Paritet (matematik) - Parity (mathematics)
I matematik är paritet egenskapen för ett heltal om det är jämnt eller udda . Ett heltal paritet är även om det är delbart med två utan rester kvar och dess paritet är udda om det inte är det; det vill säga dess återstod är 1. Till exempel, −4, 0, 82 och 178 är till och med för att det inte finns någon rest när man delar den med 2. Däremot är −3, 5, 7, 21 udda tal när de lämnar resten av 1 dividerat med 2.
Jämna och udda tal har motsatta pariteter, t.ex. 22 (jämnt tal) och 13 (udda tal) har motsatta pariteter. I synnerhet är nollens jämlikhet jämn . Alla två på varandra följande heltal har motsatt paritet.
En formell definition av ett jämnt tal är att det är ett heltal av formen n = 2 k , där k är ett heltal; det kan sedan visas att ett udda tal är ett heltal av formen n = 2 k + 1 (eller omväxlande 2 k - 1). Det är viktigt att inse att ovanstående definition av paritet endast gäller heltal, därför kan den inte tillämpas på tal som 1/2 eller 4.201. Se avsnittet "Högre matematik" nedan för några utvidgningar av begreppet paritet till en större klass av "tal" eller i andra mer allmänna inställningar.
De uppsättningar av jämna och udda nummer kan definieras enligt följande:
- Även
- Udda
Ett antal (dvs heltal) uttryckt i decimalsiffran systemet är jämnt eller udda, beroende på om den sista siffran är jämn eller udda. Det vill säga, om den sista siffran är 1, 3, 5, 7 eller 9, så är det udda; annars är det jämnt - eftersom den sista siffran i ett jämnt tal är 0, 2, 4, 6 eller 8. Samma idé fungerar med en jämn bas. I synnerhet är ett tal uttryckt i det binära nummersystemet udda om dess sista siffra är 1; och det är även om dess sista siffra är 0. I en udda bas är talet jämnt enligt summan av dess siffror - det är även om och bara om summan av dess siffror är jämn.
Aritmetik på jämna och udda tal
Följande lagar kan verifieras med delningsegenskaperna . De är ett speciellt fall av regler i modulär aritmetik och används vanligtvis för att kontrollera om en jämlikhet sannolikt kommer att vara korrekt genom att testa paritetspariteten på varje sida. Som med vanlig aritmetik är multiplikation och addition kommutativ och associativ i modulo 2 -aritmetik, och multiplikation är distributiv över addition. Subtraktion i modulo 2 är dock identisk med addition, så subtraktion har också dessa egenskaper, vilket inte är sant för normal heltalsaritmetik.
Addition och subtraktion
- jämn ± jämn = jämn;
- jämn ± udda = udda;
- udda ± udda = jämnt;
Multiplikation
- jämn × jämn = jämn;
- jämn × udda = jämn;
- udda × udda = udda;
Strukturen ({jämn, udda}, +, ×) är faktiskt ett fält med bara två element .
Division
Delningen av två hela tal leder inte nödvändigtvis till ett heltal. Till exempel är 1 dividerat med 4 lika med 1/4, vilket varken är jämnt eller udda, eftersom begreppen jämna och udda endast gäller heltal. Men när kvoten är ett heltal, kommer det att bli ännu om och endast om den utdelning har fler faktorer två än divisorn.
Historia
De gamla grekerna ansåg 1, monaden , varken vara helt udda eller helt jämnt. En del av denna känsla överlevde in på 1800 -talet: Friedrich Wilhelm August Fröbels 1826 The Education of Man instruerar läraren att borra elever med påståendet att 1 varken är jämnt eller udda, till vilket Fröbel fäster den filosofiska eftertanken,
Det är bra att direkt rikta elevens uppmärksamhet här mot en stor långtgående natur- och tankelag. Det är detta, att mellan två relativt olika saker eller idéer finns det alltid en tredje, i en slags balans, som verkar förena de två. Således finns det här mellan udda och jämna tal ett tal (ett) som inte är någon av de två. På samma sätt står den rätta vinkeln mellan de spetsiga och trubbiga vinklarna i form; och i språket, halvvokalerna eller aspiranterna mellan stumma och vokaler. En tankeväckande lärare och en elev som lärt sig att tänka själv kan knappast hjälpa till att lägga märke till detta och andra viktiga lagar.
Högre matematik
Högre dimensioner och mer allmänna siffror
| a | b | c | d | e | f | g | h | ||
| 8 |     |
8 | |||||||
| 7 | 7 | ||||||||
| 6 | 6 | ||||||||
| 5 | 5 | ||||||||
| 4 | 4 | ||||||||
| 3 | 3 | ||||||||
| 2 | 2 | ||||||||
| 1 | 1 | ||||||||
| a | b | c | d | e | f | g | h | ||
Heltalskoordinater för punkter i euklidiska utrymmen med två eller flera dimensioner har också en paritet, vanligtvis definierad som pariteten för summan av koordinaterna. Till exempel består det ansiktscentrerade kubiska gallret och dess högre dimensionella generaliseringar, D n- gitterna , av alla heltalspunkter vars summa koordinater är jämn. Denna funktion manifesterar sig i schack , där paratets paritet indikeras med dess färg: biskopar är begränsade till rutor av samma paritet; riddare växlar paritet mellan drag. Denna form av paritet användes berömt för att lösa det stympade schackbrädproblemet : om två motsatta hörnrutor avlägsnas från en schackbräda, kan den återstående brädan inte täckas av dominoer, eftersom varje domino täcker en kvadrat av varje paritet och det finns ytterligare två rutor av den ena pariteten än den andra.
Den paritet av ett ordningstal kan definieras att vara även om antalet är en gräns ordinal, eller en gräns ordinal plus ett ändligt jämnt antal, och udda annars.
Låt R vara en kommutativ ring och låt jag vara ett ideal för R vars index är 2. Element i coset kan kallas jämnt , medan element i coset kan kallas udda . Som ett exempel, låt R = Z (2) vara lokaliseringen av Z vid huvudidealet (2). Då en del av R är jämn eller udda om och endast om dess täljare är så i Z .
Talteori
Jämna siffror bildar ett ideal i ringen av heltal, men de udda talen gör det inte - detta framgår av det faktum att identitetselementet för addition, noll, endast är ett element i jämna tal. Ett heltal är även om det är kongruent med 0 modulo detta ideal, med andra ord om det är kongruent med 0 modulo 2 och udda om det är kongruent med 1 modulo 2.
Alla primtal är udda, med ett undantag: primtalet 2. Alla kända perfekta tal är jämna; det är okänt om det finns några udda perfekta tal.
Goldbachs gissning säger att varje jämnt heltal större än 2 kan representeras som en summa av två primtal. Moderna datorberäkningar har visat att denna gissning är sann för heltal upp till minst 4 × 10 18 , men fortfarande har inga allmänna bevis hittats.
Gruppteori
Den pariteten hos en permutation (enligt definitionen i abstrakt algebra ) är pariteten hos det antal införlivanden i vilka permutationen kan sönderdelas. Till exempel (ABC) till (BCA) är till och med för att det kan göras genom att byta A och B och sedan C och A (två transpositioner). Det kan visas att ingen permutation kan sönderdelas både i ett jämnt och i ett udda antal transpositioner. Därför är ovanstående en lämplig definition. I Rubiks kub , Megaminx och andra vridande pussel tillåter rörelserna i pusslet endast jämna permutationer av pusselbitarna, så paritet är viktigt för att förstå konfigurationsutrymmet för dessa pussel.
Den Feit-Thompson teoremet säger att en ändlig grupp är alltid lösas om sitt beslut är ett udda tal. Detta är ett exempel på udda tal som spelar en roll i ett avancerat matematiskt teorem där tillämpningsmetoden för den enkla hypotesen om "udda ordning" är långt ifrån självklar.
Analys
Den paritet funktion beskriver hur dess värden ändras när dess argument byts med sina negationer. En jämn funktion, till exempel en jämn effekt av en variabel, ger samma resultat för alla argument som för dess negation. En udda funktion, till exempel en udda kraft i en variabel, ger för alla argument negationen av dess resultat när det ges negationen av det argumentet. Det är möjligt att en funktion varken är udda eller jämn, och att fallet f ( x ) = 0 är både udda och jämnt. Den Taylor-serien av en jämn funktion innehåller endast termer vars exponent är ett jämnt antal, och Taylor serien en udda funktion endast innehåller termer vars exponent är ett udda tal.
Kombinerande spelteori
I kombinatorisk spelteori är ett ondt tal ett tal som har ett jämnt tal 1: or i sin binära representation , och ett odious tal är ett tal som har ett udda tal 1: or i sin binära representation; dessa siffror spelar en viktig roll i strategin för spelet Kayles . Den paritetsfunktion avbildar en nummer till antalet 1: or i sin binär representation, modulo två , så dess värde är noll för onda nummer och en för motbjudande nummer. Den Thue-Morse-sekvens , en oändlig sekvens av 0: or och 1: or, har en 0 i läge i när jag är ond, och en 1 i denna position när jag är motbjudande.
Ytterligare applikationer
I informationsteorin tillhandahåller en paritetsbit som bifogas ett binärt tal den enklaste formen av feldetekteringskod . Om en enda bit i det resulterande värdet ändras, kommer den inte längre att ha rätt paritet: att ändra en bit i det ursprungliga talet ger den en annan paritet än den inspelade och att ändra paritetsbiten utan att ändra det nummer som det var härledd från igen ger ett felaktigt resultat. På detta sätt kan alla enkelbitsöverföringsfel detekteras på ett tillförlitligt sätt. Några mer sofistikerade feldetekteringskoder är också baserade på användningen av flera paritetsbitar för delmängder av bitarna i det ursprungliga kodade värdet.
I blåsinstrument med ett cylindriskt hål och i själva verket stängt i ena änden, såsom klarinetten vid munstycket, är de övertoner som bildas udda multiplar av grundfrekvensen . (Med cylindriska rör öppna vid båda ändar, som används till exempel i vissa organ stoppar såsom öppna diapason , övertonerna är jämna multiplar av samma frekvens för den givna borrningen längd, men detta har effekten av grundtonsfrekvensen fördubblas och alla multiplar av denna grundfrekvens som produceras.) Se harmoniska serier (musik) .
I vissa länder väljs husnummer så att husen på ena sidan av en gata har jämna nummer och husen på andra sidan har udda nummer. På samma sätt bland amerikanska numrerade motorvägar indikerar jämna siffror främst motorvägar från öst till väst medan udda tal främst indikerar motorvägar mellan nord och syd. Bland flygnummer flygnummer , jämna nummer identifierar vanligtvis österut eller norrgående flygningar, och udda siffror identifierar vanligtvis västgående eller södergående flygningar.