Kategori uppsättningar - Category of sets

I matematiska området kategoriteori , den kategori av apparater , betecknas Set är kategori vars föremål är uppsättningar . Pilarna eller morfismen mellan uppsättningar A och B är de totala funktionerna från A till B , och morfismernas sammansättning är sammansättningen av funktioner .

Många andra kategorier (t.ex. kategorin grupper , med grupphomomorfismer som pilar) lägger till struktur för objekten i kategorin uppsättningar och/eller begränsar pilarna till funktioner av ett visst slag.

Egenskaper för kategorin uppsättningar

Axiomen för en kategori uppfylls av Set eftersom sammansättningen av funktioner är associativ och eftersom varje uppsättning X har en identitetsfunktions -id X  : X → X som fungerar som identitetselement för funktionskomposition.

De epimorfismer i Set är surjektiv kartor, de monomorphisms är injektiva kartor och isomorfier är bijektiva kartor.

Den tomma uppsättningen fungerar som det första objektet i Set med tomma funktioner som morfism. Varje singleton är ett terminalobjekt , med funktionerna som kartlägger alla element i källuppsättningarna till det enda målelementet som morfism. Det finns alltså inga nollobjekt i Set .

Kategorin Set är komplett och samkompletterad . Den produkt i denna kategori ges av kartesiska produkten uppsättningar. Den biprodukt ges av disjunkta unionen : givna uppsättningar A i där i sträcker sig över några index satt jag , vi konstruera samprodukt som unionen av A i x { i } (den cartesianska produkt med i tjänar till att säkerställa att alla komponenter vistelsen osammanhängande).

Set är prototypen för en konkret kategori ; andra kategorier är konkreta om de är "byggda på" Set på något väldefinierat sätt.

Varje uppsättning med två element fungerar som en subobjektklassificerare i Set . Strömobjektet av en uppsättning A ges av dess effektuppsättning , och den exponentiella föremålet av uppsättningarna A och B ges av uppsättningen av alla funktioner från A till B . Set är alltså en topos (och i synnerhet kartesisk stängd och exakt i betydelsen Barr ).

Uppsättningen är inte abelsk , additiv eller föraditiv .

Varje icke-tom uppsättning är ett injektivt objekt i Set . Varje uppsättning är ett projektivt objekt i Set (förutsatt valet av axiom ).

De äntligen presenterbara objekten i Set är de ändliga uppsättningarna. Eftersom varje uppsättning är en direkt gräns för dess ändliga delmängder, är kategorin Uppsättning en lokalt slutligt presenterbar kategori .

Om C är en godtycklig kategori är de kontravarianta funktionerna från C till Set ofta ett viktigt studieobjekt. Om A är ett objekt för C , är funktorn från C till Set som skickar X till Hom C ( X , A ) (uppsättningen morfismer i C från X till A ) ett exempel på en sådan funktor. Om C är en liten kategori (dvs samlingen av dess objekt bildar en uppsättning), så bildar de kontravarianta funktionerna från C till Set , tillsammans med naturliga transformationer som morfismer, en ny kategori, en funktorkategori som kallas kategorin av förskott på C .

Grunder för kategorin uppsättningar

I uppsättningsteorin Zermelo – Fraenkel är samlingen av alla uppsättningar inte en uppsättning; detta följer av grundaxeln . Man hänvisar till samlingar som inte är uppsättningar som korrekta klasser . Man kan inte hantera riktiga klasser som man hanterar uppsättningar; i synnerhet kan man inte skriva att de rätta klasserna tillhör en samling (antingen en uppsättning eller en riktig klass). Detta är ett problem eftersom det innebär att kategorin uppsättningar inte kan formaliseras direkt i denna inställning. Kategorier som Set vars samling av objekt bildar en riktig klass kallas stora kategorier , för att skilja dem från de små kategorierna vars objekt utgör en uppsättning.

Ett sätt att lösa problemet är att arbeta i ett system som ger korrekta klasser formell status, till exempel NBG -uppsättningsteori . I denna inställning sägs kategorier som bildas från uppsättningar vara små och de (som uppsättning ) som bildas från rätta klasser sägs vara stora .

En annan lösning är att anta förekomsten av Grothendieck -universum . Grovt sett är ett Grothendieck -universum en uppsättning som i sig är en modell av ZF (C) (till exempel om en uppsättning tillhör ett universum, kommer dess element och dess kraftsats att tillhöra universum). Förekomsten av Grothendieck -universum (andra än den tomma uppsättningen och uppsättningen av alla ärftligt begränsade uppsättningar ) antyds inte av de vanliga ZF -axiomen; det är ett ytterligare, oberoende axiom, ungefär ekvivalent med förekomsten av starkt otillgängliga kardinaler . Om vi ​​antar detta extra axiom kan man begränsa Set -objekten till elementen i ett visst universum. (Det finns ingen "uppsättning av alla uppsättningar" i modellen, men man kan fortfarande resonera om klassen U för alla inre uppsättningar, dvs element av U. )

I en variant av detta schema är klassen uppsättningar föreningen av hela tornet i Grothendieck -universum. (Detta är nödvändigtvis en riktig klass , men varje Grothendieck -universum är en uppsättning eftersom det är ett element i något större Grothendieck -universum.) Men man arbetar inte direkt med "kategorin av alla uppsättningar". Istället satser uttryckt i kategorin Set U vars föremål är delar av en tillräckligt stor Grothendieck universum U , och sedan visas inte vara beroende av det särskilda valet av U . Som grund för kategoriteori är detta tillvägagångssätt väl anpassat till ett system som Tarski – Grothendieck -uppsättningsteori där man inte direkt kan resonera om rätta klasser; dess huvudsakliga nackdel är att ett sats kan vara sant för alla uppsättningar U men inte för uppsättning .

Olika andra lösningar och variationer av ovanstående har föreslagits.

Samma frågor uppstår med andra konkreta kategorier, till exempel kategorin grupper eller kategorin topologiska utrymmen .

Se även

Anteckningar

  1. ^ Mac Lane 1969
  2. ^ Feferman 1969
  3. ^ Blass 1984

Referenser

  • Blass, A. Interaktionen mellan kategoriteori och uppsättningsteori . Samtida matematik 30 (1984).
  • Feferman, S. Set-teoretiska grunder för kategoriteori. Springer Lect. Anteckningar Math. 106 (1969): 201–247.
  • Lawvere, FW En elementär teori om kategorin uppsättningar (lång version) med kommentarer
  • Mac Lane, S. Ett universum som grund för kategoriteori. Springer Lect. Anteckningar Math. 106 (1969): 192–200.
  • Mac Lane, Saunders (september 1998). Kategorier för arbetande matematiker . Springer. ISBN 0-387-98403-8.(Volym 5 i serien Graduate Texts in Mathematics )
  • Pareigis, Bodo (1970), Kategorier och funktioner , Ren och tillämpad matematik, 39 , Academic Press , ISBN 978-0-12-545150-5

externa länkar