Condorcets jurysats - Condorcet's jury theorem

Condorcets jurysats är en statsvetenskaplig teorem om den relativa sannolikheten för att en viss grupp individer kommer fram till ett korrekt beslut. Satsen uttrycktes första gången av Marquis de Condorcet i hans uppsats från 1785 Essay on the Application of Analysis to the Probability of Majority Decisions .

Satsen antar att en grupp vill fatta beslut med majoritetsröstning . En av de två resultaten av omröstningen är korrekt , och varje väljare har en oberoende sannolikhet p för att rösta för rätt beslut. Satsen frågar hur många väljare vi ska inkludera i gruppen. Resultatet beror på om p är större än eller mindre än 1/2:

  • Om p är större än 1/2 (det är mer sannolikt att varje väljare röstar korrekt) ökar sannolikheten för att majoritetsbeslutet är korrekt. I gränsen närmar sig sannolikheten att majoriteten röstar korrekt 1 när antalet väljare ökar.
  • Å andra sidan, om p är mindre än 1/2 (varje väljare är mer benägna att rösta felaktigt), blir det värre att lägga till fler väljare: den optimala juryn består av en enda väljare.

Sedan Condorcet har många andra forskare bevisat olika andra jurysatsningar och har kopplat av några eller alla Condorcets antaganden.

Bevis

Bevis 1: Beräknar sannolikheten för att ytterligare två väljare ändrar resultatet

För att undvika behovet av en tie-breaking regel antar vi att n är udda. I huvudsak fungerar samma argument även för n om bandet bryts av rättvisa mynt.

Antag nu att vi börjar med n väljare och låter m av dessa väljare rösta korrekt.

Tänk på vad som händer när vi lägger till ytterligare två väljare (för att hålla det totala antalet udda). I endast två fall ändras majoritetsröstningen:

  • m var en röst för liten för att få en majoritet av n- rösterna, men båda nyvalarna röstade korrekt.
  • m var precis lika med en majoritet av n- rösterna, men båda nya väljare röstade felaktigt.

Resten av tiden, antingen de nya rösterna avbryts, ökar bara klyftan eller gör inte tillräckligt med skillnad. Så vi bryr oss bara om vad som händer när en enda röst (bland de första n ) skiljer en korrekt från en felaktig majoritet.

Att begränsa vår uppmärksamhet till detta fall kan vi föreställa oss att de första n -1 rösterna avbryts och att den avgörande rösten avges av den n: e väljaren. I detta fall är sannolikheten för att få rätt majoritet bara p . Antag att vi skickar in de två extra väljarna. Sannolikheten att de byter fel majoritet till korrekt majoritet är (1- p ) p 2 , medan sannolikheten för att de ändrar rätt majoritet till fel majoritet är p (1- p ) (1- p ). Den första av dessa sannolikheter är större än den andra om och bara om p > 1/2, vilket bevisar satsen.

Bevis 2: Beräkna sannolikheten för att beslutet är korrekt

Detta bevis är direkt; det sammanfattar bara sannolikheten för majoriteten. Varje term av summan multiplicerar antalet kombinationer av en majoritet med sannolikheten för den majoriteten. Varje majoritet räknas med hjälp av en kombination , n objekt tagna k åt gången, där n är juryns storlek och k är storleken på majoriteten. Sannolikheterna varierar från 0 (= rösten är alltid fel) till 1 (= alltid rätt). Varje person bestämmer självständigt, så sannolikheten för deras beslut multipliceras. Sannolikheten för varje rätt beslut är s . Sannolikheten för ett felaktigt beslut, q , är motsatsen till p , dvs. 1 - p . Effektnotationen, dvs. är en förkortning för x multiplikationer av p .

Kommitténs eller juryns noggrannhet kan lätt uppskattas med hjälp av denna metod i kalkylblad eller program.

Låt oss som exempel ta det enklaste fallet med n = 3, p = 0,8. Vi måste visa att tre personer har högre chans än 0,8 att ha rätt. Verkligen:

0,8 × 0,8 × 0,8 + 0,8 × 0,8 × 0,2 + 0,8 × 0,2 × 0,8 + 0,2 × 0,8 × 0,8 = 0,896.

Asymptotika

Sannolikheten för ett korrekt majoritetsbeslut P ( n ,  p ), när den individuella sannolikheten p är nära 1/2 växer linjärt i termer av p - 1/2. För n väljare har var och en sannolikhet p att besluta korrekt och för udda n (där det inte finns några möjliga band):

var

och den asymptotiska approximationen i termer av n är mycket exakt. Expansionen är bara i udda krafter och . Enkelt uttryckt säger detta att när beslutet är svårt ( p nära 1/2) växer vinsten genom att ha n väljare proportionellt till .

Satsen i andra discipliner

Theoror-Condorcet-teorem har nyligen använts för att konceptualisera poängintegration när flera läsare (radiologer, endoskopister etc.) oberoende utvärderar bilder för sjukdomsaktivitet. Denna uppgift uppstår vid central läsning som utförs under kliniska prövningar och har likheter med omröstning. Enligt författarna kan tillämpningen av satsen översätta enskilda läsares poäng till ett slutresultat på ett sätt som är både matematiskt sundt (genom att undvika medelvärdesberäkning av ordinala data), matematiskt spårbar för vidare analys och på ett sätt som är förenligt med poänguppgiften till hands (baserat på beslut om närvaro eller frånvaro av funktioner, en subjektiv klassificeringsuppgift)

Theoror Theorem Condorcet används också i ensembleinlärning inom maskininlärningsområdet . En ensemblemetod kombinerar förutsägelser från många enskilda klassificerare genom majoritetsröstning. Om vi ​​antar att var och en av de enskilda klassificerarna förutsäger med något mer än 50% noggrannhet och deras förutsägelser är oberoende, så blir ensemblen av deras förutsägelser mycket större än deras individuella prediktiva poäng.

Vidare läsning

Anteckningar