Effektiv åtgärd - Effective action

Inom kvantfältteorin är den kvanteffektiva handlingen ett modifierat uttryck för den klassiska handlingen med hänsyn till kvantkorrigeringar samtidigt som principen om minst handling gäller, vilket innebär att extremisering av den effektiva åtgärden ger rörelseekvationer för vakuumförväntningsvärdena för kvantfält. Den effektiva åtgärden fungerar också som en genererande funktion för en-partikel oreducerbara korrelationsfunktioner . Den potentiella komponenten i den effektiva åtgärden kallas den effektiva potentialen , med förväntningsvärdet för det sanna vakuumet som minimi för denna potential snarare än den klassiska potentialen, vilket gör det viktigt för att studera spontan symmetribrytning .

Den definierades först perturbativt av Jeffrey Goldstone och Steven Weinberg 1962, medan den icke-störande definitionen introducerades av Bryce DeWitt 1963 och oberoende av Giovanni Jona-Lasinio 1964.

Under hela artikeln kommer vi att hantera ett enda skalärfält , men alla resultat kan enkelt generaliseras till flera skalära eller fermioniska fält.

Generera funktioner

Dessa generationsfunktioner har också tillämpningar inom statistisk mekanik och informationsteori , med lite olika faktorer för och teckenkonventioner.${\ displaystyle i}$

En kvantfältsteori med handling kan beskrivas fullständigt i vägen integral formalism med hjälp av partitionsfunktionen${\ displaystyle S [\ phi]}$

${\ displaystyle Z [J] = \ int {\ mathcal {D}} \ phi e^{iS [\ varphi]+i \ int d^{4} x \ varphi (x) J (x)}.}$

Eftersom det motsvarar vakuum-till-vakuum-övergångar i närvaro av en klassisk yttre ström , kan den utvärderas perturbativt som summan av alla anslutna och frånkopplade Feynman-diagram . Det är också den genererande funktionen för korrelationsfunktioner ${\ displaystyle J (x)}$

${\ displaystyle \ langle {\ hat {\ phi}} (x_ {1}) \ dots {\ hat {\ phi}} (x_ {n}) \ rangle = (-i)^{n} {\ frac { 1} {Z [J]}} {\ frac {\ delta ^{n} Z [J]} {\ delta J (x_ {1}) \ dots \ delta J (x_ {n})}} {\ bigg |} _ {J = 0},}$

där skalarfältoperatörerna betecknas med . Man kan definiera en annan användbar genereringsfunktion som är ansvarig för att generera anslutna korrelationsfunktioner ${\ displaystyle {\ hat {\ phi}} (x)}$${\ displaystyle W [J] =-i \ ln Z [J]}$

${\ displaystyle \ langle {\ hat {\ phi}} (x_ {1}) \ cdots {\ hat {\ phi}} (x_ {n}) \ rangle _ {\ text {con}} = (-i) ^{n-1} {\ frac {\ delta ^{n} W [J]} {\ delta J (x_ {1}) \ dots \ delta J (x_ {n})}} {\ bigg |} _ {J = 0},}$

som beräknas perturbativt som summan av alla anslutna diagram. Här tolkas anslutet i betydelsen av klusterets sönderdelningssats , vilket betyder att korrelationsfunktionerna närmar sig noll vid stora rymdliknande separationer. Allmänna korrelationsfunktioner kan alltid skrivas som en summa av produkter av anslutna korrelationsfunktioner.

Den kvanteffektiva åtgärden definieras med hjälp av Legendre -transformationen av${\ displaystyle W [J]}$

${\ displaystyle \ Gamma [\ phi] = W [J _ {\ phi}]-\ int d^{4} xJ _ {\ phi} (x) \ phi (x),}$

var är källströmmen för vilken skalarfältet har förväntningsvärdet , ofta kallat det klassiska fältet, definierat implicit som lösningen på ${\ displaystyle J _ {\ phi}}$${\ displaystyle \ phi (x)}$

Exempel på ett diagram som inte är en-partikel irreducerbart.

Exempel på ett diagram som är en-partikel oreducerbart.

${\ displaystyle \ phi (x) = \ langle {\ hat {\ phi}} (x) \ rangle _ {J} = {\ frac {\ delta W [J]} {\ delta J (x)}}. }$

Som ett förväntningsvärde kan det klassiska fältet betraktas som det vägda genomsnittet över kvantfluktuationer i närvaro av en ström som källar skalfältet. Ta det funktionella derivatet av Legendre -transformationen med avseende på avkastning ${\ displaystyle J (x)}$${\ displaystyle \ phi (x)}$

${\ displaystyle J _ {\ phi} (x) =-{\ frac {\ delta \ Gamma [\ phi]} {\ delta \ phi (x)}}.}$

I avsaknad av en källa visar ovanstående att fältets vakuumförväntningsvärde extremiserar den kvanteffektiva verkan snarare än den klassiska verkan. Detta är inget annat än principen om minst handling i hela kvantefältsteorin. Anledningen till varför kvantteorin kräver denna modifiering kommer från vägintegralperspektivet eftersom alla möjliga fältkonfigurationer bidrar till vägintegralen, medan i klassisk fältteori endast de klassiska konfigurationerna bidrar. ${\ displaystyle J _ {\ phi} (x) = 0}$

Den effektiva åtgärden är också genereringsfunktionen för en-partikel irreducibel (1PI) korrelationsfunktioner. 1PI -diagram är anslutna grafer som inte kan kopplas bort i två delar genom att klippa en enda intern linje. Därför har vi

${\ displaystyle \ langle {\ hat {\ phi}} (x_ {1}) \ dots {\ hat {\ phi}} (x_ {n}) \ rangle _ {1PI} =-i {\ frac {\ delta ^{n} \ Gamma [\ phi]} {\ delta \ phi (x_ {1}) \ dots \ delta \ phi (x_ {n})}}} {\ bigg |} _ {J = 0},}$

med att vara summan av alla 1PI Feynman -diagram. Det nära sambandet mellan och innebär att det finns ett antal mycket användbara relationer mellan deras korrelationsfunktioner. Till exempel är tvåpunktskorrelationsfunktionen, som inte är mindre än propagatorn , den inversa av 1PI tvåpunktskorrelationsfunktionen ${\ displaystyle \ Gamma [\ phi]}$${\ displaystyle W [J]}$${\ displaystyle \ Gamma [\ phi]}$ ${\ displaystyle \ Delta (x, y)}$

${\ displaystyle \ Delta (x, y) = {\ frac {\ delta ^{2} W [J]} {\ delta J (x) \ delta J (y)}} = {\ frac {\ delta \ phi (x)} {\ delta J (y)}} = {\ bigg (} {\ frac {\ delta J (y)} {\ delta \ phi (x)}} {\ bigg)}^{-1} =-{\ bigg (} {\ frac {\ delta ^{2} \ Gamma (\ phi)} {\ delta \ phi (x) \ delta \ phi (y)}} {\ bigg)} ^{-1 } =-\ Pi ^{-1} (x, y).}$

Metoder för att beräkna den effektiva åtgärden

Ett direkt sätt att beräkna den effektiva åtgärden perturbativt som en summa av 1PI -diagram är att summera över alla 1PI -vakuumdiagram som erhållits med hjälp av Feynman -reglerna som härrör från den skiftade åtgärden . Detta fungerar eftersom varje plats där visas i någon av förökarna eller hörnen är en plats där en extern linje kan anslutas. Detta liknar mycket bakgrundsmetoden som också kan användas för att beräkna den effektiva åtgärden. ${\ displaystyle \ Gamma [\ phi _ {0}]}$${\ displaystyle S [\ phi +\ phi _ {0}]}$${\ displaystyle \ phi _ {0}}$${\ displaystyle \ phi}$

Alternativt kan en-loop- approximationen till åtgärden hittas genom att överväga utvidgningen av partitionsfunktionen runt den klassiska vakuumförväntningsvärdefältkonfigurationen , vilket ger ${\ displaystyle \ phi (x) = \ phi _ {\ text {cl}} (x)+\ delta \ phi (x)}$

${\ displaystyle \ Gamma [\ phi _ {\ text {cl}}] = S [\ phi _ {\ text {cl}}]+{\ frac {i} {2}} {\ text {Tr}} { \ bigg [} \ ln {\ frac {\ delta ^{2} S [\ phi]} {\ delta \ phi (x) \ delta \ phi (y)}} {\ bigg |} _ {\ phi = \ phi _ {\ text {cl}}} {\ bigg]}+\ cdots.}$

Symmetrier

Symmetrier för den klassiska åtgärden är inte automatiskt symmetrier för den kvanteffektiva åtgärden . Om den klassiska handlingen har en kontinuerlig symmetri beroende på någon funktionell${\ displaystyle S [\ phi]}$${\ displaystyle \ Gamma [\ phi]}$${\ displaystyle F [x, \ phi]}$

${\ displaystyle \ phi (x) \ rightarrow \ phi (x)+\ epsilon F [x, \ phi],}$

då innebär detta direkt begränsningen

${\ displaystyle 0 = \ int d^{4} x \ langle F [x, \ phi] \ rangle _ {J _ {\ phi}} {\ frac {\ delta \ Gamma [\ phi]} {\ delta \ phi (x)}}.}$

Denna identitet är ett exempel på en Slavnov-Taylor-identitet . Det är identiskt med kravet att den effektiva åtgärden är invariant under symmetriomvandlingen

${\ displaystyle \ phi (x) \ rightarrow \ phi (x)+\ epsilon \ langle F [x, \ phi] \ rangle _ {J _ {\ phi}}.}$

Denna symmetri är identisk med den ursprungliga symmetrin för den viktiga klassen av linjära symmetrier

${\ displaystyle F [x, \ phi] = a (x)+\ int d^{4} y \ b (x, y) \ phi (y).}$

För icke-linjära funktionaliteter skiljer sig de två symmetrierna i allmänhet åt eftersom genomsnittet för en icke-linjär funktionell inte motsvarar funktionen av ett genomsnitt.

Konvexitet

Den uppenbara effektiva potentialen som erhållits via störningsteorin måste korrigeras till den verkliga effektiva potentialen , visad via streckade linjer i en region där de två inte håller med.${\ displaystyle V_ {0} (\ phi)}$${\ displaystyle V (\ phi)}$

För en rymdtid med volym definieras den effektiva potentialen som . Med en Hamilton den effektiva potentialen vid alltid ger ett minimum av det förväntade värdet av energitäthet för uppsättningen av stater som uppfyller . Denna definition över flera tillstånd är nödvändig eftersom flera olika tillstånd, som var och en motsvarar en viss källström, kan resultera i samma förväntningsvärde. Det kan vidare visas att den effektiva potentialen nödvändigtvis är en konvex funktion . ${\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {4}}$${\ displaystyle V (\ phi) =-\ Gamma [\ phi]/{\ mathcal {V}} _ {4}}$ ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle V (\ phi)}$${\ displaystyle \ phi (x)}$ ${\ displaystyle \ langle \ Omega | H | \ Omega \ rangle}$${\ displaystyle | \ Omega \ rangle}$${\ displaystyle \ langle \ Omega | {\ hat {\ phi}} | \ Omega \ rangle = \ phi (x)}$ ${\ displaystyle V '' (\ phi) \ geq 0}$

Att beräkna den effektiva potentialen perturbativt kan ibland ge ett icke-konvext resultat, till exempel en potential som har två lokala minima . Den verkliga effektiva potentialen är dock fortfarande konvex och blir ungefär linjär där den uppenbara effektiva potentialen inte är konvex. Motsättningen uppstår när man har att göra med en situation där vakuumet är instabilt, medan störningsteorin nödvändigtvis förutsätter att vakuumet är stabilt. Till exempel anser en uppenbar effektiv potential med två lokala minima vars förväntan värden och är förväntansvärden för staterna och respektive. Då kan alla i den icke-konvexa regionen också förvärvas för vissa användare ${\ displaystyle V_ {0} (\ phi)}$${\ displaystyle \ phi _ {1}}$${\ displaystyle \ phi _ {2}}$${\ displaystyle | \ Omega _ {1} \ rangle}$${\ displaystyle | \ Omega _ {2} \ rangle}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle V_ {0} (\ phi)}$${\ displaystyle \ lambda \ i [0,1]}$

${\ displaystyle | \ Omega \ rangle \ propto {\ sqrt {\ lambda}} | \ Omega _ {1} \ rangle +{\ sqrt {1- \ lambda}} | \ Omega _ {2} \ rangle.}$

Dock är energitätheten i detta tillstånd innebär kan inte vara rätt effektiv potential på eftersom det inte minimera energitäthet. Snarare är den verkliga effektiva potentialen lika med eller lägre än denna linjära konstruktion, som återställer konvexitet. ${\ displaystyle \ lambda V_ {0} (\ phi _ {1})+(1- \ lambda) V_ {0} (\ phi _ {2}) <V_ {0} (\ phi)}$${\ displaystyle V_ {0} (\ phi)}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle V (\ phi)}$

Se även

• Bakgrundsfältmetod
• Korrelationsfunktion
• Path integrerad formulering
• Renormaliseringsgrupp
• Spontan symmetri bryts

Referenser

Vidare läsning

• A. Das: Field Theory: A Path Integral Approach , World Scientific Publishing 2006
• MD Schwartz: Quantum Field Theory and the Standard Model , Cambridge University Press 2014
• DJ Toms: The Schwinger Action Principle and Effective Action , Cambridge University Press 2007
• S. Weinberg: The Quantum Theory of Fields , vol. II, Cambridge University Press 1996