Kontraktionslängd - Length contraction

Hjul som färdas med 9/10 ljusets hastighet. Hastigheten på toppen av ett hjul är 0,994 c medan bottenhastigheten alltid är noll. Det är därför toppen är sammandragen i förhållande till botten.

Kontraktion av längden är fenomenet att ett rörligt föremåls längd mäts till att vara kortare än dess rätta längd , vilket är längden mätt i objektets egen vilaram . Det är också känt som Lorentz -kontraktion eller Lorentz – FitzGerald -kontraktion (efter Hendrik Lorentz och George Francis FitzGerald ) och är vanligtvis bara märkbar vid en betydande bråkdel av ljusets hastighet . Kontraktion av längden är endast i den riktning som kroppen rör sig. För standardobjekt är denna effekt försumbar vid vardagliga hastigheter och kan ignoreras för alla vanliga ändamål och blir bara signifikant när objektet närmar sig ljusets hastighet i förhållande till observatören.

Historia

Längdkontraktion postulerades av George FitzGerald (1889) och Hendrik Antoon Lorentz (1892) för att förklara det negativa resultatet av Michelson – Morley -experimentet och för att rädda hypotesen om den stationära etern ( Lorentz – FitzGerald -kontraktionshypotesen ). Även om både FitzGerald och Lorentz anspelade på det faktum att elektrostatiska fält i rörelse deformerades ("Heaviside-Ellipsoid" efter Oliver Heaviside , som härledde denna deformation från elektromagnetisk teori 1888), betraktades det som en ad hoc-hypotes , eftersom det vid denna tidpunkt fanns var ingen tillräcklig anledning att anta att intermolekylära krafter beter sig på samma sätt som elektromagnetiska. År 1897 utvecklade Joseph Larmor en modell där alla krafter anses ha elektromagnetiskt ursprung, och längdkontraktion tycktes vara en direkt följd av denna modell. Ändå visade det sig av Henri Poincaré (1905) att elektromagnetiska krafter ensamma inte kan förklara elektronens stabilitet. Så han var tvungen att införa en annan ad hoc-hypotes: icke-elektriska bindningskrafter ( Poincaré betonar ) som säkerställer elektronens stabilitet, ger en dynamisk förklaring till längdkontraktion och därmed döljer rörelsen för den stationära etern.

Så småningom var Albert Einstein (1905) den första som helt tog bort ad hoc -karaktären från kontraktionshypotesen, genom att visa att denna sammandragning inte krävde rörelse genom en förmodad eter, utan kunde förklaras med hjälp av särskild relativitet , vilket förändrade föreställningar om rymden , tid och samtidighet. Einsteins uppfattning utarbetades ytterligare av Hermann Minkowski , som demonstrerade den geometriska tolkningen av alla relativistiska effekter genom att introducera sitt koncept om fyrdimensionell rymdtid .

Grund i relativitet

I särskild relativitet mäter observatören händelser mot ett oändligt gallerverk av synkroniserade klockor.

Först är det nödvändigt att noga överväga metoderna för att mäta längden på vilande och rörliga föremål. Här betyder "objekt" helt enkelt ett avstånd med slutpunkter som alltid är ömsesidigt i vila, dvs som är i vila i samma tröghetsram . Om den relativa hastigheten mellan en observatör (eller hans mätinstrument) och det observerade objektet är noll, kan objektets rätta längd helt enkelt bestämmas genom att direkt överlagra en mätstång. Men om den relativa hastigheten> 0 kan man fortsätta enligt följande: ${\ displaystyle L_ {0}}$

Kontraktionslängd : Tre blå stavar vilar i S och tre röda stavar i S '. I det ögonblick när de vänstra ändarna av A och D uppnår samma position på axeln x, ska stavarnas längder jämföras. I S är samtidiga positioner på vänster sida av A och höger sida av C mer avlägsna än hos D och F. Medan i S 'är de samtidiga positionerna på vänster sida av D och höger sida av F mer avlägsna än de från A och C.

Observatören installerar en rad klockor som antingen är synkroniserade a) genom att utbyta ljussignaler enligt Poincaré -Einstein -synkroniseringen , eller b) med "långsam klocktransport", det vill säga en klocka transporteras längs klockraden i gränsen av försvinnande transporthastighet. Nu när synkroniseringsprocessen är klar flyttas objektet längs klockraden och varje klocka lagrar den exakta tiden när objektets vänstra eller högra ände passerar. Därefter behöver observatören bara titta på positionen för en klocka A som lagrade tiden när objektets vänstra ände passerade och en klocka B vid vilken höger ände av objektet passerade samtidigt . Det är klart att avståndet AB är lika med längden på det rörliga föremålet. Med denna metod är definitionen av samtidighet avgörande för att mäta längden på rörliga föremål. ${\ displaystyle L}$

En annan metod är att använda en klocka som indikerar dess rätta tid , som färdas från stavens ena ändpunkt till den andra i tid mätt med klockor i stångens vilaram. Stångens längd kan beräknas genom att multiplicera dess restid med dess hastighet, alltså i stångens vilaram eller i klockans vilaram. ${\ displaystyle T_ {0}}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle L_ {0} = T \ cdot v}$ ${\ displaystyle L = T_ {0} \ cdot v}$

I Newtons mekanik är samtidighet och tidslängd absolut och därför leder båda metoderna till likhet mellan och . Men i relativitetsteorin förstör ljusets hastighet i alla tröghetsramar i samband med relativitetens samtidighet och tidsutvidgning denna jämlikhet. I den första metoden hävdar en observatör i en ram att ha mätt objektets slutpunkter samtidigt, men observatörerna i alla andra tröghetsramar kommer att hävda att objektets slutpunkter inte mättes samtidigt. I den andra metoden är tiderna och inte lika på grund av tidsutvidgning, vilket också resulterar i olika längder. ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle L_ {0}}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$

Avvikelsen mellan mätningarna i alla tröghetsramar ges av formlerna för Lorentz -transformation och tidsutvidgning (se Derivation ). Det visar sig att den rätta längden förblir oförändrad och alltid anger den största längden för ett objekt, och längden på samma objekt mätt i en annan tröghetsreferensram är kortare än den rätta längden. Denna sammandragning sker endast längs rörelselinjen och kan representeras av relationen

{\ displaystyle L = {\ frac {1} {\ gamma (v)}} L_ {0}}

var

$L$ är längden som observeras av en observatör i rörelse i förhållande till objektet
$L 0$ är rätt längd (objektets längd i vilaramen)
γ ( v ) är Lorentz -faktorn , definierad som

${\ displaystyle \ gamma (v) \ equiv {\ frac {1} {\ sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}}$
${\ displaystyle \ gamma (v) \ equiv {\ frac {1} {\ sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}}$
var
- $v$ är den relativa hastigheten mellan observatören och det rörliga föremålet
- $c$ är ljusets hastighet

Att ersätta Lorentz -faktorn i den ursprungliga formeln leder till relationen

{\ displaystyle L = L_ {0} {\ sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

I denna ekvation mäts både L och L ₀ parallellt med objektets rörelselinje. För observatören i relativ rörelse mäts objektets längd genom att subtrahera de samtidigt uppmätta avstånden för objektets båda ändar. Mer generella konverteringar finns i Lorentz -transformationerna . En observatör i vila som observerar ett föremål som färdas mycket nära ljusets hastighet skulle observera objektets längd i rörelseriktningen som mycket nära noll.

Sedan, med en hastighet av 13 400 000 m/s (30 miljoner mph, 0,0447 $c$ ) kontrakterad längd är 99,9% av längden i vila; med en hastighet av42 300 000 m/s (95 miljoner mph, 0,141 $c$ ), är längden fortfarande 99%. När hastighetens storlek närmar sig ljusets hastighet blir effekten framträdande.

Symmetri

Relativitetsprincipen (enligt vilken naturlagarna är invarianta över tröghetsreferensramar) kräver att längdkontraktionen är symmetrisk: Om en stav vilar i tröghetsramen S, har den sin rätta längd i S och dess längd dras ihop i S ' . Men om en stav vilar i S ', har den sin rätta längd i S' och dess längd är kontraherad i S. Detta kan illustreras levande med symmetriska Minkowski-diagram , eftersom Lorentz-transformationen geometriskt motsvarar en rotation i fyrdimensionell rymdtid .

Magnetiska krafter

Magnetiska krafter orsakas av relativistisk sammandragning när elektroner rör sig i förhållande till atomkärnor. Magnetkraften på en rörlig laddning bredvid en strömbärande tråd är ett resultat av relativistisk rörelse mellan elektroner och protoner.

År 1820 visade André-Marie Ampère att parallella ledningar med strömmar i samma riktning lockar varandra. Till elektronerna dras tråden ihop något, vilket gör att protonerna i den motsatta tråden blir lokalt tätare . Eftersom elektronerna i motsatt tråd också rör sig, drar de inte ihop sig (lika mycket). Detta resulterar i en uppenbar lokal obalans mellan elektroner och protoner; de rörliga elektronerna i ena ledningen lockas till de extra protonerna i den andra. Det omvända kan också övervägas. Till den statiska protonens referensram rör sig elektronerna och dras ihop, vilket resulterar i samma obalans. Elektronens driftshastighet är relativt mycket långsam, i storleksordningen en meter i timmen, men kraften mellan en elektron och en proton är så enorm att även vid denna mycket långsamma hastighet ger relativistisk sammandragning betydande effekter.

Denna effekt gäller även magnetiska partiklar utan ström, med ström som ersätts med elektronspinn.

Experimentella verifieringar

Varje observatör som rör sig med det observerade objektet kan inte mäta objektets sammandragning, eftersom han kan bedöma sig själv och föremålet som i vila i samma tröghetsram i enlighet med relativitetsprincipen (som det visades av Trouton-Rankine-experimentet ) . Så längdkontraktion kan inte mätas i objektets vilaram, utan bara i en ram där det observerade objektet är i rörelse. Dessutom är det svårt att uppnå direkta experimentella bekräftelser av längdkontraktion även i en sådan rörelsefri ram, eftersom objekt med betydande förlängning inte kan accelereras till relativistiska hastigheter vid det nuvarande tekniska tillståndet. Och de enda föremålen som färdas med den hastighet som krävs är atompartiklar, men vars rumsliga förlängningar är för små för att möjliggöra en direkt mätning av kontraktion.

Det finns dock indirekta bekräftelser på denna effekt i en ram som inte rör sig i samma riktning:

Det var det negativa resultatet av ett känt experiment, som krävde införandet av längdkontraktion: Michelson – Morley -experimentet (och senare även Kennedy – Thorndike -experimentet ). I särskild relativitet är dess förklaring följande: I sin vilaram kan interferometern betraktas som i vila i enlighet med relativitetsprincipen, så ljusets utbredningstid är densamma i alla riktningar. Även om i en ram i vilken interferometern är i rörelse måste tvärstrålen korsa en längre, diagonal väg i förhållande till den rörliga ramen, vilket gör att dess restid blir längre, den faktor med vilken den längsgående strålen skulle fördröjas genom att ta tid L /( c - v ) och L /( c + v ) för framåt respektive bakåt är ännu längre. Därför antas interferometern i längdriktningen vara kontrakterad för att återställa likartningen av båda restiderna i enlighet med det eller de negativa experimentresultaten. Således förblir ljusets tvåvägshastighet konstant och tur och retur-förökningstiden längs interferometerns vinkelräta armar är oberoende av dess rörelse och orientering.
Med tanke på atmosfärens tjocklek mätt i jordens referensram bör muons extremt korta livslängd inte tillåta dem att göra resan till ytan, även med ljusets hastighet, men de gör det ändå. Från jordens referensram möjliggörs detta emellertid endast genom att muonens tid bromsas av tidsutvidgning . Men i muons ram förklaras effekten av att atmosfären dras ihop, vilket förkortar resan.
Tunga joner som är sfäriska i vila bör anta formen av "pannkakor" eller platta skivor när de reser nästan med ljusets hastighet. Och i själva verket kan resultaten från partikelkollisioner bara förklaras när den ökade nukleontätheten på grund av längdkontraktion beaktas.
Den jonisering förmåga av elektriskt laddade partiklar med stora relativa hastigheter är högre än väntat. I pre-relativistisk fysik bör förmågan minska vid höga hastigheter, eftersom tiden under vilken joniserande partiklar i rörelse kan interagera med elektronerna i andra atomer eller molekyler minskar. Även om det är relativitet, kan den högre än förväntade joniseringsförmågan förklaras med Coulomb-fältets längdkontraktion i ramar i vilka de joniserande partiklarna rör sig, vilket ökar deras elektriska fältstyrka som är normal mot rörelselinjen.
I synkrotroner och frielektronlasrar injicerades relativistiska elektroner i en böljare , så att synkrotronstrålning genereras. I elektronernas rätta ram dras böljaren ihop vilket leder till en ökad strålningsfrekvens. För att ta reda på frekvensen mätt i laboratorieramen måste man dessutom tillämpa den relativistiska doppler -effekten . Så bara med hjälp av längdkontraktion och den relativistiska dopplereffekten kan den extremt lilla våglängden för böljande strålning förklaras.

Verkligheten av längdkontraktion

Minkowski -diagram över Einsteins tankeexperiment från 1911 om längdkontraktion. Två stavar med vilolängd rör sig med 0,6c i motsatta riktningar, vilket resulterar i .

{\ displaystyle A'B '= A''B' '= L_ {0}}

{\ displaystyle A^{\ ast} B^{\ ast} <L_ {0}}

År 1911 hävdade Vladimir Varićak att man ser längdkontraktionen på ett objektivt sätt, enligt Lorentz, medan det "bara är ett uppenbart, subjektivt fenomen, orsakat av sättet för vår klockreglering och längdmätning", enligt Einstein. Einstein publicerade en motbevisning:

Författaren uppgav omotiverat en skillnad i Lorentz och min uppfattning om de fysiska fakta . Frågan om huruvida längdkontraktion verkligen existerar eller inte är vilseledande. Det existerar inte "på riktigt", så långt det inte finns för en blivande observatör; även om det "verkligen" existerar, dvs på ett sådant sätt att det i princip skulle kunna demonstreras med fysiska medel av en icke-kammande observatör.

- Albert Einstein, 1911

Einstein hävdade också i detta papper att längdkontraktion inte bara är en produkt av godtyckliga definitioner om hur klockregler och längdmätningar utförs. Han presenterade följande tankeexperiment: Låt A'B 'och A "B" vara slutpunkterna för två stavar med samma längd L ₀ , mätt på x' respektive x ". Låt dem röra sig i motsatta riktningar längs x *axel, betraktad i vila, med samma hastighet i förhållande till den. Slutpunkterna A'A "möts sedan vid punkt A*, och B'B" möts vid punkt B*. Einstein påpekade att längden A*B*är kortare än A'B 'eller A "B", vilket också kan demonstreras genom att få en av stavarna att vila med avseende på den axeln.

Paradoxer

På grund av ytlig tillämpning av sammandragningsformeln kan vissa paradoxer uppstå. Exempel är stegen paradox och Bells rymdskepp paradox . Dessa paradoxer kan dock lösas genom en korrekt tillämpning av relativitetens relativitet. En annan berömd paradox är Ehrenfest-paradoxen , som bevisar att begreppet stela kroppar inte är förenligt med relativitet, vilket minskar tillämpningen av Born-styvhet och visar att geometrin i själva verket är icke-euklidisk för en roterande observatör .

Visuella effekter

Formel på en vägg i Leiden, Nederländerna. Lorentz var ordförande i teoretisk fysik vid University of Leiden 1877-1910

Längdkontraktion avser mätningar av position gjord vid samma tidpunkter enligt ett koordinatsystem. Detta kan föreslå att om man kunde ta en bild av ett objekt i snabb rörelse, skulle bilden visa objektet som dras ihop i rörelseriktningen. Sådana visuella effekter är dock helt olika mätningar, eftersom ett sådant fotografi är taget på avstånd, medan längdkontraktion bara kan mätas direkt på den exakta platsen för objektets slutpunkter. Det visade sig av flera författare som Roger Penrose och James Terrell att rörliga föremål i allmänhet inte ser ut som längd på ett fotografi. Detta resultat populariserades av Victor Weisskopf i en Physics Today -artikel. Till exempel, för en liten vinkeldiameter, förblir en rörlig sfär cirkulär och roteras. Denna typ av visuell rotationseffekt kallas Penrose-Terrell rotation.

Härledning

Längdkontraktion kan härledas på flera sätt:

Känd rörlängd

I en tröghetsreferensram S, och ska beteckna slutpunkterna för ett objekt i rörelse i denna ram. Där mättes dess längd enligt ovanstående konvention genom att bestämma samtidiga positioner för dess slutpunkter vid . Nu ska den korrekta längden på detta objekt i S 'beräknas med Lorentz -transformationen. Att omvandla tidskoordinaterna från S till S resulterar i olika tider, men detta är inte problematiskt, eftersom objektet är i vila i S 'där det inte spelar någon roll när slutpunkterna mäts. Därför räcker transformationen av de rumsliga koordinaterna, vilket ger: ${\ displaystyle x_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle t_ {1} = t_ {2}}$

{\ displaystyle x '_ {1} = \ gamma \ left (x_ {1} -vt_ {1} \ right) \ quad {\ text {och}} \ quad x' _ {2} = \ gamma \ left ( x_ {2} -vt_ {2} \ höger)}

Sedan , och genom att fastställa och är rätt längd i S' som ges av ${\ displaystyle t_ {1} = t_ {2}}$ ${\ displaystyle L = x_ {2} -x_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {0}^{'} = x_ {2}^{'}-x_ {1}^{'}}$

{\ displaystyle L_ {0}^{'} = L \ cdot \ gamma.}

( 1 )

för vilken den uppmätta längden i S kontrakteras av

{\ displaystyle L = L_ {0}^{'}/\ gamma.}

( 2 )

Enligt relativitetsprincipen måste föremål som är i vila i S också dras ihop i S '. Genom att utbyta ovanstående tecken och primtal symmetriskt följer det:

{\ displaystyle L_ {0} = L '\ cdot \ gamma.}

( 3 )

Den kontrakterade längden mätt i S 'ges således av:

{\ displaystyle L '= L_ {0}/\ gamma.}

( 4 )

Känd rätt längd

Om motsatsen däremot vilar i S och dess rätta längd är känd, måste samtidigheten av mätningarna vid objektets slutpunkter beaktas i en annan ram S ', eftersom objektet ständigt ändrar sin position där. Därför måste både rumsliga och tidsmässiga koordinater transformeras:

{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1}^{'} & = \ gamma \ left (x_ {1} -vt_ {1} \ right) & \ quad \ mathrm {och} \ quad && x_ {2} ^{'} & = \ gamma \ vänster (x_ {2} -vt_ {2} \ höger) \\ t_ {1}^{'} & = \ gamma \ vänster (t_ {1} -vx_ {1}/ c^{2} \ höger) & \ quad \ mathrm {och} \ quad && t_ {2}^{'} & = \ gamma \ vänster (t_ {2} -vx_ {2}/c^{2} \ höger ) \ end {align}}}

Beräkna längdintervall samt anta samtidig tidsmätning och genom att koppla in rätt längd följer det: ${\ displaystyle \ Delta x '= x_ {2}^{\ prime} -x_ {1}^{\ prime}}$ ${\ displaystyle \ Delta t '= t_ {2}^{\ prime} -t_ {1}^{\ prime} = 0}$ ${\ displaystyle L_ {0} = x_ {2} -x_ {1}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta x '& = \ gamma \ left (L_ {0} -v \ Delta t \ right) & (1) \\\ Delta t' & = \ gamma \ left (\ Delta t-{\ frac {vL_ {0}} {c^{2}}} \ höger) = 0 & (2) \ end {align}}}

Ekvation (2) ger

{\ displaystyle \ Delta t = {\ frac {vL_ {0}} {c^{2}}}}

som, när den är ansluten till (1), visar att det blir den kontrakterade längden : ${\ displaystyle \ Delta x '}$ ${\ displaystyle L '}$

{\ displaystyle L '= L_ {0}/\ gamma}

.

På samma sätt ger samma metod ett symmetriskt resultat för ett objekt i vila i S ':

{\ displaystyle L = L_ {0}^{'}/\ gamma}

.

Använd tidsutvidgning

Längdkontraktion kan också härledas från tidsutvidgning , enligt vilken hastigheten för en enda "rörlig" klocka (indikerar dess rätta tid ) är lägre med avseende på två synkroniserade "vilande" klockor (indikerar ). Tidsutvidgning bekräftades experimentellt flera gånger och representeras av sambandet: ${\ displaystyle T_ {0}}$ ${\ displaystyle T}$

{\ displaystyle T = T_ {0} \ cdot \ gamma}

Antag att en stav med rätt längd i vila i och en klocka i vila i rör sig längs varandra med hastighet . Eftersom relativitetshastigheten enligt relativitetsprincipen är densamma i endera referensramen, ges respektive tid för klockan mellan stavens ändpunkter med in och in , alltså och . Genom att infoga tidsutvidgningsformeln är förhållandet mellan dessa längder: ${\ displaystyle L_ {0}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S '}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle T = L_ {0}/v}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle T '_ {0} = L'/v}$ ${\ displaystyle S '}$ ${\ displaystyle L_ {0} = Tv}$ ${\ displaystyle L '= T' _ {0} v}$

{\ displaystyle {\ frac {L '} {L_ {0}}} = {\ frac {T' _ {0} v} {Tv}} = 1/\ gamma}

.

Därför anges längden som mäts i med ${\ displaystyle S '}$

{\ displaystyle L '= L_ {0}/\ gamma}

Så eftersom klockans restid över stången är längre in än i (tidsutvidgning i ), är stångens längd också längre in än i (längdkontraktion i ). På samma sätt, om klockan var i vila i och staven in , skulle ovanstående procedur ge ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S '}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S '}$ ${\ displaystyle S '}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S '}$

{\ displaystyle L = L '_ {0}/\ gamma}

Geometriska överväganden

Kuboider i rymdtiden Euklidiska och Minkowski

Ytterligare geometriska överväganden visar att längdkontraktion kan betraktas som ett trigonometriskt fenomen, med analogi med parallella skivor genom en kuboid före och efter en rotation i E ³ (se vänstra halva figuren till höger). Detta är den euklidiska analogen för att öka en kuboid i E ^1,2 . I det senare fallet kan vi dock tolka den förstärkta kuboid som världsplattan på en rörlig platta.

Bild : Vänster: en roterad kuboid i tredimensionellt euklidiskt utrymme E ³ . Tvärsnittet är längre i rotationsriktningen än det var före rotationen. Till höger: världsplattan på en rörlig tunn platta i Minkowski -rymdtiden (med en rumslig dimension undertryckt) E ^1,2 , vilket är en förstärkt kuboid . Tvärsnittet är tunnare i höjningsriktningen än det var före boostet. I båda fallen är de tvärgående riktningarna opåverkade och de tre planen som möts vid varje hörn av kuboiderna är inbördes ortogonala (i betydelsen E ^1,2 till höger och i betydelsen E ³ till vänster).

I särskild relativitet är Poincaré -transformationer en klass av affinomvandlingar som kan karakteriseras som transformationerna mellan alternativa kartesiska koordinatdiagram på Minkowski -rymdtid motsvarande alternativa tillstånd av tröghetsrörelse (och olika val av ursprung ). Lorentz -transformationer är Poincaré -transformationer som är linjära transformationer (bevara ursprunget). Lorentz-transformationer spelar samma roll i Minkowski-geometri ( Lorentz-gruppen bildar isotropigruppen för rymdtidens självisometrier) som spelas av rotationer i euklidisk geometri. Särskild relativitet kommer i stor utsträckning ner på att studera ett slags ingenuklidisk trigonometri i Minkowski -rymdtiden, vilket föreslås av följande tabell:

Tre plan trigonometrier
Trigonometri	Cirkulär	Parabolisk	Hyperbolisk
Kleinian geometri	Euklidiskt plan	Galileiska planet	Minkowski -plan
Symbol	E ²	E ^0,1	E ^1,1
Kvadratisk form	Positivt bestämt	Degenererad	Icke degenererad men obestämd
Isometri grupp	E (2)	E (0,1)	E (1,1)
Isotropigrupp	SO (2)	SO (0,1)	SO (1,1)
Typ av isotropi	Rotationer	Sax	Ökar
Algebra över R	Komplexa tal	Dubbla nummer	Split-komplexa tal
ε ²	−1	0	1
Rymdtidstolkning	Ingen	Newtons rymdtid	Minkowski rymdtid
Backe	tan φ = m	tanp φ = u	tanh φ = v
"cosinus"	cos φ = (1 + m ² ) ^−1/2	cosp φ = 1	kosh φ = (1 - v ² ) ^−1/2
"sinus"	sin φ = m (1 + m ² ) ^−1/2	sinp φ = u	sinh φ = v (1 - v ² ) ^−1/2
"sekant"	sek φ = (1 + m ² ) ^1/2	sekp φ = 1	sech φ = (1 - v ² ) ^1/2
"cosecant"	csc φ = m ⁻¹ (1 + m ² ) ^1/2	cscp φ = u ⁻¹	csch φ = v ⁻¹ (1 - v ² ) ^1/2

Referenser

externa länkar

Fysik Vanliga frågor: Kan du se Lorentz – Fitzgerald -kontraktionen? Eller: Penrose-Terrell Rotation ; Ladan och polen

Languages

In other projects