Kvartsplanskurva - Quartic plane curve

En kvartsplankurva är en plan algebraisk kurva av den fjärde graden . Det kan definieras med en bivariat kvartsekvation:

${\ displaystyle Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3} y+Dx^{2} y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3} +Hx^{2} y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P = 0,}$

med minst en av A, B, C, D, E inte lika med noll. Denna ekvation har 15 konstanter. Den kan emellertid multipliceras med en konstant som inte är noll utan att kurvan ändras; sålunda genom valet av en lämplig multiplikationskonstant kan vilken som helst av koefficienterna sättas till 1, vilket bara lämnar 14 konstanter. Därför kan utrymmet för kvartiska kurvor identifieras med det verkliga projektiva rummet . Det följer också, från Cramers sats om algebraiska kurvor , att det finns exakt en kvartisk kurva som passerar genom en uppsättning av 14 distinkta punkter i allmän position , eftersom en kvartik har 14 frihetsgrader . ${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^{14}}$

En kvartisk kurva kan ha högst:

• Fyra anslutna komponenter
• Tjugoåtta bi-tangenter
• Tre vanliga dubbla poäng .

Man kan också överväga kvartiska kurvor över andra fält (eller till och med ringar ), till exempel de komplexa talen . På detta sätt får man Riemann ytor , som är en-dimensionella objekt över C , men är tvådimensionella över R . Ett exempel är Klein quartic . Dessutom kan man titta på kurvor i det projektiva planet , givet av homogena polynom.

Exempel

Olika kombinationer av koefficienter i ovanstående ekvation ger upphov till olika viktiga familjer av kurvor enligt nedan.

Ampersandkurva

Den ampersand kurvan är en fjärdegrads plan kurva ges av ekvationen:

${\ displaystyle \ (y^{2} -x^{2}) (x-1) (2x-3) = 4 (x^{2}+y^{2} -2x)^{2}.}$

Den har släktet noll, med tre vanliga dubbla punkter, alla i det verkliga planet.

Bönkurva

Den böna kurvan är en fjärdegrads plan kurva med ekvationen:

${\ displaystyle x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4} = x (x^{2}+y^{2}). \,}$

Bönkurvan har släktet noll. Den har en singularitet vid ursprunget, en vanlig trippelpunkt.

Bicuspid -kurva

Den bicuspid är en fjärdegrads plan kurva med ekvationen

${\ displaystyle (x^{2} -a^{2}) (xa)^{2}+(y^{2} -a^{2})^{2} = 0 \,}$

där a bestämmer kurvens storlek. Bicuspid har bara de två klyftorna som singulariteter, och därför är en kurva av släktet ett.

Bogkurva

Den båge kurvan är en fjärdegrads plan kurva med ekvationen:

${\ displaystyle x^{4} = x^{2} åå^{3}. \,}$

Bogkurvan har en enda trippelpunkt vid x = 0, y = 0, och är följaktligen en rationell kurva, med släktet noll.

Korsformad kurva

Den korsformade kurvan , eller tvär kurvan är en fjärdegrads plan kurva ges av ekvationen

${\ displaystyle x^{2} y^{2} -b^{2} x^{2} -a^{2} y^{2} = 0 \,}$

där a och b är två parametrar som bestämmer kurvens form. Korsformade kurvan är relaterad till en standard kvadratisk transformation, x ↦ 1/ x , y ↦ 1/ y till ellipsen a ² x ² + b ² y ² = 1, och är därför en rationell plan algebraisk kurva av släktet noll. Korsformade kurvan har tre dubbla punkter i det verkliga projektiva planet , vid x = 0 och y = 0, x = 0 och z = 0, och y = 0 och z = 0.

Eftersom kurvan är rationell kan den parametriseras av rationella funktioner. Till exempel, om a = 1 och b = 2, då

${\ displaystyle x =-{\ frac {t^{2} -2t+5} {t^{2} -2t-3}}, \ quad y = {\ frac {t^{2} -2t+5 } {2t-2}}}$

parametrerar punkterna på kurvan utanför de undantagsfall där en nämnare är noll.

Den omvända pytagorasatsen erhålls från ekvationen ovan genom att x ersättas med AC , y med BC , och varje a och b med CD , där A , B är slutpunkterna för hypotenusan i en högra triangel ABC , och D är foten på en vinkelrät tappad från C , hörnet för den rätta vinkeln, till hypotenusen:

${\ displaystyle {\ begin {align} AC^{2} BC^{2} -CD^{2} AC^{2} -CD^{2} BC^{2} & = 0 \\ AC^{2 } BC^{2} & = CD^{2} BC^{2}+CD^{2} AC^{2} \\ {\ frac {1} {CD^{2}}} & = {\ frac {BC^{2}} {AC^{2} \ cdot BC^{2}}}+{\ frac {AC^{2}} {AC^{2} \ cdot BC^{2}}} \\ \ därför \; \; {\ frac {1} {CD^{2}}} & = {\ frac {1} {AC^{2}}}+{\ frac {1} {BC^{2}} } \ end {align}}}$

Spirisk sektion

Spiriska sektioner kan definieras som tvåcirkelformade kvartskurvor som är symmetriska med avseende på x- och y -axlarna. Spiriska sektioner ingår i familjen toriska sektioner och inkluderar flodhästfamiljen och familjen Cassini -ovaler . Namnet är från σπειρα som betyder torus på forngrekiska.

Den kartesiska ekvationen kan skrivas som

${\ displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2} = dx^{2}+ey^{2}+f,}$

och ekvationen i polära koordinater som

${\ displaystyle r^{4} = dr^{2} \ cos^{2} \ theta +er^{2} \ sin^{2} \ theta +f. \,}$

Trebladig klöver (trifolium)

Den trebladiga klövern eller trifolium är kvartsplankurvan

${\ displaystyle x^{4}+2x^{2} y^{2}+y^{4} -x^{3}+3xy^{2} = 0. \,}$

Genom att lösa för y kan kurvan beskrivas med följande funktion:

${\ displaystyle y = \ pm {\ sqrt {\ frac {-2x^{2} -3x \ pm {\ sqrt {16x^{3}+9x^{2}}}} {2}}},}$

där de två utseendena av ± är oberoende av varandra, vilket ger upp till fyra distinkta värden på y för varje x .

Den parametriska ekvationen för kurvan är

${\ displaystyle x = \ cos (3t) \ cos t, \ quad y = \ cos (3t) \ sin t. \,}$

I polära koordinater ( x = r  cos φ, y = r  sin φ) är ekvationen

${\ displaystyle r = \ cos (3 \ varphi). \,}$

Det är ett specialfall av roskurva med k = 3. Denna kurva har en trippelpunkt vid ursprunget (0, 0) och har tre dubbla tangenter.

Se även

• Ternär kvarts
• Bitangenter av en kvarts

Referenser