Beställt par - Ordered pair

I matematik är ett ordnat par ( a , b ) ett par objekt. Ordningen i vilken föremålen visas i paret är signifikant: det ordnade paret ( a , b ) skiljer sig från det ordnade paret ( b , a ) om inte a = b . (Däremot är det orordnade paret { a , b } lika med det orordnade paret { b , a }.)

Ordnade par kallas också 2-tupler eller sekvenser (ibland listor i ett datavetenskapligt sammanhang) med längd 2. Ordnade par skalarer kallas ibland 2-dimensionella vektorer . (Tekniskt sett är detta ett missbruk av terminologi eftersom ett ordnat par inte behöver vara ett element i ett vektorutrymme .) Posterna i ett ordnat par kan vara andra ordnade par, vilket möjliggör rekursiv definition av ordnade n -par (ordnade listor över n föremål). Till exempel kan den ordnade trippeln ( a , b , c ) definieras som ( a , ( b , c )), dvs som ett par som är kapslade i ett annat.

I det ordnade paret ( a , b ), objektet en kallas första posten , och objektet b den andra posten i paret. Alternativt kallas objekten den första och den andra komponenten , den första och den andra koordinaten , eller vänster och höger projektioner av det ordnade paret.

Kartesiska produkter och binära relationer (och därmed funktioner ) definieras i termer av ordnade par.

Generaliteter

Låt och beställ par. Då är den karakteristiska (eller definierande ) egenskapen för det beställda paret:

Den uppsättning av alla ordnade par vars första posten på något set A och vars andra posten på något set B kallas cartesianska produkten av A och B , och skriven A x B . En binär relation mellan seten A och B är en delmängd av A × B .

Den ( a , b ) notation kan användas för andra ändamål, notably som betecknar öppna mellanrumreellt tal linjen . I sådana situationer kommer kontexten vanligtvis att göra det klart vilken mening som är avsedd. För ytterligare förtydligande kan det beställda paret betecknas med variantnotationen , men denna notation har också andra användningsområden.

Vänster och höger projektion av ett par p brukar betecknas med π 1 ( p ) och π 2 ( p ), eller med π ( p ) respektive π r ( p ). I sammanhang där godtyckliga n -tupler beaktas, πn
i
( t ) är en vanlig notation för den i: e komponenten i en n -dubbel t .

Informella och formella definitioner

I vissa inledande matematiska läroböcker ges en informell (eller intuitiv) definition av ordnat par, t.ex.

För två objekt a och b är det ordnade paret ( a , b ) en notation som specificerar de två objekten a och b , i den ordningen.

Detta följs vanligtvis av en jämförelse med en uppsättning av två element; påpekar att i en uppsättning måste a och b vara olika, men i ett ordnat par kan de vara lika och att även om ordningsföljden för att lista elementen i en uppsättning inte spelar någon roll, ändras i ett ordnat par ändrar ordningen för olika poster det beställda paret.

Denna "definition" är otillfredsställande eftersom den bara är beskrivande och bygger på en intuitiv förståelse av ordning . Men som ibland påpekas kommer det inte att skada att förlita sig på denna beskrivning och nästan alla tänker på ordnade par på detta sätt.

Ett mer tillfredsställande tillvägagångssätt är att observera att den karakteristiska egenskapen hos ordnade par som ges ovan är allt som krävs för att förstå ordningen av ordnade par i matematik. Därför kan det ordnade paret tas som en primitiv föreställning , vars tillhörande axiom är den karakteristiska egenskapen. Detta var tillvägagångssättet som N. Bourbaki -gruppen tog i sin Theory of Sets , publicerad 1954. Detta tillvägagångssätt har emellertid också sina nackdelar eftersom både förekomsten av ordnade par och deras karakteristiska egenskaper måste antas axiomatiskt.

Ett annat sätt att noggrant hantera ordnade par är att definiera dem formellt i sammanhang med uppsättningsteori. Detta kan göras på flera sätt och har fördelen att existens och den karakteristiska egenskapen kan bevisas från axiomen som definierar uppsättningsteorin. En av de mest citerade versionerna av denna definition beror på Kuratowski (se nedan) och hans definition användes i den andra upplagan av Bourbakis Theory of Sets , publicerad 1970. Även de matematiska läroböcker som ger en informell definition av ordnade par kommer ofta nämna den formella definitionen av Kuratowski i en övning.

Definiera det ordnade paret med hjälp av uppsättningsteori

Om man håller med om att uppsättningsteori är en tilltalande grund för matematik , måste alla matematiska objekt definieras som uppsättningar av något slag. Om det ordnade paret inte tas som primitivt måste det därför definieras som en uppsättning. Flera uppsättningsteoretiska definitioner av det ordnade paret ges nedan (se också).

Wieners definition

Norbert Wiener föreslog den första uppsättningen teoretiska definitionen av det ordnade paret 1914:

Han observerade att denna definition gjorde det möjligt att definiera typerna av Principia Mathematica som uppsättningar. Principia Mathematica hade tagit typer, och därmed relationer mellan alla arities, som primitiva .

Wiener använde {{ b }} istället för { b } för att göra definitionen kompatibel med typteori där alla element i en klass måste vara av samma "typ". Med b inkapslad i en ytterligare uppsättning är dess typ lika med s.

Hausdorffs definition

Ungefär samtidigt som Wiener (1914) föreslog Felix Hausdorff sin definition:

"där 1 och 2 är två distinkta objekt som skiljer sig från a och b."

Kuratowskis definition

År 1921 erbjöd Kazimierz Kuratowski den nu accepterade definitionen av det beställda paret ( a , b ):

Observera att denna definition används även när de första och andra koordinaterna är identiska:

Med tanke på något ordnat par p kan egenskapen " x är den första koordinaten för p " formuleras som:

Egenskapen " x är den andra koordinaten för p " kan formuleras som:

I det fall att vänster och höger koordinater är identiska, är den högra konjunkten trivialt sann, eftersom Y 1Y 2 aldrig är fallet.

Så här kan vi extrahera den första koordinaten för ett par (med hjälp av notationen för godtycklig korsning och godtycklig förening ):

Så här kan den andra koordinaten extraheras:

Varianter

Ovanstående Kuratowski -definition av det ordnade paret är "adekvat" genom att det uppfyller den karakteristiska egenskapen som ett ordnat par måste uppfylla, nämligen det . I synnerhet uttrycker den "ordning" i tillräcklig utsträckning, i det är falskt om inte . Det finns andra definitioner, av liknande eller mindre komplexitet, som är lika adekvata:

Den omvända definitionen är bara en trivial variant av Kuratowski -definitionen, och har som sådan inget oberoende intresse. Definitionen kort är så kallad eftersom den kräver två snarare än tre par hängslen . Att bevisa att kort uppfyller den karaktäristiska egenskapen kräver Zermelo - Fraenkels uppsättningsteoriska axiom för regelbundenhet . Om man dessutom använder von Neumanns uppsättningsteoretiska konstruktion av de naturliga talen , definieras 2 som mängden {0, 1} = {0, {0}}, som inte går att skilja från paret (0, 0) kort . Ytterligare en nackdel med det korta paret är det faktum att även om a och b är av samma typ är elementen i det korta paret inte. (Men om a  =  b så fortsätter den korta versionen att ha kardinalitet 2, vilket är något man kan förvänta sig av alla "par", inklusive alla "beställda par". Observera också att den korta versionen används i Tarski – Grothendieck uppsättningsteori , som Mizar -systemet bygger på.)

Att bevisa att definitioner uppfyller den karakteristiska egenskapen

Bevisa: ( a , b ) = ( c , d ) om och bara om a = c och b = d .

Kuratowski :
Om . Om a = c och b = d , så {{ a }, { a, b }} = {{ c }, { c, d }}. Sålunda ( a, b ) K = ( c, d ) K .

Bara om . Två fall: a = b och ab .

Om a = b :

( a, b ) K = {{ a }, { a, b }} = {{ a }, { a, a }} = {{ a }}.
( c, d ) K = {{ c }, { c, d }} = {{ a }}.
Alltså { c } = { c, d } = { a }, vilket innebär a = c och a = d . Med hypotes, a = b . Därför b = d .

Om ab , då ( a, b ) K = ( c, d ) K innebär {{ a }, { a, b }} = {{ c }, { c, d }}.

Antag att { c, d } = { a }. Sedan c = d = a , och så {{ c }, { c, d }} = {{ a }, { a, a }} = {{ a }, { a }} = {{ a }}. Men då skulle {{ a }, { a, b }} också vara lika med {{ a }}, så att b = a som motsäger ab .
Antag att { c } = { a, b }. Sedan a = b = c , vilket också motsäger ab .
Därför { c } = { a }, så att c = a och { c, d } = { a, b }.
Om d = a var sant, så är { c, d } = { a, a } = { a } ≠ { a, b }, en motsägelse. Således är d = b fallet, så att a = c och b = d .

Omvänd :
( a, b ) omvänd = {{ b }, { a, b }} = {{ b }, { b, a }} = ( b, a ) K .

Om . If ( a, b ) omvänd = ( c, d ) omvänd , ( b, a ) K = ( d, c ) K . Därför är b = d och a = c .

Bara om . Om a = c och b = d , så {{ b }, { a, b }} = {{ d }, { c, d }}. Således ( a, b ) omvänd = ( c, d ) omvänd .

Kort:

Om : Om a = c och b = d , så är { a , { a, b }} = { c , { c, d }}. Således ( a, b ) kort = ( c, d ) kort .

Endast om : Antag att { a , { a, b }} = { c , { c, d }}. Då en i vänster sida, och därmed i den högra sidan. Eftersom lika uppsättningar har lika element måste ett av a = c eller a = { c, d } vara fallet.

Om a = { c, d }, med samma resonemang som ovan, är { a, b } på höger sida, så { a, b } = c eller { a, b } = { c, d }.
Om { a, b } = c är c i { c, d } = a och a är i c , och denna kombination motsäger regelbundenhetens axiom, eftersom { a, c } inte har något minimalt element under relationen "elementet i . "
Om { a, b } = { c, d }, då en är ett element i en , från en = { c, d } = { a, b }, återigen motsäger regelbundenhet.
Därför måste a = c hålla.

Återigen ser vi att { a, b } = c eller { a, b } = { c, d }.

Alternativet { a, b } = c och a = c innebär att c är ett element i c , som motsäger regelbundenhet.
Så vi har a = c och { a, b } = { c, d }, och så: { b } = { a, b } \ { a } = { c, d } \ { c } = { d }, så b = d .

Quine -Rossers definition

Rosser (1953) använde en definition av det beställda paret på grund av Quine som kräver en tidigare definition av de naturliga talen . Låt vara uppsättningen naturliga tal och definiera först

Funktionen ökar sitt argument om det är ett naturligt tal och lämnar det som det är annars; talet 0 visas inte som funktionellt värde för . Som är uppsättningen av elementen att inte fortsätta med

Detta är uppsättningsbilden av en uppsättning under , ibland betecknad med också. Att tillämpa funktion på en uppsättning x ökar helt enkelt varje naturligt tal i den. I synnerhet innehåller aldrig talet 0, så att för alla uppsättningar x och y ,

Definiera vidare

Genom detta innehåller alltid siffran 0.

Slutligen definiera det ordnade paret ( A , B ) som den oskarvade föreningen

(som finns i alternativ notation).

Extrahera alla delar av par som inte innehåller 0 och ångra avkastningen A . På samma sätt kan B återvinnas från elementen i paret som innehåller 0.

Till exempel kodas paret enligt anvisningarna .

I typteori och i utväxter därav, såsom den axiomatiska uppsättningsteorin NF , har Quine – Rosser-paret samma typ som dess utskott och kallas därför ett "typnivå" ordnat par. Därför har denna definition fördelen att möjliggöra för en funktion , definierad som en uppsättning ordnade par, att ha en typ endast 1 högre än typen av dess argument. Denna definition fungerar bara om uppsättningen naturliga tal är oändlig. Detta är fallet i NF , men inte i typteori eller i NFU . J. Barkley Rosser visade att förekomsten av ett sådant ordnat par på typnivå (eller till och med ett "typhöjande med 1" ordnat par) innebär oändlighetens axiom . För en omfattande diskussion om det ordnade paret inom ramen för Quinins uppsättningsteorier, se Holmes (1998).

Cantor – Frege definition

Tidigt i utvecklingen av uppsättningsteorin, innan paradoxer upptäcktes, följde Cantor Frege genom att definiera det ordnade paret av två uppsättningar som klassen av alla relationer som håller mellan dessa uppsättningar, förutsatt att begreppet relation är primitivt:

Denna definition är otillåten i de flesta moderna formaliserade uppsättningsteorier och liknar metodiskt att definiera kardinalen för en uppsättning som klassen av alla uppsättningar som är ekvipotenta med den givna uppsättningen.

Morse definition

Morse - Kelley -uppsättningsteorin använder gratis rätta klasser . Morse definierade det ordnade paret så att dess prognoser kunde vara såväl riktiga klasser som uppsättningar. (Kuratowski -definitionen tillåter inte detta.) Han definierade först ordnade par vars projektioner är uppsättningar på Kuratowskis sätt. Han omdefinierade sedan paret

där komponenten kartesiska produkter är Kuratowski -uppsättningar och var

Detta gör möjliga par vars prognoser är korrekta klasser. Quine -Rosser -definitionen ovan medger också korrekta klasser som projektioner. På samma sätt definieras trippeln som en 3-tupel enligt följande:

Användningen av singleton -uppsättningen som har en insatt tom uppsättning tillåter tupler att ha den unika egenskapen att om a är en n -dubbel och b är en m -dubbel och a = bn = m . Ordnade tripplar som definieras som ordnade par har inte denna egenskap med avseende på ordnade par.

Axiomatisk definition

Ordnade par kan också introduceras i Zermelo - Fraenkel set theory (ZF) axiomatiskt genom att bara lägga till ZF en ny funktionssymbol för arity 2 (den brukar utelämnas) och ett definierande axiom för :

Denna definition är acceptabel eftersom denna förlängning av ZF är en konservativ förlängning .

Definitionen hjälper till att undvika så kallade oavsiktliga satser som (a, a) = {{a}}, {a} ∈ (a, b), om Kuratowskis definition (a, b) = {{a}, {a, b }} var använd.

Kategoriteori

Kommutativ diagram för den uppsatta produkten X 1 × X 2 .

En kategori-teoretisk produkt A × B i en kategori av uppsättningar representerar uppsättningen av ordnade par, med det första elementet som kommer från A och den andra kommer från B . I detta sammanhang den karaktäristiska egenskapen ovan är en konsekvens av den universella egenskapen hos produkten och det faktum att delar av en uppsättning X kan identifieras med morfismer från 1 (ett ett element uppsättning) till X . Även om olika objekt kan ha den universella egenskapen, är de alla naturligt isomorfa .

Referenser