Rotationssymmetri - Rotational symmetry
Rotationssymmetri , även känd som radiell symmetri i geometri , är den egenskap en form har när den ser likadan ut efter viss rotation genom en partiell sväng. Ett objekts rotationssymmetri är antalet distinkta orienteringar där det ser exakt likadant ut för varje rotation.
Vissa geometriska objekt är delvis symmetriska när de roteras i vissa vinklar, sådana kvadrater roterade 90 °, men de enda geometriska föremål som är helt rotationssymmetriska i vilken vinkel som helst är sfärer, cirklar och andra sfäroider .
Formell behandling
Formellt rotationssymmetri är symmetri med avseende på vissa eller alla rotationer i m -dimensionella euklidiska rymden . Rotationer är direkta isometrier , dvs isometrier som bevarar orienteringen . Därför är en symmetri -grupp av rotationssymmetri en undergrupp av E + ( m ) (se Euklidisk grupp ).
Symmetri med avseende på alla rotationer om alla punkter innebär translationell symmetri med avseende på alla översättningar, så rymden är homogen och symmeturgruppen är hela E ( m ). Med det modifierade begreppet symmetri för vektorfält kan symmeturgruppen också vara E + ( m ).
För symmetri med avseende på rotationer kring en punkt kan vi ta den punkten som ursprung. Dessa rotationer bildar den speciella ortogonala gruppen SO ( m ), gruppen av m × m ortogonala matriser med determinant 1. För m = 3 är detta rotationsgruppen SO (3) .
I en annan definition av ordet är rotationsgruppen för ett objekt symmeturgruppen inom E + ( n ), gruppen av direkta isometrier ; med andra ord skärningspunkten mellan hela symmeturgruppen och gruppen direkta isometrier. För kirala objekt är det samma som gruppen med full symmetri.
Fysiklagarna är SO (3) -varianta om de inte skiljer olika riktningar i rymden. På grund av Noeters teorem motsvarar rotationssymmetrin för ett fysiskt system lagstiftningen om bevarande av momentum .
Diskret rotationssymmetri
Rotationssymmetri för ordning n , även kallad n -faldig rotationssymmetri , eller diskret rotationssymmetri för den n: e ordningen , med avseende på en viss punkt (i 2D) eller axel (i 3D) innebär att rotation med en vinkel på 360 °/ n (180 °, 120 °, 90 °, 72 °, 60 °, 51 3 ⁄ 7 °, etc.) ändrar inte objektet. En "1-faldig" symmetri är ingen symmetri (alla objekt ser lika ut efter en rotation på 360 °).
Den notation för n -faldig symmetri är C n eller helt enkelt " n ". Den faktiska symmeturgruppen specificeras av symmetripunkten eller axeln, tillsammans med n . För varje punkt eller symmetriaxel är den abstrakta grupptypen cyklisk grupp av ordning n , Z n . Även om det för den senare även beteckningen C n används, den geometriska och abstrakt C n bör särskiljas: det finns andra symmetrigrupper av samma abstrakta grupp typ, vilka är geometriskt olika, se cykliska symmetrigrupper i 3D .
Den grundläggande domänen är en sektor på 360 °/n.
Exempel utan ytterligare reflektionssymmetri :
- n = 2, 180 °: dyaden ; bokstäverna Z, N, S; konturerna, om än inte färgerna, på yin- och yang -symbolen; den fackliga flagga (som delas längs flaggans diagonal och roteras om flaggans mittpunkt)
- n = 3, 120 °: triad , triskelion , borromeiska ringar ; ibland används termen trilateral symmetri ;
- n = 4, 90 °: tetrad , hakkors
- n = 6, 60 °: hexad , Davidsstjärna
- n = 8, 45 °: oktad , åttkantiga muqarnas , datorgenererade (CG), tak
C n är rotationsgruppen för en vanlig n -sidig polygon i 2D och för en vanlig n -sidig pyramid i 3D.
Om det t.ex. finns rotationssymmetri med avseende på en vinkel på 100 °, då också med avseende på en av 20 °, den största gemensamma delaren på 100 ° och 360 °.
Ett typiskt 3D -objekt med rotationssymmetri (möjligen också med vinkelräta axlar) men ingen spegelsymmetri är en propeller .
Exempel
| C2 ( mer ) | C3 ( mer ) | C4 ( mer ) | C5 ( mer ) | C6 ( mer ) |
|---|---|---|---|---|
 Dubbel pendelfraktal |
.svg) Rondell vägmärke |
|
.svg) US Bicentennial Star |
|
 Utgångsläget i shogi |
 Snoldelev Stones design för sammankopplade drickshorn |
|
|
|
Flera symmetriaxlar genom samma punkt
För diskret symmetri med flera symmetriaxlar genom samma punkt finns följande möjligheter:
- Förutom en n -faldig axel, n vinkelräta 2 -faldiga axlar: dihedralgrupperna D n i ordning 2 n ( n ≥ 2 ). Detta är rotationsgruppen för ett vanligt prisma , eller vanlig bipyramid . Även om samma beteckningar används, den geometriska och abstrakt D n bör särskiljas: det finns andra symmetrigrupper av samma abstrakta grupp typ, vilka är geometriskt olika, se dihedrala symmetrigrupper i 3D .
- 4 × 3-faldiga och 3 × 2-faldiga axlar: rotationsgruppen T i ordning 12 i en vanlig tetraeder . Gruppen är isomorf till alternerande grupp A 4 .
- 3 × 4-faldig, 4 × 3-faldig och 6 × 2-faldig axel: rotationsgrupp O i ordning 24 i en kub och en vanlig oktaeder . Gruppen är isomorf till symmetrisk grupp S 4 .
- 6 × 5-faldiga, 10 × 3-faldiga och 15 × 2-faldiga axlar: rotationsgruppen I av ordning 60 av en dodekaeder och en ikosaeder . Gruppen är isomorf till alternerande grupp A 5 . Gruppen innehåller 10 versioner av D 3 och 6 versioner av D 5 (rotationssymmetrier som prismor och antiprismer).
När det gäller de platoniska fastämnena är de tvåfaldiga axlarna genom mittpunkterna på motsatta kanter, och antalet är hälften av kanterna. De andra axlarna är genom motsatta hörn och genom centra på motsatta ytor, utom i fallet med tetraedern, där de trefaldiga axlarna är var och en genom en toppunkt och mitt på en yta.
Rotationssymmetri med avseende på vilken vinkel som helst
Rotationssymmetri med avseende på vilken vinkel som helst är i två dimensioner cirkelsymmetri . Den grundläggande domänen är en halvlinje .
I tre dimensioner kan vi skilja cylindrisk symmetri och sfärisk symmetri (ingen förändring när man roterar om en axel eller för någon rotation). Det vill säga inget beroende av vinkeln med hjälp av cylindriska koordinater och inget beroende av någon vinkel med sfäriska koordinater . Den grundläggande domänen är ett halvplan genom axeln respektive en radiell halvlinje. Axisymmetrisk eller axelsymmetrisk är adjektiv som hänvisar till ett objekt med cylindrisk symmetri, eller axelsymmetri (dvs. rotationssymmetri med avseende på en central axel) som en munk ( torus ). Ett exempel på ungefärlig sfärisk symmetri är jorden (med avseende på densitet och andra fysikaliska och kemiska egenskaper).
I 4D motsvarar kontinuerlig eller diskret rotationssymmetri om ett plan motsvarande 2D -rotationssymmetri i varje vinkelrätt plan, kring skärningspunkten. Ett objekt kan också ha rotationssymmetri kring två vinkelräta plan, t.ex. om det är den kartesiska produkten av två rotationssymmetri 2D -figurer, som i fallet med t.ex. duocylindern och olika regelbundna duoprismer .
Rotationssymmetri med translationell symmetri
 Arrangemang i en primitiv cell med 2- och 4-faldiga rotocentrar. En grundläggande domän anges med gult. |
 Arrangemang i en primitiv cell med 2-, 3- och 6-faldiga rotocentrar, ensamma eller i kombination (betrakta den sexfaldiga symbolen som en kombination av en 2- och en 3-faldig symbol); endast vid 2-faldig symmetri kan parallellogrammets form vara annorlunda. För fallet p6 anges en grundläggande domän med gult. |
Tvåfaldig rotationssymmetri tillsammans med enkel translationell symmetri är en av Frieze-grupperna . Det finns två rotocentrar per primitiv cell .
Tillsammans med dubbel translationell symmetri är rotationsgrupperna följande tapetgrupper , med axlar per primitiv cell:
- p2 (2222): 4 × 2-faldigt; rotationsgrupp för ett parallellogrammiskt , rektangulärt och rombiskt gitter .
- p3 (333): 3 × 3-faldigt; inte rotationsgruppen för något gitter (varje gitter är upp och ner det samma, men det gäller inte för denna symmetri); det är t.ex. rotationsgruppen för den vanliga triangulära kaklingen med de liksidiga trianglarna omväxlande färgade.
- p4 (442): 2 × 4-faldigt, 2 × 2-faldigt; rotationsgrupp för ett fyrkantigt galler.
- p6 (632): 1 × 6-faldig, 2 × 3-faldig, 3 × 2-faldig; rotationsgrupp för ett sexkantigt galler.
- Tvåfaldiga rotocentrar (inklusive eventuellt 4-faldigt och 6-faldigt), om de överhuvudtaget finns, bildar translaten av ett gitter som är lika med det translationella gitteret, skalat med en faktor 1/2. I fallet translationell symmetri i en dimension gäller en liknande egenskap, även om termen "gitter" inte gäller.
- 3-faldiga rotocentrar (inklusive eventuellt 6-faldigt), om de alls finns, bildar ett vanligt sexkantigt galler som är lika med det translationella gitteret, roterat med 30 ° (eller motsvarande 90 °) och skalat med en faktor
- 4-faldiga rotocentrar, om de överhuvudtaget finns, bildar ett vanligt fyrkantigt galler som är lika med det translationella gitteret, roterat med 45 ° och skalat med en faktor
- 6-faldiga rotocentrar, om de överhuvudtaget finns, bildar ett vanligt sexkantigt galler som är translaten av det translationella gallret.
Skalning av ett gitter dividerar antalet punkter per ytenhet med kvadraten på skalfaktorn. Därför är antalet 2-, 3-, 4- och 6-faldiga rotocentrar per primitiv cell 4, 3, 2 respektive 1, återigen inklusive 4-faldigt som ett specialfall av 2-faldigt, etc.
3-faldig rotationssymmetri vid en punkt och 2-faldig vid en annan (eller ditto i 3D med avseende på parallella axlar) innebär rotationsgrupp p6, dvs dubbel translationell symmetri och 6-faldig rotationssymmetri vid någon tidpunkt (eller, i 3D, parallellaxel). Translationsavståndet för symmetrin som genereras av ett sådant par rotocentrar är gånger deras avstånd.
| Euklidiskt plan | Hyperboliskt plan |
|---|---|
 Hexakis triangulär kakel , ett exempel på p6, [6,3] + , (632) (med färger) och p6m, [6,3], (*632) (utan färger); linjerna är reflektionsaxlar om färger ignoreras, och en speciell typ av symmetriaxel om färger inte ignoreras: reflektion återställer färgerna. Rektangulära linjenät i tre riktningar kan särskiljas. |
 Beställ 3-7 kisrhombille , ett exempel på [7,3] + (732) symmetri och [7,3], (*732) (utan färger) |
Se även
Referenser
- Weyl, Hermann (1982) [1952]. Symmetri . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.
externa länkar
-
Media relaterat till rotationssymmetri på Wikimedia Commons - Rotationssymmetri Exempel från matematik är kul
