Raven paradox - Raven paradox

Den korp paradox , även känd som Hempels paradox , Hempels korpar , eller sällan paradox inomhus ornitologi , är en paradox som härrör från frågan om vad som utgör bevis för ett uttalande. Observera föremål som varken är svarta eller korpar kan formellt öka sannolikheten för att alla korpar är svarta även om dessa observationer intuitivt inte är relaterade.

Detta problem föreslogs av logikern Carl Gustav Hempel på 1940-talet för att illustrera en motsättning mellan induktiv logik och intuition .

Paradox

Hempel beskriver paradoxen i termer av hypotesen :

(1) Alla korpar är svarta . I form av en implikation kan detta uttryckas som: Om något är en korp, är det svart.

Via kontraposition motsvarar detta uttalande :

(2) Om något inte är svart är det inte en korp.

Under alla omständigheter där (2) är sant, är (1) också sant - och på samma sätt, under alla omständigheter där (2) är falskt (dvs. om en värld föreställs sig där något som inte var svart, ändå var en korp, existerade), (1) är också falskt.

Med tanke på ett allmänt uttalande som att alla korpar är svarta , skulle en form av samma uttalande som hänvisar till en specifik observerbar förekomst av generalklassen vanligtvis anses utgöra bevis för det allmänna uttalandet. Till exempel,

(3) Min husdjurskorpa är svart.

är bevis som stöder hypotesen att alla korpar är svarta .

Paradoxen uppstår när samma process tillämpas på uttalande (2). När man ser ett grönt äpple kan man observera:

(4) Detta gröna äpple är inte svart och det är inte en korp.

Av samma resonemang är detta uttalande ett bevis på att (2) om något inte är svart så är det inte en korp. Men eftersom (som ovan) detta uttalande logiskt motsvarar (1) alla korpar är svarta , så följer att synet av ett grönt äpple är ett bevis som stöder uppfattningen att alla korpar är svarta. Denna slutsats verkar paradoxal eftersom den antyder att man har fått information om korpar genom att titta på ett äpple.

Föreslagna resolutioner

Nicods kriterium säger att endast observationer av korpar bör påverka ens syn på huruvida alla korpar är svarta. Att observera fler förekomster av svarta korpar bör stödja synen, observera vita eller färgade korpar bör motsäga den, och observationer av icke-korpar bör inte ha något inflytande.

Hempels ekvivalensvillkor säger att när en proposition, X, ger bevis till förmån för en annan proposition Y, så tillhandahåller X också bevis till förmån för alla propositioner som är logiskt likvärdiga med Y.

Realistiskt sett är korpens uppsättning ändlig. Uppsättningen av icke-svarta saker är antingen oändlig eller bortom mänsklig uppräkning. För att bekräfta uttalandet "Alla korpar är svarta" skulle det vara nödvändigt att observera alla korpar. Detta är svårt men möjligt. För att bekräfta uttalandet "Alla icke-svarta saker är icke-korpar", skulle det vara nödvändigt att undersöka alla icke-svarta saker. Det här är inte möjligt. Att observera en svart korp kan betraktas som en begränsad mängd bekräftande bevis, men att observera en icke-svart icke-korp skulle vara en oändlig mängd bevis.

Paradoxen visar att Nicods kriterium och Hempels ekvivalensvillkor inte överensstämmer med varandra. En resolution till paradoxen måste avvisa minst en av:

1. negativa fall som inte har något inflytande (! PC),
2. ekvivalensvillkor (EC), eller
3. validering genom positiva instanser (NC).

En tillfredsställande upplösning bör också förklara varför det naivt verkar vara en paradox. Lösningar som accepterar den paradoxala slutsatsen kan göra detta genom att presentera en proposition som vi intuitivt vet är falska men som lätt kan förväxlas med (PC), medan lösningar som avvisar (EC) eller (NC) borde presentera en proposition som vi intuitivt vet att vara sant men det kan lätt förväxlas med (EC) eller (NC).

Acceptera icke-korpar som relevant

Även om denna slutsats av paradoxen verkar kontraintuitiv, accepterar vissa tillvägagångssätt att observationer av (färgade) icke-korpar i själva verket kan utgöra giltiga bevis för att stödja hypoteser om (korpens universella svarthet).

Hempels resolution

Hempel accepterade själv den paradoxala slutsatsen och hävdade att anledningen till att resultatet verkar paradoxalt är att vi har tidigare information utan vilken observation av en icke-svart icke-korp verkligen skulle bevisa att alla korpar är svarta.

Han illustrerar detta med exemplet med generaliseringen "Alla natriumsalter brinner gula" och ber oss överväga observationen som inträffar när någon håller en bit ren is i en färglös flamma som inte blir gul:

Detta resultat skulle bekräfta påståendet "Vad som inte brinner gult är inte natriumsalt", och följaktligen, på grund av ekvivalensvillkoret, skulle det bekräfta den ursprungliga formuleringen. Varför imponerar detta på oss som paradoxala? Anledningen blir tydlig när vi jämför den tidigare situationen med fallet med ett experiment där ett objekt vars kemiska sammansättning ännu inte är okänt för oss hålls i en flamma och inte gör det gult och där efterföljande analys avslöjar att det inte innehåller något natrium salt. Detta resultat, borde vi utan tvekan vara överens om, var vad man kunde förvänta sig på grundval av hypotesen ... alltså är de uppgifter som här erhållits bekräfta bevis för hypotesen. ... I de till synes paradoxala fallen av bekräftelse bedömer vi ofta inte faktiskt förhållandet mellan det givna beviset, E ensam till hypotesen H ... vi inför tyst en jämförelse av H med en mängd bevis som består av E i tillsammans med en ytterligare mängd information som vi råkar ha till vårt förfogande; i vår illustration inkluderar denna information kunskapen (1) att substansen som används i experimentet är is och (2) att isen inte innehåller natriumsalt. Om vi ​​antar denna ytterligare information enligt givna, kan naturligtvis resultatet av experimentet inte lägga till någon styrka för hypotesen som övervägs. Men om vi är försiktiga med att undvika denna tysta hänvisning till ytterligare kunskap ... försvinner paradoxerna.

Standard Bayesian-lösning

En av de mest populära föreslagna resolutionerna är att acceptera slutsatsen att observationen av ett grönt äpple ger bevis för att alla korpar är svarta men att argumentera för att mängden bekräftelse är mycket liten på grund av den stora skillnaden mellan antalet korpar och antalet icke-svarta föremål. Enligt denna resolution verkar slutsatsen paradoxal eftersom vi intuitivt uppskattar mängden bevis som tillhandahålls av observationen av ett grönt äpple till att vara noll, när det faktiskt är icke-noll men extremt litet.

IJ Goods presentation av detta argument 1960 är kanske den mest kända, och variationer av argumentet har varit populära sedan dess, även om det hade presenterats 1958 och tidiga former av argumentet dök upp redan 1940.

Goods argument handlar om att beräkna vikten av bevis från observationen av en svart korp eller en vit sko till förmån för hypotesen att alla korpar i en samling objekt är svarta. Tyngden av bevis är logaritmen för Bayes-faktorn , som i detta fall helt enkelt är den faktor med vilken oddsen för hypotesen ändras när observationen görs. Argumentet går enligt följande:

... antar att det finns föremål som kan ses när som helst, av vilka är korpar och är svarta, och att objekten var och en har sannolikhet att ses. Låt vara hypotesen att det finns icke-svarta korpar, och antag att hypoteserna initialt är ekvivalenta. Sedan, om vi råkar se en svart korp, den Bayes faktor som talar för vill säga${\ displaystyle N}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {N}}}$${\ displaystyle H_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle H_ {1}, H_ {2}, ..., H_ {r}}$${\ displaystyle H_ {0}}$

${\ displaystyle {\ tfrac {r} {N}} {\ Big /} {\ text {genomsnitt}} \ vänster ({\ tfrac {r-1} {N}}, {\ tfrac {r-2} { N}}, ... \, {\ tfrac {1} {N}} \ höger) \ = \ {\ tfrac {2r} {r-1}}}$

dvs. cirka 2 om antalet korpar som finns är känt för att vara stort. Men faktorn om vi ser en vit sko är bara

${\ displaystyle {\ tfrac {Nb} {N}} {\ Big /} {\ text {genomsnitt}} \ vänster ({\ tfrac {Nb-1} {N}}, {\ tfrac {Nb-2} { N}}, ... \, \ max (0, {\ tfrac {Nbr} {N}}) \ höger)}$

${\ displaystyle \ = \ {\ frac {Nb} {\ max \ left (Nb - {\ tfrac {r} {2}} - {\ tfrac {1} {2}} \, \ {\ tfrac {1} {2}} (Nb-1) \ höger)}}}$

och detta överstiger enhet med bara om det är stort jämfört med . Således är bevisvikten som ges av synen av en vit sko positiv, men är liten om antalet korpar är känt för att vara litet jämfört med antalet icke-svarta föremål.${\ displaystyle r / (2N-2b)}$${\ displaystyle Nb}$${\ displaystyle r}$

Många av förespråkarna för denna resolution och varianter av den har varit förespråkare för Bayesians sannolikhet, och den kallas nu vanligtvis den Bayesiska lösningen, även om, som Chihara påpekar, "det finns inget sådant som den Bayesiska lösningen. Det finns många olika" lösningar som Bayesians har lagt fram med hjälp av Bayesian-tekniker. " Anmärkningsvärda tillvägagångssätt med Bayesian-tekniker (av vilka vissa accepterar PC och istället avvisar NC) inkluderar Earman, Eells, Gibson, Hosiasson-Lindenbaum , Howson och Urbach, Mackie och Hintikka, som hävdar att hans tillvägagångssätt är "mer Bayesisk än den så- kallad "Bayesian-lösning" av samma paradox ". Bayesiska tillvägagångssätt som använder Carnaps teori om induktiv inferens inkluderar Humburg, Maher och Fitelson & Hawthorne. Vranas introducerade termen "Standard Bayesian Solution" för att undvika förvirring.

Carnap-tillvägagångssätt

Maher accepterar den paradoxala slutsatsen och förfinar den:

En icke-korp (oavsett färg) bekräftar att alla korpar är svarta för

(i) informationen att detta objekt inte är en korp tar bort möjligheten att detta objekt är ett motexempel till generaliseringen, och

(ii) det minskar sannolikheten för att obemärkta objekt är korpar, vilket minskar sannolikheten för att de är motexempel till generaliseringen.

För att nå (ii) vädjar han till Carnaps teori om induktiv sannolikhet, vilket är (ur Bayesians synvinkel) ett sätt att tilldela tidigare sannolikheter som naturligt implementerar induktion. Enligt Carnaps teori är den bakre sannolikheten, att ett objekt, kommer att ha ett predikat , efter att bevisen har observerats, är: ${\ displaystyle P (Fa | E)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle P (Fa | E) \ = \ {\ frac {n_ {F} + \ lambda P (Fa)} {n + \ lambda}}}$

var är den initiala sannolikheten som har predikatet ; är antalet objekt som har undersökts (enligt tillgängliga bevis ); är antalet undersökta objekt som visade sig ha predikatet och är en konstant som mäter motstånd mot generalisering. ${\ displaystyle P (Fa)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle n_ {F}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ lambda}$

Om är nära noll, kommer att vara mycket nära en efter en enda observation av ett objekt som visade sig ha predikatet , medan det är mycket större än , kommer att vara mycket nära oavsett bråkdelen av observerade objekt som hade predikatet . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle P (Fa | E)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle P (Fa | E)}$${\ displaystyle P (Fa)}$${\ displaystyle F}$

Med detta Carnapian-tillvägagångssätt identifierar Maher ett förslag som vi intuitivt (och korrekt) vet är falska, men lätt förväxlar med den paradoxala slutsatsen. Det aktuella förslaget är att observera icke-korpar berättar om korpens färg. Även om detta är intuitivt falskt och också är falskt enligt Carnaps teori om induktion, får observationer av icke-korpar (enligt samma teori) oss att minska vår uppskattning av det totala antalet korpar och därmed minska det uppskattade antalet möjliga motexempel till regeln att alla korpar är svarta.

Ur Bayesian-Carnapian-synvinkeln säger observationen av en icke-korp inte oss något om korpens färg, men den berättar om förekomsten av korpar, och stöder "Alla korpar är svarta" genom att minska vår uppskattning av antalet korpar som kanske inte är svarta.

Bakgrundskunskapens roll

Mycket av diskussionen om paradoxen i allmänhet och det Bayesiska tillvägagångssättet i synnerhet har handlat om bakgrundskunskapens relevans. Överraskande visar Maher att för en stor klass av möjliga konfigurationer av bakgrundskunskap ger observationen av en icke-svart icke-korp exakt samma mängd bekräftelse som observationen av en svart korp. De konfigurationer av bakgrundskunskap som han anser är de som tillhandahålls av ett provförslag , nämligen ett förslag som är en sammansättning av atomförslag, var och en tillskriver ett enda predikat till en enskild individ, utan två atomförslag som involverar samma individ . Således kan ett förslag av formen "A är en svart korp och B är en vit sko" betraktas som ett provförslag genom att ta "svart korp" och "vit sko" som predikat.

Mahers bevis tycks motsäga resultatet av det Bayesiska argumentet, som var att observationen av en icke-svart icke-korp ger mycket mindre bevis än observationen av en svart korp. Anledningen är att den bakgrundskunskap som Good och andra använder inte kan uttryckas i form av ett provförslag - i synnerhet antar varianter av standard Bayesian-metoden ofta (som Good gjorde i argumentet ovan) att det totala antalet korpar, icke-svarta föremål och / eller det totala antalet föremål är kända mängder. Maher kommenterar att "Anledningen till att vi tror att det finns fler saker som inte är svarta än korpar är för att det har varit sant för de saker vi hittills har observerat. Bevis av detta slag kan representeras av ett provförslag. Men ... givet varje provförslag som bakgrundsbevis, bekräftar en icke-svart icke-korp A lika starkt som en svart korp gör ... Således tyder min analys på att detta svar på paradoxen [dvs. standard Bayesian] inte kan vara korrekt. "

Fitelson & Hawthorne undersökte förhållandena under vilka observationen av en icke-svart icke-korp ger mindre bevis än observationen av en svart korp. De visar att, om ett objekt väljs slumpmässigt, är förslaget att objektet är svart, och är förslaget att objektet är en korp, då är villkoret: ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle Ba}$${\ displaystyle Ra}$

${\ displaystyle {\ frac {P ({\ overline {Ba}} | {\ overline {H}})} {P (Ra | {\ overline {H}})}} \ - \ P ({\ overline { Ba}} | Ra {\ overline {H}}) \ \ geq \ P (Ba | Ra {\ overline {H}}) {\ frac {P ({\ overline {Ba}} | H)} {P ( Ra | H)}}}$

är tillräckligt för observation av en icke-svart icke-korp för att ge mindre bevis än observationen av en svart korp. Här indikerar en rad över en proposition den logiska negationen av det propositionen.

Detta tillstånd berättar inte för oss hur stor skillnaden i bevisen som tillhandahålls är, men en senare beräkning i samma papper visar att vikten av bevis som tillhandahålls av en svart korp överstiger den som tillhandahålls av en icke-svart icke-korp med ungefär . Detta är lika med mängden ytterligare information (i bitar, om logaritmens bas är 2) som tillhandahålls när en korp av okänd färg upptäcks vara svart, med tanke på hypotesen att inte alla korpar är svarta. ${\ displaystyle - \ log P (Ba | Ra {\ overline {H}})}$

Fitelson & Hawthorne förklarar att:

Under normala omständigheter kan det vara någonstans runt 0,9 eller 0,95; så är det någonstans runt 1.11 eller 1.05. Således kan det tyckas att en enda instans av en svart korp inte ger mycket mer stöd än en icke-svart icke-korp. Men under troliga förhållanden kan det visas att en sekvens av instanser (dvs. av n svarta korpar, jämfört med n icke-svarta icke-korpar) ger ett förhållande av sannolikhetsförhållanden i storleksordningen , vilket spränger betydligt för stora .${\ displaystyle p = P (Ba | Ra {\ overline {H}})}$${\ displaystyle 1 / p}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (1 / p) ^ {n}}$${\ displaystyle n}$

Författarna påpekar att deras analys överensstämmer helt med antagandet att en icke-svart icke-korp ger en mycket liten mängd bevis även om de inte försöker bevisa det; de beräknar bara skillnaden mellan mängden bevis som en svart korp ger och mängden bevis som en icke-svart icke-korp ger.

Bestrider induktionen från positiva instanser

Några metoder för att lösa paradoxen fokuserar på det induktiva steget. De bestrider huruvida observation av en viss instans (som en svart korp) är den typ av bevis som nödvändigtvis ökar förtroendet för den allmänna hypotesen (som att korpar alltid är svarta).

Röd strömming

Bra ger ett exempel på bakgrundskunskap med avseende på vilken observation av en svart korp minskar sannolikheten för att alla korpar är svarta:

Antag att vi vet att vi befinner oss i en eller annan av två världar, och hypotesen, H, under övervägande är att alla korpar i vår värld är svarta. Vi vet i förväg att det i en värld finns hundra svarta korpar, inga icke-svarta korpar och en miljon andra fåglar; och att det i den andra världen finns tusen svarta korpar, en vit korp och en miljon andra fåglar. En fågel väljs ut slumpmässigt från alla fåglar i vår värld. Det visar sig vara en svart korp. Detta är ett starkt bevis ... att vi befinner oss i den andra världen, där inte alla korpar är svarta.

Good drar slutsatsen att den vita skon är en " röd sill ": Ibland kan även en svart korp utgöra bevis mot hypotesen att alla korpar är svarta, så det faktum att observationen av en vit sko kan stödja den är inte förvånande och inte värt uppmärksamhet . Nicods kriterium är enligt Good falskt, och därför följer inte den paradoxala slutsatsen.

Hempel förkastade detta som en lösning på paradoxen och insisterade på att propositionen "c är en korp och är svart" måste betraktas som "av sig själv och utan hänvisning till någon annan information" och påpekade att den "... betonades i avsnitt 5.2 (b) i min artikel i åtanke ... att själva framträdandet av paradoxalitet i fall som den vita skon delvis beror på ett misslyckande med att följa denna maxim. "

Frågan som då uppstår är om paradoxen ska förstås i sammanhanget med absolut ingen bakgrundsinformation (som Hempel föreslår), eller i samband med den bakgrundsinformation som vi faktiskt har om korpar och svarta föremål, eller med avseende på alla möjliga konfigurationer av bakgrundsinformation.

Bra hade visat att Nicods kriterium för vissa konfigurationer av bakgrundskunskap är falskt (förutsatt att vi är villiga att jämföra "induktivt stöd" med "öka sannolikheten för" - se nedan). Möjligheten kvarstod att, med avseende på vår faktiska konfiguration av kunskap, som skiljer sig mycket från Goods exempel, kan Nicods kriterium fortfarande vara sant och så skulle vi fortfarande kunna nå den paradoxala slutsatsen. Hempel, å andra sidan, insisterar på att vår bakgrundskunskap i sig är den röda sillen, och att vi bör överväga induktion med avseende på ett tillstånd av perfekt okunnighet.

Good's baby

I sin föreslagna resolution använde Maher implicit det faktum att propositionen "Alla korpar är svarta" är mycket troligt när det är mycket troligt att det inte finns några korpar. Good hade använt detta faktum tidigare för att svara på Hempels insisterande på att Nicods kriterium skulle förstås i brist på bakgrundsinformation:

... föreställ dig ett oändligt intelligent nyfött barn som har inbyggda neurala kretsar som gör det möjligt för honom att hantera formell logik, engelsk syntax och subjektiv sannolikhet. Han kan nu hävda, efter att ha definierat en korp i detalj, att det är extremt osannolikt att det finns några korpar, och därför är det extremt troligt att alla korpar är svarta, det vill säga det är sant. "Å andra sidan" fortsätter han och argumenterar, "om det finns korpar, så finns det en rimlig chans att de har olika färger. Om jag skulle upptäcka att det finns till och med en svart korp skulle jag därför betrakta det som mindre troligt än det ursprungligen var. '${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H}$

Detta är enligt Good så nära som man rimligen kan förvänta sig att komma till ett tillstånd av perfekt okunnighet, och det verkar som om Nicods tillstånd fortfarande är falskt. Maher gjorde Goods argument mer exakt genom att använda Carnaps induktionsteori för att formalisera uppfattningen att om det finns en korp, är det troligt att det finns många.

Maher argument betraktar ett universum med exakt två objekt, som var och en är mycket osannolikt att vara en korp (en av tusen chanser) och rimligen osannolikt att vara svart (en av tio chanser). Med Carnaps formel för induktion finner han att sannolikheten för att alla korpar är svarta minskar från 0,9985 till 0,8995 när man upptäcker att ett av de två föremålen är en svart korp.

Maher drar slutsatsen att inte bara den paradoxala slutsatsen är sann, utan att Nicods kriterium är falskt i avsaknad av bakgrundskunskap (förutom kunskapen om att antalet objekt i universum är två och att korpar är mindre benägna än svarta saker).

Distinguished predikates

Quine hävdade att lösningen på paradoxen ligger i erkännandet att vissa predikat , som han kallade naturliga slag , har en framstående status med avseende på induktion. Detta kan illustreras med Nelson Goodman : s exempel på predikatet grue . Ett objekt är grått om det är blått före (säg) 2021 och grönt efteråt. Det är uppenbart att vi förväntar oss att föremål som var blåa före 2021 skulle förbli blåa efteråt, men vi förväntar oss inte att föremålen som befanns vara gråa före 2021 skulle vara blåa efter 2021, eftersom de efter 2021 skulle vara gröna. Quines förklaring är att "blått" är ett naturligt slag; ett privilegierat predikat vi kan använda för induktion, medan "grue" inte är ett naturligt slag och att använda induktion med det leder till fel.

Detta antyder en lösning på paradoxen - Nicods kriterium gäller för naturliga slag, såsom "blå" och "svart", men är falskt för konstgjorda predikat, såsom "grue" eller "non-raven". Paradoxen uppstår, enligt denna resolution, för att vi implicit tolkar Nicods kriterium som att det gäller alla predikat när det faktiskt bara gäller naturliga slag.

Ett annat tillvägagångssätt, som gynnar specifika predikat framför andra, togs av Hintikka. Hintikka var motiverad att hitta en Bayesisk inställning till paradoxen som inte använde kunskap om de relativa frekvenserna hos korpar och svarta saker. Argument rörande relativa frekvenser, hävdar han, kan inte alltid redogöra för den upplevda irrelevansen av bevis som består av observationer av objekt av typ A för att lära sig om objekt av typ not-A.

Hans argument kan illustreras genom att omformulera paradoxen med andra predikat än "korp" och "svart". Till exempel, "Alla män är långa" motsvarar "Alla korta människor är kvinnor", och så att observera att en slumpmässigt utvald person är en kort kvinna bör ge bevis för att alla män är långa. Trots det faktum att vi saknar bakgrundskunskap för att indikera att det finns dramatiskt färre män än korta människor, befinner vi oss fortfarande benägna att avvisa slutsatsen. Hintikkas exempel är: "... en generalisering som" inga materiella kroppar är oändligt delbara "verkar vara helt opåverkad av frågor som rör immateriella enheter, oberoende av vad man tycker om de relativa frekvenserna av materiella och immateriella enheter i sitt diskursuniversum. "

Hans lösning är att införa en order i uppsättningen predikat. När det logiska systemet är utrustat med denna ordning är det möjligt att begränsa räckvidden för en generalisering som "Alla korpar är svarta" så att den gäller endast korpar och inte för icke-svarta saker, eftersom ordningens privilegier ravnar över icke -svarta saker. Som han uttrycker det:

"Om vi ​​är berättigade att anta att räckvidden för generaliseringen" Alla korpar är svarta "kan begränsas till korpar, så betyder det att vi har lite extern information som vi kan lita på när det gäller den faktiska situationen. Paradoxen härrör från det faktum att denna information, som färgar vår spontana syn på situationen, inte ingår i de vanliga behandlingarna av den induktiva situationen. "

Avslag på Hempels likvärdighetsvillkor

Vissa metoder för att lösa paradoxen avvisar Hempels likvärdighetstillstånd. Det vill säga, de kanske inte överväger bevis som stöder påståendet alla icke-svarta föremål är icke-korpar för att nödvändigtvis stödja logiskt ekvivalenta uttalanden som alla korpar är svarta .

Selektiv bekräftelse

Scheffler och Goodman tog ett tillvägagångssätt för paradoxen som innehåller Karl Popers uppfattning att vetenskapliga hypoteser aldrig riktigt bekräftas, bara förfalskas.

Tillvägagångssättet börjar med att notera att observationen av en svart korp inte bevisar att "Alla korpar är svarta" men det förfalskar den motsatta hypotesen, "Inga korpar är svarta". En icke-svart icke-korp, däremot, överensstämmer med både "Alla korpar är svarta" och med "Inga korpar är svarta". Som författarna uttryckte det:

... påståendet att alla korpar är svarta uppfylls inte bara av bevis för en svart korp, utan gynnas av sådana bevis, eftersom en svart korp bekräftar det motsatta påståendet att alla korpar inte är svarta, dvs uppfyller dess förnekelse. En svart korp uppfyller med andra ord hypotesen att alla korpar är svarta snarare än inte: den bekräftar således selektivt att alla korpar är svarta .

Selektiv bekräftelse bryter mot ekvivalensvillkoret eftersom en svart korp selektivt bekräftar "Alla korpar är svarta" men inte "Alla icke-svarta saker är icke-korpar".

Probabilistisk eller icke-probabilistisk induktion

Scheffler och Goodmans koncept för selektiv bekräftelse är ett exempel på en tolkning av "ger bevis till förmån för ..." som inte sammanfaller med "öka sannolikheten för ..." Detta måste vara ett allmänt inslag i alla resolutioner som förkastar ekvivalensvillkor, eftersom logiskt ekvivalenta propositioner alltid måste ha samma sannolikhet.

Det är omöjligt för observationen av en svart korp att öka sannolikheten för propositionen "Alla korpar är svarta" utan att orsaka exakt samma förändring av sannolikheten att "Alla icke-svarta saker är icke-korpar". Om en observation induktivt stöder det förra men inte det senare, måste "induktivt stöd" hänvisa till något annat än förändringar i sannolikheten för propositioner. Ett möjligt kryphål är att tolka "Alla" som "Nästan alla" - "Nästan alla korpar är svarta" motsvarar inte "Nästan alla icke-svarta saker är icke-korpar", och dessa förslag kan ha mycket olika sannolikheter.

Detta väcker den bredare frågan om sannolikhetsteoriens förhållande till induktivt resonemang. Karl Popper hävdade att sannolikhetsteorin inte ensam kan redogöra för induktion. Hans argument handlar om att dela en hypotes,, i en del som deduktivt medförs av bevisen , och en annan del. Detta kan göras på två sätt. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$

Tänk först på splittringen:

${\ displaystyle H = A \ och \ B \ \ \ \ \ E = B \ och \ C}$

där , och är probabilistiskt oberoende: och så vidare. Det villkor som är nödvändigt för att en sådan uppdelning av H och E ska vara möjlig är , det vill säga, som stöds sannolikt av . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle P (A \ och \ B) = P (A) P (B)}$${\ displaystyle P (H | E)> P (H)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$

Poppers iakttagelse är att delen,, av det som får stöd från faktiskt följer deduktivt från , medan den delen av det inte följer deduktivt från får inget stöd alls från - det vill säga . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle P (A | E) = P (A)}$

För det andra delningen:

${\ displaystyle H = (H \ eller \ E) \ och \ (H \ eller \ {\ överlinje {E}})}$

skiljer sig in i , som som Popper säger, "är den logiskt starkaste delen av (eller av innehållet i ) som följer [deduktivt] från ", och som, säger han, "innehåller allt som går utöver ". Han fortsätter: ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle (H \ eller \ E)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle (H \ eller \ {\ overline {E}})}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$

Ger i det här fallet något stöd för den faktor , som i närvaro av ensam behövs för att få ? Svaret är: Nej. Det gör det aldrig. I själva verket motstöd om inte antingen eller (som är möjligheter utan intresse). ...${\ displaystyle E}$${\ displaystyle (H \ eller \ {\ overline {E}})}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle (H \ eller \ {\ overline {E}})}$${\ displaystyle P (H | E) = 1}$${\ displaystyle P (E) = 1}$

Detta resultat är helt förödande för den induktiva tolkningen av sannolikhetsräkningen. Allt probabilistiskt stöd är rent deduktivt: den delen av en hypotes som inte deduktivt medför beviset stöds alltid starkt av bevisen ... Det finns sådant som sannolikt stöd; det kan till och med finnas sådant som induktivt stöd (även om vi knappast tror det). Men sannolikhetsberäkningen avslöjar att probabilistiskt stöd inte kan vara induktivt stöd.

Ortodox tillvägagångssätt

Den ortodoxa Neyman – Pearson- teorin om hypotesprovning överväger hur man ska bestämma om man ska acceptera eller avvisa en hypotes, snarare än vilken sannolikhet att tilldela hypotesen. Ur denna synvinkel accepteras inte hypotesen att "alla korpar är svarta" gradvis , eftersom dess sannolikhet ökar mot en när fler och fler observationer görs, men accepteras i en enda åtgärd som ett resultat av utvärderingen av de data som har redan samlats in. Som Neyman och Pearson uttryckte det:

Utan att hoppas på att veta om varje enskild hypotes är sant eller falskt, kan vi söka efter regler för att styra vårt beteende med avseende på dem, varefter vi försäkrar att vi under lång erfarenhet inte ska ha alltför ofta fel.

Enligt detta tillvägagångssätt är det inte nödvändigt att tilldela sannolikheten för en hypotes något värde , även om man säkert måste ta hänsyn till sannolikheten för de data som ges hypotesen, eller ges en konkurrerande hypotes, när man beslutar om att acceptera eller avvisa . Godkännandet eller avvisandet av en hypotes medför risken för fel .

Detta står i kontrast till det Bayesiska tillvägagångssättet, som kräver att hypotesen tilldelas en tidigare sannolikhet, som revideras mot bakgrund av de observerade uppgifterna för att erhålla den slutliga sannolikheten för hypotesen. Inom Bayesian-ramen finns det ingen risk för fel eftersom hypoteser inte accepteras eller avvisas; istället tilldelas de sannolikheter.

En analys av paradoxen ur ortodox synvinkel har utförts och leder till bland andra insikter en avvisning av ekvivalensvillkoret:

Det verkar uppenbart att man inte både kan acceptera hypotesen att alla P är Q och också avvisa kontrapositivet, dvs att alla icke-Q är icke-P. Ändå är det lätt att se att i Neyman-Pearson-testteorin är ett test av "All P's Q" inte nödvändigtvis ett test av "All non-Q's are non-P" eller vice versa. Ett test av "Alla P är Q" kräver hänvisning till någon alternativ statistisk hypotes av formen av alla P är Q, medan ett test av "Alla icke-Q är icke-P" kräver hänvisning till något statistiskt alternativ av formen av alla icke-Q: s icke-P, . Men dessa två uppsättningar av möjliga alternativ är olika ... Man kan alltså testa utan att testa dess kontrapositiva.${\ displaystyle r}$${\ displaystyle 0 <r <1}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle 0 <r <1}$${\ displaystyle H}$

Avvisa materiella konsekvenser

Följande propositioner antyder varandra: "Varje objekt är antingen svart eller inte en korp", "Varje korp är svart" och "Alla icke-svarta objekt är en icke-korp." De är därför per definition logiskt ekvivalenta. De tre propositionerna har dock olika domäner: den första propositionen säger något om "varje objekt", medan den andra säger något om "varje korp".

Den första propositionen är den enda vars kvantifieringsdomän är obegränsad ("alla objekt"), så detta är den enda som kan uttryckas i första ordningens logik . Det motsvarar logiskt sett:

${\ displaystyle \ forall \ x, Rx \ \ rightarrow \ Bx}$

och även till

${\ displaystyle \ forall \ x, {\ overline {Bx}} \ \ rightarrow \ {\ overline {Rx}}}$

där indikerar materialet villkorligt , enligt vilket "Om då " kan förstås som " eller ".${\ displaystyle \ rightarrow}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ overline {A}}}$

Det har hävdats av flera författare att materiell implikation inte helt fångar innebörden av "If then " (se paradoxerna för materiell implikation ). "För varje objekt, , är antingen svart eller inte en korp" är sant när det inte finns några korpar. Det är på grund av detta som "Alla korpar är svarta" betraktas som sanna när det inte finns några korpar. Argumenten som Good och Maher använde för att kritisera Nicods kriterium (se § Goods baby ovan) förlitar sig på detta faktum - att "Alla korpar är svarta" är mycket troligt när det är mycket troligt att det inte finns några korpar. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$

Att säga att alla korpar är svarta i frånvaro av korpar är ett tomt uttalande. Det hänvisar till ingenting. "Alla korpar är vita" är lika relevanta och sanna, om detta uttalande anses ha någon sanning eller relevans.

Vissa tillvägagångssätt för paradoxen har försökt hitta andra sätt att tolka "Om då " och "Allt är ", vilket skulle eliminera den upplevda ekvivalensen mellan "Alla korpar är svarta" och "Alla icke-svarta saker är icke-korpar." ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Ett sådant tillvägagångssätt handlar om att införa en mångsidig logik enligt vilken "Om då " har sanningsvärdet , vilket betyder "Obestämd" eller "Olämplig" när det är falskt. I ett sådant system tillåts inte kontrast automatiskt: "Om då " motsvarar inte "Om då ". Följaktligen motsvarar "Alla korpar är svarta" inte "Alla icke-svarta saker är icke-korpar". ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ overline {B}}}$${\ displaystyle {\ overline {A}}}$

I detta system, när motsats inträffar, modalitet av de villkor inblandade förändringar från vägledande ( "Om den bit av smör har upphettats till 32 ° C, varefter det har smält") till den kontra ( "Om den bit av smör hade varit uppvärmd till 32 ° C då skulle den ha smält "). Enligt detta argument tar detta bort den påstådda likvärdigheten som är nödvändig för att dra slutsatsen att gula kor kan informera oss om korpar:

Vid korrekt grammatisk användning borde ett kontrapositivt argument inte anges helt i det vägledande. Således:

Av det faktum att om den här matchen är repad kommer den att tändas, det följer att om den inte tänds så repades den inte.

är besvärligt. Vi borde säga:

Från det faktum att om denna match är repad det lyser följer att om det var inte lätt det skulle inte ha repats. ...

Man kan undra vilken effekt denna tolkning av lagen om kontraposition har på Hempels paradox för bekräftelse. "Om en korp är svart" motsvarar "Om inte svart skulle inte vara korp". Därför bör allt som bekräftar det senare också, genom ekvivalensvillkoret, bekräfta det tidigare. Det är sant, men gula kor kan fortfarande inte räkna ut bekräftelsen av "Alla korpar är svarta" eftersom bekräftelse i vetenskapen åstadkoms genom förutsägelse och förutsägelser anges korrekt i det vägledande humöret. Det är meningslöst att fråga vad som bekräftar en kontrafaktisk.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$

Olika resultat av att acceptera hypoteserna

Flera kommentatorer har observerat att förslagen "Alla korpar är svarta" och "Alla icke-svarta saker är icke-korpar" föreslår olika förfaranden för att testa hypoteserna. Exempelvis skriver Good:

Som propositioner är de två påståenden logiskt likvärdiga. Men de har en annan psykologisk effekt på experimentet. Om han blir ombedd att testa om alla korpar är svarta kommer han att leta efter en korp och sedan avgöra om den är svart. Men om han blir ombedd att testa om alla icke-svarta saker är icke-korpar kan han leta efter ett icke-svart föremål och sedan bestämma om det är en korp.

Mer nyligen har det föreslagits att "Alla korpar är svarta" och "Alla icke-svarta saker är icke-korpar" kan ha olika effekter när de accepteras . Argumentet tar hänsyn till situationer där det totala antalet eller förekomsten av korpar och svarta föremål är okända men uppskattade. När hypotesen "Alla korpar är svarta" accepteras, enligt argumentet, ökar det uppskattade antalet svarta föremål, medan det uppskattade antalet korpar inte ändras.

Det kan illustreras genom att överväga situationen för två personer som har identisk information om korpar och svarta föremål, och som har identiska uppskattningar av antalet korpar och svarta föremål. För konkretitet, antag att det finns 100 objekt totalt, och enligt den information som är tillgänglig för de inblandade är det lika sannolikt att varje objekt är en icke-korp som det är att vara en korp, och lika sannolikt att det är svart som det är att vara icke-svart:

${\ displaystyle P (Ra) = {\ frac {1} {2}} \ \ \ \ \ \ \ \ P (Ba) = {\ frac {1} {2}}}$

och förslagen är oberoende för olika objekt , och så vidare. Sedan beräknas antalet korpar vara 50; det beräknade antalet svarta saker är 50; det beräknade antalet svarta korpar är 25, och det uppskattade antalet icke-svarta korpar (motexempel till hypoteserna) är 25. ${\ displaystyle Ra, \ Rb}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Ett av folket utför ett statistiskt test (t.ex. ett Neyman-Pearson- test eller jämförelse av den ackumulerade bevisvikten till en tröskel) av hypotesen att "Alla korpar är svarta", medan den andra testar hypotesen att "Alla icke- svarta föremål är icke-korpar ". Antag för enkelhetens skull att bevisen som används för testet inte har något att göra med samlingen av 100 objekt som behandlas här. Om den första personen accepterar hypotesen att "Alla korpar är svarta" anses enligt argumentet nu cirka 50 objekt vars färger tidigare var i tvivel (korparna) vara svarta, medan inget annat tänks på de återstående föremålen (de icke-korparna). Följaktligen bör han uppskatta antalet svarta korpar till 50, antalet svarta icke-korpar till 25 och antalet icke-svarta korpar till 25. Genom att specificera dessa ändringar begränsar detta argument uttryckligen domänen för "Alla korpar är svarta "för korpar.

Å andra sidan, om den andra personen accepterar hypotesen att "Alla icke-svarta föremål är icke-korpar", kommer de ungefär 50 icke-svarta föremål som det var osäkert om var och en var en korp, att anses vara icke- -gravar. Samtidigt kommer inget annat att tänka på de cirka 50 återstående objekten (de svarta objekten). Följaktligen bör han uppskatta antalet svarta korpar till 25, antalet svarta icke-korpar till 25 och antalet icke-svarta korpar till 50. Enligt detta argument, eftersom de två personerna är oense om sina uppskattningar efter att de har accepterat de olika hypoteserna, att acceptera "Alla korpar är svarta" motsvarar inte att acceptera "Alla icke-svarta saker är icke-korpar"; att acceptera det förstnämnda innebär att uppskatta fler saker för att vara svarta, medan att acceptera det senare innebär att fler saker är icke-korpar. På motsvarande sätt, argumenterar det, kräver den förra som bevis korpar som visar sig vara svarta och de senare kräver icke-svarta saker som visar sig vara icke-korpar.

Existentiella förutsättningar

Ett antal författare har hävdat att propositioner av formuläret "Alla är " förutsätter att det finns objekt som finns . Denna analys har tillämpats på korpsparadoxen: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$

... : "Alla korpar är svarta" och : "Alla icke-svarta saker är nonravens" är inte helt likvärdiga ... på grund av deras olika existentiella förutsättningar. Även om och beskriva samma regelbundenhet - den icke-existens av nonblack korpar - de har olika logiska former. De två hypoteserna har olika sinnen och innehåller olika procedurer för att testa den regelbundenhet som de beskriver.${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$

En modifierad logik kan ta hänsyn till existentiella presuppositioner med presuppositional operator, '*'. Till exempel,

${\ displaystyle \ forall \ x, \ * Rx \ rightarrow Bx}$

kan beteckna "Alla korpar är svarta" samtidigt som de indikerar att det är korpar och inte icke-svarta föremål som antas finnas i detta exempel.

... den logiska formen för varje hypotes skiljer den ut med avseende på dess rekommenderade typ av stödjande bevis: de möjligen sanna substitutionsinstanserna för varje hypotes avser olika typer av objekt. Det faktum att de två hypoteserna innehåller olika typer av testförfaranden uttrycks på det formella språket genom att prefixera operatören '*' till ett annat predikat. Förutsättningsoperatören fungerar alltså också som en relevant aktör. Det är prefixet till predikatet " är en korp" eftersom de föremål som är relevanta för testförfarandet som ingår i "Alla korpar är svarta" inkluderar endast korpar; det är prefixet till predikatet ' är icke-svart', i , eftersom objekten som är relevanta för testförfarandet som ingår i "Alla icke-svarta saker är icke-gravyr" inkluderar endast icke-svarta saker. ... Med användning av Fregean- termer: när deras antaganden håller, har de två hypoteserna samma referens (sanningsvärde), men olika sinnen ; det vill säga de uttrycker två olika sätt att bestämma det sanningsvärdet.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle H_ {2}}$

Se även

• Föreningsfel
• Bayesisk epistemologi
• Svart svansteori
• Lista över paradoxer

Anteckningar

Vidare läsning

• Chang, Hasok ; Fisher, Grant (2011). "Vad korparna verkligen lär oss: bevisens inneboende sammanhang" . I Dawid, Philip; Twining, William L .; Vasilaki, Mimi (red.). Bevis, slutsats och förfrågan . Proceedings of the British Academy. 171 . Oxford; New York: Oxford University Press. doi : 10.5871 / bacad / 9780197264843.003.0013 . ISBN 9780197264843. OCLC  709682874 .
• Franceschi, Paul (2011-02-04). "Domedagsargumentet och Hempels problem" . paulfranceschi.com . Hämtad 2020-04-27 .Engelsk översättning av en uppsats som ursprungligen publicerades på franska som: Franceschi, Paul (mars 1999). "Kommentar l'Urne de Carter et Leslie se déverse dans celle de Hempel". Canadian Journal of Philosophy . 29 (1): 139–156. doi : 10.1080 / 00455091.1999.10717508 . JSTOR  40232048 .
• Hempel, Carl G. (december 1943). "En rent syntaktisk definition av bekräftelse" (PDF) . Journal of Symbolic Logic . 8 (4): 122–143. doi : 10.2307 / 2271053 . JSTOR  2271053 .
• Hempel, Carl G. (1966). "Studier i logiken för bekräftelse". I Foster, Marguerite H .; Martin, Michael (red.). Sannolikhet, bekräftelse och enkelhet: Avläsningar i induktiv logikfilosofi . New York: Odyssey Press. s. 145–183. OCLC  284885 .
• Whiteley, CH (april 1945). "Hempels paradoxer för bekräftelse". Tänk . 54 (214): 156–158. doi : 10.1093 / mind / liv.214.156 . JSTOR  2250951 .