Juryteorem - Jury theorem

En jurysats är en matematisk teorem som visar att det under vissa antaganden är att ett beslut som uppnås med majoritetsröstning i en större grupp är mer sannolikt att vara korrekt än ett beslut som en enskild expert uppnår. Det tjänar som ett formellt argument för idén om folkmassans visdom , för beslut om faktiska frågor genom juryrättegång och för demokrati i allmänhet.

Den första och mest kända jurysatsen är Condorcets jurysats . Det antar att alla väljare har oberoende sannolikheter att rösta på rätt alternativ, dessa sannolikheter är större än 1/2 och är desamma för alla väljare. Enligt dessa antaganden är sannolikheten att majoritetsbeslutet är korrekt strikt större när gruppen är större. och när gruppstorleken tenderar till oändlighet tenderar sannolikheten att majoritetsbeslutet är korrekt 1.

Det finns många andra jurysatsningar som släpper några eller alla dessa antaganden.

Miljö

Utgångspunkten för alla jurysatser är att det finns en objektiv sanning som är okänd för väljarna. De flesta satser fokuserar på binära frågor (problem med två möjliga stater), till exempel om en viss svarande är skyldig eller oskyldig, om ett visst lager kommer att stiga eller falla etc. Det finns väljare (eller jurymedlemmar) och deras mål är att avslöja sanningen. Varje väljare har en åsikt om vilket av de två alternativen som är korrekt. Alla väljares åsikt är antingen korrekt (dvs. motsvarar det verkliga tillståndet) eller fel (dvs. skiljer sig från det verkliga tillståndet). Detta står i kontrast till andra omröstningar , där varje väljares åsikter representerar hans / hennes subjektiva preferenser och därmed alltid är "korrekt" för denna specifika väljare. En väljares åsikt kan betraktas som en slumpmässig variabel : för varje väljare finns det en positiv sannolikhet att hans åsikt är lika med det verkliga tillståndet. ${\ displaystyle n}$

Gruppbeslutet bestäms av majoritetsregeln . Till exempel, om en majoritet av väljarna säger "skyldig" är beslutet "skyldigt", medan om en majoritet säger "oskyldig" är beslutet "oskyldigt". För att undvika band antas det ofta att antalet väljare är udda. Alternativt, om det är jämnt, bryts bandet genom att kasta ett rättvist mynt . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Jurysatser är intresserade av sannolikheten för korrekthet - sannolikheten för att majoritetsbeslutet sammanfaller med den objektiva sanningen. Typiska jurysatser ger två typer av påståenden om denna sannolikhet:

1. Växande tillförlitlighet : sannolikheten för korrekthet är större när gruppen är större.
2. Crowd Infallibility : sannolikheten för korrekthet går till 1 när gruppstorleken går till oändlighet.

Påstående 1 kallas ofta den icke-asymptotiska delen och krav 2 kallas ofta den asymptotiska delen av jurysatsen.

Uppenbarligen är dessa påståenden inte alltid sanna, men de är sanna under vissa antaganden från väljarna. Olika jurysatsningar gör olika antaganden.

Oberoende, kompetens och enhetlighet

Condorcets jurysats gör följande tre antaganden:

1. Ovillkorligt oberoende : väljarna bestämmer sig självständigt. Med andra ord är deras åsikter oberoende slumpmässiga variabler .
2. Ovillkorlig kompetens : sannolikheten för att en enskild väljares åsikt sammanfaller med den objektiva sanningen är större än 1/2 (dvs. väljaren är smartare än ett slumpmässigt myntkast).
3. Enhet : alla väljare har samma sannolikhet att de är korrekta.

Juryteoremet från Condorcet säger att dessa tre antaganden antyder växande tillförlitlighet och folkmängdsfelbarhet.

Korrelerade röster: försvagande av antagandet om oberoende

De olika väljarnas åsikter är ofta korrelerade, så ovillkorligt oberoende kanske inte håller. I det här fallet kan kravet på växande tillförlitlighet misslyckas.

Exempel

Låt vara sannolikheten för att en jurymedlem ska rösta på rätt alternativ och vara (andra ordningens) korrelationskoefficient mellan två korrekta röster. Om alla högre ordningskorrelationskoefficienter i Bahadur-representationen av den gemensamma sannolikhetsfördelningen av röster är lika med noll, och är ett tillåtet par , ges sannolikheten för att juryn tillsammans når rätt beslut under enkel majoritet: ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle (p, c) \ i {\ mathcal {B}} _ {n}}$

${\ displaystyle P (n, p, c) = I_ {p} \ left ({\ frac {n + 1} {2}}, {\ frac {n + 1} {2}} \ right) + 0.5c (n-1) (0,5-p) {\ frac {\ partiell I_ {p} ({\ frac {n + 1} {2}}, {\ frac {n + 1} {2}})} {\ delvis p}},}$

var är den regelbundna ofullständiga beta-funktionen . ${\ displaystyle I_ {p}}$

Exempel: Ta en jury bestående av tre jurymedlemmar med individuell kompetens och andra ordningens korrelation . Sedan . Juryns kompetens är lägre än en enskild jurys kompetens, vilket motsvarar . Dessutom minskar jurykompetensen ytterligare genom att utvidga juryn med två jurymedlemmar . Observera att och är ett tillåtet parparametrar. För och är den högsta tillåtna andra ordningens korrelationskoefficient lika med . ${\ displaystyle (n = 3)}$${\ displaystyle p = 0.55}$${\ displaystyle c = 0,4}$${\ displaystyle P (3,0.55,0.4) = 0.54505}$${\ displaystyle 0.55}$${\ displaystyle (n = 5)}$${\ displaystyle P (5,0.55,0.4) = 0.5196194}$${\ displaystyle p = 0.55}$${\ displaystyle c = 0,4}$${\ displaystyle n = 5}$${\ displaystyle p = 0.55}$${\ displaystyle \ ca 0,43}$

Ovanstående exempel visar att när den individuella kompetensen är låg men korrelationen är hög:

• Den kollektiva kompetensen under enkel majoritet kan falla under en enskild jurymedlem;
• Att utvidga juryn kan minska dess kollektiva kompetens.

Ovanstående resultat beror på Kaniovski och Zaigraev. De diskuterar också optimal jurydesign för homogena juryer med korrelerade röster.

Det finns flera jurysatser som försvagar självständighetsantagandet på olika sätt.

Sanningskänsligt oberoende och kompetens

I binära beslutsproblem finns det ofta ett alternativ som är lättare att upptäcka det andra. Det kan till exempel vara lättare att upptäcka att en tilltalad är skyldig (eftersom det finns tydliga bevis för skuld) än att upptäcka att han är oskyldig. I detta fall representeras sannolikheten för att en enskild väljares uppfattning är korrekt av två olika siffror: sannolikhet med tanke på att alternativ nr 1 är korrekt och sannolikhet med tanke på att alternativ 2 är korrekt. Detta innebär också att åsikter från olika väljare är korrelerade . Detta motiverar följande avslappningar av ovanstående antaganden:

1. Villkorligt oberoende : för vart och ett av de två alternativen är väljarnas åsikter med tanke på att detta alternativ är den sanna oberoende slumpmässiga variabler .
2. Villkorlig kompetens : för vart och ett av de två alternativen är sannolikheten för att en enskild väljares åsikt är korrekt med tanke på att detta alternativ är sant större än 1/2.
3. Villkorlig enhetlighet : för vart och ett av de två alternativen har alla väljare samma sannolikhet att de är korrekta med tanke på att detta alternativ är sant.

Växande tillförlitlighet och folkmängdsfelbarhet fortsätter att hållas under dessa svagare antaganden.

En kritik av villkorlig kompetens är att det beror på hur beslutsfrågan är formulerad. I stället för att fråga om svaranden är skyldig eller oskyldig kan man till exempel fråga om svaranden är skyldig till exakt 10 anklagelser (alternativ A), eller skyldig till ett annat antal anklagelser (0..9 eller mer än 11). Detta ändrar villkoren och därmed den villkorliga sannolikheten. Dessutom, om staten är mycket specifik kan sannolikheten att rösta korrekt vara under 1/2, så villkorlig kompetens kanske inte håller.

Effekt av en opinionsledare

En annan orsak till korrelation mellan väljare är existensen av en opinionsledare . Antag att varje väljare fattar ett oberoende beslut, men då ändrar varje väljare, med viss sannolikhet, sin åsikt så att den överensstämmer med opinionsledarens. Jurysetningar från Boland och Boland, Proschan och Tong visar att om (och endast om) sannolikheten för att följa opinionsledaren är mindre än 1-1 / 2 p (där p är alla väljares kompetensnivå), så är Crowd Infallibility håller.

Problemkänsligt oberoende och kompetens

Förutom beroendet av det verkliga alternativet finns det många andra anledningar till att väljarnas åsikter kan korreleras. Till exempel:

• Diskussion bland väljarna;
• Grupptryck ;
• Falska bevis (t.ex. en skyldig tilltalad som utmärker sig som att låtsas vara oskyldig);
• Yttre förhållanden (t.ex. dåligt väder som påverkar deras bedömning).
• Alla andra vanliga röstorsaker

Det är möjligt att försvaga antagandet om villkorad självständighet och villkora alla vanliga orsaker till rösterna (snarare än bara staten). Med andra ord är rösterna nu oberoende förutsatta det specifika beslutsproblemet . I ett specifikt problem kanske antagandet om villkorlig kompetens kanske inte är giltigt. Till exempel, i ett specifikt problem med falska bevis, är det troligt att de flesta väljare kommer att ha en fel åsikt. Således är de två antagandena - villkorligt oberoende och villkorlig kompetens - inte motiverade samtidigt (under samma villkor).

En möjlig lösning är att försvaga villkorlig kompetens enligt följande. För varje väljare och varje problem x finns det en sannolikhet p ( x ) att väljarens åsikt är korrekt i detta specifika problem. Eftersom x är en slumpmässig variabel är p ( x ) också en slumpmässig variabel. Villkorlig kompetens kräver att p ( x )> 1/2 med sannolikhet 1. Det försvagade antagandet är:

• Tendens till kompetens : för varje väljare och för varje r > 0 är sannolikheten att p ( x ) = 1/2 + r är minst lika stor som sannolikheten att p ( x ) = 1 / 2- r .

En jurysats av Dietrich och Spiekerman säger att villkorligt oberoende, tendens till kompetens och villkorlig enhetlighet tillsammans innebär växande tillförlitlighet. Observera att Crowd Infallibility inte är underförstådd. Faktum är att sannolikheten för korrekthet tenderar till ett värde som är under 1, om och endast för villkorlig kompetens inte håller.

Avgränsad korrelation

En juryteorem av Pivato visar att om den genomsnittliga kovariansen mellan väljarna blir liten när befolkningen blir stor, så gäller Crowd Infallibility (för vissa röstningsregler). Det finns andra jurysatser som tar hänsyn till i vilken grad röster kan korreleras.

Andra lösningar

Andra sätt att hantera väljarkorrelation är kausala nätverk , beroendestrukturer och utbytbarhet.

Olika möjligheter: försvagning av antagandet om enhetlighet

Olika väljare har ofta olika kompetensnivåer, så antagandet om enhetlighet håller inte. I det här fallet kan både växande tillförlitlighet och folkmängdsfelbarhet inte gälla. Detta kan hända om nya väljare har mycket lägre kompetens än befintliga väljare, så att lägga till nya väljare minskar gruppens sannolikhet för korrekthet. I vissa fall kan sannolikheten för korrekthet konvergera till 1/2 (- ett slumpmässigt beslut) snarare än till 1.

Starkare kompetenskrav

Enhetlighet kan avfärdas om kompetensantagandet stärks. Det finns flera sätt att stärka det:

• Stark Kompetens: för varje väljare i , sannolikheten för korrekthet p _i är åtminstone 1/2 + e , där e > 0 är fast för alla väljare. Med andra ord: kompetensen är begränsad från ett rättvist myntkast. En jurysats av Paroush visar att stark kompetens och villkorat oberoende tillsammans innebär att folkmängden är ofullbar (men inte växer tillförlitlighet).
• Genomsnittlig kompetens: genomsnittet av väljarnas individuella kompetensnivåer (dvs. genomsnittet av deras individuella sannolikheter för att besluta korrekt) är något större än hälften eller konvergerar till ett värde över 1/2. Jurysetningar av Grofman, Owen och Feld, och Berend och Paroush, visar att genomsnittlig kompetens och villkorat oberoende tillsammans innebär att folkmassan är oförgänglig (men inte växande tillförlitlighet).

Slumpmässigt val av väljare

istället för att anta att väljaridentiteten är fast kan man anta att det finns en stor pool av potentiella väljare med olika kompetensnivåer, och de faktiska väljarna väljs slumpmässigt från denna grupp (som i sortering ).

En jurysats av Ben Yashar och Paroush visar att, under vissa förhållanden, är sannolikheten för en jury eller av en delmängd vald av den slumpmässigt större än sannolikheten för en enskild jurymedlem. En mer generell jurysats av Berend och Sapir visar att växande tillförlitlighet håller i denna inställning: sannolikheten för att en slumpmässig kommitté stämmer med kommitténs storlek. Satsen håller, under vissa förhållanden, även med korrelerade röster.

En jurysats av Owen, Grofman och Feld analyserar en inställning där kompetensnivån är slumpmässig. De visar vilken fördelning av individuell kompetens som maximerar eller minimerar sannolikheten för korrekthet.

Viktad majoritetsregel

När väljarnas kompetensnivåer är kända kanske inte regeln för enkel majoritet är den bästa beslutsregeln. Det finns olika arbeten med att identifiera den optimala beslutsregeln - regeln som maximerar sannolikheten för gruppkorrekthet. Nitzan och Paroush visar att under ovillkorligt oberoende är den optimala beslutsregeln en viktad majoritetsregel, där vikten för varje väljare med korrekt sannolikhet p _i är log ( p _i / (1- p _i )), och ett alternativ väljs om summan av vikterna för dess anhängare ligger över en viss tröskel. Grofman och Shapley analyserar effekten av ömsesidigt beroende mellan väljare på den optimala beslutsregeln. Ben-Yashar och Nitzan bevisar ett mer allmänt resultat.

Dietrich generaliserar detta resultat till en inställning som inte kräver tidigare sannolikheter för att de två alternativen är "korrekta". Det enda nödvändiga antagandet är Epistemic Monotonicity, som säger att om alternativet x väljs under viss profil och profilen ändras så att x blir mer troligt, så är x fortfarande valt. Dietrich visar att epistemisk monotonicitet innebär att den optimala beslutsregeln är viktad majoritet med en tröskel. I samma tidning generaliserar han den optimala beslutsregeln till en inställning som inte kräver att ingången ska vara en omröstning för ett av alternativen. Det kan till exempel vara en subjektiv grad av tro. Dessutom behöver kompetensparametrar inte vara kända. Till exempel, om ingångarna är subjektiva övertygelser x ₁ , ..., x _n , summerar den optimala beslutsregeln logg ( x _i / (1- x _i )) och kontrollerar om summan ligger över något tröskelvärde. Epistemisk monotonicitet räcker inte för att beräkna själva tröskeln; tröskeln kan beräknas genom antagande av förväntad nyttjandemaximering och tidigare sannolikheter.

Ett allmänt problem med reglerna för viktad majoritet är att de kräver kunskap om de olika väljarnas kompetensnivåer, vilket vanligtvis är svårt att beräkna på ett objektivt sätt. Baharad, Goldberger, Koppel och Nitzan presenterar en algoritm som löser detta problem med hjälp av statistisk maskininlärning . Det kräver endast som ingång en lista över tidigare röster; det behöver inte veta om dessa röster var korrekta eller inte. Om listan är tillräckligt stor konvergerar sannolikheten för korrekthet till 1 även om de enskilda väljarnas kompetensnivåer är nära 1/2.

Mer än två alternativ

Ofta innebär beslutsproblem tre eller flera alternativ. Denna kritiska begränsning erkändes faktiskt av Condorcet (se Condorcets paradox ), och i allmänhet är det mycket svårt att förena individuella beslut mellan tre eller flera resultat (se Arrow's teorem ).

Denna begränsning kan också övervinnas med hjälp av en röstsekvens på par alternativ, vilket vanligtvis realiseras via lagändringsprocessen. (Men enligt Arrow's teorem, skapar detta ett "vägberoende" av den exakta sekvensen av par av alternativ; t.ex. vilken ändring som föreslås först kan göra skillnad i vilken ändring som slutligen godkänns, eller om lagen - med eller utan ändringsförslag - godkänns alls.)

Med tre eller flera alternativ kan villkorlig kompetens generaliseras enligt följande:

• Multioption villkorlig kompetens: för två alternativ x och y , om x är korrekt och y inte, är det mer sannolikt att någon väljare röstar på x än y .

En jurysats av List och Goodin visar att Multioption Conditional Competence och Conditional Independent tillsammans innebär Crowd Infallibility. Dietrich och Spiekermann antar att de också innebär växande tillförlitlighet. En annan relaterad juryteorem är av Everaere, Konieczny och Marquis.

När det finns fler än två alternativ finns det olika röstningsregler som kan användas istället för enkel majoritet. De statistiska och utilitaristiska egenskaperna hos sådana regler analyseras t.ex. av Pivato.

Indirekta majoritetssystem

Condorcets sats betraktar ett system med direkt majoritet , där alla röster räknas direkt mot det slutliga resultatet. Många länder använder ett indirekt majoritetssystem där väljarna är indelade i grupper. Väljarna i varje grupp beslutar om resultatet med intern majoritet. därefter beslutar grupperna om det slutliga resultatet med en majoritetsröst bland dem. Antag till exempel att det finns 15 väljare. I ett system med direkt majoritet accepteras ett beslut när minst 8 röster stöder det. Antag nu att väljarna är grupperade i 3 grupper av storlek 5 vardera. Ett beslut accepteras när minst två grupper stöder det, och i varje grupp accepteras ett beslut när minst 3 väljare stöder det. Därför kan ett beslut accepteras även om endast 6 väljare stöder det.

Boland, Proschan och Tong bevisar att när väljarna är oberoende och p> 1/2 har ett direkt majoritetssystem - som i Condorcets teorem - alltid större chans att acceptera rätt beslut än något indirekt majoritetssystem.

Berg och Paroush överväger rösthierarkier med flera nivåer, som kan ha flera nivåer med olika beslutsregler på varje nivå. De studerar den optimala röstningsstrukturen och jämför kompetensen mot nyttan med tidsbesparande och andra kostnader.

Goodin och Spiekermann beräknar beloppet med vilket en liten grupp experter borde vara bättre än genomsnittliga väljare, för att de ska kunna acceptera bättre beslut.

Strategisk omröstning

Det är välkänt att när det finns tre eller flera alternativ och väljarna har olika preferenser, kan de delta i strategisk omröstning , till exempel att rösta på det näst bästa alternativet för att förhindra att det värsta alternativet väljs. Överraskande nog kan strategisk omröstning förekomma även med två alternativ och när alla väljare har samma preferens, vilket är att avslöja sanningen. Antag till exempel att frågan är om en svarande är skyldig eller oskyldig, och antar att en viss jurymedlem tycker att det verkliga svaret är "skyldigt". Men han vet också att hans röst endast är effektiv om de andra rösterna är lika. Men om andra röster är lika, betyder det att sannolikheten för att svaranden är skyldig är nära 1/2. Med hänsyn till detta kan vår jurymedlem besluta att denna sannolikhet inte är tillräcklig för att besluta "skyldig" och därmed kommer att rösta "oskyldig". Men om alla andra väljare gör detsamma härleds fel svar. I spelteoretiska termer är sanningsenlig röstning kanske inte en Nash-jämvikt . Detta problem har benämnts svängväljarens förbannelse , eftersom det är analogt med vinnarens förbannelse i auktionsteorin.

En jurysats av Peleg och Zamir visar tillräckliga och nödvändiga förutsättningar för förekomsten av en Bayesian-Nash-jämvikt som tillfredsställer Condorcets jurysats. Bozbay, Dietrich och Peters visar omröstningsregler som leder till effektiv aggregering av väljarnas privata information även med strategisk omröstning.

I praktiken kanske detta problem inte är särskilt allvarligt, eftersom de flesta väljare inte bara bryr sig om det slutliga resultatet utan också om att rösta korrekt med sitt samvete. Dessutom är de flesta väljare inte tillräckligt sofistikerade för att rösta strategiskt.

Subjektiva åsikter

Begreppet "korrekthet" kanske inte är meningsfullt när man fattar politiska beslut, som baseras på värden eller preferenser, snarare än bara på fakta.

Vissa försvarare av satsen anser att den är tillämplig när omröstningen syftar till att avgöra vilken politik som bäst främjar allmänhetens bästa, snarare än att bara uttrycka individuella preferenser. Vid denna läsning säger satsen att även om varje medlem av väljarna kanske bara har en vag uppfattning om vilken av de två politikerna som är bättre, har majoritetsröstningen en förstärkande effekt. "Gruppkompetensnivån", som representeras av sannolikheten att majoriteten väljer det bättre alternativet, ökar mot 1 när väljarnas storlek växer förutsatt att varje väljare oftare har rätt än fel.

Flera tidningar visar att stora grupper under rimliga förhållanden är bättre spårare av majoritetspreferensen.

Vidare läsning

• Lag med stort antal : en matematisk generalisering av jurysatsningar.
• Evolution i kollektivt beslutsfattande.
• Förverkligande av epistemisk demokrati: en kritik mot antagandena från jurysatsningar.
• Epistemology of Democracy: en jämförelse av jurysatsningar med två andra epistemiska modeller för demokrati: experimentalism och mångfald trumfförmåga .

Referenser