Nolluppsättning - Null set

I matematisk analys är en nolluppsättning en mätbar uppsättning som har mått noll . Detta kan karakteriseras som en uppsättning som kan täckas av en räknbar förening av intervall av godtyckligt liten total längd. ${\ displaystyle N \ subset \ mathbb {R}}$

Begreppet nulluppsättning bör inte förväxlas med den tomma uppsättningen som definieras i uppsättningsteorin . Även om den tomma uppsättningen har Lebesgue-mått noll, finns det också icke-tomma uppsättningar som är null. Till exempel har alla icke-tomma räkningsbara uppsättningar av reella tal Lebesgue-mått noll och är därför noll.

Mer allmänt, på ett visst måttutrymme är en nolluppsättning en uppsättning så att . ${\ displaystyle M = (X, \ Sigma, \ mu)}$ ${\ displaystyle S \ delmängd X}$ ${\ displaystyle \ mu (S) = 0}$

Exempel

Varje ändlig eller oändligt stor delmängd av de reella talen är en nolluppsättning. Till exempel är mängden naturliga tal och mängden rationella tal båda oändligt många och är därför nollmängder när de betraktas som delmängder av de reella talen.

Den Cantor set är ett exempel på ett oräkneligt null set.

Definition

Antag att det är en delmängd av den verkliga linjen så ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ \ existerar \ vänster \ {U_ {n} \ höger \} _ {n}: U_ {n} = (a_ {n}, b_ {n}) \ delmängd \ mathbb {R}: \ quad A \ subset \ bigcup _ {n = 1}^{\ infty} U_ {n} \ \ land \ \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ left | U_ {n} \ höger | <\ varepsilon \ ,,}

där $U n$ är intervall och $| U |$ är längden på $U$ , då är $A$ en nolluppsättning, även känd som en uppsättning nollinnehåll.

I terminologi för matematisk analys kräver denna definition att det finns en sekvens av öppna omslag av $A$ för vilka gränsen för omslags längder är noll.

Egenskaper

Den tomma uppsättningen är alltid en null uppsättning. Mer allmänt är alla räknade föreningar av nulluppsättningar noll. Varje mätbar delmängd av en nolluppsättning är i sig en nolluppsättning. Sammantaget visar dessa fakta visar att m -null uppsättningar av X bildar en sigma-ideal på X . På samma sätt bildar de mätbara m -null-uppsättningarna ett sigma-ideal för sigma-algebra för mätbara uppsättningar. Således kan nolluppsättningar tolkas som försumbara uppsättningar , vilket definierar en föreställning om nästan överallt .

Lebesgue -mått

Den Lebesgue åtgärd är det vanliga sättet att tilldela en längd , area eller volym till delmängder av euklidiska rymden .

En delmängd N av har noll Lebesgue -mått och anses vara en nolluppsättning om och bara om: ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Gett någon positivt tal ε , det finns en sekvens

{I n}

av intervall i sådana att N finns i föreningen av

{

I

n

}

och den totala längden av facket är mindre än ε .

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Detta tillstånd kan generaliseras till , med hjälp av n - kuber istället för intervaller. Faktum är att tanken kan göras för att vara vettig på alla Riemannian -mångfald , även om det inte finns någon Lebesgue -mått där. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Till exempel:

När det gäller alla singleton -uppsättningar är noll, och därför är alla räkningsbara uppsättningar null. I synnerhet, den inställda Q av rationella tal är en nollinställningen, trots att de är täta i . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
Standardkonstruktionen av Cantor -uppsättningen är ett exempel på en noll oberäknelig uppsättning i ; men andra konstruktioner är möjliga som tilldelar Cantor -uppsättningen vilken som helst mått. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
Alla delmängder vars dimension är mindre än n har noll Lebesgue -mått . Till exempel raka linjer eller cirklar är nolluppsättningar . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$
Sards lemma : uppsättningen kritiska värden för en mjuk funktion har måttet noll.

Om λ är Lebesgue -mått för och π är Lebesgue -mått för , då produktmåttet . När det gäller nolluppsättningar har följande ekvivalens utformats som en Fubinis sats : ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ times \ lambda = \ pi}$

För och ${\ displaystyle A \ subset \ mathbb {R} ^{2}}$ ${\ displaystyle A_ {x} = \ {y: (x, y) \ i A \},}$ ${\ displaystyle \ pi (A) = 0 \ iff \ lambda \ left (\ left \ {x: \ lambda \ left (A_ {x} \ right)> 0 \ right \} \ right) = 0.}$

Användningsområden

Nulluppsättningar spelar en nyckelroll i definitionen av Lebesgue -integralen : om funktionerna $f$ och $g$ är lika förutom på en nolluppsättning, är $f inte$ integrerbart om och bara om $g$ är, och deras integraler är lika. Detta motiverar den formella definitionen av $L p$ utrymmen som uppsättningar av ekvivalensklasser av funktioner vilka endast skiljer sig åt på null set.

Ett mått där alla delmängder av nulluppsättningar är mätbara är fullständigt . Alla icke-fullständiga mått kan slutföras för att bilda ett fullständigt mått genom att hävda att delmängder av nolluppsättningar har mått noll. Lebesgue -mått är ett exempel på en komplett åtgärd; i vissa konstruktioner definieras det som slutförandet av ett icke-fullständigt Borel-mått .

En delmängd av Cantor -uppsättningen som inte är Borel -mätbar

Borel -åtgärden är inte komplett. En enkel konstruktion är att börja med standard Cantor -uppsättning $K$ , som är stängd och därmed Borel -mätbar, och som har mått noll, och att hitta en delmängd $F$ av $K$ som inte är Borel -mätbar. (Eftersom Lebesgue -måttet är komplett är detta $F$ naturligtvis Lebesgue -mätbart.)

Först måste vi veta att varje uppsättning positiva mått innehåller en icke -mätbar delmängd. Låt $f$ vara Cantor -funktionen , en kontinuerlig funktion som är lokalt konstant på $K c$ , och monotont ökar på [0, 1], med $f (0) = 0$ och $f (1) = 1$ . Uppenbarligen kan $f (K c)$ räknas, eftersom den innehåller en punkt per komponent av $K c$ . Därför har $f (K c)$ mått noll, så $f (K)$ har mått ett. Vi behöver en strikt monoton funktion , så tänk på $g (x) = f (x) + x$ . Eftersom $g (x)$ är strikt monoton och kontinuerlig är det en homeomorfism . Dessutom har $g (K)$ mått ett. Låt $E \subset g (K)$ vara icke mätbar och låt $F = g -1 (E)$ . Eftersom $g$ är injektiv har vi det $F \subset K$ , och så är $F$ en nolluppsättning. Men om det var Borel mätbart, så skulle $g (F)$ också vara Borel mätbar (här använder vi det faktum att förbilden av en Borel satt med en kontinuerlig funktion är mätbar; $g (F) = (g -1) -1 (F)$ är förbilden av F genom den kontinuerliga funktionen $h = g -1$ .) Därför är $F$ en noll men icke-borell mätbar uppsättning.

Haar null

I en separerbar Banachrum $(X, +)$ , gruppoperationen rör sig någon delmängd $A \subset X$ till översätter $A + x$ för någon $x \in X$ . När det finns ett sannolikhetsmått $μ$ på σ-algebra för Borels delmängder av $X$ , så att för alla $x$ , $μ (A + x) = 0$ , då är $A$ en Haar null-uppsättning .

Uttrycket hänvisar till nollinvariansen för translatornas mått och associerar den med den fullständiga invariansen som finns med Haar -måttet .

Vissa algebraiska egenskaper hos topologiska grupper har relaterats till storleken på delmängder och Haar null -uppsättningar. Haar null set har använts i polska grupper för att visa att när $A$ inte är en mager uppsättning sedan $A -1 A$ innehåller en öppen närheten av neutralt element . Den här egenskapen är uppkallad efter Hugo Steinhaus eftersom det är slutsatsen av Steinhaus -satsen .

Se även

Referenser

Vidare läsning

Capinski, Marek; Kopp, Ekkehard (2005). Mått, integrerad och sannolikhet . Springer. sid. 16. ISBN 978-1-85233-781-0.
Jones, Frank (1993). Lebesgue -integration på euklidiska utrymmen . Jones & Bartlett. sid. 107. ISBN 978-0-86720-203-8.
Oxtoby, John C. (1971). Mått och kategori . Springer-Verlag. sid. 3. ISBN 978-0-387-05349-3.

Languages

In other projects