Thévenins sats - Thévenin's theorem

Alla svarta lådor som endast innehåller motstånd och spännings- och strömkällor kan ersättas av en Thévenin -ekvivalent krets som består av en ekvivalent spänningskälla i seriekoppling med ett ekvivalent motstånd.

Såsom ursprungligen anges i termer av likströms resistiva kretsar endast, thévenins teorem anges att "För varje linjär elektriskt nät som endast innehåller spänningskällor , strömkällor och resistanser kan ersättas på klämmorna A-B med en ekvivalent kombination av en spänningskälla V _th i en seriekoppling med ett motstånd R: _e . "

• Ekvivalentspänningen V _th är spänningen som erhålls vid terminalerna A – B i nätet med terminalerna A – B öppna .
• Ekvivalentmotståndet R _th är motståndet som kretsen mellan terminalerna A och B skulle ha om alla ideala spänningskällor i kretsen ersattes av en kortslutning och alla ideala strömkällor ersattes av en öppen krets.
• Om terminalerna A och B är anslutna till varandra kommer strömmen som strömmar från A till B att vara V _th / R _th . Detta innebär att R _{: te} alternativt kan beräknas som V _th dividerat med kortslutningsströmmen mellan A och B när de är sammankopplade.

I kretsteoriska termer tillåter satsen att varje enports nätverk kan reduceras till en enda spänningskälla och en enda impedans.

Satsen gäller också frekvensdomänens AC -kretsar som består av reaktiva och resistiva impedanser . Det betyder att satsen gäller AC på exakt samma sätt för DC förutom att resistanser generaliseras till impedanser.

Satsen härleddes oberoende 1853 av den tyska forskaren Hermann von Helmholtz och 1883 av Léon Charles Thévenin (1857–1926), en elingenjör med Frankrikes nationella Postes et Télégraphes telekommunikationsorganisation.

Thévenins sats och dess dubbla, Nortons teorem , används i stor utsträckning för att göra kretsanalys enklare och för att studera en krets initiala tillstånd och steady state-svar. Thévenins sats kan användas för att omvandla alla kretsars källor och impedanser till en Thévenin -ekvivalent ; användning av satsen kan i vissa fall vara bekvämare än att använda Kirchhoffs kretslagar .

Beräkning av Thévenin -ekvivalenten

Den ekvivalenta kretsen är en spänningskälla med spänning V _Th i serie med ett motstånd R _Th .

Den Thévenin-ekvivalenta spänningen V _Th är den öppna kretsspänningen vid utgångsterminalerna för den ursprungliga kretsen. Vid beräkning av en Thévenin-ekvivalent spänning är spänningsdelarprincipen ofta användbar, genom att deklarera att en terminal är V _ut och den andra terminalen är vid markpunkten.

Den Thévenin-ekvivalenta motståndet R _Th är motståndet mätt över punkterna A och B som "ser tillbaka" in i kretsen. Motståndet mäts efter att alla spännings- och strömkällor har ersatts med sina interna motstånd. Det betyder att en idealisk spänningskälla ersätts med en kortslutning, och en idealisk strömkälla ersätts med en öppen krets. Motstånd kan sedan beräknas över terminalerna med hjälp av formlerna för serier och parallella kretsar . Denna metod är endast giltig för kretsar med oberoende källor. Om det finns beroende källor i kretsen måste en annan metod användas som att ansluta en testkälla över A och B och beräkna spänningen över eller ström genom testkällan.

Som en minnesvärd kan Thevenin -ersättningarna för spännings- och strömkällor komma ihåg när vi vrider källornas värden (vilket betyder deras spänning eller ström) till noll. En nollvärderad spänningskälla skulle skapa en potentialskillnad på noll volt mellan dess terminaler, precis som en idealisk kortslutning skulle göra, med två ledningar vidrörande; därför ersätter vi källan med en kortslutning. På samma sätt passerar båda en nollvärderad strömkälla och en öppen krets nollström.

Exempel

1. Ursprunglig krets
2. Ekvivalent spänning
3. Motsvarande motstånd
4. Motsvarande krets

I exemplet, beräkning av ekvivalent spänning:

${\ displaystyle {\ begin {align} V _ {\ mathrm {Th}} & = {R_ {2}+R_ {3} \ over (R_ {2}+R_ {3})+R_ {4}} \ cdot V _ {\ mathrm {1}} \\ & = {1 \, \ mathrm {k} \ Omega +1 \, \ mathrm {k} \ Omega \ over (1 \, \ mathrm {k} \ Omega +1 \ , \ mathrm {k} \ Omega) +2 \, \ mathrm {k} \ Omega} \ cdot 15 \, \ mathrm {V} \\ & = {1 \ over 2} \ cdot 15 \, \ mathrm {V } = 7,5 \, \ mathrm {V} \ end {align}}}$

(Observera att R ₁ inte beaktas, eftersom ovanstående beräkningar görs i ett öppet tillstånd mellan A och B, därför rinner ingen ström genom denna del, vilket betyder att det inte finns någon ström genom R ₁ och därför inget spänningsfall längs den här delen.)

Beräkning av ekvivalent motstånd ( är det totala motståndet för två parallella motstånd ): ${\ displaystyle R_ {x} \ | R_ {y}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} R _ {\ mathrm {Th}} & = R_ {1}+\ vänster [\ vänster (R_ {2}+R_ {3} \ höger) \ | R_ {4} \ höger ] \\ & = 1 \, \ mathrm {k} \ Omega +\ vänster [\ vänster (1 \, \ mathrm {k} \ Omega +1 \, \ mathrm {k} \ Omega \ höger) \ | 2 \ , \ mathrm {k} \ Omega \ right] \\ & = 1 \, \ mathrm {k} \ Omega +\ left ({1 \ over (1 \, \ mathrm {k} \ Omega +1 \, \ mathrm {k} \ Omega)}+{1 \ over (2 \, \ mathrm {k} \ Omega)} \ right)^{-1} = 2 \, \ mathrm {k} \ Omega. \ end {align} }}$

Konvertering till en Norton -motsvarighet

Norton-Thevenin-omvandling

En Norton -ekvivalent krets är relaterad till Thévenin -ekvivalenten av

${\ displaystyle {\ begin {align} R _ {\ mathrm {Th}} & = R _ {\ mathrm {No}} \! \\ V _ {\ mathrm {Th}} & = I _ {\ mathrm {No}} R_ {\ mathrm {No}} \! \\ I _ {\ mathrm {No}} & = {\ frac {V _ {\ mathrm {Th}}} {R _ {\ mathrm {Th}}}} \! \ end { Justerat}}}$

Praktiska begränsningar

• Många kretsar är bara linjära över ett visst intervall av värden, så Thévenin -ekvivalenten är endast giltig inom detta linjära område.
• Thévenin -ekvivalenten har en ekvivalent I – V -egenskap endast ur lastens synvinkel.
• Effektförlusten av Thévenin -ekvivalenten är inte nödvändigtvis identisk med effektförlusten i det verkliga systemet. Effekten som avges av ett externt motstånd mellan de två utgångsterminalerna är dock densamma oavsett hur den interna kretsen implementeras.

Ett bevis på satsen

Beviset innefattar två steg. Det första steget är att använda superpositionsteorem för att konstruera en lösning. Därefter används unikt teorem för att visa att den erhållna lösningen är unik. Det noteras att det andra steget vanligtvis är underförstått i litteraturen.

Genom att använda överlagring av specifika konfigurationer kan det visas att för varje linjär "svart låda" -krets som innehåller spänningskällor och motstånd är dess spänning en linjär funktion av motsvarande ström enligt följande

${\ displaystyle V = V _ {\ mathrm {Eq}} -Z _ {\ mathrm {Eq}} I.}$

Här återspeglar den första termen den linjära summeringen av bidrag från varje spänningskälla, medan den andra termen mäter bidragen från alla motstånd. Ovanstående uttryck erhålls genom att använda den svarta lådans spänning för en given ström är identisk med den linjära överlagringen av lösningarna för följande problem: (1) för att låta den svarta lådan vara öppen, men aktivera den individuella spänningskällan ett åt gången och, (2) för att kortsluta alla spänningskällor men mata kretsen med en viss ideal spänningskälla så att den resulterande strömmen exakt läser (Alternativt kan man använda en idealisk strömkälla ). Dessutom är det enkelt att visa att och är den enda spänningskällan och det enskilda seriemotståndet i fråga. ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle V _ {\ mathrm {Eq}}}$${\ displaystyle Z _ {\ mathrm {Eq}}}$

Faktum är att ovanstående samband mellan och upprättas genom överlagring av vissa specifika konfigurationer. Nu garanterar unikhetssatsen att resultatet är allmänt. För att vara specifik, det finns ett och bara ett värde på när värdet på ges. Med andra ord gäller ovanstående relation oberoende av vad den "svarta lådan" är ansluten till. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle I}$

I trefas kretsar

År 1933 publicerade AT Starr en generalisering av Thévenins sats i en artikel i tidningen Institute of Electrical Engineers Journal , med titeln A New Theorem for Active Networks , som säger att alla tre-terminala aktiva linjära nätverk kan ersättas av tre spänningskällor med motsvarande impedanser, anslutna i wye eller i delta.

Se även

• Millmans sats
• Källtransformation
• Superpositionsteorem
• Nortons sats
• Maximal effektöverföringssats
• Extra element sats

Referenser

Vidare läsning

• Wenner, Frank (1926). "En princip som reglerar fördelningen av ström i system av linjära ledare". Förfaranden från Physical Society . Washington, DC: Bureau of Standards . 39 (1): 124–144. Bibcode : 1926PPS .... 39..124W . doi : 10.1088/0959-5309/39/1/311 . hdl : 2027/mdp.39015086551663 . Vetenskapligt papper S531.
• Första ordningsfilter: Genväg via Thévenin Equivalent Source- visas på sid. 4 komplexa kretsar Thévenins satsförenkling till första ordningens lågpassfilter och tillhörande spänningsdelare , tidskonstant och förstärkning .

externa länkar

• Media relaterade till Thévenins sats på Wikimedia Commons