Klein four -group - Klein four-group

Algebraisk struktur → Gruppteori Gruppteori
Grundbegrepp Undergrupp Normal undergrupp Kvotgrupp (Halv) direkt produkt Grupphomomorfismer kärna bild direkt summa kransprodukt enkel ändlig oändlig kontinuerlig multiplikativ tillsats cyklisk abelsk dihedral nilpotent lösbar handling Ordlista för gruppteori Lista över gruppteoriämnen
Ändliga grupper Klassificering av begränsade enkla grupper cyklisk alternerande Typ av lögn sporadisk Cauchys sats Lagranges sats Sylows satser Halls sats p-grupp Elementär abelsk grupp Frobenius grupp Schur -multiplikator Symmetrisk grupp S n Klein fyra-grupp V Dihedral grupp D n Kvarternion grupp Q Dicyklisk grupp Dic n
Diskreta grupper Gitter Heltal ( )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Gratis grupp Modulära grupper PSL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Aritmetisk grupp Gitter Hyperbolisk grupp
Topologiska och Lie -grupper Solenoid Cirkel Allmän linjär GL ( n ) Speciell linjär SL ( n ) Ortogonal O ( n ) Euklidiska E ( n ) Särskild ortogonal SO ( n ) Enhet U ( n ) Särskild enhetlig SU ( n ) Symplectic Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Överensstämmande Diffeomorfism Slinga Oändlig dimensionell Lie -grupp O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraiska grupper Linjär algebraisk grupp Reduktiv grupp Abelskt sort Elliptisk kurva
v t e

I matematik är Klein-fyra-gruppen en grupp med fyra element, där varje element är självinvers (att komponera det med sig själv producerar identiteten) och i vilket komponerar två av de tre icke-identitetselementen producerar det tredje. Det kan beskrivas som symmeturgruppen för en icke-kvadratisk rektangel (med de tre icke-identitetselementen horisontell och vertikal reflektion och 180-graders rotation), som gruppen bitvis exklusiv eller operationer på tvåbitars binära värden, eller mer abstrakt som Z ₂ × Z ₂ , den direkta produkten av två kopior av den cykliska gruppen av order 2. Den fick namnet Vierergruppe (som betyder fyra-grupp) av Felix Klein 1884. Den kallas också Klein-gruppen och kallas ofta symboliseras med bokstaven V eller som K ₄ .

Klein-gruppen med fyra element är den minsta gruppen som inte är en cyklisk grupp . Det finns bara en annan grupp av ordning fyra, upp till isomorfism , den cykliska gruppen i ordning 4. Båda är abelskrupper . Den minsta icke-abeliska gruppen är den symmetriska gruppen av grad 3 , som har ordning 6.

Presentationer

Klein -gruppens Cayley -bord ges av:

Klein-fyra-gruppen definieras också av grupppresentationen

${\ displaystyle \ mathrm {V} = \ left \ langle a, b \ mid a^{2} = b^{2} = (ab)^{2} = e \ right \ rangle.}$

Alla icke- identitetselement i Klein-gruppen har ordning 2, så alla två icke-identitetselement kan fungera som generatorer i ovanstående presentation. Klein-gruppen är den minsta icke- cykliska gruppen . Det är emellertid en abelsk grupp , och isomorf med den Dihedral Grupp av ordning (kardinalitet) 4, dvs D ₄ (eller D ₂ , med användning av den geometriska konvention); förutom gruppen i ordning 2 är det den enda dihedrala gruppen som är abelsk.

Klein-gruppen är också isomorf med direkt summan Z ₂ ⊕ Z ₂ , så att den kan representeras som paren ((0,0), (0,1), (1,0), (1,1 )} under komponentvis additionsmodulo 2 (eller motsvarande bitsträngarna {00, 01, 10, 11} under bitvis XOR ); med (0,0) som gruppens identitetselement. Klein-fyra-gruppen är alltså ett exempel på en elementär abelsk 2-grupp , som också kallas en boolsk grupp . Den Kleins Fyrgrupp är således även den grupp som genereras av den symmetriska skillnaden som den binära operationen på de delmängder av ett PowerSet av en uppsättning med två element, dvs över ett fält av uppsättningar med fyra element, t ex ; den tomma uppsättningen är gruppens identitetselement i detta fall. ${\ displaystyle \ {\ emptyset, \ {\ alpha \}, \ {\ beta \}, \ {\ alpha, \ beta \} \}}$

En annan numerisk konstruktion av Klein-fyra-gruppen är uppsättningen {1, 3, 5, 7}, där operationen är multiplikationsmodul 8 . Här en är 3, b är 5, och c = ab är 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8) .

Klein-gruppen har en representation som 2 × 2 riktiga matriser med operationen matrismultiplikation:

${\ displaystyle e = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, \ quad a = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}, \ quad b = { \ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, \ quad c = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}$

Geometri

Symmetri-gruppen i detta kors är Klein-gruppen. Den kan vändas horisontellt ( a ) eller vertikalt ( b ) eller båda ( ab ) och förbli oförändrad. Till skillnad från en kvadrat kommer dock en kvartsvarvrotation att ändra figuren.

Geometriskt är Klein-fyra-gruppen i två dimensioner symmeturgruppen för en rombe och av rektanglar som inte är rutor , de fyra elementen är identiteten, den vertikala reflektionen, den horisontella reflektionen och en 180 graders rotation.

I tre dimensioner finns det tre olika symmeturgrupper som är algebraiskt Klein fyra-grupp V:

• en med tre vinkelräta tvåfaldiga rotationsaxlar: D ₂
• en med en tvåfaldig rotationsaxel och ett vinkelrätt reflektionsplan: C _{2 h} = D _{1 d}
• en med en tvåfaldig rotationsaxel i ett reflektionsplan (och därmed också i ett vinkelrätt reflektionsplan): C _{2 v} = D _{1 h} .

Permutationsrepresentation

Identitet och dubbla transponeringar av fyra objekt från V

Andra permutationer av fyra objekt, som också bildar V.

Se 4 delmängder av S ₄

De tre elementen i ordning två i Klein-fyra-gruppen är utbytbara: automorfismgruppen i V är gruppen permutationer av dessa tre element.

Klein-gruppens permutationer av sina egna element kan abstrakt betraktas som dess permutationsrepresentation på fyra punkter:

V = {(), (1,2) (3,4), (1,3) (2,4), (1,4) (2,3)}

I denna representation, V är en normal delgrupp av alternerande gruppen A ₄ (och även den symmetriska gruppen S ₄ ) på fyra bokstäver. Faktum är att det är kärnan i en surjektiv grupp homomorfism från S ₄ till S ₃ .

Andra representationer inom S ₄ är:

{(), (1,2), (3,4), (1,2) (3,4)}

{(), (1,3), (2,4), (1,3) (2,4)}

{(), (1,4), (2,3), (1,4) (2,3)}

De är inte normala undergrupper av S _4.

Algebra

Enligt Galois-teorin förklarar förekomsten av Klein-gruppgruppen (och i synnerhet permutationsrepresentationen för den) förekomsten av formeln för beräkning av rötterna för kvartliga ekvationer i termer av radikaler , som fastställts av Lodovico Ferrari : kartan S ₄ → S ₃ motsvarar det lösningsmedels kubiska, i termer av Lagrange -lösningsmedel .

Vid konstruktionen av ändliga ringar har åtta av de elva ringarna med fyra element Klein-fyra-gruppen som additiv understruktur.

Om R ^× betecknar den multiplikativa grupp av icke-noll realer och R ⁺ den multiplikativa grupp av positiva reals , R ^× × R ^× är gruppen av enheter av ringen R × R , och R ⁺ × R ⁺ är en undergrupp av R ^× × R ^× (i själva verket är det komponenten i identiteten hos R ^× × R ^× ). Den kvotgrupp ( R ^× × R ^× ) / ( R ⁺ × R ⁺ ) är isomorf med den Kleins Fyrgrupp. På liknande sätt resulterar gruppen av enheter i split-komplexa talringen , när den divideras med dess identitetskomponent, också i Klein-fyra-gruppen.

Grafteori

Den enklaste enkla anslutna grafen som tillåter Klein-fyra-gruppen som dess automorfismgrupp är diamantdiagrammet som visas nedan. Det är också automorfismgruppen för några andra grafer som är enklare i betydelsen att ha färre enheter. Dessa inkluderar diagrammet med fyra hörn och en kant, som förblir enkel men förlorar anslutning, och grafen med två hörn anslutna till varandra med två kanter, som förblir ansluten men förlorar enkelhet.

musik

I musikkomposition är fyrgruppen den grundläggande gruppen permutationer i tolvtonstekniken . I det fallet är Cayley -tabellen skriven;

Se även

• Kvarterniongrupp
• Lista över små grupper

Referenser

Vidare läsning

• MA Armstrong (1988) Groups and Symmetry , Springer Verlag , sidan 53 .
• WE Barnes (1963) Introduction to Abstract Algebra , DC Heath & Co., sidan 20.

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Vierergruppe" . MathWorld .