Atkinson index - Atkinson index

Den Atkinson Index (även känd som Atkinson åtgärd eller Atkinson olikhet åtgärd ) är ett mått på inkomstskillnaderna utvecklats av British ekonomen Anthony Barnes Atkinson . Måttet är användbart för att bestämma vilken ände av distributionen som bidrog mest till den observerade ojämlikheten.

Definition

Indexet kan förvandlas till ett normativt mått genom att införa en koefficient för viktinkomster. Ökad vikt kan läggas på förändringar i en viss del av inkomstfördelningen genom att välja nivån på "ojämlikhetsaversion" på lämpligt sätt. Atkinson-indexet blir känsligare för förändringar i nedre delen av inkomstfördelningen när det ökar. Omvänt, när nivån på ojämlikhetsaversion sjunker (det vill säga närmar sig 0) blir Atkinson mindre känslig för förändringar i distributionens nedre ände. Atkinson-indexet är för inget värde som är mycket känsligt för toppinkomster på grund av den vanliga begränsningen som inte är negativ. ${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

Parametern Atkinson kallas ofta "parametern för ojämlikhetsaversion", eftersom den reglerar känsligheten för de underförstådda sociala välfärdsförlusterna från ojämlikhet till inkomstojämlikhet mätt med något motsvarande generaliserat entropiindex. Atkinson-indexet definieras med hänvisning till en motsvarande social välfärdsfunktion, där medelinkomsten multiplicerad med en minus Atkinson-indexet ger välfärdsekvivalenten lika fördelad inkomst . Således ger Atkinson-index den andel av löpande inkomster som skulle kunna offras, utan att minska social välfärd, om perfekt ojämlikhet infördes. För , (ingen motvilja mot ojämlikhet), den marginella sociala välfärden från inkomst är oförändrad i förhållande till inkomst, dvs. marginella inkomstökningar ger lika mycket social välfärd oavsett om de går till en fattig eller rik person. I det här fallet är välfärdsekvivalenten lika fördelad inkomst lika med genomsnittlig inkomst och Atkinson-indexet är noll. ${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon = 0}$

För (oändlig motvilja mot ojämlikhet) är den marginella sociala välfärden för inkomst för den fattigaste individen oändligt större än någon till och med lite rikare individ, och Atkinsons sociala välfärdsfunktion är lika med den minsta inkomsten i urvalet. I det här fallet är Atkinson-index lika med medelinkomst minus minsta inkomst dividerad med medelinkomst. Som i stora typiska inkomstfördelningar är intäkter på noll eller nära noll vanliga, kommer Atkinson-indexet att vara en eller mycket nära en för mycket stor . ${\ displaystyle \ varepsilon = \ infty}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

Atkinson-indexet varierar sedan mellan 0 och 1 och är ett mått på mängden social nytta som kan uppnås genom fullständig omfördelning av en given inkomstfördelning för en given parameter. Enligt den utilitaristiska etiska standarden och vissa restriktiva antaganden (en homogen befolkning och konstant elasticitet för substitutionsnyttan ) är lika med inkomstelasticiteten för marginell nytta av inkomst. ${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

Atkinson-indexet definieras som:

${\ displaystyle A _ {\ varepsilon} (y_ {1}, \ ldots, y_ {N}) = {\ begin {cases} 1 - {\ frac {1} {\ mu}} \ left ({\ frac {1 } {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} ^ {1- \ varepsilon} \ höger) ^ {1 / (1- \ varepsilon)} och {\ mbox {för}} \ 0 \ leq \ epsilon \ neq 1 \\ 1 - {\ frac {1} {\ mu}} \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} \ right) ^ {1 / N} och {\ mbox {for}} \ \ varepsilon = 1, \ end {cases}}}$

där är individuell inkomst ( i = 1, 2, ..., N ) och är den genomsnittliga inkomst. ${\ displaystyle y_ {i}}$${\ displaystyle \ mu}$

Med andra ord är Atkinson-index komplementet till 1 av förhållandet mellan Hölders generaliserade medelvärde för exponent 1 ε och det aritmetiska medelvärdet av inkomsterna (där som vanligt det generaliserade medelvärdet av exponent 0 tolkas som det geometriska medelvärdet ).

Atkinson index bygger på följande axiom:

1. Indexet är symmetriskt i sina argument: för alla permutationer . ${\ displaystyle A _ {\ varepsilon} (y_ {1}, \ ldots, y_ {N}) = A _ {\ varepsilon} (y _ {\ sigma (1)}, \ ldots, y _ {\ sigma (N)}) }$${\ displaystyle \ sigma}$
2. Indexet är icke-negativt och är lika med noll endast om alla inkomster är desamma: iff för alla . ${\ displaystyle A _ {\ varepsilon} (y_ {1}, \ ldots, y_ {N}) = 0}$${\ displaystyle y_ {i} = \ mu}$${\ displaystyle i}$
3. Indexet uppfyller principen för överföringar : om en överföring görs från en person med inkomst till en annan med inkomst så att ojämlikhetsindex inte kan öka. ${\ displaystyle \ Delta> 0}$${\ displaystyle y_ {i}}$${\ displaystyle y_ {j}}$${\ displaystyle y_ {i} - \ Delta> y_ {j} + \ Delta}$
4. Indexet uppfyller populationsreplikationsaxiom: om en ny population bildas genom att replikera den befintliga befolkningen ett godtyckligt antal gånger förblir ojämlikheten densamma: ${\ displaystyle A _ {\ varepsilon} (\ {y_ {1}, \ ldots, y_ {N} \}, \ ldots, \ {y_ {1}, \ ldots, y_ {N} \}) = A _ {\ varepsilon} (y_ {1}, \ ldots, y_ {N})}$
5. Indexet uppfyller genomsnittligt oberoende, eller inkomsthomogenitet, axiom: om alla inkomster multipliceras med en positiv konstant förblir ojämlikheten densamma: för alla . ${\ displaystyle A _ {\ varepsilon} (y_ {1}, \ ldots, y_ {N}) = A _ {\ varepsilon} (ky_ {1}, \ ldots, ky_ {N})}$${\ displaystyle k> 0}$
6. Indexet är nedbrytbart i undergrupp. Detta innebär att den totala ojämlikheten i befolkningen kan beräknas som summan av motsvarande Atkinson-index inom varje grupp, och Atkinson-indexet för gruppen betyder inkomster:

${\ displaystyle A _ {\ varepsilon} (y_ {gi}: g = 1, \ ldots, G, i = 1, \ ldots, N_ {g}) = \ sum _ {g = 1} ^ {G} w_ { g} A _ {\ varepsilon} (y_ {g1}, \ ldots, y_ {gN_ {g}}) + A _ {\ varepsilon} (\ mu _ {1}, \ ldots, \ mu _ {G})}$

där indexgrupper, individer inom grupper, är medelinkomsten i grupp , och vikterna beror på och . Klassen för undergruppsnedbrytbara ojämlikhetsindex är mycket restriktiv. Många populära index, inklusive Gini-index , uppfyller inte den här egenskapen. ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ mu _ {g}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle w_ {g}}$${\ displaystyle \ mu _ {g}, \ mu, N}$${\ displaystyle N_ {g}}$

Se även

• Olikhetsstatistik
• Generaliserat entropiindex
• Gini-index

Fotnoter

Referenser

• Atkinson, AB (1970) Om mätning av ojämlikhet. Journal of Economic Theory , 2 (3), s. 244–263, ‹Se Tfd› doi : 10.1016 / 0022-0531 (70) 90039-6 ‹Se Tfd› . Originalet föreslår detta ojämlikhetsindex.
• Allison PD (1978) Measures of Inequality, American Sociological Review , 43, s. 865–880. Presenterar en teknisk diskussion om Atkinson-måttets egenskaper. Det finns ett fel i formeln för Atkinson-indexet, som korrigeras i Allison (1979).
• Allison, PD (1979) Svar till Jasso. Amerikansk sociologisk recension 44 (5): 870–72.
• Biewen M, Jenkins SP (2003). Uppskattning av generaliserade entropi- och Atkinson-ojämlikhetsindex från komplexa undersökningsdata. IZA Discussion Paper # 763 . Ger statistisk slutsats för Atkinson-index.
• Lambert, P. (2002). Fördelning och omfördelning av inkomster . 3: e upplagan, Manchester Univ Press, ISBN   978-0-7190-5732-8 .
• Sen A, Foster JE (1997) On Economic Inequality , Oxford University Press, ISBN   978-0-19-828193-1 . ( Python-skript för ett urval av formler i boken)
• World Income Inequality Database Archived 2011-03-13 på Wayback Machine , från World Institute for Development Economics Research
• Inkomstskillnad, 1947–1998 , från United States Census Bureau .

externa länkar

Programvara:

• Gratis online-kalkylator beräknar Gini-koefficienten, plottar Lorenz-kurvan och beräknar många andra koncentrationsmått för alla dataset
• Gratis kalkylator: Online- och nedladdningsbara skript ( Python och Lua ) för ojämlikheter i Atkinson, Gini och Hoover
• Användare av R- dataanalysprogramvaran kan installera "ineq" -paketet som möjliggör beräkning av olika ojämlikhetsindex inklusive Gini, Atkinson, Theil.
• Ett MATLAB-ojämlikhetspaket , inklusive kod för beräkning av Gini, Atkinson, Theil-index och för planering av Lorenz-kurvan. Många exempel finns tillgängliga.
• Stata ojämlikhetspaket: ineqdeco för att sönderdela ojämlikhet per grupp; svygei och svyatk för att beräkna designkonsistenta avvikelser för generaliserade entropi- och Atkinson-index; glcurve för att erhålla generaliserad Lorenz-kurva. Du kan skriva ssc install ineqdeco etc. i Stata-prompt för att installera dessa paket.