Bells sats - Bell's theorem

Bells sats bevisar att kvantfysiken är oförenlig med lokala dold-variabla teorier . Den introducerades av fysikern John Stewart Bell i en artikel från 1964 med titeln "On the Einstein Podolsky Rosen Paradox ", med hänvisning till ett tankeexperiment från 1935 som Albert Einstein , Boris Podolsky och Nathan Rosen använde för att hävda att kvantfysik är en "ofullständig" teori. År 1935 var det redan erkänt att förutsägelserna för kvantfysik är sannolikhetsmässiga . Einstein, Podolsky och Rosen presenterade ett scenario som enligt deras uppfattning indikerade att kvantpartiklar, liksom elektroner och fotoner , måste bära fysiska egenskaper eller attribut som inte ingår i kvantteorin, och osäkerheterna i kvantteorins förutsägelser berodde på okunskap om dessa egenskaper , senare kallad "dolda variabler". Deras scenario innefattar ett par vitt skilda fysiska objekt, förberedda på ett sådant sätt att parets kvanttillstånd trasslar ihop .

Bell förde analysen av kvantintrassling mycket längre. Han drog slutsatsen att om mätningar utförs oberoende av de två separerade halvorna av ett par, antar antagandet att resultaten beror på dolda variabler inom varje halva en begränsning av hur resultaten på de två halvorna är korrelerade. Denna begränsning skulle senare få namnet Bell -ojämlikheten. Bell visade sedan att kvantfysiken förutsäger korrelationer som kränker denna ojämlikhet. Följaktligen är det enda sättet som dolda variabler kan förklara kvantfysikens förutsägelser om de är "icke -lokala", på något sätt associerade med båda parhalvorna och kan bära influenser direkt mellan dem oavsett hur brett de två halvorna är åtskilda. Som Bell skrev senare, "Om [en dold variabelteori] är lokal kommer den inte att hålla med kvantmekaniken, och om den håller med kvantmekaniken kommer den inte att vara lokal."

Flera variationer av Bells sats bevisades under de följande åren, vilket införde andra närbesläktade tillstånd som allmänt kallas Bell (eller "Bell-typ") ojämlikheter. Dessa har testats experimentellt i fysiklaboratorier många gånger sedan 1972. Ofta har dessa experiment haft som mål att förbättra problemen med experimentell design eller uppläggning som i princip kan påverka giltigheten av resultaten från tidigare Bell-test. Detta är känt som "stänga kryphål i Bell test experiment ". Hittills har Bell -tester funnit att hypotesen om lokala dolda variabler är oförenlig med hur fysiska system faktiskt beter sig.

Den exakta karaktären på de antaganden som krävs för att bevisa en begränsning av Bell-typ på korrelationer har diskuterats av fysiker och filosofer . Även om betydelsen av Bells sats inte är tveksam, är dess fulla konsekvenser för tolkningen av kvantmekanik fortfarande olösta.

Historisk bakgrund

I början av 1930 -talet oroade de filosofiska konsekvenserna av de nuvarande tolkningarna av kvantteori många framstående fysiker på dagen, inklusive Albert Einstein . I ett välkänt papper från 1935 försökte Boris Podolsky och medförfattare Einstein och Nathan Rosen (tillsammans "EPR") genom EPR-paradoxen visa att kvantmekaniken var ofullständig. Detta gav hopp om att en mer komplett (och mindre oroande) teori en dag kan upptäckas. Men den slutsatsen vilade på de till synes rimliga antagandena om lokalitet och realism (tillsammans kallade "lokal realism" eller " lokala dolda variabler ", ofta omväxlande). På Einsteins språk: lokalitet innebar ingen momentan ("skrämmande") handling på avstånd ; realism innebar att månen är där även när den inte observeras. Dessa antaganden debatterades hårt i fysikgemenskapen, särskilt mellan Einstein och Niels Bohr .

I sitt banbrytande papper från 1964, "On the Einstein Podolsky Rosen paradox", presenterade fysikern John Stewart Bell en vidareutveckling, baserad på spinnmätningar på par av intrasslade elektroner, av EPR: s hypotetiska paradox. Med hjälp av deras resonemang sa han att ett val av mätinställning i närheten inte borde påverka resultatet av en mätning långt borta (och vice versa). Efter att ha tillhandahållit en matematisk formulering av lokalitet och realism baserad på detta visade han specifika fall där detta skulle vara oförenligt med kvantmekanikens förutsägelser.

I experimentella tester efter Bells exempel, som nu använder kvantinvikling av fotoner istället för elektroner, John Clauser och Stuart Freedman (1972) och Alain Aspect et al . (1981) visade att förutsägelserna för kvantmekanik är korrekta i detta avseende, även om de förlitar sig på ytterligare icke verifierbara antaganden som öppnar kryphål för lokal realism. Senare experiment försökte stänga dessa kryphål.

Översikt

Satsen bevisas vanligtvis genom att beakta ett kvantsystem med två intrasslade qubits med de ursprungliga testerna som anges ovan gjorda på fotoner. De vanligaste exemplen gäller system av partiklar som är intrasslade i snurr eller polarisering . Kvantmekanik tillåter förutsägelser av korrelationer som skulle observeras om dessa två partiklar får sin snurrning eller polarisering mätt i olika riktningar. Bell visade att om en lokal dold variabelteori håller, måste dessa korrelationer uppfylla vissa begränsningar, kallade Bell -ojämlikheter.

Med tvåstatspartiklar och observerbara A, B och C (som på bilden) får man kränkningen av Bell-ojämlikhet. Enligt kvantmekaniken är summan av sannolikheter för att få lika resultat som mäter olika observerbara 3/4. Men förutsatt förutbestämda resultat (lika för samma observerbara), måste denna summa vara minst 1 eftersom minst två av tre observerbara i varje par är förutbestämda för att vara lika.

Efter argumentet i Einstein – Podolsky – Rosen (EPR) paradoxpapper (men med hjälp av exemplet med snurr, som i David Bohms version av EPR -argumentet), övervägde Bell ett tankeexperiment där det finns ”ett par snurr halvpartiklar bildades på något sätt i singlet-spin-tillståndet och rörde sig fritt i motsatta riktningar. " De två partiklarna reser bort från varandra till två avlägsna platser, vid vilka spinnmätningar utförs, längs axlar som väljs oberoende. Varje mätning ger ett resultat av antingen spin-up (+) eller spin-down (-); det betyder, snurra i den valda axelns positiva eller negativa riktning.

Sannolikheten för att samma resultat uppnås på de två platserna beror på de relativa vinklarna vid vilka de två centrifugeringsmätningarna görs, och är strikt mellan noll och en för alla relativa vinklar förutom perfekt parallella eller antiparallella inriktningar (0 ° eller 180 ° ). Eftersom det totala vinkelmomentet bevaras och eftersom det totala centrifugeringen är noll i singlettillståndet är sannolikheten för samma resultat med parallell eller antiparallell inriktning 0 eller 1. Denna sista förutsägelse är sann både klassiskt och kvantmekaniskt.

Bells sats handlar om korrelationer definierade i termer av medelvärden som tagits över väldigt många försök med experimentet. Den korrelation av två binära variabler definieras vanligen i kvantfysik som medelvärdet av produkterna av paren av mätningar. Observera att detta skiljer sig från den vanliga definitionen av korrelation i statistik. Den quantumfysiker s "korrelation" är statistiker s "rå (uncentered, onormaliserad) produkt ögonblick ". De är likartade genom att, med endera definitionen, om utgångsparen alltid är desamma, är korrelationen +1; om utgångsparen alltid är motsatta är korrelationen −1; och om utgångsparen överensstämmer med 50% av tiden, så är korrelationen 0. Korrelationen är på ett enkelt sätt relaterat till sannolikheten för lika resultat, nämligen att den är lika med dubbelt så stor som sannolikheten för lika resultat, minus ett.

Att mäta rotationen av dessa intrasslade partiklar längs antiparallellriktningar (dvs. vända i exakt motsatta riktningar, kanske kompenserade av något godtyckligt avstånd) är uppsättningen av alla resultat perfekt korrelerade. Å andra sidan, om mätningar utförs längs parallella riktningar (dvs. vända i exakt samma riktning, kanske förskjutet av något godtyckligt avstånd) ger de alltid motsatta resultat, och mätuppsättningen visar perfekt antikorrelation. Detta är i överensstämmelse med ovan angivna sannolikheter för att mäta samma resultat i dessa två fall. Slutligen har mätning i vinkelräta riktningar 50% chans att matcha, och den totala mätmängden är okorrelerad. Dessa grundläggande fall illustreras i tabellen nedan. Kolumner ska läsas som exempel på par av värden som kan spelas in av Alice och Bob med tiden som går åt höger.

Den bästa möjliga lokala realistiska imitationen (röd) för kvantkorrelation mellan två snurr i singlettillståndet (blått), insisterar på perfekt antikorrelation vid 0 °, perfekt korrelation vid 180 °. Många andra möjligheter finns för den klassiska korrelationen som är föremål för dessa sidoförhållanden, men alla kännetecknas av skarpa toppar (och dalar) vid 0 °, 180 ° och 360 °, och ingen har mer extrema värden (± 0,5) vid 45 °, 135 °, 225 ° och 315 °. Dessa värden är markerade med stjärnor i grafen och är de värden som mäts i ett standard experiment av Bell-CHSH-typ: QM tillåter ± 1/ √ 2 = ± 0,7071 ... , lokal realism förutspår ± 0,5 eller mindre.

Med mätningarna orienterade i mellanvinklar mellan dessa grundläggande fall kan förekomsten av lokala dolda variabler stämma överens med/skulle överensstämma med ett linjärt beroende av korrelationen i vinkeln, men enligt Bells ojämlikhet (se nedan) kan det inte hålla med det beroende som kvantmekanisk teori förutsäger, nämligen att korrelationen är den negativa cosinus för vinkeln. Experimentella resultat motsäger de klassiska kurvorna och matchar kurvan som förutspås av kvantmekanik så länge som experimentella brister beaktas.

Under årens lopp har Bells sats genomgått en mängd olika experimentella tester. Emellertid har olika vanliga brister i testet av satsen identifierats, inklusive detektionshålet och kommunikationshålet . Under åren har experiment gradvis förbättrats för att bättre hantera dessa kryphål. År 2015 utfördes det första experimentet för att samtidigt ta itu med alla kryphål.

Hittills betraktas Bells sats allmänt som stödd av en väsentlig mängd bevis och det finns få anhängare av lokala dolda variabler, även om satsen ständigt är föremål för studier, kritik och förfining.

Betydelse

Bells sats, härledd i hans seminarium från 1964 med titeln "On the Einstein Podolsky Rosen paradox", har kallats, med antagandet att teorin är korrekt, "den mest djupgående inom vetenskapen". Kanske lika viktigt är Bells avsiktliga ansträngningar att uppmuntra och få legitimitet att arbeta med fullständighetsfrågorna, som hade förfallit. Senare i sitt liv uttryckte Bell sin förhoppning om att sådant arbete "fortsätter att inspirera dem som misstänker att det som bevisas av omöjligheten bevis är brist på fantasi." N. David Mermin har beskrivit bedömningarna av vikten av Bells sats i fysikgemenskapen som allt från "likgiltighet" till "vild extravagans".

Titeln på Bells betydande artikel hänvisar till 1935 -dokumentet av Einstein, Podolsky och Rosen som utmanade kvantmekanikens fullständighet. I sitt papper började Bell utifrån samma två antaganden som EPR, nämligen (i) verkligheten (att mikroskopiska objekt har verkliga egenskaper som bestämmer resultaten av kvantmekaniska mätningar) och (ii) lokalitet (att verkligheten på en plats inte påverkas genom mätningar som utförs samtidigt på en avlägsen plats). Bell kunde av dessa två antaganden få ett viktigt resultat, nämligen Bells ojämlikhet. Den teoretiska (och senare experimentella) kränkningen av denna ojämlikhet innebär att minst ett av de två antagandena måste vara falskt.

I två avseenden var Bells papper från 1964 ett steg framåt jämfört med EPR -papperet: för det första betraktade det mer dolda variabler än bara elementet i fysisk verklighet i EPR -papperet; och Bells ojämlikhet var delvis experimentellt testbar, vilket ökade möjligheten att testa den lokala realismhypotesen. Begränsningar av sådana tester hittills noteras nedan. Medan Bells papper endast behandlar deterministiska teorier om dolda variabler, generaliserades Bells sats senare också till stokastiska teorier, och man insåg också att satsen inte så mycket handlar om dolda variabler, utan om resultaten av mätningar som kunde ha gjorts istället av den som faktiskt tagits. Förekomsten av dessa variabler kallas antagandet om realism, eller antagandet om kontrafaktisk bestämdhet .

Efter EPR -papperet befann sig kvantmekaniken i ett otillfredsställande läge: antingen var den ofullständig, i den meningen att den inte redogjorde för vissa delar av den fysiska verkligheten, eller så kränkte den principen om en begränsad spridningshastighet för fysiska effekter. I en modifierad version av EPR tankeexperiment, två hypotetiska observatörer , nu allmänt hänvisade till som Alice och Bob , utför oberoende mätningar av spinn på ett par av elektroner, framställd vid en källa i ett speciellt tillstånd som kallas en spinn singlet tillstånd . Det är slutsatsen av EPR att när Alice mäter snurr i en riktning (t.ex. på x -axeln), bestäms Bobs mätning i den riktningen med säkerhet som det motsatta utfallet från Alice, medan Bobs utgång omedelbart före Alices mätning var endast statistiskt bestämd (dvs. var bara en sannolikhet, inte en säkerhet); sålunda är antingen snurrningen i varje riktning ett element i den fysiska verkligheten , eller så går effekterna direkt från Alice till Bob.

I QM formuleras förutsägelser i termer av sannolikheter - till exempel sannolikheten för att en elektron kommer att detekteras på en viss plats, eller sannolikheten att dess snurr är upp eller ner. Tanken kvarstod dock att elektronen faktiskt har en bestämd position och snurr, och att QM: s svaghet är dess oförmåga att förutsäga dessa värden exakt. Möjligheten fanns att någon okänd teori, till exempel en teori om dolda variabler , skulle kunna förutse dessa kvantiteter exakt, samtidigt som de också var helt överens med de sannolikheter som QM förutspådde. Om en sådan dold variabelteori existerar, eftersom de dolda variablerna inte beskrivs av QM skulle den senare vara en ofullständig teori.

Lokal realism

Begreppet lokal realism är formaliserat för att ange och bevisa Bells sats och generaliseringar. Ett vanligt tillvägagångssätt är följande:

1. Det finns ett sannolikhetsutrymme Λ och de observerade resultaten av både Alice och Bob resulterar genom slumpmässig provtagning av (okänd, "dold") parameter λ ∈ Λ .
2. De värden som observerats av Alice eller Bob är funktioner för de lokala detektorinställningarna, tillståndet för den inkommande händelsen (centrifugering för material eller fas för foton) och endast den dolda parametern. Således finns det funktioner A , B  : S ² × Λ → {−1, +1} , där en detektorinställning modelleras som en plats på enhetens sfär S ² , så att
   • Värdet observerat av Alice med detektorinställning a är A ( a , λ )
   • Värdet som observerats av Bob med detektorinställning b är B ( b , λ )

Perfekt antikorrelation skulle kräva B ( c , λ ) = -A ( c , λ ), c ∈ S ² . Implicit i antagande 1) ovan har det dolda parameterutrymmet Λ ett sannolikhetsmått μ och förväntningen om en slumpmässig variabel X på Λ med avseende på μ är skriven

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {\ Lambda} X (\ lambda) p (\ lambda) \, d \ lambda,}$

där vi för åtkomst till notering antar att sannolikhetsmåttet har en sannolikhetstäthet p som därför är icke -negativ och integreras med 1 . Den dolda parametern anses ofta vara associerad med källan men den kan lika gärna också innehålla komponenter associerade med de två mätanordningarna.

Bell ojämlikheter

Bell ojämlikheter gäller mätningar som görs av observatörer på partiklar som har interagerat och sedan separerats. Om man antar lokal realism måste vissa begränsningar hålla förhållandena mellan korrelationerna mellan efterföljande mätningar av partiklarna under olika möjliga mätinställningar. Låt A och B vara som ovan. Definiera för närvarande tre korrelationsfunktioner:

• Låt C _e ( a , b ) beteckna den experimentellt uppmätta korrelationen definierad av

  ${\ displaystyle C_ {e} (a, b) = {\ frac {N _ {++}+N _ {-}-N _ {+-}-N _ {-+}} {N _ {++}+N_ { -}+N _ {+-}+N _ {-+}}},}$

där N ₊₊ är antalet mätningar som ger "snurra upp" i riktningen av en uppmätt av Alice (första abonnemang + ) och "snurra upp" i riktningen av b mätt av Bob. De andra förekomsterna av N definieras analogt. Med andra ord betecknar detta uttryck antalet gånger Alice och Bob hittade samma snurr, minus antalet gånger de hittade ett motsatt snurr, dividerat med det totala antalet mätningar, för ett givet par vinklar.

• Låt C _q ( a , b ) beteckna korrelationen som förutspås av kvantmekanik. Detta ges av uttrycket

  ${\ displaystyle C_ {q} (a, b) = \ left \ langle \ Psi \ left | ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {b})^{(2)} ({\ boldsymbol { \ sigma}} \ cdot \ mathbf {a})^{(1)} \ höger | \ Psi \ höger \ rangle,}$

var är den antisymmetriska spinnvågsfunktionen, är Pauli -vektorn . Detta värde beräknas vara ${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$

${\ displaystyle C_ {q} (a, b) =-\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}.}$

var och är enhetsvektorerna som representerar varje mätanordning och den inre produkten är lika med cosinus för vinkeln mellan dessa vektorer.${\ displaystyle \ mathbf {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {b}}$${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}}$

• Låt C _h ( a , b ) beteckna korrelationen som förutses av någon dold variabelteori. I formaliseringen av ovanstående är detta

  ${\ displaystyle C_ {h} (a, b) = E (A (\ mathbf {a}, \ lambda) B (\ mathbf {b}, \ lambda)) = \ int _ {\ Lambda} A (\ mathbf {a}, \ lambda) B (\ mathbf {b}, \ lambda) p (\ lambda) \, d \ lambda.}$

Med denna notering kan en kortfattad sammanfattning av vad som följer göras.

• Teoretiskt finns det a , b så att

${\ displaystyle C_ {q} \ neq C_ {h},}$

oavsett vad som är särdrag hos den dolda variabelteorin så länge den följer de lokala realismens regler som definierats ovan. Det vill säga, ingen lokal dold variabelteori kan göra samma förutsägelser som kvantmekanik.

• Experimentellt, fall av

${\ displaystyle C_ {e} \ neq C_ {h}}$

har hittats (oavsett vilken dold variabelteori), men

${\ displaystyle C_ {e} \ neq C_ {q} \ quad {\ text {(hittades inte)}}}$

har aldrig hittats. Det vill säga, förutsägelser om kvantmekanik har aldrig förfalskats genom experiment. Dessa experiment inkluderar sådana som kan utesluta lokala dolda variabelteorier. Men se nedan om möjliga kryphål.

Original Bells ojämlikhet

Ojämlikheten som Bell härledde kan skrivas som:

${\ displaystyle \ mid C_ {h} (a, b) -C_ {h} (a, c) \ mid \ leq 1+C_ {h} (b, c),}$

där a, b och c hänvisar till tre godtyckliga inställningar för de två analysatorerna. Denna ojämlikhet är dock begränsad i sin tillämpning till det ganska speciella fallet där resultaten på båda sidor av experimentet alltid är exakt antikorrelerade när analysatorerna är parallella. Fördelen med att begränsa uppmärksamheten till detta specialfall är den resulterande enkelheten i härledningen. I experimentellt arbete är ojämlikheten inte särskilt användbar eftersom det är svårt, om inte omöjligt, att skapa perfekt antikorrelation.

Denna enkla form har dock en intuitiv förklaring. Det motsvarar följande elementära resultat från sannolikhetsteori. Tänk på tre (starkt korrelerade och möjligen partiska) mynt-vändningar X, Y och Z , med egenskapen att:

1. X och Y ger samma resultat (båda huvuden eller båda svansarna) 99% av tiden
2. Y och Z ger också samma resultat 99% av tiden,

då måste X och Z också ge samma resultat minst 98% av tiden. Antalet fel matchningar mellan X och Y (1/100) plus antalet fel matchningar mellan Y och Z (1/100) är tillsammans det högsta möjliga antalet fel matchningar mellan X och Z (en enkel Boole – Fréchet ojämlikhet ).

Tänk dig ett par partiklar som kan mätas på avlägsna platser. Antag att mätanordningarna har inställningar som är vinklar - t.ex. mäter enheterna något som kallas snurr i någon riktning. Experimentanten väljer riktningarna, en för varje partikel, separat. Antag att mätresultatet är binärt (t.ex. snurra upp, snurra ner). Antag att de två partiklarna är perfekt antikorrelerade-i den meningen att när båda mäts i samma riktning får man identiskt motsatta resultat, när båda mäts i motsatta riktningar ger de alltid samma resultat. Det enda sättet att föreställa sig hur detta fungerar är att båda partiklarna lämnar sin gemensamma källa med på något sätt de resultat de kommer att leverera när de mäts i någon möjlig riktning. (Hur kunde partikel 1 annars veta hur man levererar samma svar som partikel 2 när den mäts i samma riktning? De vet inte i förväg hur de ska mätas ...). Mätningen på partikel 2 (efter byte av tecken) kan ses som att den berättar vad samma mätning på partikel 1 skulle ha gett.

Börja med en inställning exakt motsatt till den andra. Alla partiklar par ger samma resultat (varje par är antingen både snurra upp eller båda snurra ner). Ändra nu Alices inställning med en grad i förhållande till Bobs. De är nu en grad från att vara exakt motsatta till varandra. En liten bråkdel av paren, säg f , ger nu olika resultat. Om istället vi hade lämnat Alices inställning oförändrad men skiftad Bobs med en grad (i motsatt riktning), sedan återigen en fraktion f av paren av partiklarna visar sig ge olika resultat. Fundera slutligen på vad som händer när båda skiften genomförs samtidigt: de två inställningarna är nu exakt två grader från att vara motsatta till varandra. Med argumentet om felaktig överensstämmelse kan chansen för en missmatchning vid två grader inte vara mer än dubbelt så stor som risken för en mismatch i en grad: den kan inte vara mer än 2 f .

Jämför detta med förutsägelser från kvantmekanik för singlettillståndet. För en liten vinkel θ , mätt i radianer, är chansen för ett annat utfall ungefär som förklaras av approximation med liten vinkel . Vid två gånger denna lilla vinkel, är chansen för en felaktig matchning därför cirka 4 gånger större, sedan . Men vi hävdade bara att det inte kan vara mer än 2 gånger så stort. ${\ displaystyle f_ {1} = \ theta ^{2}/4}$${\ displaystyle f_ {2} = (2 \ theta)^{2}/4 = 2^{2} \ theta^{2}/4 \ approx 4f_ {1}}$

Denna intuitiva formulering beror på David Mermin . Gränsen för liten vinkel diskuteras i Bells originalartikel och går därför tillbaka till ursprunget till Bell-ojämlikheterna.

CHSH -ojämlikhet

Genom att generalisera Bells ursprungliga ojämlikhet introducerade John Clauser , Michael Horne , Abner Shimony och RA Holt CHSH-ojämlikheten , som sätter klassiska gränser för uppsättningen av fyra korrelationer i Alice och Bobs experiment, utan något antagande om perfekta korrelationer (eller antikorrelationer) vid lika inställningar

${\ displaystyle (1) \ quad C_ {h} (a, b) -C_ {h} (a, b ')+C_ {h} (a', b)+C_ {h} (a ', b' ) \ leq 2.}$

Att göra det speciella valet , beteckna och anta perfekt antikorrelation vid lika inställningar, perfekt korrelation vid motsatta inställningar, därför och , CHSH-ojämlikheten reduceras till den ursprungliga Bell-ojämlikheten. Numera kallas (1) också ofta helt enkelt "Bell-ojämlikheten", men ibland mer fullständigt "Bell-CHSH-ojämlikheten". ${\ displaystyle a '= b+\ pi}$${\ displaystyle b '= c}$${\ displaystyle \ rho (a, a+\ pi) = 1}$${\ displaystyle \ rho (b, a+\ pi) =-\ rho (b, a)}$

Avledning av den klassiska gränsen

Med förkortad notation

${\ displaystyle A = A (a, \ lambda), A '= A (a', \ lambda), B = B (b, \ lambda), B '= B (b', \ lambda),}$

CHSH -ojämlikheten kan härledas enligt följande. Var och en av de fyra mängderna är och var och en beror på . Det följer att för alla , en av och är noll, och den andra är . Av detta följer det ${\ displaystyle \ pm 1}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ Lambda}$${\ displaystyle B+B '}$${\ displaystyle B-B '}$${\ displaystyle \ pm 2}$

${\ displaystyle AB+AB '+A'B-A'B' = A (B+B ')+A' (B-B ') \ leq 2,}$

och därför

${\ displaystyle {\ begin {align} C_ {h} (a, b)+C_ {h} (a, b ')+C_ {h} (a', b) -C_ {h} (a ', b ') & = \ int _ {\ Lambda} ABp \, d \ lambda +\ int _ {\ Lambda} AB'p \, d \ lambda +\ int _ {\ Lambda} A'Bp \, d \ lambda - \ int _ {\ Lambda} A'B'p \, d \ lambda \\ & = \ int _ {\ Lambda} (AB+AB '+A'B-A'B') p \, d \ lambda \ \ & = \ int _ {\ Lambda} (A (B+B ')+A' (B-B ')) p \, d \ lambda \ leq 2. \ end {align}}}$

Kärnan i denna härledning är en enkel algebraisk ojämlikhet rörande fyra variabler som endast tar värdena : ${\ displaystyle A, A ', B, B'}$${\ displaystyle \ pm 1}$

${\ displaystyle AB+AB '+A'B-A'B' = A (B+B ')+A' (B-B ') \ leq 2.}$

CHSH -ojämlikheten ses endast bero på följande tre nyckelfunktioner i en teori om lokala dolda variabler: (1) realism: vid sidan av resultaten av faktiskt utförda mätningar finns även resultaten av potentiellt utförda mätningar samtidigt; (2) lokalitet, resultaten av mätningar på Alice partikel beror inte på vilken mätning Bob väljer att utföra på den andra partikeln; (3) frihet: Alice och Bob kan verkligen välja fritt vilka mätningar som ska utföras.

Den realism antagande är faktiskt något idealistisk och Bells teorem bevisar bara icke-ort med avseende på variabler som bara existerar för metafysiska skäl. Men innan kvantmekaniken upptäcktes var både realism och lokalitet helt okontroversiella drag i fysiska teorier.

Kvantmekaniska förutsägelser bryter mot CHSH -ojämlikheter

Mätningarna som utförs av Alice och Bob är spinnmätningar på elektroner. Alice kan välja mellan två detektorinställningar märkta och ; dessa inställningar motsvarar mätning av snurr längs axeln eller . Bob kan välja mellan två detektorinställningar märkta och ; dessa motsvarar mätning av snurr längs axeln eller , där koordinatsystemet roteras 135 ° i förhållande till koordinatsystemet. Spinnobserverbarheterna representeras av de 2 × 2 självgränsande matriserna: ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a '}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b '}$${\ displaystyle z '}$${\ displaystyle x '}$${\ displaystyle x'-z '}$${\ displaystyle xz}$

${\ displaystyle S_ {x} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}}, \ quad S_ {z} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix}} }$

Dessa är Pauli -spinnmatriserna , som är kända för att ha egenvärden lika med . Som vanligt kommer vi att använda bra -ketotation för att beteckna egenvektorerna för som , var${\ displaystyle \ pm 1}$${\ displaystyle S_ {z}}$${\ displaystyle | 0 \ rangle, | 1 \ rangle}$

$${\ displaystyle | 0 \ rangle \ equiv {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, \ qquad | 1 \ rangle \ equiv {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}} .}$$

${\ displaystyle | \ Phi ^{-} \ rangle}$

$${\ displaystyle | \ Phi ^{ -} \ rangle \ equiv {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (| 0,1 \ rangle -| 1,0 \ rangle \ right),}$$

${\ displaystyle | 0,1 \ rangle \ equiv | 0 \ rangle \ otimes | 1 \ rangle, | 1,0 \ rangle \ equiv | 1 \ rangle \ otimes | 0 \ rangle.}$

Enligt kvantmekanik kodas valet av mätningar till valet av hermitiska operatörer som tillämpas på detta tillstånd. Tänk särskilt på följande operatörer:

$${\ displaystyle {\ begin {align} A (a) & = S_ {z} \ otimes I \\ A (a ') & = S_ {x} \ otimes I \\ B (b) & = {\ frac { -1} {\ sqrt {2}}} \ I \ otimes (S_ {z}+S_ {x}) \\ B (b ') & = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ I \ otimes (S_ {z} -S_ {x}), \ end {align}}}$$

där representerar två mätval av Alice och två mätval av Bob. ${\ displaystyle A (a), A (a ')}$${\ displaystyle B (b), B (b ')}$

För att få förväntningsvärdet som ges av ett givet mätval av Alice och Bob måste man beräkna förväntningsvärdet för motsvarande operatörspar (till exempel om ingångarna väljs att vara ) över det delade tillståndet . ${\ displaystyle A (a) B (b)}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle | \ Phi ^{-} \ rangle}$

Till exempel beräknas förväntningsvärdet som motsvarar att Alice väljer mätinställningen och Bob väljer mätinställningen${\ displaystyle \ langle A (a) B (b) \ rangle}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

$${\ displaystyle \ langle A (a) B (b) \ rangle \ equiv \ langle \ Phi ^{-} | \ left ({\ frac {-1} {\ sqrt {2}}} S_ {z} \ otimes (S_ {x}+S_ {z}) \ höger) | \ Phi ^{-} \ rangle =-{\ frac {1} {2}} \ langle \ Phi ^{-} | {\ Big [} | 0 \ rangle \ otimes (| 0 \ rangle -| 1 \ rangle) +| 1 \ rangle \ otimes (| 1 \ rangle +| 0 \ rangle) {\ Big]} = {\ frac {1} {\ sqrt { 2}}}.}$$

$${\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle A (a) B (b) \ right \ rangle = \ left \ langle A (a ') B (b) \ right \ rangle = {} & \ left \ langle A (a ') B (b') \ right \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \\ & \ left \ langle A (a) B (b ') \ right \ rangle =-{\ frac {1} {\ sqrt {2}}}. \ end {align}}}$$

${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ left \ langle A (a) B (b) \ right \ rangle +\ left \ langle A (a ') B (b') \ right \ rangle +\ left \ langle A \ left (a '\ höger) B (b) \ höger \ rangle -\ vänster \ langle A (a) B (b ') \ höger \ rangle = {\ frac {4} {\ sqrt {2}}} = 2 {\ sqrt {2 }}> 2.}$

Bells sats: Om den kvantmekaniska formalismen är korrekt, kan systemet som består av ett par intrasslade elektroner inte tillfredsställa principen om lokal realism. Observera att det verkligen är den övre gränsen för kvantmekanik som kallas Tsirelsons gräns . Operatörerna som ger detta maximala värde är alltid isomorfa för Pauli -matriserna. ${\ displaystyle 2 {\ sqrt {2}}}$

Test med praktiska experiment

Schema för ett "tvåkanals" klocktest
Källan S producerar par "fotoner", som skickas i motsatta riktningar. Varje foton möter en tvåkanalig polarisator vars orientering (a eller b) kan ställas in av försöksledaren. Framväxande signaler från varje kanal detekteras och sammanträffanden av fyra typer (++, −−,+ - och -+) räknas av slumpmätaren.

Experimentella tester kan avgöra om de Bell -ojämlikheter som krävs av lokal realism håller upp till de empiriska bevisen.

Egentligen har de flesta experiment utförts med polarisering av fotoner snarare än snurrning av elektroner (eller andra snurrhalvpartiklar). Kvanttillståndet för paret med intrasslade fotoner är inte singlettillståndet, och korrespondensen mellan vinklar och utfall är annorlunda än i spin-half-uppställningen. Polarisationen av en foton mäts i ett par vinkelräta riktningar. I förhållande till en given orientering är polarisationen antingen vertikal (betecknad med V eller med +) eller horisontell (betecknad med H eller med -). Fotonparen genereras i kvanttillstånd

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ vänster (| V \ rangle \ otimes | V \ rangle +| H \ rangle \ otimes | H \ rangle \ höger)}$

där och betecknar tillståndet för en enkel vertikalt eller horisontellt polariserad foton (i förhållande till en fast och gemensam referensriktning för båda partiklarna). ${\ displaystyle | V \ rangle}$${\ displaystyle | H \ rangle}$

När polarisationen av båda fotonerna mäts i samma riktning ger båda samma resultat: perfekt korrelation. När de mäts i riktningar som gör en vinkel 45 ° med varandra är resultaten helt slumpmässiga (okorrelerade). De mäter i riktningar 90 ° mot varandra och de två är perfekt anti-korrelerade. I allmänhet, när polarisatorerna står i en vinkel θ mot varandra, är korrelationen cos (2 θ ) . Så i förhållande till korrelationsfunktionen för singlettillståndet för snurrhalvpartiklar har vi en positiv cosinusfunktion snarare än en negativ, och vinklarna halveras: korrelationen är periodisk med punkt π istället för 2 π .

Bells ojämlikheter testas med "slumpmässiga räkningar" från ett Bell -testexperiment som det optiska som visas i diagrammet. Par partiklar avges som ett resultat av en kvantprocess, analyseras med avseende på några nyckelegenskaper, såsom polarisationsriktning, och detekteras sedan. Inställningen (orienteringar) för analysatorerna väljs av experimenteraren.

Klocktestförsök hittills bryter överväldigande på Bells ojämlikhet.

Två klasser av Bell -ojämlikheter

Den rättvis provtagning problem stod inför öppet på 1970-talet. I tidiga konstruktioner av deras experiment från 1973 använde Freedman och Clauser rättvis provtagning i form av Clauser – Horne – Shimony – Holt (CHSH) -hypotesen. Men kort därefter gjorde Clauser och Horne den viktiga skillnaden mellan inhomogena (IBI) och homogena (HBI) Bell -ojämlikheter. Att testa ett IBI kräver att vi jämför vissa sammanträffanden i två separerade detektorer med singelhastigheterna för de två detektorerna. Ingen behövde utföra experimentet, eftersom singelhastigheterna med alla detektorer på 1970 -talet var minst tio gånger så många tillfälligheter. Så med tanke på denna låga detektoreffektivitet uppfyllde QM -förutsägelsen faktiskt IBI. För att komma fram till en experimentell design där QM -förutsägelsen bryter mot IBI kräver vi detektorer vars effektivitet överstiger 82,8% för singlettillstånd, men har mycket låg mörk hastighet och korta död- och upplösningstider. Eberhard upptäckte emellertid att med en variant av Clauser-Horne-ojämlikheten och med mindre än maximalt intrasslade tillstånd krävs en detekteringseffektivitet på endast 66,67%. Detta uppnåddes 2015 genom två framgångsrika "kryphålfria" experiment av Bell-typ, i Wien och vid NIST i Boulder, Colorado.

Praktiska utmaningar

Eftersom vid den tiden inte ens de bästa detektorerna upptäckte en stor bråkdel av alla fotoner, erkände Clauser och Horne att testning av Bells ojämlikhet krävde några extra antaganden. De introducerade No Enhancement Hypothesis (NEH):

En ljussignal, till exempel från en atomkaskad , har en viss sannolikhet att aktivera en detektor. Om sedan en polarisator är placerad mellan kaskaden och detektorn kan detektionssannolikheten inte öka.

Med tanke på detta antagande finns det en Bell -ojämlikhet mellan sammanfallshastigheterna med polarisatorer och sammanfallshastigheter utan polarisatorer.

Experimentet utfördes av Freedman och Clauser, som fann att Bellens ojämlikhet kränktes. Så hypotesen utan förbättring kan inte vara sann i en modell med lokala dolda variabler.

Medan tidiga experiment använde atomkaskader har senare experiment använt parametrisk nedkonvertering, efter ett förslag från Reid och Walls, vilket gav förbättrade generations- och detekteringsegenskaper. Som ett resultat behöver de senaste experimenten med fotoner inte längre drabbas av detekteringshålet. Detta gjorde fotonen till det första experimentella systemet för vilket alla experimentella kryphål överstegs, även om det först bara var i separata experiment. Från och med 2015 kunde experimentalister övervinna alla de experimentella kryphålen samtidigt; se Bell test experiment .

Tolkningar av Bells sats

Köpenhamnstolkningen

Den Köpenhamn tolkning är en samling av åsikter om betydelsen av kvantmekanik i huvudsak hänföras till Niels Bohr och Werner Heisenberg . Det är en av de äldsta av många föreslagna tolkningar av kvantmekanik , eftersom funktioner i den dateras till utvecklingen av kvantmekanik under 1925–1927, och den är fortfarande en av de mest lärda. Det finns ingen definitiv historisk redogörelse för vad som är det Köpenhamn tolkning. I synnerhet fanns det grundläggande meningsskiljaktigheter mellan Bohrs och Heisenbergs åsikter. Några grundläggande principer som allmänt accepteras som en del av Köpenhamnssamlingen inkluderar tanken att kvantmekanik är inneboende obestämd, med sannolikheter beräknade med Born -regeln och komplementaritetsprincipen : vissa egenskaper kan inte definieras gemensamt för samma system samtidigt. För att tala om en specifik egenskap hos ett system måste det systemet övervägas inom ramen för ett specifikt laboratoriearrangemang. Observerbara mängder motsvarande ömsesidigt uteslutande laboratoriearrangemang kan inte förutses tillsammans, men med tanke på flera sådana ömsesidigt uteslutande experiment är det nödvändigt för att karakterisera ett system. Bohr använde själv komplementaritet för att hävda att EPR: s "paradox" var felaktig. Eftersom mätningar av position och momentum kompletterar varandra, gör valet att mäta en utesluter möjligheten att mäta den andra. Följaktligen, hävdade han, kunde ett faktum som härleddes om ett arrangemang av laboratorieapparater inte kombineras med ett faktum som härleddes med hjälp av det andra, och därför var slutsatsen av förutbestämd position och momentumvärden för den andra partikeln inte giltig. Bohr drog slutsatsen att EPR: s "argument inte motiverar deras slutsats att kvantbeskrivningen visar sig vara i huvudsak ofullständig."

Tolkningar av Köpenhamntyp tar i allmänhet kränkningen av Bell-ojämlikheter som skäl att förkasta det Bell kallade "realism", vilket inte nödvändigtvis är detsamma som att överge realismen i en bredare filosofisk bemärkelse. Till exempel argumenterar Roland Omnès för förkastandet av dolda variabler och drar slutsatsen att "kvantmekanik förmodligen är lika realistisk som vilken teori som helst om dess omfattning och mognad någonsin kommer att vara." Detta är också vägen som tas av tolkningar som härstammar från Köpenhamns tradition, såsom konsekventa historier (ofta annonserade som "Köpenhamn gjort rätt"), liksom QBism .

Många världars tolkning av kvantmekanik

Den flervärldstolkningen är lokal och deterministisk, eftersom den består av den enhetliga delen av kvantmekanik utan kollaps. Det kan generera korrelationer som bryter mot en Bell -ojämlikhet eftersom det inte uppfyller det implicita antagandet att Bell gjorde att mätningar har ett enda resultat. Faktum är att Bells sats kan bevisas inom ramen för många världar utifrån antagandet att en mätning har ett enda resultat. Därför kan en kränkning av en Bell -ojämlikhet tolkas som en demonstration av att mätningar har flera utfall.

Förklaringen som den ger för Bell -korrelationerna är att när Alice och Bob gör sina mått delar de upp sig i lokala grenar. Från synpunkten för varje kopia av Alice finns det flera kopior av Bob som upplever olika resultat, så Bob kan inte ha ett bestämt resultat, och samma sak gäller från varje kopia av Bob. De kommer att få ett ömsesidigt väldefinierat resultat först när deras framtida ljuskottar överlappar varandra. Vid denna tidpunkt kan vi säga att Bell -korrelationen börjar existera, men den producerades av en rent lokal mekanism. Därför kan kränkningen av en Bell-ojämlikhet inte tolkas som ett bevis på icke-lokalitet.

Icke-lokala dolda variabler

De flesta förespråkare för idén med dolda variabler tror att experiment har uteslutit lokala dolda variabler. De är redo att ge upp lokalitet och förklarar kränkningen av Bells ojämlikhet med hjälp av en icke-lokal dold variabelteori , där partiklarna utbyter information om sina tillstånd. Detta är grunden för Bohm -tolkningen av kvantmekanik, som kräver att alla partiklar i universum omedelbart kan utbyta information med alla andra. Ett experiment från 2007 utesluter en stor klass av icke-bohmska icke-lokala dolda variabelteorier, men inte bohmisk mekanik i sig.

Den transaktionella tolkning , vilket förutsätter vågor färdas både bakåt och framåt i tiden, är också icke-lokal.

Superdeterminism

Bell själv sammanfattade ett av de möjliga sätten att ta itu med teoremet, superdeterminism , i en intervju från BBC Radio 1985:

Det finns ett sätt att undvika slutsatsen från superluminalhastigheter och skrämmande handling på avstånd. Men det innebär absolut determinism i universum, fullständig frånvaro av fri vilja . Antag att världen är super-deterministisk, med inte bara livlös natur som körs bakom kulisserna, utan med vårt beteende, inklusive vår tro att vi är fria att välja att göra ett experiment snarare än ett annat, absolut förutbestämt, inklusive ' experiment 'beslut om att utföra en uppsättning mätningar snarare än en annan, försvinner svårigheten. Det behövs ingen snabbare än ljus-signal för att berätta för partikel A vilken mätning som har utförts på partikel  B , eftersom universum, inklusive partikel  A , redan 'vet' vad den mätningen och dess utfall kommer att bli.

Några förespråkare för deterministiska modeller har inte gett upp lokala dolda variabler. Till exempel har Gerard 't Hooft hävdat att det ovannämnda kryphålet i superdeterminism inte kan avfärdas. För en dold variabelteori , om Bells förutsättningar är korrekta, verkar resultaten som överensstämmer med kvantmekanisk teori indikera superluminala (snabbare än ljus) effekter, i motsats till relativistisk fysik .

Det har också upprepats påståenden om att Bells argument är irrelevanta eftersom de är beroende av dolda antaganden som i själva verket är tveksamma. Till exempel hävdade ET Jaynes 1989 att det finns två dolda antaganden i Bells sats som begränsar dess allmänhet. Enligt Jaynes:

1. Bell tolkade villkorlig sannolikhet P ( X  |  Y ) som ett kausalt inflytande, dvs Y utövade ett kausalt inflytande på X i verkligheten. Denna tolkning är ett missförstånd om sannolikhetsteorin. Som Jaynes visar, "kan man inte ens resonera rätt i ett så enkelt problem som att dra två bollar från Bernoullis Urn, om han tolkar sannolikheter på detta sätt."
2. Bells ojämlikhet gäller inte några möjliga dolda variabelteorier. Det gäller bara en viss klass av lokala dolda variabelteorier. Faktum är att den kanske bara har missat den typ av dolda variabelteorier som Einstein är mest intresserad av.

Richard D. Gill hävdade att Jaynes missförstod Bells analys. Gill påpekar att i samma konferensvolym där Jaynes argumenterar mot Bell, erkänner Jaynes att han är extremt imponerad av ett kort bevis av Steve Gull som presenterades vid samma konferens, att singlettkorrelationerna inte kunde reproduceras av en datasimulering av en lokal dolda variabler teori. Enligt Jaynes (skriver nästan 30 år efter Bells landmärkebidrag) skulle det förmodligen ta oss ytterligare 30 år att fullt ut uppskatta Gulls fantastiska resultat.

Under 2006 en uppsjö av aktiviteter om konsekvenser för determinism uppstod med John Horton Conway och Simon B. Kochen är fria vilja teorem som uppgav "svaret från en spin en partikel till en trippel experiment är fritt, det vill säga, inte en funktion av egenskaperna hos den del av universum som är tidigare än detta svar med avseende på en given tröghetsram. " Denna sats ökade medvetenheten om en spänning mellan determinism som helt styr ett experiment (å ena sidan) och Alice och Bob är fria att välja inställningar de gillar för sina observationer (å andra sidan). Filosofen David Hodgson stöder denna sats som att visa att determinism är ovetenskaplig och därigenom lämnar dörren öppen för vår egen fria vilja.

Allmänna kommentarer

Kränkningarna av Bells ojämlikheter på grund av kvantinvikling ger nästan slutgiltiga demonstrationer av något som redan var starkt misstänkt: att kvantfysik inte kan representeras av någon version av den klassiska fysikbilden. Några tidigare element som verkade oförenliga med klassiska bilder inkluderade komplementaritet och vågfunktionskollaps . Bell -kränkningarna visar att ingen lösning av sådana frågor kan undvika den ultimata konstigheten i kvantbeteende.

EPR-papperet "identifierade" de ovanliga egenskaperna hos de intrasslade tillstånden , t.ex. ovannämnda singlettillstånd, som är grunden för dagens tillämpningar av kvantfysik, såsom kvantkryptografi ; en applikation innefattar mätning av kvantinvikling som en fysisk källa för bitar för Rabins omedvetna överföringsprotokoll . Denna icke-lokalitet var ursprungligen tänkt att vara illusorisk, eftersom standardtolkningen lätt kunde göra sig av med handling-på-avstånd genom att helt enkelt tilldela varje partikel bestämda spinntillstånd för alla möjliga snurriktningar. EPR -argumentet var: därför finns dessa bestämda tillstånd, därför är kvantteorin ofullständig i EPR -bemärkelsen, eftersom de inte förekommer i teorin. Bells sats visade att kvantemekanikens "förtrollning" -prognos har en grad av icke-lokalitet som inte kan förklaras bort med någon klassisk teori om lokala dolda variabler.

Det som är kraftfullt med Bells sats är att det inte hänvisar till någon speciell teori om lokala dolda variabler. Det visar att naturen bryter mot de mest allmänna antagandena bakom klassiska bilder, inte bara detaljer om vissa specifika modeller. Ingen kombination av lokala deterministiska och lokala slumpmässiga dolda variabler kan reproducera de fenomen som förutses av kvantmekanik och upprepade gånger observeras i experiment.

Se även

Anteckningar

Referenser

Vidare läsning

Följande är avsett för allmän publik.

• Amir D. Aczel, Entanglement: Physics största mysterium (Four Walls Eight Windows, New York, 2001).
• A. Afriat och F. Selleri, The Einstein, Podolsky och Rosen Paradox (Plenum Press, New York och London, 1999)
• Baggott, The Meaning of Quantum Theory (Oxford University Press, 1992)
• N. David Mermin, "Är månen där när ingen tittar? Verklighet och kvantteori", i Physics Today , april 1985, s. 38–47.
• Louisa Gilder, The Age of Entanglement: When Quantum Physics Reborn (New York: Alfred A. Knopf, 2008)
• Brian Greene, The Fabric of the Cosmos (Vintage, 2004, ISBN  0-375-72720-5 )
• Nick Herbert, Quantum Reality: Beyond the New Physics (Anchor, 1987, ISBN  0-385-23569-0 )
• D. Wick, Den ökända gränsen: sju decennier av kontroverser inom kvantfysik (Birkhauser, Boston 1995)
• R. Anton Wilson, Prometheus Rising (New Falcon Publications, 1997, ISBN  1-56184-056-4 )
• Gary Zukav " The Dancing Wu Li Masters " (Perennial Classics, 2001, ISBN  0-06-095968-1 )
• Goldstein, Sheldon; et al. (2011). "Bells sats" . Scholarpedia . 6 (10): 8378. Bibcode : 2011SchpJ ... 6.8378G . doi : 10.4249/scholarpedia.8378 .
• Mermin, ND (1981). "Att hämta hem atomvärlden: Quantum mysteries for anybody". American Journal of Physics . 49 (10): 940–943. Bibcode : 1981AmJPh..49..940M . doi : 10.1119/1.12594 . S2CID  122724592 .

externa länkar

• Mermin: Spöklika åtgärder på avstånd? Oppenheimer -föreläsning
• Quantum Entanglement, av Dr Andrew H. Thomas .
• Bell's Theorem with Easy Math, av David R. Schneider . En annan enkel förklaring till Bells ojämlikhet.
• Interaktiva experiment med enstaka fotoner: intrassling och Bells sats
• Artikel om Bells sats vid Stanfords encyklopedi av filosofi av Abner Shimony
• "Bells sats" . Internetens encyklopedi för filosofi .
• "Bell ojämlikheter" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Spöklik handling på avstånd: en förklaring till Bells sats