Ackord (geometri) - Chord (geometry)

Ett ackord av en cirkel är ett rakt linjesegment vars slutpunkter båda ligger på en cirkelbåge . Den oändliga linjeförlängningen av ett ackord är en sekantlinje , eller bara sekant . Mer allmänt är ett ackord ett linjesegment som förenar två punkter på valfri kurva, till exempel en ellips . Ett ackord som passerar genom en cirkels mittpunkt är cirkelns diameter . Ordet ackord är från det latinska chorda som betyder bowstring .

Det röda segmentet BX är ett ackord
(liksom diamentsegmentet AB ).

I cirklar

Bland egenskaperna hos ackord i en cirkel finns följande:

1. Ackord är lika långt från mitten om och bara om deras längder är lika.
2. Lika ackord subtenderas med lika vinklar från cirkelns mitt.
3. Ett ackord som passerar genom mitten av en cirkel kallas en diameter och är det längsta ackordet för den specifika cirkeln.
4. Om linjeförlängningarna (sekanta rader) hos ackord AB och CD skär varandra vid en punkt P, tillfredsställer deras längder AP · PB = CP · PD ( effekt i en punktsats ).

I ellipser

Mittpunkterna för en uppsättning parallella ackord av en ellips är kollinära .

I trigonometri

Ackord användes flitigt i den tidiga utvecklingen av trigonometri . Den första kända trigonometriska tabellen, sammanställd av Hipparchus , tabellerade värdet av ackordfunktionen för varje 7+1/2 grader . Under det andra århundradet efter Kristus sammanställde Ptolemaios av Alexandria ett mer omfattande ackordstabell i sin bok om astronomi , vilket gav ackordets värde för vinklar från1/2 till 180 grader med steg om 1/2grad. Cirklen hade en diameter på 120 och ackordlängderna är exakta med två bas-60 siffror efter heltalet.

Ackordfunktionen definieras geometriskt enligt bilden. Kordan hos en vinkel är längden av kordan mellan två punkter på en enhetscirkel separerade av den centrala vinkeln. Vinkeln θ tas i positiv bemärkelse och måste ligga i intervallet 0 < θ ≤ π (radianmått). Ackordfunktionen kan relateras till den moderna sinusfunktionen genom att ta en av punkterna för att vara (1,0) och den andra punkten för att vara ( cos θ , sin θ ) och sedan använda Pythagoras sats för att beräkna ackordet längd:

${\ displaystyle \ operatorname {crd} \ \ theta = {\ sqrt {(1- \ cos \ theta) ^{2}+\ sin ^{2} \ theta}} = {\ sqrt {2-2 \ cos \ theta}} = 2 \ sin \ vänster ({\ frac {\ theta} {2}} \ höger).}$

Det sista steget använder halvvinkelformeln . Ungefär som modern trigonometri är byggd på sinusfunktionen, byggdes gammal trigonometri på ackordfunktionen. Hipparchus påstås ha skrivit ett tolv-volymverk om ackord, alla nu förlorade, så förmodligen var mycket känt om dem. I tabellen nedan (där c är ackordlängden och D cirkelns diameter) kan ackordfunktionen visas för att tillfredsställa många identiteter som är analoga med välkända moderna:

namn	Sinusbaserad	Ackordbaserad
Pythagorean	${\ displaystyle \ sin ^{2} \ theta +\ cos ^{2} \ theta = 1 \,}$	${\ displaystyle \ operatorname {crd} ^{2} \ theta +\ operatorname {crd} ^{2} (\ pi -\ theta) = 4 \,}$
Halvvinkel	${\ displaystyle \ sin {\ frac {\ theta} {2}} = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ cos \ theta} {2}}} \,}$	${\ displaystyle \ operatorname {crd} \ {\ frac {\ theta} {2}} = {\ sqrt {2- \ operatorname {crd} (\ pi -\ theta)}}}, \,}$
Apotem ( a )	${\ displaystyle c = 2 {\ sqrt {r^{2} -a^{2}}}}$	${\ displaystyle c = {\ sqrt {D^{2} -4a^{2}}}}$
Vinkel ( θ )	${\ displaystyle c = 2r \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right)}$	${\ displaystyle c = {\ frac {D} {2}} \ operatorname {crd} \ \ theta}$

Den omvända funktionen finns också:

${\ displaystyle \ theta = 2 \ arcsin {\ frac {c} {2r}}}$

Se även

• Cirkulärt segment - den del av sektorn som återstår efter att triangeln som bildats av cirkelns mitt och de två ändpunkterna i cirkelbågen på gränsen har tagits bort.
• Skala av ackord
• Ptolemaios ackordstabell
• Holditch's sats , för ett ackord som roterar i en konvex stängd kurva
• Cirkeldiagram
• Exsecant och excosecant
• Versine och haversine
• Zindler -kurva (sluten och enkel kurva där alla ackord som delar båglängden i halvor har samma längd)

Referenser

Vidare läsning

• Hawking, Stephen William , red. (2002). Om jättarnas axlar: fysikens och astronomins stora verk . Philadelphia, USA: Running Press . ISBN 0-7624-1698-X. LCCN  2002100441 . Hämtad 2017-07-31 .
• Stávek, Jiří (2017-03-10) [2017-02-26]. "Om den dolda skönheten i trigonometriska funktioner" . Tillämpad fysikforskning . Prag, CZ: Canadian Center of Science and Education. 9 (2): 57–64. doi : 10.5539/apr.v9n2p57 . ISSN  1916-9639 . ISSN  1916-9647 . [1]

externa länkar

• Trigonometris historia
• Trigonometriska funktioner med fokus på historia
• Ackord (i en cirkel) Med interaktiv animering