortfarande oreducerbart av dimension 19 (innehåller det tidigare moduli-utrymmet som en öppen delmängd). Formellt fungerar det bättre att se detta som ett moduli -utrymme för K3 -ytor Y med du Val -singulariteter. ${\ displaystyle c_ {1} (L)^{2} = 2g-2}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{g}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{1}}$

Den stora konen och kurvan

En anmärkningsvärd egenskap hos algebraiska K3 -ytor är att Picard -gallret bestämmer många geometriska egenskaper hos ytan, inklusive den konvexa konen av gott om delare (upp till automorfismer av Picard -galleret). Den stora konen bestäms av Picard -gallret enligt följande. Enligt Hodge -indexets sats har skärningsformen på det verkliga vektorutrymmet signatur . Det följer att uppsättningen element med positiv självkorsning har två anslutna komponenter . Ring positiva kon den komponent som innehåller någon gott divisor på X . ${\ displaystyle N^{1} (X): = \ operatorname {Pic} (X) \ otimes \ mathbb {R}}$${\ displaystyle (1, \ rho -1)}$${\ displaystyle N^{1} (X)}$

Fall 1: Det finns inget element u i Pic ( X ) med . Då är den rikliga konen lika med den positiva konen. Således är den standard runda konen. ${\ displaystyle u^{2} =-2}$

Fall 2: Låt annars uppsättningen rötter i Picard -gallret. De ortogonala komplementen till rötterna bildar en uppsättning hyperplaner som alla går igenom den positiva konen. Då är den rikliga konen en ansluten komponent av komplementet till dessa hyperplan i den positiva konen. Alla två sådana komponenter är isomorfa via den ortogonala gruppen i galleret Pic ( X ), eftersom det innehåller reflektionen över varje rothyperplan. I denna bemärkelse bestämmer Picard -gitteret den rikliga konen upp till isomorfism. ${\ displaystyle \ Delta = \ {u \ in \ operatorname {Pic} (X): u^{2} =-2 \}}$

En besläktad uttalande, på grund av att Sándor Kovács, är att veta en riklig divisor A i Pic ( X ) bestämmer hela kon av kurvor av X . Antag nämligen att X har Picard -nummer . Om uppsättningen av rötter är tom, är den stängda konen av kurvor stängningen av den positiva konen. Annars är den slutna konen av kurvor den slutna konvexa konen som spänner över alla element med . I det första fallet innehåller X inga (−2) -kurvor; i det andra fallet är den slutna kurvan koner den slutna konvexa konen som spänner över alla (−2) -kurvor. (Om det finns en annan möjlighet: kurvens kon kan spännas av en (−2) -kurva och en kurva med självkorsning 0.) Så att kurvan är antingen den vanliga rundkonen, annars har den "vassa hörn" (eftersom varje (−2) -kurva sträcker sig över en isolerad extrem stråle av kurvorna). ${\ displaystyle \ rho \ geq 3}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle u \ in \ Delta}$${\ displaystyle A \ cdot u> 0}$${\ displaystyle \ rho = 2}$

Automorfismgrupp

K3 -ytor är något ovanliga bland algebraiska sorter i och med att deras automorfisgrupper kan vara oändliga, diskreta och mycket nonabeliska. Med en version av Torelli -satsen bestämmer Picard -gallret på en komplex algebraisk K3 -yta X automorfismgruppen X upp till motsvarighet . Låt Weyl -gruppen W vara undergruppen för den ortogonala gruppen O (Pic ( X )) som genereras av reflektioner i uppsättningen rötter . Då W är en normal delgrupp av O (Pic ( X )), och den automorfism grupp X är kommensurabla med kvotgrupp O (Pic ( X )) / W . Ett relaterat uttalande, på grund av Hans Sterk, är att Aut ( X ) verkar på nefkonet av X med en rationell polyhedral grundläggande domän . ${\ displaystyle \ Delta}$

Relation till strängdualitet

K3 -ytor förekommer nästan allestädes närvarande i strängdualitet och utgör ett viktigt verktyg för förståelsen av det. Strängkompakteringar på dessa ytor är inte triviala, men de är enkla nog att analysera de flesta av deras egenskaper i detalj. Typ IIA-strängen, typ IIB-strängen, E ₈ × E ₈ heterotiska strängen, Spin (32)/Z2 heterotiska strängen och M-teori är relaterade genom komprimering på en K3-yta. Till exempel motsvarar typ IIA-strängen komprimerad på en K3-yta den heterotiska strängen som komprimeras på en 4-torus ( Aspinwall (1996) ). harvtxt -fel: inget mål: CITEREFAspinwall1996 ( hjälp )

Historia

Kvartsytor studerades av Ernst Kummer , Arthur Cayley , Friedrich Schur och andra geometrar från 1800-talet. Mer allmänt observerade Federigo Enriques 1893 att för olika siffror g finns ytor med grad 2 g −2 in med trivialt kanoniskt bunt och oregelbundenhet noll. 1909 visade Enriques att sådana ytor finns för alla , och Francesco Severi visade att moduliutrymmet för sådana ytor har dimension 19 för varje g . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{g}}$${\ displaystyle g \ geq 3}$

André Weil (1958) gav K3 -ytor sitt namn (se citatet ovan) och gjorde flera inflytelserika gissningar om deras klassificering. Kunihiko Kodaira slutförde grundteorin runt 1960, i synnerhet den första systematiska studien av komplexa analytiska K3 -ytor som inte är algebraiska. Han visade att två komplexa analytiska K3-ytor är deformationsekvivalenta och därmed diffeomorfa, vilket var nytt även för algebraiska K3-ytor. Ett viktigt senare framsteg var beviset på Torelli-satsen för komplexa algebraiska K3-ytor av Ilya Piatetski-Shapiro och Igor Shafarevich (1971), utvidgad till komplexa analytiska K3-ytor av Daniel Burns och Michael Rapoport (1975).

Se även

• Enriques yta
• Tate gissningar
• Mathieu moonshine , ett mystiskt förhållande mellan K3 -ytor och Mathieu -gruppen M24 .

Anteckningar

Referenser

• Aspinwall, Paul (1997), "K3-ytor och strängdualitet", Fields, strängar och dualitet (Boulder, CO, 1996) , World Scientific, s. 421–540, arXiv : hep-th/9611137 , MR  1479699
• Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus ; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004) [1984], Kompakta komplexa ytor , Springer , doi : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR  2030225
• Beauville, Arnaud (1983), "Surfaces K3", Bourbaki seminarium, Vol. 1982/83 Exp 609 , Astérisque, 105 , Paris: Société Mathématique de France , s. 217–229, MR  0728990
• Beauville, A .; Bourguignon, J.-P. ; Demazure, M. (1985), Géométrie des surface K3: modules et périodes, Séminaire Palaiseau , Astérisque, 126 , Paris: Société Mathématique de France , MR  0785216
• Brown, Gavin (2007), "En databas med polariserade K3 -ytor" , Experimentell matematik , 16 (1): 7–20, doi : 10.1080/10586458.2007.10128983 , MR  2312974 , S2CID  24693572
• Burns, Daniel; Rapoport, Michael (1975), "Om Torelli-problemet för kählerian K-3-ytor" , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 8 (2): 235–273, doi : 10.24033/asens.1287 , MR  0447635
• Enriques, Federigo (1893), "Richerche di geometria sulle superficie algebriche" , Memorie Accademia di Torino , 2, 44 : 171–232, JFM  25.1212.02
• Enriques, Federigo (1909), "Le superficie di genere uno" , Rendiconti Accademia di Bologna , 13 : 25–28, JFM  40.0685.01
• Gritsenko, VA; Hulek, Klaus ; Sankaran, GK (2007), "Kodaira -dimensionen för modulerna för K3 -ytor", Inventiones Mathematicae , 169 (3): 519–567, arXiv : math/0607339 , Bibcode : 2007InMat.169..519G , doi : 10.1007/ s00222-007-0054-1 , MR  2336040 , S2CID  14877568
• Huybrechts, Daniel (2016), Föreläsningar på K3 -ytor (PDF) , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 158 , Cambridge University Press, ISBN 978-1107153042, MR  3586372
• Kamenova, Ljudmila; Lu, Steven; Verbitsky, Misha (2014), "Kobayashi pseudometric on hyperkähler manifolds", Journal of the London Mathematical Society , 90 (2): 436–450, arXiv : 1308.5667 , doi : 10.1112/jlms/jdu038 , MR  3263959 , S2CID  28495199
• Mukai, Shigeru (2006), "Polariserade K3 -ytor av tretton släkt", Moduli -utrymmen och aritmetisk geometri , Adv. Hingst. Pure Math., 45 , Tokyo: Math. Soc. Japan, s. 315–326, MR  2310254
• Pjateckiĭ-Šapiro, II ; Šafarevič, IR (1971), "Torellis sats för algebraiska ytor av typ K3", USSR: s matematik - Izvestia , 5 (3): 547–588, Bibcode : 1971IzMat ... 5..547P , doi : 10.1070/IM1971v005n03ABEH001075 , MR  0284440
• Rudakov, AN (2001) [1994], "K3 surface" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Scorpan, Alexandru (2005), The wild world of 4-manifolds , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3749-8, MR  2136212
• Severi, Francesco (1909), "Le superficie algebriche con curva canonica d'ordine zero" (PDF) , Atti del Istituto Veneto , 68 : 249–260, JFM  40.0683.03
• Voisin, Claire (2008), "Géométrie des espaces de modules de courbes et de surface K3 (d'après Gritsenko-Hulek-Sankaran, Farkas-Popa, Mukai, Verra, et al.)" (PDF) , Astérisque , Séminaire Bourbaki . 2006/2007. Exp 981 (317): 467–490, ISBN 978-2-85629-253-2, MR  2487743
• Weil, André (1958), "Slutrapport om kontrakt AF 18 (603) -57", Vetenskapliga arbeten. Collected papers , II , Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 390–395, 545–547, ISBN 978-0-387-90330-9, MR  0537935

externa länkar

• Graded Ring Database hemsida för en katalog med K3 -ytor
• K3 -databas för Magma -datoralgebrasystemet
• K3 -ytornas geometri , föreläsningar av David Morrison (1988).