Logistisk karta - Logistic map

Den logistiska kartan är en polynomisk kartläggning (ekvivalent, återkommande relation ) av grad 2 , som ofta nämns som ett arketypiskt exempel på hur komplext, kaotiskt beteende kan uppstå från mycket enkla olinjära dynamiska ekvationer. Kartan populariserades i ett papper från 1976 av biologen Robert May , delvis som en diskret tids demografisk modell analog med den logistiska ekvationen som skrevs ner av Pierre François Verhulst . Matematiskt är den logistiska kartan skriven

${\ displaystyle x_ {n+1} = rx_ {n} \ vänster (1-x_ {n} \ höger)}$

( 1 )

där x _n är ett tal mellan noll och ett, som representerar förhållandet mellan befintlig befolkning och högsta möjliga befolkning. Intressevärdena för parametern r (ibland också betecknade μ ) är de i intervallet [−2, 4] , så att x _n förblir begränsad till [−0,5, 1,5] . Denna olinjära skillnadsekvation är avsedd att fånga två effekter:

• reproduktion där befolkningen kommer att öka i en takt proportionell mot den nuvarande befolkningen när befolkningsstorleken är liten.
• svält (densitetsberoende dödlighet) där tillväxthastigheten kommer att minska med en hastighet som är proportionell mot det värde som erhålls genom att ta miljöns teoretiska "bärförmåga" minus den nuvarande befolkningen.

Som en demografisk modell har emellertid den logistiska kartan det patologiska problemet att vissa initiala förhållanden och parametervärden (till exempel om r > 4 ) leder till negativa befolkningsstorlekar. Detta problem förekommer inte i den äldre Ricker -modellen , som också uppvisar kaotisk dynamik.

Den r = 4 fallet med den logistiska avbildningen är en olinjär omvandling av både bit-skift karta och μ = 2 fallet med den tältkartan .

Kartens egenskaper

Beteende beroende av r

Bilden nedan visar amplituden och frekvensinnehållet i vissa logistiska kartor som itererar för parametervärden från 2 till 4.

Genom att variera parametern r observeras följande beteende:

Utvecklingen av olika initiala förhållanden som en funktion av r

• För r mellan -2 och -1 har den logistiska sekvensen också kaotiskt beteende.
• Med r mellan 0 och 1 kommer befolkningen så småningom att dö, oberoende av den ursprungliga populationen.
• Med r mellan 1 och 2 kommer befolkningen snabbt att närma sig värdet r - 1/r, oberoende av den ursprungliga befolkningen.
• Med r mellan 2 och 3 kommer befolkningen också så småningom att närma sig samma värder - 1/r, men först kommer att fluktuera kring det värdet under en tid. Den hastighet av konvergens är linjär, med undantag för r = 3 , när det är dramatiskt långsam, mindre än linjär (se Bifurkationen minne ).
• Med r mellan 1  -√ 6 och -1 för x ₀ mellan 1/ r och 1-1/ r , och med r mellan 3 och 1 +  √ 6 ≈ 3.44949 för x ₀ mellan 0 och 1 kommer befolkningen att närma sig permanenta svängningar mellan två värden. Dessa två värden är beroende av r och ges av .${\ displaystyle x _ {\ pm} = {\ frac {1} {2r}} (r+1 \ pm {\ sqrt {(r-3) (r+1)}}))}$
• Med r mellan 3.44949 och 3.54409 (ungefär) kommer befolkningen från nästan alla initiala förhållanden att närma sig permanenta svängningar bland fyra värden. Det senare talet är en rot till ett 12: e graders polynom (sekvens A086181 i OEIS ).
• När r ökar utöver 3,54409 kommer befolkningen från nästan alla initiala förhållanden att närma sig oscillationer bland 8 värden, sedan 16, 32, etc. Längden på parameterintervallen som ger oscillationer av en given längd minskar snabbt; förhållandet mellan längderna på två på varandra följande bifurkationsintervall närmar sig Feigenbaum -konstanten δ ≈ 4.66920 . Detta beteende är ett exempel på en periodfördubblingskaskad .
• Vid r ≈ 3.56995 (sekvens A098587 i OEIS ) uppstår kaos, i slutet av periodfördubblingskaskaden. Från nästan alla initiala förhållanden ser vi inte längre oscillationer av den ändliga perioden. Små variationer i den ursprungliga befolkningen ger dramatiskt olika resultat över tiden, ett främsta kännetecken för kaos.
• De flesta värden på r bortom 3.56995 uppvisar kaotiskt beteende, men det finns fortfarande vissa isolerade intervall av r som visar icke-kaotiskt beteende; dessa kallas ibland stabilitetsöar . Till exempel, med början vid 1 +  √ 8 (cirka 3,82843) finns det en rad parametrar r som visar oscillation bland tre värden, och för något högre värden för r oscillation bland 6 värden, sedan 12 etc.
• Utvecklingen av det kaotiska beteendet hos den logistiska sekvensen som parameter r varierar från cirka 3,56995 till cirka 3,82843 kallas ibland Pomeau – Manneville -scenariot , kännetecknat av en periodisk (laminär) fas avbruten av utbrott av aperiodiskt beteende. Ett sådant scenario har en applikation i halvledaranordningar. Det finns andra intervall som ger oscillation bland 5 värden etc .; alla oscillationsperioder inträffar för vissa värden på r . Ett periodfördubblande fönster med parameter c är ett intervall av r -värden som består av en serie överdelar. Den k : te delområdet innehåller värdena för r för vilket det finns en stabil cykel (en cykel som attraherar en uppsättning av initiala punkter enhet åtgärd) av perioden 2 ^k c . Denna sekvens av delområden kallas en kaskad av övertoner . I ett delområde med en stabil cykel med period 2 ^{k *} c finns det instabila cykler med period 2 ^k c för alla k < k * . Den r -värde vid slutet av det oändliga sekvensen av underintervall kallas punkten för ackumulering av kaskaden av övertoner. När r stiger finns det en rad nya fönster med olika c -värden. Den första är för c = 1 ; alla efterföljande fönster som involverar udda c förekommer i minskande ordning av c som börjar med godtyckligt stora c .
• Utöver r = 4 lämnar nästan alla initialvärden slutligen intervallet [0,1] och avviker.

För varje värde av r finns det högst en stabil cykel. Om det finns en stabil cykel är den globalt stabil och lockar nästan alla punkter. Vissa värden på r med en stabil cykel under någon period har oändligt många instabila cykler av olika perioder.

Den bifurkationsdiagram till höger sammanfattar detta. Den horisontella axeln visar de möjliga värdena för parametern r medan den vertikala axeln visar uppsättningen värden för x som besöks asymptotiskt från nästan alla initiala förhållanden av iteraten av den logistiska ekvationen med det r -värdet.

Bifurcationsdiagram för den logistiska kartan. Den attractor för något värde på parametern r visas på den vertikala linjen vid den r .

Fördelningsdiagrammet är en självliknande : om vi zoomar in på ovan nämnda värde r ≈ 3.82843 och fokuserar på ena armen av de tre, ser situationen i närheten ut som en krympt och något förvrängd version av hela diagrammet. Detsamma gäller för alla andra icke-kaotiska punkter. Detta är ett exempel på den djupa och allestädes närvarande kopplingen mellan kaos och fraktaler .

Förstoring av det kaotiska området på kartan.

Stabila regioner inom den kaotiska regionen.

Kaos och den logistiska kartan

Ett spindelvävdiagram över den logistiska kartan, som visar kaotiskt beteende för de flesta värdena på r > 3,57

Logistisk funktion f (blå) och dess itererade versioner f ² , f ³ , f ⁴ och f ⁵ för r = 3,5 . Till exempel, för alla initialvärden på den horisontella axeln, ger f ⁴ värdet av iteraten fyra iterationer senare.

Den relativa enkelheten i den logistiska kartan gör den till en allmänt använd ingångspunkt för att överväga begreppet kaos. En grov beskrivning av kaos är att kaotiska system uppvisar en stor känslighet för initiala förhållanden - en egenskap hos den logistiska kartan för de flesta värdena r mellan cirka 3,57 och 4 (som noterats ovan). En vanlig källa till sådan känslighet för initiala förhållanden är att kartan representerar en upprepad vikning och sträckning av det utrymme som det definieras på. När det gäller den logistiska kartan kan den kvadratiska skillnadsekvationen som beskriver den ses som en sträcknings- och vikningsoperation på intervallet (0,1) .

Följande bild illustrerar sträckningen och vikningen över en sekvens av iterater på kartan. Figur (a), till vänster, visar en tvådimensionell Poincaré-tomt över logistikkartans tillståndsutrymme för r = 4 , och visar tydligt den kvadratiska kurvan för differensekvationen ( 1 ). Vi kan emellertid bädda in samma sekvens i ett tredimensionellt tillståndsutrymme för att undersöka kartans djupare struktur. Figur (b), till höger, visar detta och visar hur initialt närliggande punkter börjar avvika, särskilt i de områden av x _{t som} motsvarar de brantare delarna av tomten.

Denna sträckning och vikning ger inte bara en gradvis divergens av iteraternas sekvenser, utan en exponentiell divergens (se Lyapunovs exponenter ), vilket också bevisas av komplexiteten och oförutsägbarheten hos den kaotiska logistiska kartan. I själva verket förklarar den exponentiella divergensen av sekvenser av iterater sambandet mellan kaos och oförutsägbarhet: ett litet fel i systemets förmodade initiala tillstånd tenderar att motsvara ett stort fel senare i utvecklingen. Därför blir förutsägelser om framtida stater gradvis (faktiskt exponentiellt ) sämre när det finns mycket små fel i vår kunskap om det ursprungliga tillståndet. Denna kvalitet av oförutsägbarhet och skenbar slumpmässighet ledde till att den logistiska kartekvationen användes som en pseudo-slumpgenerator i tidiga datorer.

Eftersom kartan är begränsad till ett intervall på den reella talraden är dess dimension mindre än eller lika med enhet. Numeriska uppskattningar ger en korrelationsdimension på0,500 ± 0,005 ( Grassberger , 1983), en Hausdorff -dimension på cirka 0,538 ( Grassberger 1981) och en informationsdimension på cirka 0,5170976 ( Grassberger 1983) för r ≈ 3,5699456 ( kaosdebut ). Obs: Det kan visas att korrelationsdimensionen säkert ligger mellan 0.4926 och 0.5024.

Det är dock ofta möjligt att göra exakta och korrekta uttalanden om sannolikheten för en framtida stat i ett kaotiskt system. Om ett (möjligen kaotiskt) dynamiskt system har en attraktor finns det ett sannolikhetsmått som ger den långsiktiga andelen tid som systemet spenderar i attraktorns olika regioner. När det gäller den logistiska kartan med parameter r = 4 och ett initialtillstånd i (0,1) är attraktorn också intervallet (0,1) och sannolikhetsmåttet motsvarar betafördelningen med parametrarna a = 0,5 och b = 0,5 . Specifikt är den oföränderliga åtgärden

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi {\ sqrt {x (1-x)}}}}}}$

Oförutsägbarhet är inte slumpmässighet, men ser i vissa fall väldigt ut som det. Därför, och lyckligtvis, även om vi vet väldigt lite om logistikkartans initialt tillstånd (eller något annat kaotiskt system), kan vi fortfarande säga något om fördelningen av stater godtyckligt långt in i framtiden och använda denna kunskap för att informera beslut baserat på systemets tillstånd.

Särskilda fall av kartan

Övre gräns när 0 ≤ r ≤ 1

Även om exakta lösningar på återkommande förhållande endast finns tillgängliga i ett litet antal fall, är en övre gräns med sluten form på logistikkartan känd när 0 ≤ r ≤ 1 . Det finns två aspekter av den logistiska kartans beteende som bör fångas upp av en övre gräns i denna regim: det asymptotiska geometriska förfallet med konstant r , och det snabba inledande förfallet när x ₀ är nära 1, driven av (1 - x _n ) term i återkommande relation. Följande gräns fångar båda dessa effekter:

${\ displaystyle \ forall n \ in \ {0,1, \ ldots \} \ quad {\ text {och}} \ quad x_ {0}, r \ in [0,1], \ quad x_ {n} \ leq {\ frac {x_ {0}} {r^{-n}+x_ {0} n}}.}$

Lösning när r = 4

Specialfallet r = 4 kan faktiskt lösas exakt, liksom fallet med r = 2 ; det allmänna fallet kan dock endast förutsägas statistiskt. Lösningen när r = 4 är,

${\ displaystyle x_ {n} = \ sin ^{2} \ vänster (2 ^{n} \ theta \ pi \ höger),}$

där parametern för initialtillståndet θ ges av

${\ displaystyle \ theta = {\ tfrac {1} {\ pi}} \ sin ^{-1} \ vänster ({\ sqrt {x_ {0}}} \ höger).}$

För rationell θ , efter ett begränsat antal iterationer x _n kartar till en periodisk sekvens. Men nästan alla θ är irrationella, och för irrationella θ , x _n aldrig upprepar sig - det är icke-periodisk. Denna lösningsekvation visar tydligt de två huvuddragen i kaos - stretching och folding: faktorn 2 ⁿ visar exponentiell tillväxt av stretching, vilket resulterar i ett känsligt beroende av initiala förhållanden , medan den kvadratiska sinusfunktionen håller x _n vikt inom intervallet [0 , 1] .

För r = 4 är en ekvivalent lösning när det gäller komplexa tal istället för trigonometriska funktioner

${\ displaystyle x_ {n} = {\ frac {-\ alpha ^{2 ^{n}}-\ alpha ^{-2 ^{n}}+2} {4}}}$

där α är endera av de komplexa talen

${\ displaystyle \ alpha = 1-2x_ {0} \ pm {\ sqrt {\ vänster (1-2x_ {0} \ höger)^{2} -1}}}$

med modul lika med 1. Precis som den kvadratiska sinusfunktionen i den trigonometriska lösningen varken leder till krympning eller expansion av den uppsatta punkterna som besöks, uppnås denna effekt i enhetsmodulen för α .

Däremot är lösningen när r = 2 är

${\ displaystyle x_ {n} = {\ tfrac {1} {2}}-{\ tfrac {1} {2}} \ vänster (1-2x_ {0} \ höger)^{2^{n}}}$

för x ₀ ∈ [0,1) . Eftersom (1 - 2 x ₀ ) ∈ (−1,1) för ett värde av x ₀ annat än den instabila fasta punkten 0, går termen (1 - 2 x ₀ ) ^{2 n} till 0 när n går till oändlighet, så x _n går till den stabila fasta punkten1/2.

Hitta cykler av valfri längd när r = 4

För fallet r = 4 , från nästan alla initiala förhållanden är den itererade sekvensen kaotisk. Ändå finns det ett oändligt antal initiala förhållanden som leder till cykler, och det finns faktiskt cykler med längd k för alla heltal k > 0 . Vi kan utnyttja förhållandet mellan den logistiska kartan och den dyadiska transformationen (även känd som bit-shift-kartan ) för att hitta cykler av valfri längd. Om x följer den logistiska kartan x _{n + 1} = 4 x _n (1 - x _n ) och y följer den dyadiska transformationen

${\ displaystyle y_ {n+1} = {\ begin {cases} 2y_ {n} & 0 \ leq y_ {n} <{\ tfrac {1} {2}} \\ 2y_ {n} -1 & {\ tfrac { 1} {2}} \ leq y_ {n} <1, \ slut {fall}}}$

då är de två besläktade med en homeomorfism

${\ displaystyle x_ {n} = \ sin ^{2} \ vänster (2 \ pi y_ {n} \ höger).}$

Anledningen till att den dyadiska transformationen också kallas bitskiftskartan är att när y skrivs i binär notation, flyttar kartan den binära punkten en plats till höger (och om biten till vänster om den binära punkten har blivit en "1", detta "1" ändras till "0"). En cykel med längd 3, till exempel, inträffar om en iterat har en 3-bitars repeterande sekvens i sin binära expansion (som inte också är en bitars repeterande sekvens): 001, 010, 100, 110, 101 eller 011. Iteraten 001001001 ... kartar till 010010010 ..., som kartlägger till 100100100 ..., som i sin tur kartar in i den ursprungliga 001001001 ...; så detta är en 3-cykel av bitskiftskartan. Och de andra tre repeterande sekvenserna för binär expansion ger trecykler 110110110 ... → 101101101 ... → 011011011 ... → 110110110 .... Var och en av dessa 3-cykler kan konverteras till fraktionsform: till exempel den första givna 3-cykeln kan skrivas som1/7 → 2/7 → 4/7 → 1/7. Genom att använda ovanstående översättning från bit-shift-kartan till den logistiska kartan får motsvarande logistikcykel 0.611260467 ... → 0.950484434 ... → 0.188255099 ... → 0.611260467 .... Vi kan på liknande sätt översätta den andra bit-shift 3- cykla in i motsvarande logistikcykel. På samma sätt kan cykler av valfri längd k hittas i bit-shift-kartan och sedan översättas till motsvarande logistiska cykler. ${\ displaystyle r = 4}$

Men eftersom nästan alla siffror i [0,1) är irrationella, leder nästan alla initiala förhållanden för bitskiftskartan till att kaos inte är periodiskt. Detta är ett sätt att se att den logistiska r = 4 -kartan är kaotisk för nästan alla initiala förhållanden.

Antalet cykler med (minimal) längd k = 1, 2, 3, ... för den logistiska kartan med r = 4 ( tältkarta med μ = 2 ) är en känd heltalssekvens (sekvens A001037 i OEIS ): 2, 1 , 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161 .... Detta berättar att den logistiska kartan med r = 4 har 2 fasta punkter, 1 cykel med längd 2, 2 cykler med längd 3 och så vidare. Denna sekvens har en särskilt enkel form för prima k : 2 ⋅2 ^{k - 1} - 1/k. Till exempel: 2 ⋅ 2 ^{13 - 1} - 1/13 = 630 är antalet cykler med längd 13. Eftersom det här fallet med den logistiska kartan är kaotiskt för nästan alla initiala förhållanden, är alla dessa cykler med begränsad längd instabila.

Relaterade begrepp

Feigenbaum universalitet av 1-D-kartor

Universalitet endimensionella kartor med parabolisk maxima och feigenbaums konstanter , är väl synlig med karta föreslagits som en leksak modell för diskreta laserdynamiken: , där står för elektriskt fält amplitud, är laserförstärkningen som bifurkation parameter. ${\ displaystyle \ delta = 4.669201 ...}$${\ displaystyle \ alpha = 2.502907 ...}$${\ displaystyle x \ rightarrow Gx (1- \ tanh (x))}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle G}$

Bifurcationsdiagram för den hyperboliska tangentkartan. Det är en självliknande i ett bredare intervall av bifurkationsparameter G. Detta är den annars allestädes närvarande kopplingen mellan kaos och fraktaler .

Den gradvisa ökningen av intervallet förändrar dynamiken från vanlig till kaotisk med kvalitativt samma bifurkationsdiagram som för logistisk karta. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle [0, \ infty)}$

Se även

• Logistisk funktion , lösning på den logistiska kartans kontinuerliga motsvarighet: den logistiska differentialekvationen .
• Lyapunov stabilitet#Definition för diskreta tidssystem
• Malthusian tillväxtmodell
• Periodiska punkter för komplexa kvadratiska kartläggningar , varav den logistiska kartan är ett specialfall begränsat till den verkliga linjen
• Radialbasfunktionsnätverk , som illustrerar det inverterade problemet för den logistiska kartan.
• Schröders ekvation
• Styv ekvation

Anteckningar

Referenser

• Grassberger, P .; Procaccia, I. (1983). "Mät konstigheten hos konstiga lockare". Physica D . 9 (1–2): 189–208. Bibcode : 1983PhyD .... 9..189G . doi : 10.1016/0167-2789 (83) 90298-1 .
• Grassberger, P. (1981). "Om Hausdorff -dimensionen av fraktal attraktorer". Journal of Statistical Physics . 26 (1): 173–179. Bibcode : 1981JSP .... 26..173G . doi : 10.1007/BF01106792 . S2CID  119833080 .
• Sprott, Julien Clinton (2003). Kaos och tidsserieanalys . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850840-3.
• Strogatz, Steven (2000). Olinjär dynamik och kaos . Perseus Publishing. ISBN 978-0-7382-0453-6.
• Tufillaro, Nicholas; Abbott, Tyler; Reilly, Jeremiah (1992). Ett experimentellt tillvägagångssätt för olinjär dynamik och kaos . Addison-Wesley New York. ISBN 978-0-201-55441-0.

externa länkar

• Chaos Hypertextbook . En inledande primer om kaos och fraktaler.
• En interaktiv visualisering av den logistiska kartan som en Jupyter -anteckningsbok
• The Logistic Map and Chaos av Elmer G. Wiens
• Complexity & Chaos (ljudbok) av Roger White. Kapitel 5 behandlar den logistiska ekvationen.
• " History of iterated maps " i A New Kind of Science av Stephen Wolfram . Champaign, IL: Wolfram Media, sid. 918, 2002.
• "En mycket kort historia av universalitet i periodfördubbling" av P. Cvitanović
• "A not so short history of Universal Function" av P. Cvitanović
• Diskret logistisk ekvation av Marek Bodnar efter arbete av Phil Ramsden, Wolfram Demonstrations Project .
• Multiplikativ koppling av två logistikkartor av C. Pellicer-Lostao och R. Lopez-Ruiz efter arbete av Ed Pegg Jr, Wolfram Demonstrations Project .
• Använda SAGE för att undersöka den diskreta logistiska ekvationen