Revolutionens yta - Surface of revolution

En revolutionsyta är en yta i det euklidiska rummet som skapas genom att rotera en kurva ( generatrix ) runt en rotationsaxel .

Exempel på varvytor som genereras av en rak linje är cylindriska och koniska ytor beroende på om linjen är parallell med axeln eller inte. En cirkel som roteras runt vilken diameter som helst genererar en sfär av vilken den då är en stor cirkel , och om cirkeln roteras runt en axel som inte skär en cirkels inre, genererar den en torus som inte skär varandra ( en ring torus ).

Egenskaper

Avsnitten av revolutionens yta som gjorts av plan genom axeln kallas meridionala sektioner . Varje meridionssektion kan betraktas som generatrix i planet bestämt av det och axeln.

De sektioner av revolutionens yta som gjorts av plan som är vinkelräta mot axeln är cirklar.

Några speciella fall av hyperboloider (av ett eller två ark) och elliptiska paraboloider är revolutionära ytor. Dessa kan identifieras som de kvadratiska ytorna vars tvärsnitt vinkelrätt mot axeln är cirkulära.

Areaformel

Om kurvan beskrivs av de parametriska funktionerna x ( t ) , y ( t ) , med t som sträcker sig över något intervall [ a , b ] , och varvaxeln är y -axeln, ges området A _y av den integrerande

${\ displaystyle A_ {y} = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} x (t) \, {\ sqrt {\ left ({dx \ over dt} \ right) ^ {2} + \ left ({dy \ över dt} \ höger) ^ {2}}} \, dt,}$

förutsatt att x ( t ) aldrig är negativt mellan slutpunkterna a och b . Denna formel är räkneekvivalenten för Pappus centroidteorem . Kvantiteten

${\ displaystyle {\ sqrt {\ left ({dx \ over dt} \ right) ^ {2} + \ left ({dy \ over dt} \ right) ^ {2}}}}$

kommer från Pythagoras sats och representerar ett litet segment av kurvens båge, som i båglängdsformeln . Kvantiteten 2π x ( t ) är vägen för (centrroid för) detta lilla segment, som krävs av Pappus 'sats.

På samma sätt, när rotationsaxeln är x -axeln och förutsatt att y ( t ) aldrig är negativ, ges arean av

${\ displaystyle A_ {x} = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} y (t) \, {\ sqrt {\ left ({dx \ over dt} \ right) ^ {2} + \ left ({dy \ över dt} \ höger) ^ {2}}} \, dt.}$

Om den kontinuerliga kurvan beskrivs av funktionen y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b , blir integralen

${\ displaystyle A_ {x} = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} y {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) ^ {2}}} \, dx = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ sqrt {1 + {\ big (} f '(x) {\ big)} ^ {2}}} \, dx}$

för revolution runt x -axeln, och

${\ displaystyle A_ {y} = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} x {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) ^ {2}}} \, dx}$

för rotation kring y- axeln (förutsatt en ≥ 0 ). Dessa kommer från ovanstående formel.

Till exempel genereras den sfäriska ytan med enhetsradie av kurvan y ( t ) = sin ( t ) , x ( t ) = cos ( t ) , när t sträcker sig över [0, π] . Dess område är därför

${\ displaystyle {\ begin {align} A & {} = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin (t) {\ sqrt {{\ big (} \ cos (t) {\ big) } ^ {2} + {\ big (} \ sin (t) {\ big)} ^ {2}}} \, dt \\ & {} = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin (t) \, dt \\ & {} = 4 \ pi. \ slut {justerad}}}$

För fallet med den sfäriska kurvan med radien r , y ( x ) = √ r ² - x ² roterad runt x -axeln

${\ displaystyle {\ begin {align} A & {} = 2 \ pi \ int _ {- r} ^ {r} {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} \, {\ sqrt { 1 + {\ frac {x ^ {2}} {r ^ {2} -x ^ {2}}}}}, dx \\ & {} = 2 \ pi r \ int _ {- r} ^ { r} \, {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} \, {\ sqrt {\ frac {1} {r ^ {2} -x ^ {2}}}} \, dx \\ & {} = 2 \ pi r \ int _ {- r} ^ {r} \, dx \\ & {} = 4 \ pi r ^ {2} \, \ slut {justerad}}}$

En minimal rotationsyta är rotationsytan för kurvan mellan två givna punkter som minimerar ytarean . Ett grundläggande problem i beräkningen av variationer är att hitta kurvan mellan två punkter som producerar denna minimala revolutionsyta.

Det finns bara två minimala revolutionsytor ( revolutionsytor som också är minimala ytor): planet och katenoiden .

Koordinera uttryck

En rotationsyta som ges genom att rotera en kurva som beskrivs runt x-axeln kan enklast beskrivas i cylindriska koordinater med . I kartesiska koordinater ger detta parametriseringen i termer av och som . Om vi ​​istället roterar kurvan runt y-axeln, beskrivs kurvan i cylindriska koordinater med , vilket ger uttrycket i termer av parametrar och . ${\ displaystyle y = f (x)}$${\ displaystyle r = f (z)}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle (f (z) \ cos (\ theta), f (z) \ sin (\ theta), z)}$${\ displaystyle z = f (r)}$${\ displaystyle (r \ cos (\ theta), r \ sin (\ theta), f (r))}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ theta}$

Om x och y definieras i termer av en parameter , får vi en parametrisering i termer av och . Om och är funktioner för , så beskrivs den rotationsyta som erhålls genom att vrida kurvan runt x-axeln i cylindriska koordinater med den parametriska ekvationen , och rotationsytan som erhålls genom att vrida kurvan runt y-axeln beskrivs av . I kartesiska koordinater blir dessa (respektive) och . Ovanstående formler för ytarea följer sedan genom att ta ytans integral av den konstanta funktionen 1 över ytan med användning av dessa parametrar. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle (r, \ theta, z) = (y (t), \ theta, x (t))}$${\ displaystyle (r, \ theta, z) = (x (t), \ theta, y (t))}$${\ displaystyle (y (t) \ cos (\ theta), y (t) \ sin (\ theta), x (t))}$${\ displaystyle (x (t) \ cos (\ theta), x (t) \ sin (\ theta), y (t))}$

Geodesik

Meridianer är alltid geodesik på en revolutionsyta. Annan geodesik styrs av Clairauts relation .

Toroider

En revolutionsyta med ett hål där rotationsaxeln inte skär varandra kallas toroid. Till exempel, när en rektangel roteras runt en axel som är parallell med en av dess kanter, produceras en ihålig fyrkantig ring. Om den roterade figuren är en cirkel kallas objektet en torus .

Applikationer

Användningen av revolutionära ytor är avgörande inom många områden inom fysik och teknik. När vissa objekt designas digitalt kan varv som dessa användas för att bestämma ytan utan att mäta längden och radien på objektet som designats.

Se även

• Kanalytan , en generalisering av en revolutionsyta
• Gabriels Horn
• Generaliserad helikoid
• Citron (geometri) , rotationsyta för en cirkelbåge
• Liouville yta , en annan generalisering av en revolutionens yta
• Solid av revolution
• Sfäroid
• Ytan integrerad
• Översättningsyta (differentiell geometri)

Referenser

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Surface of Revolution" . MathWorld .
• "Surface de révolution" . Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (på franska).