Parvis jämförelse - Pairwise comparison

Parvis jämförelse är i allmänhet vilken process som helst för att jämföra enheter i par för att bedöma vilken av varje enhet som föredras , eller har en större mängd av någon kvantitativ egenskap , eller huruvida de två enheterna är identiska eller inte. Metoden för parvis jämförelse används i den vetenskapliga studien av preferenser , attityder, röstningssystem , socialt val , allmänt val , kravteknik och multiagent AI-system . I psykologilitteraturen kallas det ofta parad jämförelse .

Den framstående psykometrikern L. L. Thurstone introducerade först ett vetenskapligt tillvägagångssätt för att använda parvisa jämförelser för mätning 1927, som han kallade lagen om jämförande dom . Thurstone kopplade detta tillvägagångssätt till psykofysisk teori som utvecklats av Ernst Heinrich Weber och Gustav Fechner . Thurstone demonstrerade att metoden kan användas för att beställa artiklar längs en dimension som preferens eller betydelse med hjälp av en intervallskala.

Översikt

Om en individ eller organisation uttrycker en preferens mellan två ömsesidigt olika alternativ, kan denna preferens uttryckas som en parvis jämförelse. Om de två alternativen är x och y är följande möjliga parvisa jämförelser:

Agenten föredrar x framför y : " x  >  y " eller " xPy "

Agenten föredrar y framför x : " y  >  x " eller " yPx "

Agenten är likgiltig mellan båda alternativen: " x  =  y " eller " xIy "

Probabilistiska modeller

När det gäller modern psykometrisk teori är probabilitistiska modeller, som inkluderar Thurstones tillvägagångssätt (även kallad lagen om jämförande dom), modellen Bradley – Terry – Luce (BTL) och allmänna stokastiska transitivitetsmodeller mer lämpligt betraktas som mätmodeller. Den Bradley-Terry-Luce (BTL) modell används ofta om parvis jämförelsedata till skal preferenser. BTL-modellen är identisk med Thurstones modell om den enkla logistiska funktionen används. Thurstone använde normalfördelningen i applikationer av modellen. Den enkla logistiska funktionen varierar med mindre än 0,01 från den kumulativa normala ogiven över intervallet, givet en godtycklig skalfaktor.

I BTL-modellen bedöms sannolikheten att objekt j har mer attribut än objekt i :

${\ displaystyle \ Pr \ {X_ {ji} = 1 \} = {\ frac {e ^ {{\ delta _ {j}} - {\ delta _ {i}}}} {1 + e ^ {{\ delta _ {j}} - {\ delta _ {i}}}}} = \ sigma (\ delta _ {j} - \ delta _ {i}),}$

var är objektets skala plats ; är den logistiska funktionen (inversen av logit ). Till exempel kan skalplaceringen representera en produkts upplevda kvalitet eller ett objekts upplevda vikt. ${\ displaystyle \ delta _ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ sigma}$

BTL-modellen, den Thurstonian-modellen samt Rasch-modellen för mätning är alla nära besläktade och tillhör samma klass av stokastisk transitivitet .

Thurstone använde metoden för parvisa jämförelser som ett tillvägagångssätt för att mäta upplevd intensitet av fysiska stimuli, attityder, preferenser, val och värden. Han studerade också konsekvenserna av den teori han utvecklade för opinionsundersökningar och politisk omröstning (Thurstone, 1959).

Transitivitet

För en given beslutsagent, om informationen, syftet och alternativen som används av agenten förblir konstanta, antas det i allmänhet att parvisa jämförelser över dessa alternativ av beslutsagenten är övergående. De flesta är överens om vad transitivitet är, även om det diskuteras om likgiltighetens transitivitet. Reglerna för transitivitet är följande för en viss beslutsombud.

• Om xPy och yPz, då xPz
• Om xPy och yIz, då xPz
• Om xIy och yPz, då xPz
• Om xIy och yIz, då xIz

Detta motsvarar att (xPy eller xIy) är en total förbeställning , P är motsvarande strikt svag ordning och jag är motsvarande ekvivalensrelation .

Probabilistiska modeller ger också upphov till stokastiska varianter av transitivitet , som alla kan verifieras för att tillfredsställa (icke-stokastisk) transitivitet inom gränserna för fel i uppskattningar av enheternas skalplaceringar. Således behöver beslut inte vara deterministiskt övergående för att tillämpa probabilistiska modeller. Transitivitet kommer dock i allmänhet att gälla för ett stort antal jämförelser om modeller som BTL effektivt kan tillämpas.

Med hjälp av ett transitivitetstest kan man undersöka om en datamängd parvisa jämförelser innehåller en högre grad av transitivitet än förväntat av en slump.

Argument för likgiltighets intransitivitet

Vissa hävdar att likgiltighet inte är övergående. Tänk på följande exempel. Antag att du gillar äpplen och att du föredrar äpplen som är större. Antag att det finns ett äpple A, ett äpple B och ett äpple C som har identiska inneboende egenskaper förutom följande. Antag att B är större än A, men det går inte att urskilja utan en extremt känslig skala. Antag vidare att C är större än B, men detta är inte märkbart utan en extremt känslig skala. Skillnaden i storlek mellan äpplen A och C är dock tillräckligt stor för att du ska kunna urskilja att C är större än A utan en känslig skala. I psykofysiska termer ligger storleksskillnaden mellan A och C över den bara märkbara skillnaden ('jnd') medan storleksskillnaderna mellan A och B och B och C ligger under jnd.

Du konfronteras med de tre äpplen parvis utan fördelen av en känslig skala. Därför, när du presenterar A och B ensam, är du likgiltig mellan äpple A och äpple B; och du är likgiltig mellan äpple B och äpple C när du presenterar B och C ensam. Men när paret A och C visas föredrar du C framför A.

Preferensbeställningar

Om parvisa jämförelser är i själva verket transitiva i förhållande till de fyra nämnda regler, sedan parvis jämförelser för en lista med alternativ ( A ₁ ,  A ₂ ,  A ₃ , ...,  A _{n -1} , och A _n ) kan ha formen :

A ₁ (> XOR =) A ₂ (> XOR =) A ₃ (> XOR =) ... (> XOR =) A _{n −1} (> XOR =) A _n

Till exempel, om det finns tre alternativ a , b och c , är de möjliga preferensbeställningarna:

• ${\ displaystyle a> b> c}$
• ${\ displaystyle a> c> b}$
• ${\ displaystyle b> a> c}$
• ${\ displaystyle b> c> a}$
• ${\ displaystyle c> a> b}$
• ${\ displaystyle c> b> a}$
• ${\ displaystyle a> b = c}$
• ${\ displaystyle b = c> a}$
• ${\ displaystyle b> a = c}$
• ${\ displaystyle a = c> b}$
• ${\ displaystyle c> a = b}$
• ${\ displaystyle a = b> c}$
• ${\ displaystyle a = b = c}$

Om antalet alternativ är n, och likgiltighet inte är tillåten, är antalet möjliga preferensordrar för en given n -värde  n !. Om likgiltighet är tillåten är antalet möjliga preferensorder antalet totalt förbeställningar . Det kan uttryckas som en funktion av n:

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k! S_ {2} (n, k),}$

där S ₂ ( n ,  k ) är Stirling-numret av den andra typen .

Applikationer

En viktig tillämpning av parvisa jämförelser är den allmänt använda analytiska hierarkiprocessen , en strukturerad teknik för att hjälpa människor att hantera komplexa beslut. Den använder parvisa jämförelser av materiella och immateriella faktorer för att konstruera förhållandevågar som är användbara för att fatta viktiga beslut.

En annan viktig applikation är Potentially All Pairwise RanKings of all possible Alternatives (PAPRIKA) -metoden. Metoden involverar att beslutsfattaren upprepade gånger parvis jämför och rangordnar alternativ definierade på två kriterier eller attribut åt gången och involverar en avvägning, och sedan, om beslutsfattaren väljer att fortsätta, parvisa jämförelser av alternativ som definierats på successivt fler kriterier . Från den parvisa rankningen bestäms kriteriernas relativa betydelse för beslutsfattaren, representerad som vikter.

Se även

• analytisk hierarkisk process
• Lag om jämförande dom
• Potentiellt alla parvisa rankningar av alla möjliga alternativ (PAPRIKA) -metoden
• PROMETHEE parvis jämförelsemetod
• Preferens (ekonomi)
• Stokastisk transitivitet
• Condorcet-metod

Referenser

• Sloane, N. J. A. (red.). "Sekvens A000142 (faktornummer)" . Den Nätuppslagsverket över heltalsföljder . OEIS Foundation.
• Sloane, N. J. A. (red.). "Sekvens A000670 (Antal föredragna arrangemang för n märkta element)" . Den Nätuppslagsverket över heltalsföljder . OEIS Foundation.
• Y. Chevaleyre, PE Dunne, U. Endriss, J. Lang, M. Lemaître, N. Maudet, J. Padget, S. Phelps, JA Rodríguez-Aguilar och P. Sousa. Problem i fleragent resurstilldelning. Informatica, 30: 3–31, 2006.

Vidare läsning

• Bradley, RA och Terry, ME (1952). Rankanalys av ofullständiga blockdesigner, I. metoden för parade jämförelser. Biometrika , 39, 324–345.
• David, HA (1988). Metoden för parade jämförelser. New York: Oxford University Press.
• Luce, RD (1959). Individuella valbeteenden : En teoretisk analys. New York: J. Wiley.
• Thurstone, LL (1927). En lag om jämförande dom. Psykologisk granskning , 34, 278–286.
• Thurstone, LL (1929). Mätningen av psykologiskt värde . I TV Smith och WK Wright (red.), Essays in Philosophy av Seventeen Doctors of Philosophy vid University of Chicago. Chicago: Open Court.
• Thurstone, LL (1959). Mätning av värden . Chicago: University of Chicago Press.
• Zermelo, E. (1928). Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlechlichkeitsrechnung , Mathematische Zeitschrift 29, 1929, S. 436–460