Disjoint union - Disjoint union

I matematik är en osammanhängande förening (eller diskriminerad förening ) av en grupp uppsättningar en uppsättning med en injektionsfunktion av var och en i A , så att bilderna av dessa injektioner bildar en partition av A (det vill säga varje element i A tillhör exakt en av dessa bilder). Den osammanhängande föreningen av en familj av parvisa osammanhängande uppsättningar är deras förening . När det gäller kategoriteori är den disjoint unionen samprodukten av kategorin uppsättningar . Den osammanhängande föreningen definieras således upp till en bijektion. ${\ displaystyle (A_ {i} \ kolon i \ i I)}$${\ displaystyle A = \ bigsqcup _ {i \ i I} A_ {i},}$${\ displaystyle A_ {i}}$

Ett vanligt sätt för att bygga upp den ojämna föreningen är att definiera A som uppsättningen ordnade par ( x , i ) så att och de injektiva funktionerna av${\ displaystyle x \ i A_ {i},}$${\ displaystyle A_ {i} \ till A}$${\ displaystyle x \ mapsto (x, i).}$

Exempel

Tänk på uppsättningarna och . Vi kan indexera uppsättningselementen efter uppsättningens ursprung genom att bilda de associerade uppsättningarna ${\ displaystyle A_ {0} = \ {5,6,7 \}}$${\ displaystyle A_ {1} = \ {5,6 \}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} A_ {0}^{*} & = \ {(5,0), (6,0), (7,0) \} \\ A_ {1}^{*} & = \ {(5,1), (6,1) \}, \ end {align}}}$

där det andra elementet i varje par matchar prenumerationen på ursprungsuppsättningen (t.ex. in matchar abonnemanget i , etc.). Den osammanhängande föreningen kan sedan beräknas enligt följande: ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle (5,0)}$${\ displaystyle A_ {0}}$${\ displaystyle A_ {0} \ sqcup A_ {1}}$

${\ displaystyle A_ {0} \ sqcup A_ {1} = A_ {0}^{*} \ cup A_ {1}^{*} = \ {(5,0), (6,0), (7, 0), (5,1), (6,1) \}.}$

Uppsättningsteori definition

Formellt, låt oss vara en familj av uppsättningar som indexeras av Den olikartade föreningen av denna familj är uppsättningen ${\ displaystyle \ left \ {A_ {i}: i \ i I \ right \}}$${\ displaystyle I.}$

${\ displaystyle \ bigsqcup _ {i \ i I} A_ {i} = \ bigcup _ {i \ i I} \ vänster \ {(x, i): x \ i A_ {i} \ höger \}.}$

Elementen i den osammanhängande föreningen är ordnade par Här fungerar som ett hjälpindex som indikerar vilket elementet kom ifrån. ${\ displaystyle (x, i).}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle x}$

Var och en av uppsättningarna är kanoniskt isomorf för uppsättningen ${\ displaystyle A_ {i}}$

${\ displaystyle A_ {i}^{*} = \ left \ {(x, i): x \ i A_ {i} \ right \}.}$

Genom denna isomorfism kan man tänka på att det är kanoniskt inbäddat i den ojämna föreningen. För uppsättningarna och är oskiljaktiga även om uppsättningarna och inte är det. ${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle i \ neq j,}$${\ displaystyle A_ {i}^{*}}$${\ displaystyle A_ {j}^{*}}$${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle A_ {j}}$

I det extrema fallet där var och en är lika med en viss uppsättning för var och en är den kartesiska produkten av och : ${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle i \ i I,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle \ bigsqcup _ {i \ i I} A_ {i} = A \ gånger I.}$

Man kan ibland se notationen

${\ displaystyle \ sum _ {i \ i I} A_ {i}}$

för den osammanhängande föreningen av en uppsättning familjer, eller notationen för den osammanhängande föreningen av två uppsättningar. Denna notation är avsedd att vara suggestiv för det faktum att kardinaliteten i den olikartade föreningen är summan av kardinaliteterna i termerna i familjen. Jämför detta med notationen för den kartesiska produkten från en uppsättning familjer. ${\ displaystyle A+B}$

Oskarvade fackförbund skrivs också ibland eller${\ displaystyle \ biguplus _ {i \ i I} A_ {i}}$${\ displaystyle \ \ cdot \! \! \! \! \! \ bigcup _ {i \ i I} A_ {i}.}$

På kategoriteorins språk är den disjoint unionen samprodukten i kategorin uppsättningar . Det uppfyller därför den tillhörande universella egendomen . Detta innebär också att den olikartade föreningen är den kategoriska dubbla i den kartesiska produktkonstruktionen . Se samprodukt för mer information.

För många ändamål är det särskilda valet av hjälpindex oviktigt, och i ett förenklat missbruk av notering kan den indexerade familjen behandlas helt enkelt som en samling uppsättningar. I det här fallet kallas en kopia av och notationen används ibland. ${\ displaystyle A_ {i}^{*}}$${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle {\ underset {A \ i C} {\, \, \ bigcup \ nolimits ^{*} \!}} A}$

Kategoriteori synvinkel

I kategoriteori definieras den osammanhängande föreningen som en samprodukt i kategorin uppsättningar.

Som sådan definieras den splittrade föreningen upp till en isomorfism, och ovanstående definition är bara en insikt av blandprodukten, bland andra. När uppsättningarna är parvis isär, är den vanliga föreningen en annan insikt av samprodukten. Detta motiverar den andra definitionen i ledningen.

Denna kategoriska aspekt av den olikartade föreningen förklarar varför ofta används istället för att beteckna samprodukt . ${\ displaystyle \ coprod}$${\ displaystyle \ bigsqcup}$

Se även

• Coproduct-  Kategori-teoretisk konstruktion
• Direkt gräns
• Disjoint union (topologi)
• Oförenad förening av grafer
• Delning av en uppsättning  - Matematiska sätt att gruppera element i en uppsättning
• Summa typ
• Märkt fackförening  - Datastruktur som används för att hålla ett värde som kan anta flera olika men fasta typer
• Union (datavetenskap)

Referenser

• Lang, Serge (2004), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Korrigerad fjärde tryckningen, reviderad tredje upplagan), New York: Springer-Verlag, sid. 60, ISBN 978-0-387-95385-4
• Weisstein, Eric W. "Disjoint Union" . MathWorld .